正交试验的方差分析整理说明
正交试验的方差分析-
1. 对于未排满列的正交表，如L9(34)中只有3个因素 的情况，对第四列仍进行计算，求K14,K24，K34等，
并且求出第四列的差方和Q4。
这时会出现什是完全可以理解的，因为该表未排满时，正交表 事实上不完全符合正交性的原则。 这个差方和又叫做“空列误差”。又叫第一类误差。 这就说明Qe1可直接由空列误差计算。
如：L4(23)试验，重复5次，
则fe2＝4(5-1）＝16。
该项为3×3＝9次。
4. 总的误差Qe＝Qe1＋Qe2。 其中：
Qe 2
1 n r 2 2 x ij ( x ij ) r i 1 j 1 i 1 j 1
m
r
r: 各号重复次数；n: 试验号总数。 5. 误差自由度： fe=fe1+fe2。 其中： fe2＝n(r-1）。
2. 还有一种误差，就是重复试验误差。
在实际工作中，每一水平不可能只作一次试验， 一般都要做重复试验。重复试验引入的误差就叫重 复试验误差，称为第二类误差。 3. 当考虑重复试验时，那么计算各Ki值时须用重复 几次的和；另外，计算差方和时，水平数m项要改为 水平数与重复次数的乘积，如3水平，重复3次，则
(整理)正交试验结果的方差分析方法
正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。
等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。
显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。
即(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。
在数理统计上，这是一个很重要的问题。
显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。
如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。
因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。
有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
正交试验方差分析(通俗易懂)
正交试验方差分析(通俗易懂)第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响:A因素是氮肥施用量，设A、A、A 3个水平 ; 123B因素是磷肥施用量，设B、B、B 3个水平 ; 123C因素是钾肥施用量，设C、C、C 3个水平。
123这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是:用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析;当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
4如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L(3)安排，试9验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理3表11-1 3试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点(水平组合)中挑选出有代表性的部分试验点(水平组合)4来进行试验。
图1中标有…9 ?个试验点，就是利用正交表L(3)从27个试验点中挑选出来的99个试验点。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验中的方差分析
因素的平均差方和 F= 误差平均差方和
5.对因素进行显著性检验： 5.对因素进行显著性检验： 对因素进行显著性检验 给出检验水平α（置信度），从F分布表中查找临界值Fα（f因， fe）。将其与上述计算出的F值比较，若F> Fα（f因，fe），说 明该因素对试验结果（试验指标）的影响显著，两个数差别 越大，说明该因素的显著性越大。
fT = n − 1
f因 = m − 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积: 即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 3.计算平均差方和（均方）： 计算平均差方和 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
一般有这样规律： F＞F0.01，因素影响非常非常显著，稍微变化即引起指标的 很大变化； F0.01≥F＞F0.05，因素影响非常显著； F0.05≥F＞F0.10，因素影响显著； F0.10≥F＞F0.25，因素有一定影响； F≤F0.25，看不出该因素对指标有什么影响。
正交试验设计的方差分析的步骤和格式
假设用正交表安排N个因素的正交试验， 假设用正交表安排 个因素的正交试验，试验总次数为n，试 个因素的正交试验 验结果（试验指标）分别为 假定每个因素取m 验结果（试验指标）分别为x1,x2,…，xn。假定每个因素取 个水平，每个水平做 次试验 次试验， 个水平，每个水平做p次试验，则n=mp。 。 那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行： 1.计算差方和（离差平方和）： 1.计算差方和（离差平方和）： 计算差方和 包括以下几部分：
那么因素A的差方和为：
正交试验设计中的方差分析
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一)正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A33个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B33个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C33个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
4)安排，试如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(3 验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-133试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）4)从27个试验点中挑选出来的来进行试验。
图1中标有‘9’个试验点，就是利用正交表L9(3 9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3(6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、 C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
(整理)正交试验结果的方差分析方法
正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。
等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。
(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。
显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。
即(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。
在数理统计上，这是一个很重要的问题。
显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。
如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。
因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。
有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正接安排考查资料的圆好领会之阳早格格创做正在本质处事中，时常需要共时观察 3个或者3个以上的考查果素，若举止周到考查，则考查的规模将很大，往往果考查条件的节造而易于真施.正接安排是安插多果素考查、觅供最劣火仄拉拢的一种下效用考查安排要领.第一节、正接安排本理战要领(一) 正接安排的基础观念正接安排是利用正接表去安插多果素考查、领会考查截止的一种安排要领.它从多果素考查的局部火仄拉拢中选择部分有代表性的火仄拉拢举止考查，通过对付那部分考查截止的领会相识周到考查的情况，找出最劣火仄拉拢.比圆，钻研氮、磷、钾肥施用量对付某小麦品种产量的效用：A果素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个火仄；B果素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个火仄；C果素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个火仄.那是一个3果素每个果素3火仄的考查，各果素的火仄之间局部大概的拉拢有27种.如果举止周到考查，不妨领会各果素的效力，接互效用，也可选出最劣火仄拉拢.但是周到考查包罗的火仄拉拢数较多，处事量大，由于受考查场合、经费等节造而易于真施 .如果考查的主要手段是觅供最劣火仄拉拢，则可利用正接安排去安插考查.正接安排的基础个性是：用部分考查去代替周到考查，通过对付部分考查截止的领会，相识周到考查的情况.正接考查是用部分考查去代替周到考查，它没有成能像周到考查那样对付各果素效力、接互效用一一领会；当接互效用存留时，有大概出现接互效用的混纯.如对付于上述3果素每个果素3火仄考查，若没有思量接互效用，可利用正接表L9(34)安插，考查规划仅包罗9个火仄拉拢，便能反映考查规划包罗27个火仄拉拢的周到考查的情况，找出最佳的死产条件.一、正接安排的基根源基本理表11-1 33考查的周到考查规划正接安排便是从周到考查面（火仄拉拢）中选择出有代表性的部分考查面（火仄拉拢）去举止考查.图1中标有‘9 ’个考查面，便是利用正接表L9(34)从27个考查面中选择出去的9个考查面.即：(1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3(4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2上述采用，包管了A果素的每个火仄与B果素、C 果素的各个火仄正在考查中各拆配一次.从图1中不妨瞅到，9个考查面分集是均衡的，正在坐圆体的每个仄里上有且仅有3个考查面；每二个仄里的接线上有且仅有1个考查面.9个考查面均衡天分集于所有坐圆体内，有很强的代表性，不妨比较周到天反映周到考查的基础情况.二、正接表及其个性(一) 正接表表11-2 是L8(27)正接表，其中“L”代表正接表；L 左下角的数字“8”表示有8止，用那弛正接表安插考查包罗8个处理 (火仄拉拢) ；括号内的底数“2” 表示果素的火仄数，括号内2的指数“7”表示有7列，用那弛正接表最多不妨安插7个2火仄果素.表11-2 L8(27)正接表2火仄正接表另有L4(23)、L16(215)等；3火仄正接表有L9(34)、L27(313) 、…、等.(二) 正接表的个性1、任一列中，分歧数字出现的次数相共比圆L8(27)中分歧数字惟有1战2，它们各出现4次；L9(34)中分歧数字有1、2战3，它们各出现3次 .2、任二列中，共一横止所组成的数字对付出现的次数相共比圆 L8(27)的任二列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现二次；L9(34)任二列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次.即每个果素的一个火仄与另一果素的各个火仄互碰次数相等，标明任性二列各个数字之间的拆配是匀称的.用正接表安插的考查，具备均衡分别战整齐可比的个性.均衡分别，是指用正接表选择出去的各果素火仄拉拢正在局部火仄拉拢中的分集是均衡的.由图11-1不妨瞅出，正在坐圆体中，任一仄里内皆包罗3 个考查面，任二仄里的接线上皆包罗1个考查面.整齐可比是指每一个果素的各火仄间具备可比性.果为正接表中每一果素的任一火仄下皆均衡天包罗着其余果素的各个火仄，当比较某果素分歧火通常，其余果素的效力皆相互对消.如正在A、B、C 3个果素中，A果素的3 个火仄A1、A2、A3条件下各有B、C 的3 个分歧火仄，即：正在那9个火仄拉拢中，A果素各火仄下包罗了B、C 果素的3个火仄，虽然拆配办法分歧，但是B、C皆处于共等职位，当比较A果素分歧火通常，B果素分歧火仄的效力相互对消，C果素分歧火仄的效力也相互对消.所以A果素3个火仄间具备可比性.共样，B、C果素3个火仄间亦具备可比性.(三) 正接表的类型1、相共火仄正接表各列中出现的最大数字相共的正接表称为相共火仄正接表.L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为二火仄正接表；L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3火仄正接表.2、混同火仄正接表各列中出现的最大数字没有真足相共的正接表称为混同火仄正接表.L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2. 也便是道该表不妨安插1个4火仄果素战4个2火仄果素.L16(44×23)，L16(4×212)等皆混同火仄正接表.三、正接安排要领【例11·1】某火稻栽培考查采用了3个火稻劣良品种(A)：二九矮、下二矮、窄叶青， 3种稀度(B)： 15、20、25（万苗/666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试采与正接安排安插一个考查规划.(一) 决定考查果素及其火仄, 列出果素火仄表表11-3 果素火仄表(二) 采用符合的正接表根据果素、火仄及需要观察的接互效用的几去采用符合的正接表.采用正接表的准则是：既要能安插下考查的局部果素(包罗需要考查的接互效用)，又要使部分火仄拉拢数（处理数）尽大概天少.普遍情况下，考查果素的火仄数应恰好等于正接表暗号中括号内的底数；果素的个数（包罗需要考查接互效用）应没有大于正接表暗号中括号内的指数；各果素及接互效用的自由度之战要小于所选正接表的总自由度，以便预计考查缺面.若各果素及接互效用的自由度之战等于所选正接表总自由度，则可采与有沉复正接考查去预计考查缺面.此例有3个3火仄果素，若没有观察接互效用，则各果素自由度之战为果素个数× (火仄数-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故不妨采用L9(34)；若要观察接互效用，则应采用L27(313)，此时所安插的考查规划本质上是周到考查规划.(三) 表头安排表头安排便是把选择出的果素战要观察的接互效用分别排进正接表的表头适合的列上.正在没有观察接互效用时，各果素可随机安插正在各列上；若观察接互效用，便应按该正接表的接互效用列表安插各果素与接互效用.此例没有观察接互效用，可将品种(A)、稀度(B)战施氮量(C)依次安插正在L9(34)的第1、2、3列上，第4 列为空列，睹表2-4.表11-4 表头安排L9（34）表头安排L8(27) 表头安排(四) 列出考查规划把正接表中安插果素的各列(没有包罗欲观察的接互效用列)中的每个数字依次换成该果素的本质火仄，便得到一个正接考查规划.表11-5 正接考查规划第二节正接考查资料的圆好领会若各号考查处理皆惟有一个瞅测值，则称之为单个瞅测值正接考查；若各号考查处理皆有二个或者二个以上瞅测值，则称之为有沉复瞅测值正接考查.一、单个瞅测值正接考查资料的圆好领会对付【例11-1】用L9(34)安插考查规划后，各号考查只举止一次，考查截止列于表2-6.试对付其举止圆好领会.表11-6 正接考查截止预计表T i为各果素共一火仄考查指标之战，T为9个考查号的考查指标之战；x为各果素共一火仄考查指目标仄衡数.该考查的9个瞅测值总变同由A果素、B果素、C果素及缺面变同4部分组成，果而举止圆好领会时仄圆战与自由度的领会式为：SS T = SS A + SS B + SS C+SSedf T = df A + df B + df C + dfe用n表示考查(处理)数；a、b、c表示A、B、C果素的火仄数；k a、k b、k c表示A、B、C果素的各火仄沉复数.本例，n=9、a=b=c=3、k a=k b=k c=3.1、预计各项仄圆战与自由度矫正数C = T2/n = 37112/9 = 1530169.00总仄圆战SST =Σx2-C=22+ (2)=21238.00A果素仄圆战SS A=Σ2T/k a-CA=222B果素仄圆战SS B= Σ2T/k b-CB222C果素仄圆战SS C=Σ2T/k c-CC222=5492.17缺面仄圆战SS e=SS T-SS A-SS B-SS C==3062.16总自由度df T=n-1=9-1=8A果素自由度df A=a-1=3-1=2B果素自由度df B=b-1=3-1=2C果素自由度df C=c-1=3-1=2缺面自由度df e= df T-df A-df B-df C= 8-2-2-2 = 22、列出圆好领会表，举止F考验表11-7圆好领会表F 考验截止标明，三个果素对付产量的效用皆没有隐著.究其本果大概是本例考查缺面大且缺面自由度小(仅为2)，使考验的敏捷度矮，进而掩盖了观察果素的隐著性.由于各果素对付删沉效用皆没有隐著，没有必再举止各果素火仄间的多沉比较.此时，可从表11-6中采用仄衡数大的火仄A2、B3、C3拉拢成最劣火仄拉拢 A2B3C3.若F考验截止3个果素对付考查指目标效用隐著或者极隐著，举止各果素火仄间多沉比较常采与SSR法.本例是采用相共火仄正接表L9(34)安插的考查，A、B、C 果素各火仄沉复数相共，即k a=k b=k c=3，它们的尺度误相共，即单个瞅测值正接考查资料的圆好领会，其缺面是由“空列”去预计的.然而“空列”本去没有空，本质上是被已观察的接互效用所吞噬.那种缺面既包罗考查缺面，也包罗接互效用，称为模型缺面.若接互效用没有存留，用模型缺面预计考查缺面是可止的；若果素间存留接互效用，则模型缺面会夸大考查缺面，有大概掩盖观察果素的隐著性.考查缺面应通过沉复考查值去预计.所以，举止正接考查最佳能有二次以上的沉复.正接考查的沉复，可采与真足随机或者随机区组安排.二、有沉复瞅测值正接考查资料的圆好领会【例11·4】为了探讨花死锈病药剂防治效验的是非，举止了药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3果素考查，各有3个火仄，采用正接表L9(342)睹表11—10，对付考查截止举止圆好领会.用r表示考查处理的沉复数(区组数)；n，a、b、c，k a、k b、k c的意思共上.此例 r=2； n=9， a=b=c=3， k a=k b=k c=3.表11-10 防治花死锈病药剂种类、浓度、剂量正接考查规划及截止预计表T i为各果素共一火仄考查指标之战，T为9个考查号的考查指标之战；x为各果素共一火仄考查指目标仄衡数.对付于有沉复、且沉复采与随机区组安排的正接考查，总变同不妨区分为处理间、区组间战缺面变同三部分，而处理间变同可进一步区分为A果素、B果素、C果素与模型缺面变同四部分.此时，仄圆战与自由度领会式为：SS T=SS t+SSr+SS e2df T = df t + df r + df e2而SS t=SS A+SSB+SS C+SS e1df t = df A + df B + df C + df e1于是SS T= SS A+SS B+SS C+SS r+SS e1+ SS e2df T = df A + df B + df C + df r + df e1 + df e2其中：SS r为区组间仄圆战；SS e1为模型缺面仄圆战；SS e2为考查缺面仄圆战；SS t为处理间仄圆战；df r、df e1、df e2、df t 为相映自由度.注意，对付于沉复采与真足随机安排的正接考查，正在仄圆战与自由度区分式中无 SS r、df r项.1、预计各项仄圆战与自由度矫正数C =T2/ r n =2/（2×总仄圆战SS T=Σx2-C=22+ (2)区组间仄圆战SS r=ΣT2r /n-C=22处理间仄圆战SS t = ΣT2t / r - C22+ (2)A果素仄圆战SS A = ΣT2A / k a r - C= 222)/(3×=B果素仄圆战SS B=ΣT2B / k b r - C222)/(3×=45.24C果素仄圆战SS C= ΣT2C / k c r - C=222)/(3×2) -16744.50=78.77模型缺面仄圆战SS e1= SS t– SS A– SS B - SS C=245.96- 25.72- 45.24.- 78.77= 96.23考查缺面仄圆战SS e2=SS T– SS r - SS t=246.62- 0.22- 245.96= 0.44总自由度 df T=rn-1=2×9-1=17区组自由度df r=r-1=2-1=1处理自由度df t=n-1=9-1=8A果素自由度df A=a-1=3-1=2B果素自由度df B=b-1=3-1=2C果素自由度df C=c-1=3-1=2模型缺面自由度 df e1 = df t-df A-df B-df C= 8-2-2-2= 2考查缺面自由度df e2=df T-df r-df t=17-1-8 = 82、列出圆好领会表，举止F考验表11-10 有沉复瞅测值正接考查资料的圆好领会表最先考验MS e1与MS e2好别的隐著性，若经F考验没有隐著，则可将其仄圆战与自由度分别合并，预计出合并的缺面均圆，举止F考验与多沉比较，以普及领会的粗度；若F考验隐著，证明存留接互效用，二者没有克没有及合并，此时只可以MS e2举止F考验与多沉比较.本例MS e1 / MS e2=802.00** ，模型缺面均圆MS e1与考查缺面均圆MS e2 好别极隐著，证明考查果素间接互效用极隐著，只可以考查缺面均圆MS e2举止F考验与多沉比较.F考验截止标明，药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3 果素对付花死产量皆有极隐著效用；区组间好别没有隐著.3、多沉比较(1) 若模型缺面隐著，证明考查果素间存留接互效用，各果素天圆列有大概出现接互效用的混纯，此时各考查果素火仄间的好别已没有克没有及真真反映果素的主效，果而举止各果素火仄间的多沉比较无多大本质意思，但是应举止考查处理间的多沉比较，以觅供最处理，即最劣火仄拉拢.举止各考查处理间多沉比较时采用考查缺面均圆MS e2.模型缺面隐著，还应进一步考查，以领会果素间的接互效用.(2) 若模型缺面没有隐著，证明考查果素间接互效用没有隐著，各果素天圆列有大概已出现接互效用的混纯，此时各果素火仄间的好别能真真反映果素的主效，果而举止各果素火仄间的多沉比较有本质意思，并从各果素火仄间的多沉比较中选出各果素的最劣火仄相拉拢，得到最劣火仄拉拢.举止各果素火仄间的多沉比较时，用合并的缺面均圆MSe=（SS e1+ SS e2）/（df e1+ df e2）此时可没有举止考查处理间的多沉比较.本例模型缺面极隐著，证明果素间存留接互效用，没有必举止各果素火仄间的多沉比较，应举止考查处理间的多沉比较，以觅供最处理，即最劣火仄拉拢.为了让读者相识多沉比较的要领，底下仍对付各果素火仄间、各考查处理间举止多沉比较.（1）A、B、C果素各火仄仄衡数的多沉比较表11-12 A果素各火仄仄衡数的多沉比较表(SSR法)表11-13 B果素各火仄仄衡数的多沉比较表(SSR法)表11-14 C果素各火仄仄衡数的多沉比较表(SSR法)果为由df e=8战k=2, 3, 查得SSR值并预计出LSR值列于表11-15.表11-15 SSR值与LSR值表多沉比较截止标明：A果素各火仄仄衡产量间、B果素各火仄仄衡产量间、C果素各火仄仄衡产量间好别隐著或者极隐著.各果素的最劣火仄为A1、B1、C2.注意，本例模型缺面隐著，考查果素间存留接互效用，没有宜从各果素火仄间的多沉比较中选出各果素的最劣火仄相拉拢去得到最劣火仄拉拢.（2）各考查处理仄衡数间的多沉比较表11-16 各考查处理仄衡数多沉比较表(LSD法)果为由df e=8, 查得t0.05(8)=2.306，t0.01(8)=3.355，预计出LSD值为：LSD0.05=0.245=0.565LSD0.01=0.245=0.822各考查处理间仄衡数多沉比较截止，除第2号考查处理与第7号考查处理、第3号考查处理与第6 号考查处理仄衡产量好别没有隐著中，其余各考查处理仄衡产量间好别极隐著或者隐著，最劣火仄拉拢为第2 号考查处理A1B2C2（或者第7号考查处理A3B1C3）本例模型缺面隐著，考查果素间存留接互效用，应以考查处理间的多沉比较觅供的最劣火仄拉拢，即第2号考查处理A1B2C2（或者第7号考查处理A3B1C3）为该考查的最劣火仄拉拢.。
正交法方差分析详解
先列出一个表格 三因素，三水平 正交表为4列，9行正交表的作用:对于同一个因素的任一个水平,当实验组合中含有这个水平时,其他的参数取值是均匀的,没有重复.如B 因素取90这个水平时有三个组合,这三个组合为可以看出,在B 因素取90时,A 和C 因素分别取了没有重复的三个变量，即均匀的。
这有什么好处，下面引出方差分析中一些假设1. 实验的结果有一个期望值E 0值，这个E 0 值是所用参数可能取值得到的计算结果的期望值，而且假设计算结果是满足正态分布的。
即),(~20σE N X i 。
注意：E 0 不是这9个计算结果的平均值，这9个计算结果只是所有可能结果的9个样本而已，我们就是在用着9个样本来分析总体2. 对于单个参数而言，由于单个参数的任一水平的计算结果只受该参数影响，而不受其他参数的影响，所以单个参数的计算结果的期望和方差都应该满足）（20,σE N ，1、2这两条实际是为方差分析服务的。
3. 至于说在正交法中单个参数的计算结果只受该参数影响，而不受其他两个参数取值的影响，涉及了另一个假设：假设各个参数对计算结果的影响是独立的，也就是说计算结果是3个参数的作用的加和，比如说在B=30，C=64时，A 取12对计算结果的贡献是8。
当B=32，C=40时，A 取12对计算结果的贡献还是8。
当然，这都是理想状态，参数之间的作用肯定是有互相影响滴，这种影响叫做交互作用，而且，每次试验都有误差的，不可能互相没有影响，两次试验中A 对计算结果的贡献肯定是不相等的。
我们在试验时一般不急于考虑交互作用，且在我们这个项目中交互作用的影响比较小，查的文献中直接对交互作用闭口不提，所以就不考虑了。
这样的话不就可以列出各个参数下的计算结果的表达式了以B=90这个例子为例。
X 1=31=Y(A=80)+Y ’(A=80)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=5) +Y ’(C=5) X 4=53=Y(A=85)+Y ’(A=85)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=6) +Y ’(C=6) X 7=57=Y(A=90)+Y ’(A=90)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=7) +Y ’(C=7)其中Y （A=80）是理想状态下A 取80对计算结果的贡献，Y ’(A=80)是A 取80对计算结果贡献的实验误差。
正交试验设计的方差分析
三.正交试验设计的方差分析 现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平 如表1和表2所示。
表1. 因素水平
因素 水平 一 二 A wH2SO4 (%) 20 25 B mCuSO4· 5H2O(g) 0.4 0.5 C mZn (g) 4 5
三
30
0.6
为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。 方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。
方差分析是把实验数据总的波动(即数据的总的偏差平方 和S总)分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动 (即因素的偏差平方和)，对本例而言仅为S wH2SO4；另一部分 反映实验误差引起的波动(即误差的偏差平方和Se)。即： (1) Se的计算
表3.实验结果分析 参与wH2SO4某一水平的实验编号 A1(20%) 1 4 7 A2 (25%) 2 5 8 平均值y A3 (30%) 3 6 9 10minH2产率 A1(20%) 32.62 34.97 36.62 34.74 A2 (25%) 40.40 36.53 39.19 38.71 A3 (30%) 41.07 45.75 44.53 43.78
在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子的自 由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。 例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 里0.1是信度。 在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握，若a=5%，那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的 有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
正交试验方差分析（通俗易懂）
正交试验⽅差分析（通俗易懂）第⼗⼀章正交设计试验资料的⽅差分析在实际⼯作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进⾏全⾯试验，则试验的规模将很⼤，往往因试验条件的限制⽽难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优⽔平组合的⼀种⾼效率试验设计⽅法。
第⼀节、正交设计原理和⽅法(⼀) 正交设计的基本概念正交设计是利⽤正交表来安排多因素试验、分析试验结果的⼀种设计⽅法。
它从多因素试验的全部⽔平组合中挑选部分有代表性的⽔平组合进⾏试验，通过对这部分试验结果的分析了解全⾯试验的情况，找出最优⽔平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施⽤量对某⼩麦品种产量的影响：A因素是氮肥施⽤量，设A1、A2、A3 3个⽔平；B因素是磷肥施⽤量，设B1、B2、B3 3个⽔平；C因素是钾肥施⽤量，设C1、C2、C3 3个⽔平。
这是⼀个3因素每个因素3⽔平的试验，各因素的⽔平之间全部可能的组合有27种。
^如果进⾏全⾯试验，可以分析各因素的效应，交互作⽤，也可选出最优⽔平组合。
但全⾯试验包含的⽔平组合数较多，⼯作量⼤，由于受试验场地、经费等限制⽽难于实施。
如果试验的主要⽬的是寻求最优⽔平组合，则可利⽤正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：⽤部分试验来代替全⾯试验，通过对部分试验结果的分析，了解全⾯试验的情况。
正交试验是⽤部分试验来代替全⾯试验，它不可能像全⾯试验那样对各因素效应、交互作⽤⼀⼀分析；当交互作⽤存在时，有可能出现交互作⽤的混杂。
如对于上述3因素每个因素3⽔平试验，若不考虑交互作⽤，可利⽤正交表L9(34)安排，试验⽅案仅包含9个⽔平组合，就能反映试验⽅案包含27个⽔平组合的全⾯试验的情况，找出最佳的⽣产条件。
⼀、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全⾯试验⽅案正交设计就是从全⾯试验点（⽔平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（⽔平组合）来进⾏试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利⽤正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析之袁州冬雪创作在实际工作中，常常需要同时考查 3个或3个以上的试验因素，若停止全口试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施.正交设计是安插多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法.第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是操纵正交表来安插多因素试验、分析试验成果的一种设计方法.它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合停止试验，通过对这部分试验成果的分析懂得全口试验的情况，找出最优水平组合.例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平.这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可以的组合有27种.如果停止全口试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合.但全口试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施 .如果试验的主要目标是寻求最优水平组合，则可操纵正交设计来安插试验.正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全口试验，通过对部分试验成果的分析，懂得全口试验的情况.正交试验是用部分试验来代替全口试验，它不成能像全口试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可以出现交互作用的混杂.如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不思索交互作用，可操纵正交表L9(34)安插，试验方案仅包含9个水平组合，就可以反映试验方案包含27个水平组合的全口试验的情况，找出最佳的生产条件.一、正交设计的基来历根基理表11-1 33试验的全口试验方案正交设计就是从全口试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来停止试验.图1中标有‘9 ’个试验点，就是操纵正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点.即：(1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3(4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2上述选择，包管了A因素的每个水平与B因素、 C 因素的各个水平在试验中各搭配一次.从图1中可以看到，9个试验点分布是平衡的，在立方体的每个平面上有且唯一3个试验点；每两个平面的交线上有且唯一1个试验点.9个试验点平衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，可以比较全面地反映全口试验的基本情况.二、正交表及其特性(一) 正交表表 11-2 是L8(27)正交表，其中“L”代表正交表；L 右下角的数字“8”暗示有8行，用这张正交表安插试验包含8个处理 (水平组合) ；括号内的底数“2” 暗示因素的水平数，括号内 2的指数“7”暗示有7列，用这张正交表最多可以安插7个2水平因素.表11-2 L8(27)正交表2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、…、等.(二) 正交表的特性1、任一列中，分歧数字出现的次数相同例如L8(27)中分歧数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中分歧数字有1、2和3，它们各出现3次 .2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相同例如 L8(27)的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；L9(34)任两列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次.即每个因素的一个水平与另外一因素的各个水平互碰次数相等，标明任意两列各个数字之间的搭配是平均的.用正交表安插的试验，具有平衡分散和整齐可比的特点.平衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是平衡的.由图11-1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含 3 个试验点，任两平面的交线上都包含1个试验点.整齐可比是指每个因素的各水平间具有可比性.因为正交表中每因素的任一水平下都平衡地包含着别的因素的各个水平，当比较某因素分歧水平时，其它因素的效应都彼此抵消.如在A、B、C 3个因素中，A因素的 3 个水平 A1、A2、A3条件下各有 B、C 的 3 个分歧水平，即：在这9个水平组合中，A因素各水平下包含了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式分歧，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素分歧水平时，B因素分歧水平的效应相互抵消，C因素分歧水平的效应也相互抵消.所以A因素3个水平间具有可比性.同样，B、C因素3个水平间亦具有可比性.(三) 正交表的种别1、相同水平正交表各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表.L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表.2、混合水平正交表各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表.L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2. 也就是说该表可以安插1个4水平因素和4个2水平因素.L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表.三、正交设计方法【例11·1】某水稻栽培试验选择了3个水稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青， 3种密度(B)： 15、20、25（万苗/666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试采取正交设计安插一个试验方案. (一) 确定试验因素及其水平, 列出因素水平表表11-3 因素水平表(二) 选用合适的正交表根据因素、水平及需要考查的交互作用的多少来选择合适的正交表.选用正交表的原则是：既要能安插下试验的全部因素(包含需要考查的交互作用)，又要使部分水平组合数（处理数）尽量地少.一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包含需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差.若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采取有重复正交试验来估计试验误差.此例有3个3水平因素，若不考查交互作用，则各因素自由度之和为因素个数× (水平数-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用L9(34)；若要考查交互作用，则应选用L27(313)，此时所安插的试验方案实际上是全口试验方案.(三) 表头设计表头设计就是把挑选出的因素和要考查的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上.在不考查交互作用时，各因素可随机安插在各列上；若考查交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安插各因素与交互作用.此例不考查交互作用，可将品种(A)、密度(B)和施氮量 (C)依次安插在L9(34)的第1、2、3列上，第4 列为空列，见表2-4.表11-4 表头设计L9（34）表头设计L8(27) 表头设计(四) 列出试验方案把正交表中安插因素的各列(不包含欲考查的交互作用列)中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案.表11-5 正交试验方案第二节正交试验资料的方差分析若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；若各号试验处理都有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观测值正交试验.一、单个观测值正交试验资料的方差分析对【例11-1】用L9(34)安插试验方案后，各号试验只停止一次，试验成果列于表2-6.试对其停止方差分析.表11-6 正交试验成果计算表T i为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；x为各因素同一水平试验指标的平均数.该试验的9个观测值总变异由A因素、B因素、C因素及误差变异4部分组成，因而停止方差分析时平方和与自由度的分解式为：SS T = SS A + SS B + SS C+SSedf T = df A + df B + df C + dfe用n暗示试验(处理)数；a、b、c暗示A、B、C因素的水平数；k a、k b、k c暗示A、B、C因素的各水平重复数.本例，n=9、a=b=c=3、k a=k b=k c=3.1、计算各项平方和与自由度改正数C = T2/n = 37112/9 = 1530169.00总平方和SST =Σx2-C=22+ (2)=21238.00A因素平方和SS A=Σ2T/k a-CA=222B因素平方和SS B= Σ2T/k b-CB222C因素平方和SS C=Σ2T/k c-CC222=5492.17误差平方和SS e=SS T-SS A-SS B-SS C==3062.16总自由度df T=n-1=9-1=8A因素自由度df A=a-1=3-1=2B因素自由度df B=b-1=3-1=2C因素自由度df C=c-1=3-1=2误差自由度df e= df T-df A-df B-df C= 8-2-2-2 = 22、列出方差分析表，停止F检验表11-7方差分析表F 检验成果标明，三个因素对产量的影响都不显著.究其原因可以是本例试验误差大且误差自由度小(仅为2)，使检验的活络度低，从而掩盖了考查因素的显著性.由于各因素对增重影响都不显著，不必再停止各因素水平间的多重比较.此时，可从表11-6中选择平均数大的水平A2、B3、C3组合成最优水平组合 A2B3C3.若F检验成果3个因素对试验指标的影响显著或极显著，停止各因素水平间多重比较常采取SSR法.本例是选用相同水平正交表 L9(34)安插的试验，A、B、C 因素各水平重复数相同，即k a=k b=k c=3，它们的尺度误相同，即单个观测值正交试验资料的方差分析，其误差是由“空列”来估计的.然而“空列”其实不空，实际上是被未考查的交互作用所占据.这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为模子误差.若交互作用不存在，用模子误差估计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模子误差会夸张试验误差，有可以掩盖考查因素的显著性.试验误差应通过重复试验值来估计.所以，停止正交试验最好能有二次以上的重复.正交试验的重复，可采取完全随机或随机区组设计.二、有重复观测值正交试验资料的方差分析【例11·4】为了探讨花生锈病药剂防治效果的好坏，停止了药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3因素试验，各有3个水平，选用正交表L9(342)见表11—10，对试验成果停止方差分析.用r暗示试验处理的重复数(区组数)；n，a、b、c，k a、k b、k c的意义同上.此例 r=2； n=9， a=b=c=3， k a=k b=k c=3.表11-10 防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验方案及成果计算表T i为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；x为各因素同一水平试验指标的平均数.对于有重复、且重复采取随机区组设计的正交试验，总变异可以划分为处理间、区组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为A因素、B因素、C因素与模子误差变异四部分.此时，平方和与自由度分解式为：SS T=SS t+SSr+SS e2df T = df t + df r + df e2而SS t=SS A+SSB+SS C+SS e1df t = df A + df B + df C + df e1于是SS T= SS A+SS B+SS C+SS r+SS e1+ SS e2df T = df A + df B + df C + df r + df e1 + df e2其中：SS r为区组间平方和；SS e1为模子误差平方和；SS e2为试验误差平方和；SS t为处理间平方和； df r、df e1、df e2、df t 为相应自由度.注意，对于重复采取完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无 SS r、df r项.1、计算各项平方和与自由度改正数C =T2/ r n =2/（2×总平方和SS T=Σx2-C=22+ (2)区组间平方和SS r=ΣT2r /n-C=22处理间平方和SS t = ΣT2t / r - C22+ (2)A因素平方和SS A = ΣT2A / k a r - C= 222)/(3×=B因素平方和SS B=ΣT2B / k b r - C222)/(3×=45.24C因素平方和SS C= ΣT2C / k c r - C=222)/(3×2) -16744.50=78.77模子误差平方和SS e1= SS t– SS A– SS B - SS C=245.96- 25.72- 45.24.- 78.77= 96.23试验误差平方和SS e2=SS T– SS r - SS t=246.62- 0.22- 245.96= 0.44总自由度 df T=rn-1=2×9-1=17区组自由度df r=r-1=2-1=1处理自由度df t=n-1=9-1=8A因素自由度df A=a-1=3-1=2B因素自由度df B=b-1=3-1=2C因素自由度df C=c-1=3-1=2模子误差自由度 df e1 = df t-df A-df B-df C= 8-2-2-2= 2试验误差自由度df e2=df T-df r-df t=17-1-8 = 82、列出方差分析表，停止F检验表11-10 有重复观测值正交试验资料的方差分析表首先检验MS e1与MS e2差别的显著性，若经F检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，停止F检验与多重比较，以提高分析的精度；若F 检验显著，说明存在交互作用，二者不克不及合并，此时只能以MS e2停止F检验与多重比较.本例MS e1 / MS e2=802.00** ，模子误差均方MS e1与试验误差均方MS e2 差别极显著，说明试验因素间交互作用极显著，只能以试验误差均方MS e2停止F检验与多重比较.F检验成果标明，药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3 因素对花生产量都有极显著影响；区组间差别不显著.3、多重比较(1) 若模子误差显著，说明试验因素间存在交互作用，各因素所在列有可以出现交互作用的混杂，此时各试验因素水平间的差别已不克不及真正反映因素的主效，因而停止各因素水平间的多重比较无多大实际意义，但应停止试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合.停止各试验处理间多重比较时选用试验误差均方MS e2.模子误差显著，还应进一步试验，以分析因素间的交互作用.(2) 若模子误差不显著，说明试验因素间交互作用不显著，各因素所在列有可以未出现交互作用的混杂，此时各因素水平间的差别能真正反映因素的主效，因而停止各因素水平间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合，得到最优水平组合.停止各因素水平间的多重比较时，用合并的误差均方MSe=（SS e1+ SS e2）/（df e1+ df e2）此时可不停止试验处理间的多重比较.本例模子误差极显著，说明因素间存在交互作用，不必停止各因素水平间的多重比较，应停止试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合.为了让读者懂得多重比较的方法，下面仍对各因素水平间、各试验处理间停止多重比较.（1）A、B、C因素各水平平均数的多重比较表11-12 A因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)表11-13 B因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)表11-14 C因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)因为由df e=8和k=2, 3, 查得SSR值并计算出LSR值列于表11-15.表11-15 SSR值与LSR值表多重比较成果标明：A因素各水平平均产量间、B因素各水平平均产量间、C因素各水平平均产量间差别显著或极显著.各因素的最优水平为A1、B1、C2.注意，本例模子误差显著，试验因素间存在交互作用，不宜从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合来得到最优水平组合.（2）各试验处理平均数间的多重比较表11-16 各试验处理平均数多重比较表(LSD法)因为由df e=8, 查得t0.05(8)=2.306，t0.01(8)=3.355，计算出LSD值为：LSD0.05=××0.245=0.565LSD0.01=××0.245=0.822各试验处理间平均数多重比较成果，除第2号试验处理与第7号试验处理、第3号试验处理与第 6 号试验处理平均产量差别不显著外，其余各试验处理平均产量间差别极显著或显著，最优水平组合为第 2 号试验处理A1B2C2（或第7号试验处理A3B1C3）本例模子误差显著，试验因素间存在交互作用，应以试验处理间的多重比较寻求的最优水平组合，即第2号试验处理 A1B2C2（或第7号试验处理 A3B1C3）为该试验的最优水平组合.。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差阐发之五兆芳芳创作在实际任务中，经常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的范围将很大，往往因试验条件的限制而难于实施.正交设计是安插多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计办法.第一节、正交设计原理和办法(一) 正交设计的根本概念正交设计是利用正交表来安插多因素试验、阐发试验结果的一种设计办法.它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的阐发了解全面试验的情况，找出最优水平组合.例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平.这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种.如果进行全面试验，可以阐发各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合.但全面试验包含的水平组合数较多，任务量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施 .如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安插试验.正交设计的根本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的阐发，了解全面试验的情况.正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不成能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一阐发；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的稠浊.如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安插，试验计划仅包含9个水平组合，就能反应试验计划包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件.一、正交设计的基来源根底理表11-1 33试验的全面试验计划正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验.图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点.即：(1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3(4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2上述选择，包管了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次.从图1中可以看到，9个试验点散布是均衡的，在立方体的每个平面上有且仅有3个试验点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点.9个试验点均衡地散布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反应全面试验的根本情况.二、正交表及其特性(一) 正交表表11-2 是L8(27)正交表，其中“L”代表正交表；L 右下角的数字“8”暗示有8行，用这张正交表安插试验包含8个处理 (水平组合) ；括号内的底数“2” 暗示因素的水平数，括号内2的指数“7”暗示有7列，用这张正交表最多可以安插7个2水平因素.表11-2 L8(27)正交表2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(313) 、…、等.(二) 正交表的特性1、任一列中，不合数字出现的次数相同例如L8(27)中不合数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不合数字有1、2和3，它们各出现3次 .2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数例如 L8(27)的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；L9(34)任两列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次.即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，标明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的.用正交表安插的试验，具有均衡分离和整齐可比的特点.均衡分离，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的散布是均衡的.由图11-1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含3 个试验点，任两平面的交线上都包含1个试验点.整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性.因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不合水平时，其它因素的效应都彼此抵消.如在A、B、C 3个因素中，A因素的3 个水平 A1、A2、A3条件下各有 B、C 的 3 个不合水平，即：在这9个水平组合中，A因素各水平下包含了B、C因素的3个水平，虽然搭配方法不合，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不合水平时，B因素不合水平的效应相互抵消，C因素不合水平的效应也相互抵消.所以A因素3个水平间具有可比性.同样，B、C因素3个水平间亦具有可(三) 正交表的类别1、相同水平正交表各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表.L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表.2、稠浊水平正交表各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为稠浊水平正交表.L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2. 也就是说该表可以安插1个4水平因素和4个2水平因素.L16(44×23)，L16(4×212)等都稠浊水平正交表.三、正交设计办法【例11·1】某水稻栽培试验选择了3个水稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青， 3种密度(B)： 15、20、25（万苗/666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试采取正交设计安插一个试验计划.(一) 确定试验因素及其水平, 列出因素水平表表11-3 因素水平表(二) 选用适合的正交表按照因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择适合的正交表.选用正交表的原则是：既要能安插下试验的全部因素(包含需要考查的交互作用)，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少.一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包含需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估量试验误差.若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采取有重复正交试验来估量试验误差.此例有3个3水平因素，若不考察交互作用，则各因素自由度之和为因素个数× (水平数-1) = 3 × (3-1) =6，小于L9(34)总自由度 9-1=8，故可以选用L9(34)；若要考察交互作用，则应选用L27(313)，此时所安插的试验计划实际上是全面试验计划.(三) 表头设计表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用辨别排入正交表的表头适当的列上.在不考察交互作用时，各因素可随机安插在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安插各因素与交互作用.此例不考察交互作用，可将品种(A)、密度(B)和施氮量(C)依次安插在L9(34)的第1、2、3列上，第4 列为空列，见表2-4.表11-4 表头设计L9（34）表头设计L8(27) 表头设计(四) 列出试验计划把正交表中安插因素的各列(不包含欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验计划.表11-5 正交试验计划第二节正交试验资料的方差阐发若各号试验处理都只有一个不雅测值，则称之为单个不雅测值正交试验；若各号试验处理都有两个或两个以上不雅测值，则称之为有重复不雅测值正交试验.一、单个不雅测值正交试验资料的方差阐发对【例11-1】用L9(34)安插试验计划后，各号试验只进行一次，试验结果列于表2-6.试对其进行方差阐发.表11-6 正交试验结果计较表T i为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；x为各因素同一水平试验指标的平均数.该试验的9个不雅测值总变异由A因素、B因素、C因素及误差变异4部分组成，因而进行方差阐发时平方和与自由度的分化式为：SS T = SS A + SS B + SS C+SSedf T = df A + df B + df C + dfe用n暗示试验(处理)数；a、b、c暗示A、B、C因素的水平数；k a、k b、k c暗示A、B、C因素的各水平重单数.本例，n=9、a=b=c=3、k a=k b=k c=3.1、计较各项平方和与自由度矫正数C = T2/n = 37112/9 = 1530169.00总平方和SST =Σx2-C=22+ (2)=21238.00A因素平方和SS A=Σ2T/k a-CA=222B因素平方和SS B= Σ2T/k b-CB222C因素平方和SS C=Σ2T/k c-CC222=5492.17误差平方和SS e=SS T-SS A-SS B-SS C==3062.16总自由度df T=n-1=9-1=8A因素自由度df A=a-1=3-1=2B因素自由度df B=b-1=3-1=2C因素自由度df C=c-1=3-1=2误差自由度df e= df T-df A-df B-df C= 8-2-2-2 = 22、列出方差阐发表，进行F查验表11-7方差阐发表F 查验结果标明，三个因素对产量的影响都不显著.究其原因可能是本例试验误差大且误差自由度小(仅为2)，使查验的灵敏度低，从而掩盖了考察因素的显著性.由于各因素对增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间的多重比较.此时，可从表11-6中选择平均数大的水平A2、B3、C3组分解最优水平组合 A2B3C3.若F查验结果3个因素对试验指标的影响显著或极显著，进行各因素水平间多重比较常采取SSR法.本例是选用相同水平正交表L9(34)安插的试验，A、B、C 因素各水平重单数相同，即k a=k b=k c=3，它们的尺度误相同，即单个不雅测值正交试验资料的方差阐发，其误差是由“空列”来估量的.然而“空列”其实不空，实际上是被未考察的交互作用所占据.这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为模型误差.若交互作用不存在，用模型误差估量试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性.试验误差应通太重复试验值来估量.所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复.正交试验的重复，可采取完全随机或随机区组设计.二、有重复不雅测值正交试验资料的方差阐发【例11·4】为了探讨花生锈病药剂防治效果的黑白，进行了药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3因素试验，各有3个水平，选用正交表L9(342)见表11—10，对试验结果进行方差阐发.用r暗示试验处理的重单数(区组数)；n，a、b、c，k a、k b、k c的意义同上.此例 r=2； n=9， a=b=c=3， k a=k b=k c=3.表11-10 防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验计划及结果计较表T i为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；x为各因素同一水平试验指标的平均数.对于有重复、且重复采取随机区组设计的正交试验，总变异可以划分为处理间、区组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为A因素、B因素、C因素与模型误差变异四部分.此时，平方和与自由度分化式为：SS T=SS t+SSr+SS e2df T = df t + df r + df e2而SS t=SS A+SSB+SS C+SS e1df t = df A + df B + df C + df e1于是SS T= SS A+SS B+SS C+SS r+SS e1+ SS e2df T = df A + df B + df C + df r + df e1 + df e2其中：SS r为区组间平方和；SS e1为模型误差平方和；SS e2为试验误差平方和；SS t为处理间平方和；df r、df e1、df e2、df t 为相应自由度.注意，对于重复采取完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无 SS r、df r项.1、计较各项平方和与自由度矫正数C =T2/ r n =2/（2×总平方和SS T=Σx2-C=22+ (2)区组间平方和SS r=ΣT2r /n-C=22处理间平方和SS t = ΣT2t / r - C22+ (2)A因素平方和SS A = ΣT2A / k a r - C= 222)/(3×=B因素平方和SS B=ΣT2B / k b r - C222)/(3×=45.24C因素平方和SS C= ΣT2C / k c r - C=222)/(3×2) -16744.50=78.77模型误差平方和SS e1= SS t– SS A– SS B - SS C=245.96- 25.72- 45.24.- 78.77= 96.23试验误差平方和SS e2=SS T– SS r - SS t=246.62- 0.22- 245.96= 0.44总自由度 df T=rn-1=2×9-1=17区组自由度df r=r-1=2-1=1处理自由度df t=n-1=9-1=8A因素自由度df A=a-1=3-1=2B因素自由度df B=b-1=3-1=2C因素自由度df C=c-1=3-1=2模型误差自由度 df e1 = df t-df A-df B-df C= 8-2-2-2= 2试验误差自由度df e2=df T-df r-df t=17-1-8 = 82、列出方差阐发表，进行F查验表11-10 有重复不雅测值正交试验资料的方差阐发表首先查验MS e1与MS e2差别的显著性，若经F查验不显著，则可将其平方和与自由度辨别归并，计较出归并的误差均方，进行F查验与多重比较，以提高阐发的精度；若F 查验显著，说明存在交互作用，两者不克不及归并，此时只能以MS e2进行F查验与多重比较.本例MS e1 / MS e2=802.00** ，模型误差均方MS e1与试验误差均方MS e2 差别极显著，说明试验因素间交互作用极显著，只能以试验误差均方MS e2进行F查验与多重比较.F查验结果标明，药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3 因素对花生产量都有极显著影响；区组间差别不显著.3、多重比较(1) 若模型误差显著，说明试验因素间存在交互作用，各因素所在列有可能出现交互作用的稠浊，此时各试验因素水平间的差别已不克不及真正反应因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较无多大实际意义，但应进行试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合.进行各试验处理间多重比较时选用试验误差均方MS e2.模型误差显著，还应进一步试验，以阐发因素间的交互作用.(2) 若模型误差不显著，说明试验因素间交互作用不显著，各因素所在列有可能未出现交互作用的稠浊，此时各因素水平间的差别能真正反应因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合，得到最优水平组合.进行各因素水平间的多重比较时，用归并的误差均方MSe=（SS e1+ SS e2）/（df e1+ df e2）此时可不进行试验处理间的多重比较.本例模型误差极显著，说明因素间存在交互作用，不必进行各因素水平间的多重比较，应进行试验处理间的多重比较，以寻求最处理，即最优水平组合.为了让读者了解多重比较的办法，下面仍对各因素水平间、各试验处理间进行多重比较.（1）A、B、C因素各水平平均数的多重比较表11-12 A因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)表11-13 B因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)表11-14 C因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)因为由df e=8和k=2, 3, 查得SSR值并计较出LSR值列于表11-15.表11-15 SSR值与LSR值表多重比较结果标明：A因素各水平平均产量间、B因素各水平平均产量间、C因素各水平平均产量间差别显著或极显著.各因素的最优水平为A1、B1、C2.注意，本例模型误差显著，试验因素间存在交互作用，不宜从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合来得到最优水平组合.（2）各试验处理平均数间的多重比较表11-16 各试验处理平均数多重比较表(LSD法)因为由df e=8, 查得t0.05(8)=2.306，t0.01(8)=3.355，计较出LSD值为：LSD0.05=0.245=0.565LSD0.01=0.245=0.822各试验处理间平均数多重比较结果，除第2号试验处理与第7号试验处理、第3号试验处理与第6 号试验处理平均产量差别不显著外，其余各试验处理平均产量间差别极显著或显著，最优水平组合为第2 号试验处理A1B2C2（或第7号试验处理A3B1C3）本例模型误差显著，试验因素间存在交互作用，应以试验处理间的多重比较寻求的最优水平组合，即第2号试验处理A1B2C2（或第7号试验处理A3B1C3）为该试验的最优水平组合.。
正交试验方差解析总结报告通俗易懂
适用标准文案第十一章正交设计试验资料的方差剖析在实质工作中，经常需要同时观察3个或3个以上的试验要素，假设进行全面试验，那么试验的规模将很大，常常因试验条件的限制而难于实行。
正交设计是安排多要素试验、追求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一)正交设计的根本观点正交设计是利用正交表来安排多要素试验、剖析试验结果的一种设计方法。
它从多要素试验的所有水平组合中精选局部有代表性的水平组合进行试验，经过对这局部试验结果的剖析认识全面试验的状况，找出最优水平组合。
比方，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A要素是氮肥施用量，设A1、A2、A33个水平；B要素是磷肥施用量，设B1、B2、B33个水平；C要素是钾肥施用量，设C1、C2、C33个水平。
这是一个3要素每个要素3水平的试验，各要素的水平之间所有可能的组合有27种。
假设进行全面试验，能够剖析各要素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数许多，工作量大，因为受试验场所、经费等限制而难于实行。
假设试验的主要目的是追求最优水平组合，那么可利用正交设计来安排试验。
正交设计的根本特色是：用局部试验来取代全面试验，经过对局部试验结果的剖析，认识全面试验的状况。
正交试验是用局部试验来取代全面试验，它不行能像全面试验那样对各要素效应、交互作用一一剖析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混淆。
如关于上述3要素每个要素3水平试验，假设不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反响试验方案包含27个水平组合的全面试验的状况，找出最正确的生产条件。
一、正交设计的基来源理表11-133试验的全面试验方案出色文档适用标准文案正交设计就是从全面试验点〔水平组合〕中精选出有代表性的局部试验点〔水平组合〕来进行试验。
图1中标有‘9’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中精选出来的个试验点。
正交试验方差分析(通俗易懂)
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。
正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。
第一节、正交设计原理和方法(一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。
它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。
例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平；C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。
这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。
但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。
如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。
正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。
正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。
如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。
一、正交设计的基本原理表11-1 33试验的全面试验方案正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。
图1中标有‘9 ’个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
即：(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3(4)A2B1C2(5)A2B2C3 (6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次。
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（2）计算误差的偏差平方和 对于误差的偏差平方和(Se)，可用正交表中未安排因素的空白列的偏差平方和 来计算。因为空白列未安排因素，它们的偏差平方和中不包括因素水平的变化所 引起的实验结果的误差，仅仅反映了实验误差的大小。 计算方法相同。 2、计算平均偏差平方和（简称均方和）
均方和=S/f
f为自由度，f=n-1 n为平方项的个数，就是数据的个数，如本实验中三个因素和误差都是3项，自 由度都为2。 3、计算F比（平均偏差平方和之比）
表2.实验方案及实验结果的直观分析（其数据 可用于方差分析）
列号 实验号
1 2 3 4 5 6 7 A wH2SO4 (%) 1 2 3 1 2 3 1 B mCuSO4· 5H2O(g) 1 1 1 2 2 2 3 C mZn (g) 1 2 3 3 1 2 2 空白列 2 1 3 1 3 2 3 10min内H2的 产率 32.62 40.40 41.07 34.97 36.53 45.75 36.62
8
9
2
3
3
3
3
1
2
1
39.19
44.53
列号 实验号
K1
K2 K3 4· 5H2O(g)
C mZn (g)
空白列
10min内H2的 产率
104.21
116.12 131.35 34.74 38.71 43.78 9.05
114.09
117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08
5、因素的显著性判断 设因素A的F比为FA： 当FA >F0. 01 (n1, n2 )时，说明该因素水平 的改变对实验结果有很显著的影响，记作**。 当FA >F0. 05 (n1, n2 )时，说明该因素水平 的改变对实验结果有显著的影响，记作*。 当FA >F0. 10 (n1, n2 )时，说明该因素水平 的改变对实验结果有一定的影响，记作O。 当FA <F0. 10 (n1, n2 )时，说明该因素水平 的改变对实验结果有影响不显著。
S因素
F比 = S
f因素 f 误差
误差
4、查F分布表，得到F比临界值。 在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子项的自由度，如本实验 中就是各因素的自由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母项的自由度， 如本实验中为误差的自由度；表中的数值即各种自由度情况下F比的临界 值。 常用的信度有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可在各 种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。 如本实验中 F0.10(2, 2)=9.00 ，F0.05(2, 2)=19.0 F0.01(2, 2)=99.01 计算及分析见电子表格
如A因素三个水平试验指标的和值为104.21，116.12，131.35，计算公式为 SA =∑（yi-y)2
y= (104.21+ 116.12+ 131.35)/3=117.23
SA=(104.21-117.23)^2+(116.12-117.23)^2+(131.35-117.23)计算时直接在电子表格中算就可以了。 就是将数据输入Excel，用DEVSQ（偏差平方和）函数算。详细见电子表格， 两个表格一个用了和值，一个用了均值，计算出的F比相同。一般就用均值来 算。
122.77
115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03
119.9
117.56 114.22 39.96 39.18 38.07 1.89
最佳实验条 件是A3B3C1
1、计算A、B、C三个因素和误差的偏差平方和 （1）计算A、B、C三个因素的偏差平方和(S)
计算时可以用K1、K2、K3的值，即某因素某水平的试验指标的和值，也可以 用某因素某水平的试验指标的均值，计算出的F比相同。