高三数学(理)导数与三角函数综合测试题答案
【高考数学】《三角函数与导数》的综合题(含答案)
2. 设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求实数a 的取值范围．.（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．1.【高考数学】《三角函数与导数》的综合题3. 已知函数，其中是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并求极值.4. 已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数． 证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．()22cos f x x x =+()()cos sin 22xg x e x x x =-+-2.71828e =L ()y f x =()()()()h x g x af x a R =-∈()h x5. 设函数()e cos (),x f x a x a R -=∈+6. 设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.7. 已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+2()3()cos 4(1sin )ln(3)x g x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.8. 已知函数()()()[]321,12cos .0,12xx f x x e g x ax x x x -=+=+++∈当时， （I ）求证：()11-;1x f x x≤≤+（II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围..微专题 三角函数与导数的综合题答案1. 解：（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()112g π=--=-即当0,2x 时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭ 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x = 又()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点 综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''==由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增 00h xh ，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'>⎪⎝⎭，()0h π'< 1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=->⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立 ④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 00h xh 可知()f x ax ≥不恒成立综上所述：(],0a ∈-∞2. 解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭． 故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加． 故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x xf x ax x =>>+．当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭g ≥． 因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．3. 解：（Ⅰ）易求： （Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )xh x ex x x a x x =-+--+，222y x ππ=--因为，令，则，所以在上单调递增.因为(0)0,m=所以当时，()0,m x>当0x<时，(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时取得极小值，极小值是；极大值为，当时取到极小值，极小值是；②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值；③当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上递增，在上递减，函数有极大值，也有极小值，()()()()cos sin22sin cos222sinx xh x e x x x e x x a x x'=-+-+--+--()()2sin2sinxe x x a x x=---()()2sinxe a x x=--()sinm x x x=-()1cos0m x x'=-≥()m x Rx>()0m x<a≤x e a-0>x<()0h x'<()h x0x>()0h x'>()h xx=()h x()021h a=--()()()2ln ln2ln sin ln cos ln2h a a a a a a⎡⎤=--+++⎣⎦x=()h x()021h a=--1a=ln0a=(),x∈-∞+∞()0h x'≥()h x(),-∞+∞1a>ln0a>(),0x∈-∞ln0x ae e-<()()0,h x h x'>()0,lnx a∈ln0x ae e-<()()0,h x h x'<()ln,x a∈+∞ln0x ae e->()()0,h x h x'>x=()h x()021h a=--lnx a=()h x()()()2ln ln2ln sin ln cos ln2h a a a a a a⎡⎤=--+++⎣⎦a≤()h x(),0-∞()0,+∞()h x()021h a=--01a<<()h x(),ln a-∞()0,ln a()0,+∞()ln,0a()h x4. 解（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n na a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= ∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =， 0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭，10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<，即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<，即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点 5.具体答案如下：6. 解：(Ⅰ)由已知，有()()'ecos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 递增. 所以()f x 的递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，()f x 的递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin x g x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n ny x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y .由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故：()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.7. 证明：（Ⅰ）∵当x ∈（0，）时，f′（x ）=﹣（1+sinx ）（π+2x ）﹣2x ﹣cosx ＜0，∴函数f （x ）在（0，）上为减函数，又f （0）=π﹣＞0，f （）=﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x 0∈（0，），使f （x 0）=0；（Ⅱ）考虑函数h （x ）=﹣4ln （3﹣x ），x ∈[，π]，令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，记函数u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），则u′（t）=﹣•=﹣=﹣==，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，∴u（t）在（0，x0]上无零点；在（x0，）上u（t）是减函数，且u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．8. （I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．。
高三数学三角函数综合试题答案及解析
高三数学三角函数综合试题答案及解析1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.3.函数的值域为．【答案】【解析】令，则.【考点】1、三角函数；2、二次函数；3、换元法.4.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，，，而，故，即．【考点】反正弦函数．5.已知函数.（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）函数的单调减区间是：；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将降次化一，化为的形式，然后利用正弦函数的单调区间，即可求得其单调递增区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又的范围为，由此可得的范围，进而求得的范围.试题解析：.函数的单调减区间是：.的范围为，所以，所以即：【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的单调区间及范围.6.如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.⑴求的长度；⑵在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？【答案】⑴;⑵当为时，取得最小值．【解析】⑴根据题中图形和条件不难想到作，垂足为，则可题中所有条件集中到两个直角三角形中，由，而在中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值;⑵由题意易得在两直角三角形中，可得，再由两角和的正切公式可求出的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出的最小值，即可确定出的最小值．试题解析：⑴作，垂足为，则，，设，则 2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为． 6分⑵设，则，． 8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值， 12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值． 14分【考点】1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用7.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得，得出，从而可求出角；（2）要求的范围，式子中有两个角不太好计算，可以先把两个角化为一个角，由（1），从而，再所其化为一个三角函数（这是解三角函数问题常用方法），下面只要注意这个范围即可．试题解析：1）∵垂直，∴（2分）由正弦定理得（4分）∵，∴，（6分）又∵∠B是钝角，∴∠B（7分）（2）（3分）由（1）知A∈（0，），, （4分），（6分）∴的取值范围是（7分）【考点】（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．8.已知向量，，(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问，利用向量的数量积将坐标代入得表达式，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，因为，所以得到，而所求中的角是的2倍，利用二倍角公式计算；第二问，利用余弦定理将已知转化，得到，得到，得到角的范围，代入到中求值域.试题解析：（Ⅰ）∵，而，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，即，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.9.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】B．【解析】，故选B．【考点】1．三角函数诱导公式；2．三角函数平方关系．10.在△ABC中，角均为锐角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【答案】D．【解析】又角均为锐角，则且中，，故选D．【考点】1．诱导公式；2．正弦函数的单调性．11.已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．【答案】（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求函数的最小正周期，由函数为常数），通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，从而可求函数的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图像，及，可求出的最小值，让最小值等于，可求出a的值．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期（Ⅱ）时，时，取得最小值【考点】三角函数的性质．12.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角，再化为一个三角函数的形式，从而求出函数的周期.（2）x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f（x）的范围是本题考查三角函数的单调性，最值，三角函数的化一公式，涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化，角度统一，二次式化为一次的，三角函数名称相互转化.切化弦，弦化切等数学思想.试题解析：(1) 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.13.下列命题中：函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________.【答案】②③④．【解析】当，等号成立时当且仅当“即”，显然不成立，则命题①不正确；在中，若，则或，则是等腰或直角三角形，故②正确；由，因为正实数，满足，所以，故③正确；如果是可导函数，若函数在处取到极值，则，当，，但函数在处无极值，则是函数在处取到极值的必要不充分条件，故④正确.【考点】基本不等式、三角函数性质、不等式及导数的性质.14.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角、、的对边, 其中为锐角,且,求和的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，再利用二倍角公式及辅助角公式将化简为；（2）将代入，得，因为，所以，再利用余弦定理，解出，最后根据三角形面积公式求出. 试题解析：（1）由题意所以.由（1），因为,所以，解得.又余弦定理，所以，解得，所以.【考点】1.三角函数恒等变形；2.三角函数周期；3.余弦定理及三角形面积公式.15.已知，，其中，若函数，且函数的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为．(l)求的值；(2)在△ABC中，以a，b，c(分别是角A，B，C的对边，且，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)先根据，结合二倍角公式以及和角公式化简，求得，函数最大值是，那么函数的图像与直线两相邻公共点间的距离正好是一个周期，然后根据求解的值；(2)先将代入函数的解析式得到：，由已知条件以及，结合三角函数的图像与性质可以解得，所以，由正弦定理得，那么的周长可以表示为：，由差角公式以及和角公式将此式化简整理得，，结合角的取值以及三角函数的图像与性质可得.试题解析：（1）， 3分∵，∴函数的周期，∵函数的图象与直线两相邻公共点间的距离为.∴，解得. 4分（2）由（Ⅰ）可知，，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得. 7分由正弦定理得：，所以周长为：， 10分，所以三角形周长的取值范围是. 12分【考点】1.和角公式；2.差角公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质；5.正弦定理16.已知向量，（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）本小题主要利用向量平行的坐标运算得到，然后解出，再利用二倍角正切公式可得；（Ⅱ）本小题首先化简函数解析式，然后根据三角函数的图像与性质，得到三角函数的取值范围，进而求值域；试题解析：（Ⅰ），， 2分即，， 4分6分（Ⅱ）=10分，12分，即 14分【考点】1.平行向量；2.三角函数的图像与性质.17.已知 .【答案】【解析】.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的拆角方法.18.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．19.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.20.取得最小值a时，此时x的值为b，则取得最大值时，的值等于________。
2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题(含解析)
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题.1. 已知复数112i z =+，则z 的虚部是（ ）A. 2B. 2iC. 2i 5-D. 25-【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.【详解】因为()()2112i 12i 12i 12i 12i 12i 14i 55z --====-++--，所以z 的虚部为25-.故选：D.2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）A.35B.23C.25D.13【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为112325C C 63C 105P ===.故选：A.3. 对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. ()1,1-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】分离参数，可得()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，即对任意的()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，故1m <，故m 的取值范围为(),1∞-.故选：B4. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.5. 设,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 33a b > B. ()lg 0a b ->C. 22a b > D. a b>【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A ，33a b a b >⇔>，故33a b >是a b >的充要条件；对于B ，由()lg 0a b ->得1a b >+，能推出a b >，反之不成立，所以()lg 0a b ->是a b >的充分不必要条件；对于C ，由22a b >无法得到,a b 之间的大小关系，反之也是，所以22a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D ，由a b >不能推出a b >，反之则成立，所以a b >是a b >的必要不充分条件．故选：B ．6. 定义在(0,)+∞上函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0xf x f x '-<，且(3)0f =，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A. (0,2)(2,3)⋃B. (0,2)(3,)+∞C. (0,2)(2,)⋃+∞D. (0,3)(3,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件构造函数()()f x g x x=，利用导数确定单调性，结合(3)0f =求解不等式即得.【详解】依题意，令()()f x g x x =，求导得2()()()0'-'=<xf x f x g x x，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，由(3)0f =，得(3)0g =，不等式(2)0(2)0(2)0()()()f x f x x g x x xx -<⇔-⋅<⇔-<，则20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即203x x <⎧⎨<<⎩或23x x >⎧⎨>⎩，解得02x <<或3x >，所以不等式(2)()0x f x -<解集为(0,2)(3,)+∞ .故选：B7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，的的故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =，2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点O ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】解：取AC 的中点O ，则,BO AC BO ⊥=，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11||||CA AB AB ⋅==，故点C 到直线1AB的距离为d ===故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()ln 1f x x =-，则下列判断正确的是（ ）A. 直线22exy =是()f x 过原点一条切线B. ()f x 关于y x =对称的函数是1e x y +=C. 过一点(),a b 可以有3条直线与()f x 相切D. ()2f x x ≤-【答案】ABD 【解析】【分析】由导数的几何意义可判定A ，由反函数的概念可判定B ，利用对数函数的图像可判定C ，利用常用的切线放缩可判定D.【详解】对于A ，设切点(),ln 1m m -，则()1ln 100m k f m m m --=='=-，∴1ln 1m m m-=⋅，∴ln 2m =，∴2e m =，切点()2e ,1所以过原点的切线方程为222e 1e ex xy y --=⇒=，∴A正确；的对于B ，由反函数的概念可得111ln ee y x y x x y +++=⇒=⇒=，故与()f x 关于y x =对称的函数为1e x y +=，∴B 正确；对于C ，当点(),a b 在()f x 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，如果在()f x 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C 正错误；对于D ，由于x +∀∈R ，设()()1ln 1x g x x x g x x'-=--⇒=，令()01g x x >'⇒>，令()001g x x <⇒<<'，∴()g x 在(1,+∞)上单调递增，在()01，上单调递减；∴()()()10ln 12g x g x x f x x ≥=⇒≤-⇒≤-，∴D 正确．故选：ABD10. 等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A. 若374a a +=，则918S =B. 若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=C. 若150S >，250S <，则2219a a <D. 若910S S =，则110S >【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，对于A ，()()193799922a a a a S ++==，计算即可；对于B ，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C ，结合数列单调性比大小；对于D ，由10a >，100a =，得()111116111102a a S a +==>.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，设公差为d ，若374a a +=，则()()19379991822a a a a S ++===，A 正确；若125a a +=，349a a +=，则()()3412954a a a a d +-+=-=，得1d =，27811251217a a a d a ++===++，B 正确；若()115158151502a a S a +==>，()1252513252502a a S a +==<，所以公差0d <，当90a >时，有190a a >>，则有2219a a >，当90a <时，有79820a a a +=>，得790a a >->，所以1790a a a >->>，则有2219a a >，C 错误；若910S S =，则100a =，因为10a >，所以()111116111102a a S a +==>，D 正确．故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点()2,0对称B. ()()352g g +=-C.20241()2024k g k ==-∑D.20241()0k f k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)0f x f x -++=，因此函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，A 正确；由()(2)g x f x ''=-，得()(2)g x f x a =-+，则(4)(2)g x f x a -=-+，又()(4)2f x g x --=，于是()(2)2f x f x a =-++，令1x =，得2a =-，即()(2)f x f x =-，则(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期函数，周期为4，对于B ，由()(2)2g x f x =--，得(3)(5)(1)2(3)24g g f f +=-+-=-，B 错误；对于C ，显然函数()g x 是周期为4的周期函数，(1)(3)(3)(5)4g g g g +=+=-，(2)(4)(0)2(2)24g g f f +=-+-=-，则2024411()506()506(8)4048k k g k g k ====⨯-=-∑∑，C 错误；对于D ，(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=，则2024411()506()0k k f k f k ====∑∑，D 正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 在5ax ⎛ ⎝展开式中2x 的系数为270-，则a 的值为__________.【答案】3-【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式的通项为()35255C 1r rrrxa--⋅-，令3522r -=，求得r 代入运算即可.【详解】因为展开式的通项为()()3552555C C ,0,1,2,3,,145rr r r rrrax x r a ---⎛⋅= ⎝=-，令3522r -=，解得2r =，因为2x 的系数为()5323211C 2700a a -=-=，解得3a =-.故答案为：3-.13. 函数2()ln 2f x x ax =+-在[1,2]内存在单调递增区间，则a 的取值范围是______.【答案】1(,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数()f x '，再利用()0f x '>在(1,2)内有解即可.【详解】函数2()ln 2f x x ax =+-，求导得1()2f x ax x'=+，由函数()f x 在[1,2]内存在单调递增区间，得不等式()0f x '>在(1,2)内有解，不等式21()02f x a x'>->⇔，而函数212y x =-在(1,2)上单调递增，当(1,2)x ∈时，21122x ->-，因此12a >-，所以a 的取值范围是1(,)2-+∞.故答案为：1(,)2-+∞14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数1y x=的图象是双曲线，它的实轴在直线y x =上，虚轴在直线y x =-上，实轴顶点是()()1,1,1,1--，焦点坐标是，(，已知函数y x =+e .则其在一象限内的焦点横坐标是__________，其离心率2e =__________.【答案】 ①.②.43【解析】【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标.【详解】直线y x =和y 轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线y =，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得2y x x y ⎧⎫=+⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线y x =，则双曲线的离心率e ==243e =，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为()00,x y ，则01x =，所以0x =，所以002y ==，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为2⎫⎪⎪⎭，.43.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15. 根据统计， 某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y (百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x (千克)之间 的对应数据的散点图如图所示．（1）从散点图可以看出， 可用线性回归方程拟合 y 与x 的关系， 请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度；（2）求 y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+， 并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：()()()121ˆˆˆnn i i i n i i x x y y x x y y r b ay bx x x ==----===--∑∑，．【答案】（1）r = ； y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强． （2） 1.50.7y x =+； 9.9 百千克．【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，再由0.75r >即可求解；（2）求出线性回归方程，再取12x =代入，即可求解.【小问1详解】由题知： 24568345675555x y ++++++++====，所以()()()()55522111142010i i i i i i i x x y y x x y y ===--=-=-=∑∑∑，，所以50.75x x y y r --===>所以 y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强．小问2详解】因为 ()()()51521140.70ˆ2i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx =-=-⨯=，所以 y 关于x 的线性回归方程为 1.507ˆ.yx =+，当 12x =时， 1.50.712ˆ9.9y=+⨯=．所以预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量为 9.9 百千克．16. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{b n }满足24log 1n n a b =+.（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【【答案】（1）41,2n n n a n b =+=（2）()16432n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，再结合24log 1n n a b =+即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由24log 141n n a b n =+=+，所以2n n b =.【小问2详解】由（1）知()412nn n a b n =+⋅()125292412nn T n =⨯+⨯+++ ()()23125292432412n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ①①-②得()21104242412n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅ ②()()()111412104412643212n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-，所以()16432n n T n +=+-⋅.17. 在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11AA A C =，2AC =，AC BC ⊥，11AA AC ⊥.（1）证明：1BB ⊥平面1A BC ；（2）若异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，求BC .【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到BC ⊥1AA ，结合11AA A C ⊥得到1AA ⊥平面1A BC ，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出1A P ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，设BC m =，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出m =，得到答案.【小问1详解】因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，AC BC ⊥，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11AAC C ，因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥1AA ，因为11AA A C ⊥，1A C BC C = ，1,AC BC ⊂平面1ABC ，所以1AA ⊥平面1A BC ，又1//BB 1AA ，所以1BB ⊥平面1A BC ；【小问2详解】取AC 的中点P ，连接1PA ，因为11AA A C =，所以1A P ⊥AC ，因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1A P ⊂平面11AAC C ，所以1A P ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接PH ，则//PH BC ，因为AC BC ⊥，所以PH ⊥AC ，故以P 为坐标原点，1,,PH PC PA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2AC =，所以1112A P AC ==，故()()()101,0,0,1,0,0,0,1A C A -，设BC m =，则(),1,0B m ，设()1,,B s t h ，由11AA BB = 得()()0,1,1,1,s m t h =--，解得,2,1s m t h ===，故()1,2,1B m ，()()11,3,1,0,1,1AB m CA ==- ，因为异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，所以11cos ,3AB =，解得m =，故BC =18. 已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．（1）若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a =（2（3）(]0,2【解析】【分析】（1）先求出点A 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点B 的坐标，进一步求出直线AB 方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t Aa H t t a -≠>，联立方程求出点Q 的坐标，根据4HQ >恒成立，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】抛物线Γ：24y x =的准线为1x =-，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a =⨯=>，解得a =【小问2详解】当4a =时，点A 的横坐标为2444=，则()4,4A ，设(),0B b ，则AB 的中点为4,22b +⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得24242b +=⨯，解得2b =-，所以B (−2,0)，则402423AB k -==+，由点斜式可得，直线AB 的方程为()223y x =+，即2340x y -+=，所以原点O 到直线AB =；【小问3详解】如图，设()22,,,,3,(0)44t a P t A a H t t a ⎛⎫⎛⎫-≠> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22444AP t a k t a t a -==+-，故直线AP 的方程为244a y a x t a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令3x =-，可得2434a y a t a ⎛⎫=-+⋅ ⎪+⎝⎭，即243,34a Q a t a ⎛⎫⎛⎫--+⋅ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则2434a HQ t a t a ⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭，依题意，24344a t a t a⎛⎫-++⋅> ⎪+⎝⎭恒成立，又2432204a t a a a t a⎛⎫+++⋅-≥-> ⎪+⎝⎭，则最小值为24a ->，即2a >+2a >+，则221244a a a +>++，解得02a <<，又当2a =时，1624442t t ++-≥-=+，当且仅当2t =时等号成立，而a t ≠，即当2a =时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(]0,2．19. 已知函数22()ln(1),(1,)2x f x x x x ax=+-∈-+∞++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当0a =时，试判断()f x 零点的个数，并说明理由；（3）是否存在实数a ，使(0)f 是()f x 的极大值，若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）388ln270x y -+-=；（2）1个，理由见解析；（3）存在，1{}6a ∈-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把0a =代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.（3）利用连续函数极大值意义求出a 值，再验证即可得解.【小问1详解】当1a =时，22()ln(1)2x f x x x x =+-++，求导得222142()1(2)x f x x x x -=-+++'，则3(1)8f '=，而1(1)ln22f =-，于是切线方程是13ln2)(1)(28x y -=--，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程388ln270x y -+-=.【小问2详解】当0a =时，24()ln(1)ln(1)222x f x x x x x=+-=++-++，的求导得22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =，所以函数()f x 有且仅有一个零点，是0.【小问3详解】由(0)f 是()f x 的极大值，得0,0m n ∃<>，使得当(,)x m n ∈时，220x ax ++>且()(0)f x f ≤恒成立，求导得22222(461)()(1)(2)x a x ax a f x x ax x '+++=+++，因此0x =是22()461h x a x ax a =+++的变号零点，即(0)0h =，解得16a =-，经检验，当16a =-时，322(24)()(1)(612)x x f x x x x -=+--'，则当(1,0)x ∈-时()0f x '>，当(0,24)x ∈时()0f x '<，于是(0)f 是()f x 的极大值，符合条件，所以a 的取值集合为1{}6-.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
高三数学导数试题答案及解析
高三数学导数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x)＝0【答案】C【解析】若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x)单调递减是错误的，D正确．2.已知集合，以下命题正确的序号是．①如果函数，其中，那么的最大值为。
②数列满足首项,，当且最大时，数列有2048个。
③数列满足，，，如果数列中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列一共有33个。
④已知直线，其中，而且，则一共可以得到不同的直线196条。
【答案】②③④【解析】①令，，则，所以，故不正确．②由条件知数列是首项为，公差为2的等差数列，则，则当时，，所以各有两种可能取值，因此满足条件的数列有个，故正确．③根据条件可知满足条件的数列可分为四类：（1），且，有9种；（2），且，有5种；（3），且，有10种；（4），且，有9种，共有9＋5＋10＋9＝33种．④满足的选法有，其中比值相同重复有14种，因此满足条件的直线共有210－14＝196．【考点】1、导数的计数；2、等差数列；3、计数原理．3.已知集合，以下命题正确的序号是．①如果函数，其中，那么的最大值为．②数列满足首项,，当且最大时，数列有2048个．③数列满足，，，如果数列中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列一共有33个．④已知直线，其中，而且，则一共可以得到不同的直线196条．【答案】②③④【解析】对①，将求导得：，所以．故错.对②，是一个等差数列，都是互为相反数的两个值，所以数列共有个．对③，由得.法一、由于，，故将加4个2，再减3个2即可.由于故不能连续加4次，也不能连续减3次，所以共有个.法二、因为，所以或，注意到数列中的每一项都是集合M的元素，依次下去可得.由于，所以.由此我们可得以下树图：，所以符合这些条件的不同数列一共有14+19＝33个．法三、由于或，，故可以分以下四种情况分别求解：.，共有9个；，共有5个；，共有10个；，共有9个.所以总共有33个.对④，从中取3个不同的数作为，因为，所以共有种取法.再排除其中重复的直线.与相同的有，多3条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多2条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条（注意这种情况在前面已经考虑了）；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条；与相同的有，多1条.一共可以得到不同的直线条．【考点】1、导数；2、数列；3、直线的方程；4、计数原理.4.曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 .【答案】【解析】∵，∴，所以切线方程为：，∴三角形面积为.【考点】1.利用导数求切线方程；2.三角形的面积公式.5.设是定义在R上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A．(-2,0) ∪(2,+∞)B．(-2,0) ∪(0,2)C．(-∞,-2)∪(2,+∞)D．(-∞,-2)∪(0,2)【答案】D【解析】根据和构造的函数在（0，+∞）上单调递减，又是定义在R上的奇函数，故是定义在R上单调递减.因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.复合函数的导数.6.曲线处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】切线斜率，故切线方程为，即，其和坐标轴围成的三角形面积，选A.【考点】导数的几何意义、直线方程.7.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为 .【答案】【解析】由题意知在有定义，即在恒成立，即，又在增，故在恒成立，因为，故，综上可知,.【考点】利用导数研究函数单调性、函数最值.8.已知函数，.(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. （注：是自然对数的底数）【答案】(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ)的取值范围是.【解析】(Ⅰ) 讨论去掉绝对值，利用导数求得最值； (Ⅱ) 对分，讨论：当时，，恒成立，所以；当时，对讨论去掉绝对值，分离出通过求函数的最值求得的范围.试题解析：(1) 若，则.当时，，，所以函数在上单调递增；当时，，.所以函数在区间上单调递减，所以在区间[1,e]上有最小值，又因为，，而，所以在区间上有最大值.(2)函数的定义域为．由，得．（*）（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立，所以；（ⅱ）当时，①当时，由得，即，现令，则，因为，所以，故在上单调递增，从而的最小值为，因为恒成立等价于，所以；②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.综上可得，满足条件的的取值范围是.【考点】绝对值的计算、函数的最值求法、利用导数求函数单调性.9.定义在上的函数同时满足以下条件：①函数在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③函数在处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若存在使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由三个条件可得三个等式，从而可求出三个未知数.（Ⅱ）一般地若存在使得，则;若存在使得，则.在本题中，由可得: .则大于的最小值.试题解析：（Ⅰ）,由题设可得:所以（Ⅱ）由得: 即:令由题意得:所以在单调递增,在上单调递减又,所以的最小值为【考点】函数的性质,导数的求法及应用.10.设，曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值;(2) 若，恒成立，求的范围.(3)求证：【答案】(1) 0. (2) .(3) 结合（2）时,成立.令得到，累加可得.【解析】(1)求导数，并由得到的值; (2)恒成立问题，往往转化成求函数的最值问题.本题中设，即转化成.利用导数研究函数的最值可得.(3) 结合（2）时,成立.令得到，累加可得.试题解析：(1) 2分由题设，，. 4分(2) ,，，即设，即.6分①若，，这与题设矛盾. 8分②若方程的判别式当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立. 9分当时，方程，其根，，当,单调递增，，与题设矛盾.综上所述， . 10分(3) 由(2)知,当时, 时,成立.不妨令所以，11分12分累加可得14分【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式.11.设函数 (R)，且该函数曲线在处的切线与轴平行.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：当时，.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当时，，在上单调递增，求出在上的最大值为和最小值，用最大值减去最小值可得结论.试题解析：（Ⅰ），由条件知，故则 3分于是.故当时，；当时，。
高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）
⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。
高三理科数学培优专题——三角函数(含答案)
三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
（2）角的配凑。
α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。
（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。
asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。
2.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值； （2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为 （ ）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A.15[,]24B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C．6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值； （Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅r r r（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程； （2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r（1）求角A 的大小； （2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分） 设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分[0,)απ∈Q 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭ (12)分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ (13)分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin α=，1cos 2α=， ………………2分 所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-. ………………5分 （Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． ……2分 所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266xx x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分2T =相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；2||T =πω ；()max min 12y y A =- ;φ----代点法 4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分 由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分 所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分 （2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为 22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 无范围讨论扣分所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分 令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=， …………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07sin 29x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2()2)2)2244x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分 所以20π122cos()1()43x +=-=……………………………………11分 所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知πsin()410A+=，ππ(,)42A∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()410A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cossin()sin4444A A+++31021025=-⋅+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ……… 3分因为0A p<<，所以sin0A¹.所以1cos2B=. ……… 5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，………………… 8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. …………… 13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=． 4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<xΘ，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ）Θ)32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b cbc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用 所以20bc ≤，当且仅当b c=时取“=” ． 取等条件别忘 所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤． 所以三角形面积的最大值为 ……………………13分11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b2+c 2-a 2=bc 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分 （Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分 又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =--o , …………………4分角关系 ………5分 （II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023BC =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分 由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ．∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。
高三导数及其应用测试题及答案解析
高三数学章末综合测试题导数及其应用一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.232．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．－14 C ．2D ．－125．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤36．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π48．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝3x －2C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋310．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( ) A ．在(－2,1)内f (x )是增函数 B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课标 第 一 网 C ．在(4,5)内f (x )是增函数 D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427 C ．－427、0 D ．0、－42712．若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．14．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．16．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________． ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减；②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值；④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值； (2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋bx，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线． (1)求a ，b 的值； (2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； (3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23解析：y ′＝x 2＋1，当x ＝1时，k ＝y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －43＝2(x －1)．当x ＝0时，y ＝－23，当y ＝0时，x ＝13.∴三角形的面积S ＝12×|－23|×13＝19.答案：A2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析：由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2. 令y ′＞0，即8x －1x 2＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增. 答案：B3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：据已知可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，故f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1.由两直线的位置关系可得－a2×1＝－1，解得a ＝2. 答案：D4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，X k b 1 . c o m f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4. 答案：A5．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤3解析：由f (x )＝x 3－ax ，得f ′(x )＝3x 2－a ， 由3x 2－a ≥0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立， 3x 2≥a ，∴a ≤3.若a ＜3，则f ′(x )＞0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立． 若a ＝3，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0恒成立． x ＝－1时，f ′(－1)＝0，∴a ≤3. 答案：D6．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)解析：由y ＝xf ′(x )的图像知±2是y ＝f ′(x )的两个零点，设f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)．当x ＞2时，xf ′(x )＝ax (x －2)(x ＋2)＞0，∴a ＞0.由f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)知，f (－2)是极大值，f (2)是极小值，故选D. 答案：D7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：由题意，得f ′(x )＝x 2＋f ′(1)x －f ′(2)， 令x ＝0，得f ′(0)＝－f ′(2)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1＋f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝1，∴f ′(0)＝－1，即f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为－1， ∴倾斜角为3π4.答案：D8．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图像知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )图像上任意一点切线的斜率在(0，＋∞)也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知，y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线斜率相同，故可排除B.故选D. 答案：D9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋3解析：令x ＝0，解得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x ＋2x －1＋cos x ，令x ＝0，解得f ′(0)＝1，故切线方程为y ＝x ＋1. 答案：C10．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( )A ．在(－2,1)内f (x )是增函数B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课 标 第 一 网C ．在(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值解析：在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数；同理，函数f (x )在(1,3)上也不是单调函数，在x ＝2的左侧，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－32，2上是增函数．在x ＝2的右侧，函数f (x )在(2,4)上是减函数，所以在x ＝2时，f (x )取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f (x )在这个区间上为增函数. 答案：C11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427C ．－427、0D ．0、－427解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13，或x ＝1.从而求得当x ＝13时，f (x )取极大值427；当x ＝1时，f (x )取极小值0.故选A.答案：A12．如右图，若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图像知f (1)＝3，f ′(1)＝1，故f (1)＋f ′(1)＝ 3＋1＝4. 答案：D第Ⅱ卷 (非选择 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________． 解析：设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[]－1，3， ∴0≤a ≤2.从而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34. 当a ＝12时，g (a )min ＝34；a ＝2时，g (a )max ＝3. 故P 点纵坐标范围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，314．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋2－2ax －a ＝－(2x ＋1)(ax －1)x ，x ∈(0，＋∞)．当a ≤0时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，F (x )≤0不可能恒成立． 当a ＞0时，令F ′(x )＝0，得x ＝1a ，或x ＝－12(舍去)．当0＜x ＜1a 时，F ′(x )＞0；当x ＞1a 时，F ′(x )＜0.故F (x )在(0，＋∞)上有最大值F ⎝⎛⎭⎫1a ，由题意F ⎝⎛⎭⎫1a ≤0恒成立，即ln 1a ＋1a －1≤0.令φ(a )＝ln 1a ＋1a －1，则φ(a )在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处有极值，故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，可知该切线斜率为2，即f ′(1)＝2，∴2a ＝2，得a ＝1.∴a ＋b ＝1＋0＝1. 答案：116．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．(填写正确命题的序号) ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值．解析：由图像可得，在区间(－3,1)内f (x )的导函数数值大于零，所以f (x )单调递增；在区间(1,7)内f (x )的导函数值小于零，所以f (x )单调递减；在x ＝－3左右的导函数符号不变，所以x ＝－3不是函数的极大值点；在x ＝7左右的导函数符号在由负到正，所以函数f (x )在x ＝7处有极小值．故②④正确． 答案：②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132＞0，故函数有极值点； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，故函数无极值点； 故b 的值为－11.(2)方法一：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 则F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． ∵x ≥0，F (a )在a ∈[－4，＋∞)上单调递增或为常数函数，∴得F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立，即b ≥(－3x 2＋8x )max ， 又－3x 2＋8x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －432＋163≤163， 当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，得b ≥163，故b 的最小值为163.方法二：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 即b ≥－3x 2－2ax 对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥(－3x 2－2ax )max . 令F (x )＝－3x 2－2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋a 23， ①当a ≥0时，F (x )max ＝0，于是b ≥0； ②当－4≤a ＜0时，F (x )max ＝a 23，于是b ≥a 23.又∵⎝⎛⎭⎫a 23max ＝163，∴b ≥163. 综上，b 的最小值为163.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0， ∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)恒成立．设g (x )＝x －3x 2，当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112.(2)由题意，知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，或x ＝－23.∵f (1)＝－32＋c ，f (－23)＝2227＋c ，f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c ＜c 2，解得c ＞2，或c ＜－1， 所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )．(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析：(1)当m ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又因为f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，则f ′(2)＝－625.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0. (2)f ′(x )＝2m (x 2＋1)－2x (2mx －m 2＋1)(x 2＋1)2＝－2(x －m )(mx ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1m ，x 2＝m .∵m ＞0，∴－1m＜m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－1m－1m ⎝⎛⎭⎫－1m ，m m (m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )递减极小值递增极大值递减从而f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－1m ，(m ，＋∞)内为减函数，在区间⎝⎛⎭⎫－1m ，m 内为增函数， 故函数f (x )在点x 1＝－1m 处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫－1m ，且f ⎝⎛⎭⎫－1m ＝－m 2，函数f (x )在点x 2＝m 处取得极大值f (m )，且f (m )＝1.20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x ，f ′(x )＝x ＋1x ＝x 2＋1x.对于x ∈[1，e]有f ′(x )＞0， ∴f (x )在区间[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝1＋e 22，f (x )min ＝f (1)＝12.(2)令g (x )＝f (x )－2ax ＝(a －12)x 2－2ax ＋ln x ，则g (x )的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方等价于g (x )＜0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∵g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x＝(2a －1)x 2－2ax ＋1x＝(x －1)[(2a －1)x －1]x，①若a ＞12，令g ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝12a －1，当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不符合题意； 当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上，有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不符合题意； ②若a ≤12，则有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只需满足g (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－12， 由此求得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 综上可知，当a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方． 21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．解析：(1)f (x )＝ln x 的图像与x 轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g (1)＝a ＋b ＝0.①又f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －b x 2， 且f (x )与g (x )在点(1,0)处有公共切线，∴g ′(1)＝f ′(1)＝1，即a －b ＝1.②由①②得，a ＝12，b ＝－12. (2)令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －12x ＝ln x －12x ＋12x， ∴F ′(x )＝1x －12－12x 2＝－12⎝⎛⎭⎫1x－12≤0. ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．当0＜x ＜1时，F (x )＞F (1)＝0，即f (x )＞g (x )；当x ＝1时，F (1)＝0，即f (x )＝g (x )；当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即f (x )＜g (x )．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43. 解析：(1)∵函数f (x )的图像关于原点对称，∴对任意实数x 有f (－x )＝－f (x )，∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ， 即bx 2－2d ＝0恒成立，∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，∵当x ＝1时，f (x )取极小值－23， ∴3a ＋c ＝0，且a ＋c ＝－23， 解得a ＝13，c ＝－1. (2)当x ∈[－1,1]时，图像上不存在这样的两点使结论成立． 假设图像上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x )＝x 2－1知，两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且(x 12－1)(x 22－1)＝－1.(*)∵x 1，x 2∈[－1,1]，∴x 12－1≤0，x 22－1≤0. ∴(x 12－1)(x 22－1)≥0.此与(*)相矛盾，故假设不成立．(3)f ′(x )＝x 2－1，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[－1,1]上是减函数，且f (x )max ＝f (－1)＝23，f (x )min ＝f (1)＝－23. ∴在[－1,1]上，|f (x )|≤23， 于是x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤23＋23＝43.。
高三数学综合测试卷(六)(解析版)
高三数学综合测试卷（六）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，则4334iz i +=−在复平面内对应的点为（）A. ()0,iB. (),0iC. ()0,1D. ()1,0【答案】C 【解析】【分析】利用复数除法运算计算求得z i ，由此得到对应点坐标.【详解】()()()()4334432534343425i i iiz i ii i +++====−−+，z ∴对应的点为()0,1.故选：C . 【点睛】本题考查复数对应点的坐标的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.2. 已知集合{}{}220,,2,Ax xx x R B x x k k Z =+−≤∈==∈，则A B 等于A. {0,1}B. {2,0}−C. {1,0}−D. {}4,2−−【答案】B 【解析】【分析】：先解A 、B 集合，再取并集．【详解】：先解{}{}220,21,2,2,0,2Ax xx x R x B x x k k Z x =+−≤∈⇔−≤≤==∈⇔=−，故选B3. 已知函数()37sin f x x x x =−−+，若()()220f a f a +−>，则实数a 的取值范围是A. (),1−∞B. (),3−∞C. ()1,2−D. ()2,1−【答案】D 【解析】【分析】先研究函数()f x 奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简不等式()()220f a f a +−>，解得实数a 的取值范围.【详解】因为()()37sin ,f x x x x f x −=+−=−2()37cos 0f x x x =−−+<′ ,所以()f x 为奇函数，且在R 上单调递减，因为()()220f af a +−>，所以()()()2222,2,21f a f a f a a a a >−−=−<−−<<，选D.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.4. 直线1y kx =+与曲线()1f x a nx b =+相切于点(1,2)P ,则a b +=A. 1B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【详解】分析：求出函数()f x 的导函数，得到1f ′（）的值，由直线1y kx =+与曲线()1f x a nx b =+相切于点()1,2P 列关于a b k ，，的方程组，求出a b ，的值后得答案．详解：由()1f x a nx b =+，得()af x x′=1f a ∴′=（）． 再由直线1y kx =+与曲线()1f x a nx b =+相切于点()1,2P ,，得11,1,22k a k k b a b b+∴＝＝＝＝＝＝ 3a b ∴+=．故选C.点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，曲线在某点处的导数，就是在该点处的切线的斜率，是中档题．5. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin4y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（） A.18B.19C.116D.118【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数最小正周期可得圆O 半径，利用几何概型面积型公式计算可得结果. 【详解】2sin4y x π=的最小正周期为284T ππ==，∴圆O 半径为42T=； ∴在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率2221148p ππ×==×.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型面积型的概率问题的求解，关键是能够利用正弦型函数的最小正周期求得大圆半径. 6. 函数2sin ()ln2sin −=+xf x x x的部分图象可能是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先由奇偶性的概念，判断()f x 是偶函数，排除C 、D ；再由0,2x π ∈，()f x的正负，排除B ，进而可得出结果.【详解】因为()()12sin 2sin 2sin ln ln ln 2sin 2sin 2sin x x x f x x x x f x x x x −+−−−=−=−==−++，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C 、D ；当0,2x π∈时，[]sin 0,1∈x ，2sin 012sin −<<+x x ，2sin ln 02sin −<+x x ， 即()0f x <，故排除B ，选A ．【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性，三角函数的图象及其性质，对数函数的性质等，即可，属于常考题型.7. 2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，M 、N 两社区需要招募义务宣传员，现有A 、B 、C 、D 、E 、F 六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M 、N 两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生，且B 由于工作原因只能派往M 社区，则不同的选派方案种数为（）A. 60B. 90C. 120D. 150【答案】A 【解析】【分析】将问题分为N 社区选派4人和5人两种情况，分别计算出两种情况下的选派方案种数，根据分类加法计数原理可求得结果.【详解】将选派方案分为N 社区选派4人和5人两种情况，当N 社区选派4人时，必由1名党员教师，3位大学生构成，共有：133530C C =种选派方案； 当N 社区选派5人时，必由2名党员教师，3位大学生构成，共有：233530C C =种选派方案；由分类加法计数原理可知：不同的选派方案种数有303060+=种.故选：A . 【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，关键是能够将所给问题进行准确分类；本题易错点是忽略每个社区大学生人数的最低要求，造成求解错误.8. 已知{}n a 的前n 项和241n S n n =−+，则1210a a a +++= A. 68B. 67C. 61D. 60【答案】B 【解析】【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n −= = −≥ 求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S −即可得到答案．【详解】当1n =时，112S a ==−；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S nn n n n − =−=−+−−−−+=−，故2,125,2n n a n n −==−≥；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >.因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=−+++++=−=−×−= .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n −=−≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9. 已知抛物线C ：216y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，若抛物线C 上存在一点B 使AB =，则AB =（）A.B. 8C. D. 4【答案】A 【解析】【分析】过B 作准线l 的垂线，垂足为C ，结合抛物线定义、长度和平行关系可得4BAF ABC π∠=∠=，在ABF △中，利用余弦定理可构造方程求得结果.【详解】过B 作准线l 的垂线，垂足为C ，则由抛物线定义可知：BF BC =AB = AB ∴=BC l ⊥，4ABC π∴∠=，//BC x 轴，4BAF ABC π∴∠=∠=，在ABF △中，由余弦定理得：2222cos BFAF AB AF AB BAF =+−⋅∠， 由抛物线方程知：8AF =，2264216BFBF BF ∴=+−，解得：8BF =，AB ∴=故选：A .【点睛】本题考查抛物线中的线段长度的求解问题，涉及到抛物线定义和余弦定理的应用；解题关键是能够根据抛物线定义和长度关系确定角的大小.10. 已知()1f x x =+，()ln g x x =，若12()()f x g x =，则21x x −的最小值为 A. 1B. 2C. 2ln 2−D. 2ln 2+【答案】B 【解析】【分析】设()()12f x g x t ==，所以11x t =−，2t x e =，所以211t x x e t −−+，构建新函数，研究单调性与最值即可.【详解】设()()12f x g x t ==，所以11x t =−，2t x e =，所以211t x x e t −−+，令()1th t e t −+，则()'1t h t e =−，所以()h t 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()()min 02h t h ==.故选B【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．11. 已知MN 是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN ⋅的取值范围为（） A. []0,4B. []0,2C. []1,4D. []1,2【答案】B 【解析】【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得21PM PN PO ⋅=− ，根据正方体的特点确定PO最大值和最小值，即可求解【详解】设正方体内切球的球心为O ，则1OMON ==, ()()()2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON ⋅=+⋅+=+⋅++⋅,因为MN 是正方体内切球的一条直径，所以0OM ON +=，1OM ON ⋅=−，所以21PM PN PO ⋅=− ，又点Р在正方体表面上运动，所以当P 为正方体顶点时，PO 最大，当P 为内切球与正方体的切点时，PO最小 ，且最小为1； 所以2012PO ≤−≤ ，所以PM PN ⋅的取值范围为[]0,2，故选：B11*. 在正三棱锥−P ABC 中，M 、N 分别是PC 、BC 中点，AM MN ⊥，PA =，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（）A. 12πB.C. 36πD.【答案】C 【解析】【分析】由线面垂直的判定方法可证得PB ⊥平面PAC ，由线面垂直性质和正三棱锥的特点可知,,PA PB PC 两两互相垂直，由此可将三棱锥补为正方体，求解正方体的外接球表面积即为所求结果.【详解】取AC 中点D ，连接,PD BD ，,M N 分别为,PC BC 中点，//MN PB ∴，又MN AM ⊥，PB AM ∴⊥，三棱锥−P ABC 为正三棱锥，PA PC ∴=，BA BC =，又D 为AC 中点，PD AC ∴⊥，BD AC ⊥，又,PD BD ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ，PB ⊂ 平面PBD ，AC PB ∴⊥，,AC AM ⊂ 平面PAC ，AC AM A ∩=，PB ∴⊥平面PAC ，,PA PC ⊂ 平面PAC ，PB PA ∴⊥，PB PC ⊥，则由正三棱锥特点得PC PA ⊥，∴可将三棱锥−P ABC 补成以,,PA PB PC 为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥−P ABC 的外接球，∴外接球半径1632R =×=，∴外接球的表面积2436S R ππ=.故选：C .【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够根据垂直关系得到三棱锥顶点处的两两垂直关系，进而通过补为正方体的方式来进行求解.12. 已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ′，若()()2sin f x f x x =−−，且当0x ≥时，()cos 0f x x ′+<，则不等式()sin cos 2f x f x x x π+>+−的解集为（）A. ,2π−∞B. ,2π +∞C. ,4π−∞−D. ,4π−+∞【答案】C 【解析】【分析】令()()sin g x f x x =+，可根据已知等式验证出()g x 为偶函数，同时根据导数得到()g x 的单调性；将所求不等式转化为()2g x g x π+>，根据单调性可得到2x x π+<，解不等式求得结果.【详解】令()()sin g x f x x =+，则()()sin g x f x x −=−−，()()2sin f x f x x =−− ，()()sin sin f x x f x x ∴+=−−，()()g x g x ∴−=，()g x ∴为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，()()cos 0g x f x x ′′=+<，()g x ∴在[)0,∞+上单调递减， 又()g x 为偶函数，()g x ∴在(],0−∞上单调递增.由()sin cos 2f x f x x x π+>+−得： ()cos sin sin 222f x x f x x f x x πππ +++++>+，即()2g x g x π+> ，2x x π∴+<，解得：4x π<−，即不等式的解集为,4π−∞−.故选：C . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知识；解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较，再根据单调性转化为自变量之间的大小关系.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知()0,0O ，()1,2A ，()3,1B −，若向量m OA ∥，且m 与OB 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m 的坐标为______．【答案】()1,2−−【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解. 【详解】根据题意可得：()1,2OA =，()3,1OB=− ，设(),m x y =，因为向量m OA∥，且m 与OB的夹角为钝角，所以123(1)03(1)y xx y y x ⋅=⋅⋅+−⋅< ⋅≠−⋅所以0x <，不妨令1,x =−所以2,y =−()1,2m =−− ，故答案为：()1,2−−.14. 在812x x−的展开式中,下列说法正确的是 （选出所有正确选项）①．常数项是1120②．第四项和第六项的系数相等 ③．各项的二项式系数之和为256④．各项的系数之和为25615. 已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足14f π =，02f =π，且()f x 在区间,43ππ上单调，则ω取值的个数有______个．【答案】3【解析】【分析】根据最大值点和零点可确定()21T k Z k π=∈+，由此得到42k ω=+；根据单调性可知6T π>，解出012ω<<，由此得到ω所有可能的取值.【详解】()max 1f x = ，()2442T kT k Z ππ∴−=+∈，解得：()21T k Z k π=∈+， 即()221k Z k ππω=∈+，()42k k Z ω∴=+∈；()f x 在,43ππ上单调，342T ππ∴−<，即6T π>，26ππω∴>，解得：012ω<<，2ω∴=，6或10，ω∴取值的个数有3个.故答案为：3. 【点睛】本题考查根据正弦型函数的单调性、周期性求解参数值的问题；关键是能够通过最值点和零点确定周期、根据单调性确定周期所处的范围.16．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分17. 在ABC 中，D 是BC 中点，5AC =，2AD =，229cos 4cos 50ABD ADB ∠−∠−=． （Ⅰ）求sin sin ABDADB∠∠及AB ；（Ⅱ）求角C 的余弦值．【答案】（Ⅰ）sin 2sin 3ABD ADB ∠=∠，3AB =；（Ⅱ．【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数平方关系可化简已知等式得到sin 2sin 3ABD ADB ∠=∠，利用正弦定理角化边可得32AD AB =，从而求得AB ；（Ⅱ）设2BC x =，在ABD △和ACD 中利用余弦定理可构造方程求得x ，在ACD 中利用余弦定理可求得结果.【详解】（Ⅰ）由题意得：()()2291sin 41sin 50ABD ADB −∠−−∠−=，229sin 4sin ABD ADB ∴∠=∠， ()0,ABD π∠∈ ，()0,ADB π∠∈，sin 0ABD ∴∠>，sin 0ADB ∠> 3sin 2sin ABD ADB ∴∠=∠，即sin 2sin 3ABD ADB ∠=∠，由正弦定理得：32AD AB =，即322AB ×=，3AB ∴=；（Ⅱ）设2BC x =，则BD DC x ==，在ABD △中，2223222cos x x ADB +−⋅⋅⋅∠…①， 在ACD 中，2225222cos x x ADC +−⋅⋅⋅∠2422cos x x ADB =++⋅⋅⋅∠…②，①+②得：()225924x +=+，解得：x =CD =，在ACD 中，cos C=． 【点睛】本题考查解三角形的相关问题的求解，涉及到余弦定理解三角形、正弦定理角化边的应用等知识，属于常考题型.18. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥侧面11BB C C ，2BC =，14BB =，AB =160BCC ∠=°． （Ⅰ）求证：平面11A C B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若E 为1CC 中点，求二面角11A EB C −−的正切值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）． 【解析】【分析】（Ⅰ）根据勾股定理、线面垂直性质和线面垂直的判定定理可证得1C B ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理可证得结论；（Ⅱ）以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.【详解】（Ⅰ）证明：2BC = ，14CC =，160BCC ∠=，由余弦定理可得：1BC =， 22211BC BC CC ∴+=，190CBC ∴∠= ，即1C B CB ⊥，又AB ⊥面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C ，1C B AB ∴⊥，又AB CB B = ，,AB BC ⊂平面ABC ，1C B ∴⊥平面ABC ，1C B ⊂ 平面11A C B ，∴平面11A C B ⊥平面ABC ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线BC 、1BC 、BA 两两垂直，则以B 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0B ，()2,0,0C，()10,C，()12,B −，()E，(00A ,，(AE →∴=，(12,AB →=−， 设平面1AEB 的一个法向量为(),,n x y z →=，则1020n AE x n AB x ⋅=+−= ⋅=−+−= ，令x =则3y =，4z =，)4n →∴，AB ⊥ 侧面11BB C C ，∴平面11EB C 的一个法向量为()0,0,1m →=，cos ,n m n m n m →→→→→→⋅∴<>==⋅tan ,n m →→∴<>= 二面角11A EB C −−为钝二面角，∴二面角11A EB C −−的正切值为. 【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到勾股定理、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定定理等知识的应用；易错点是忽略二面角为钝二面角，造成所求三角函数值的符号出现错误.19. 某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三理科数学试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的理科考生中随机抽取了100名考生的数学成绩（满分150分），将数据分成9组：[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150，并整理得到如图所示的频率分布直方图．用统计的方法得到样本标准差20σ=，以频率值作为概率估计值．（Ⅰ）根据频率分布直方图，求抽取的100名理科考生数学成绩的平均分x 及众数y ；（Ⅱ）用频率估计概率，从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取3个，记理科数学成绩位于区间[)100,120内的个数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ；（Ⅲ）从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份，记其成绩为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）：①()0.6827P X µσµσ−<<+≥，②()220.9545P X µσµσ−<<+≥， ③()330.9973P X µσµσ−<<+≥，其中x µ=．评判规则：若至少满足以上两个不等式，则给予这套试卷好评，否则差评．试问：这套试卷得到好评还是差评？ 【答案】（Ⅰ）平均分105x =，众数105y =；（Ⅱ）分布列详见解析，6()5E Y =；（Ⅲ）得到好评． 【解析】【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图估计平均数和众数的方法可直接求得结果； （Ⅱ）根据频率分布直方图计算可知理科数学成绩位于[)100,120内的概率为25，则23,5Y B，由此计算出Y 的每个取值对应的概率，由此得到分布列；由二项分布数学期望计算公式计算可得()E Y ； （Ⅲ）计算每个区间取值所对应的概率与3σ原则所对应的概率之间的大小关系，从而得到结论. 【详解】（Ⅰ）650.06750.06850.1950.141050.221150.181250.16x ×+×+×+××+×=+×+1350.061450.02105+×+×=；众数：1001101052y+=；（Ⅱ）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理科数学成绩中随机抽取1个，理科数学成绩位于[)100,120内的概率为20.220.180.405+==，则随机变量Y 服从二项分布23,5Y B，故3323()(0,1,2,3)55kkk P Y k C k −==××=．由题意知：Y 所有可能的取值为0,1,2,3，()332705125P Y ∴=== ；()2132354155125P Y C ==×=；()2232336255125P Y C ==×= ；()32835125P Y ===；Y ∴的分布列为：数学期望()26355E Y =×=； （Ⅲ）记该市高三考生的理科数学成绩为X ，由（Ⅰ）可知，105x µ==，又20σ=，则1052085µσ−=−=，10520125µσ+=+=，210522065µσ−=−×=， 2105220145µσ+=+×=，310532045µσ−=−×=，3105320165µσ+=+×=，()()0.0585120.140.220.180.085P X P X µσµσ∴−=++++<<+=<<=0.670.6827<， ()()226514510.030.010.960.9545P X P X µσµσ−<<+=<<=−−=>， ()()334516510.9973P X P X µσµσ−<<+=<<=>，符合②③，不符合①，∴这套试卷得到好评．【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体数据特征、二项分布的分布列与数学期望的求解、正态分布的实际应用等知识；求解分布列和数学期望的关键是能够明确随机变量所服从的分布类型，进而计算出每个取值对应的概率.20. 如图，已知12MF F △的两顶点坐标()11,0F −，()21,0F ，圆E 是12MF F △的内切圆，在边1MF ，2MF ，12F F 上的切点分别为P ，Q ，R ，1MP =．（Ⅰ）求证：12MF MF +为定值，并求出动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过1F 的斜率不为零直线交曲线C 于A 、B 两点，求证：11F A F BBA ⋅为定值．【答案】（Ⅰ）证明详见解析，曲线C 的方程为221(0)43x y y +=≠；（Ⅱ）详见解析． 【解析】【分析】（Ⅰ）利用切线长相等可求得124MF MF +=；根据椭圆定义可知动点M 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆（不含椭圆与x 轴的交点），进而求得结果；（Ⅱ）设AB 的方程为1x my =−，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得AB ，根据平面向量数量积运算求得11F A F B →→⋅，进而求得1134F A F B AB ⋅=. 【详解】（Ⅰ）由题意得：MP MQ =，11F P F R =，22F Q F R =12121224MF MF MP PF M MP Q F F Q F =+∴=+++=+，2121MF MF F F +> ， ∴动点M 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆（不含椭圆与x 轴的交点），设曲线C 方程为：()222210,0x y a b y a b+=>>≠，则24a =，解得：2a =，又1c =，b ∴=，∴曲线C 的方程为()221043x y y +=≠； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：()11,0F −，设()11,A x y ，()22,B x y ， 直线AB 的斜率不为零，∴可设AB 的方程为1x my =−，联立221143x my x y =− +=消去x 并整理得：()2234690m y my +−−=， 则()()22236363414410m m m ∆=++=+>，221634y y m m ∴++=，122934y y m =−+，2AB y =−=∴()2212134m m +=+， ()()121212112111F A F B x x y y my my y y →→+++⋅+⋅()()2212291134m m y y m +=+=−+， 1193124A F A FB B →→−⋅∴==−，1134F A F B AB ⋅∴=，综上可得：11F A F B B A ⋅为定值34． 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、椭圆中的定值问题的求解；求解动点轨迹方程的关键是能够确定动点满足椭圆的定义，进而得到轨迹方程；求解定值问题的常用方法是将直线与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，将韦达定理代入所求式中，化简得到定值.21. 已知函数()()22ln 2f x ax a x x −+++，()()1ln g x a x =−．（Ⅰ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的[)1,x ∞∈+，都有()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）分类讨论，详见解析；（Ⅱ）2,3 +∞．【解析】【分析】（Ⅰ）求导后，分别在02a <<、2a =和2a >三种情况下求得()f x ′的正负，由此可确定()f x 单调性；（Ⅱ）令()()()hx f x g x =−，分别在23a ≥、023a <<和0a ≤三种情况下，利用导数确定()h x 单调性和最值，进而确定符合题意的取值范围.【详解】（Ⅰ）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，则()()()()()2111220x ax ax a x xxf x −−=−++=>′，①当02a <<时，由()0f x '>可得：102x <<或1x a >；由()0f x ′<可得：112x a <<；()f x ∴的单调增区间为10,2 ，1,a +∞，单调递减区间为11,2a； ②当2a =时，则()()2210x f x x−′=≥，此时()f x 的单调递增区间为()0,∞+；③当2a >时，由()0f x '>可得：10x a<<或12x >；由()0f x ′<可得：112x a <<；()f x ∴的单调增区间为10,a，1,2 +∞，单调递减区间为11,2a； 综上所述：当02a <<时，()f x 在10,2 ，1,a+∞上单调递增，在11,2a上单调递减； 当2a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当2a >时，()f x 在10,a，1,2 +∞上单调递增，在11,2a上单调递减． （Ⅱ）令()()()hx f x g x =−，则()()()222ln 2h x ax a x a x −++−+，()()222ah x ax a x−′∴=−++()()()2222122ax a x ax ax a xx−++−−+−=，①当23a ≥时，令()0h x ′=，解得：11x =，222a x a −=，2231022a aa a−−−=≤，21x x ∴≤， ∴当1x ≥时，()0h x ′≥，()h x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()10h x h ∴≥=，满足题意；②当023a <<时，由①知：21x x >， ∴当21,2a x a − ∈ 时，()0h x ′<，()h x ∴在21,2a a − 上单调递减， 则当21,2a x a −∈时，()()10h x h <=，不合题意； ③当0a ≤时，220ax x +−<，则()0h x ′<，()h x ∴在[)1,+∞上单调递减，∴当()1,x ∈+∞时，()()10h x h <=，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为2,3 +∞.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过讨论导函数零点的位置确定函数在所给区间内的单调性，进而得到函数最值. （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3cos 13sin x y αα=+=+ （α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 16πρθ−=． （Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，点P 为曲线1C 上动点，当点P 到曲线2C 的距离最大时，求PMN 的面积．【答案】（Ⅰ）1C的普通方程为(()2219x y +−=，2C20y +−=；（Ⅱ） 【解析】【分析】（Ⅰ）根据参数方程化普通方程、极坐标化直角坐标的方法可直接化简得到结果；（Ⅱ）由垂径定理可求得MN ，根据圆上点到直线距离的最大值可求得三角形高为3d +，由此求得三角形面积.【详解】（Ⅰ）由3cos 13sin x y αα==+ 消除参数α得1C的普通方程为：(()2219x y −+−=； 由cos 16πρθ−=1cos sin 12ρθρθ+=，2C ∴20y +−=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知：圆心)1C ，则1C 到直线2C 的距离1d，MN ∴=； 点P 到直线的最大距离为34d+=，142PMN S ∴=×=△ 【点睛】本题考查极坐标与参数方程相关知识，涉及到极坐标化直角坐标、参数方程化普通方程、圆上点到直线距离的最值的求解、直线被圆截得弦长的求解等知识，属于常考题型. 23. 已知函数()()230f x x x a a =−++>．（Ⅰ）若1a =，求不等式()3f x ≥的解集； （Ⅱ）若()232f x a a ≥−+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(]5,1,3 −∞+∞；（Ⅱ）(]0,2． 【解析】【分析】（Ⅰ）分别在32x ≥、312−≤<x 和1x <−三种情况下分类讨论得到不等式，解不等式求得结果；（Ⅱ）将问题转化为()2min 32f x a a ≥−+，利用绝对值三角不等式可求得()min 32f x a =+，由此构造不等式求得结果.【详解】（Ⅰ）由题意得：()332,232314,1232,1x x f x x x x x x x−≥=−++=−+−≤<−+<−， ①当32x ≥时，由323x −≥得：53x ≥，53x ∴≥； ②当312−≤<x 时，由43x −+≥得：1x ≤，11x ∴−≤≤；③当1x <−时，由323x −+≥得：13x ≤−，1x ∴<−；综上所述：不等式()1f x ≥的解集为(]5,1,3 −∞+∞； （Ⅱ）()232f x a a ≥−+恒成立等价于()2min 32f x a a ≥−+， ()332322f x x x a x x x a =−++=−+−++ ()333222x x a x a x a≥−++≥+−−=+，等号成立条件是32x =， ()min 32f x a ∴=+，23322a a a ∴+≥−+，解得：02a ≤≤，又0a >，02a ∴<≤，∴实数a 的取值范围为(]0,2．【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值不等式中的恒成立问题的求解，求解恒成立问题的关键是将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系的问题，属于常考题。
2012-2019年导数与三角函数交汇真题汇编（含答案解析）
2012-2019年导数与三角函数交汇真题汇编（含答案解析） 2019全国新课标I 卷理2020．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．个零点．20．解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x在0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦π没有零点.（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.2019全国新课标I 卷文2020．已知函数f (x )=2sin x -x cos x -x ，f f ′′(x )为f (x )的导数．的导数．（1）证明：f f ′′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．的取值范围．20．解：（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点.所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0. 由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x ….又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax ….因此，a 的取值范围是(,0]-∞. 5、（2017•山东）已知函数f （x ）=x 2+2cosx ，g （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）分）（Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；）处的切线方程； （Ⅱ）令h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）（a ∈R ），讨论h （x ）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．值．5、【答案】解：（Ⅰ）f （π）=π2﹣2．fʹ（x ）=2x ﹣2sinx ，∴fʹ（π）=2π． ∴曲线y=f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程为：y ﹣（π2﹣2）=2π（x ﹣π）． 化为：2πx ﹣y ﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）﹣a （x 2+2cosx ） hʹ（x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）+e x （﹣sinx ﹣cosx+2）﹣a （2x ﹣2sinx ） =2（x ﹣sinx ）（e x ﹣a ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）． 令u （x ）=x ﹣sinx ，则uʹ（x ）=1﹣cosx≥0，∴函数u （x ）在R 上单调递增．上单调递增． ∵u （0）=0，∴x ＞0时，u （x ）＞0；x ＜0时，u （x ）＜0．（i ）a≤0时，e x ﹣a ＞0，∴x ＞0时，hʹ（x ）＞0，函数h （x ）在（0，+∞）单调递增；）单调递增； x ＜0时，hʹ（x ）＜0，函数h （x ）在（﹣∞，0）单调递减．）单调递减． ∴x=0时，函数h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ． （ii ）a ＞0时，令hʹ（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）=0． 解得x 1=lna ，x 2=0．①0＜a ＜1时，x ∈（﹣∞，lna ）时，e x ﹣e lna ＜0，hʹ（x ）＞0，函数h （x ）单调递增；）单调递增； x ∈（lna ，0）时，e x ﹣e lna ＞0，hʹ（x ）＜0，函数h （x ）单调递减；）单调递减； x ∈（0，+∞）时，e x ﹣e lna ＞0，hʹ（x ）＞0，函数h （x ）单调递增．）单调递增．∴当x=0时，函数h （x ）取得极小值，h （0）=﹣2a ﹣1．当x=lna 时，函数h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a[ln 2a ﹣2lna+sin （lna ）+cos （lna ）+2]． ②当a=1时，lna=0，x ∈R 时，hʹ（x ）≥0，∴函数h （x ）在R 上单调递增．上单调递增．③1＜a 时，lna ＞0，x ∈（﹣∞，0）时，e x ﹣e lna ＜0，hʹ（x ）＞0，函数h （x ）单调递增；）单调递增； x ∈（0，lna ）时，e x ﹣e lna ＜0，hʹ（x ）＜0，函数h （x ）单调递减；）单调递减； x ∈（lna ，+∞）时，e x ﹣e lna ＞0，hʹ（x ）＞0，函数h （x ）单调递增．）单调递增． ∴当x=0时，函数h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当x=lna 时，函数h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a[ln 2a ﹣2lna+sin （lna ）+cos （lna ）+2]．综上所述：a≤0时，时，函数函数h （x ）在（0，+∞）单调递增；x ＜0时，时，函数函数h （x ）在（﹣∞，0）单调递减．单调递减． x=0时，函数h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．0＜a ＜1时，函数h （x ）在x ∈（﹣∞，lna ）是单调递增；函数h （x ）在x ∈（lna ，0）上单调递减．当x=0时，函数h （x ）取得极小值，h （0）=﹣2a ﹣1．当x=lna 时，函数h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a[ln 2a ﹣2lna+sin （lna ）+cos （lna ）+2]． 当a=1时，lna=0，函数h （x ）在R 上单调递增．上单调递增．a ＞1时，函数h （x ）在（﹣∞，0），（lna ，+∞）上单调递增；函数h （x ）在（0，lna ）上单调递减．当x=0时，函数h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当x=lna 时，函数h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a[ln 2a ﹣2lna+sin （lna ）+cos （lna ）+2]．【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f （π）=π2﹣2．fʹ（x ）=2x ﹣2sinx ，可得fʹ（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．式即可得出切线方程．（Ⅱ）h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）﹣a （x 2+2cosx ），可得hʹ（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣a ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）．令u （x ）=x ﹣sinx ，则uʹ（x ）=1﹣cosx≥0，可得函数u （x ）在R 上单调递增．单调递增．由u （0）=0，可得x ＞0时，u （x ）＞0；x ＜0时，u （x ）＜0．对a 分类讨论：a≤0时，0＜a ＜1时，当a=1时，a ＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．17.（2015湖南理21（1））已知0a >，函数()[)()e sin 0,axf x x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n ()*n ∈N 个极值点，证明：数列(){}nf x 是等比数列.● 17. 解析 ()e sin e cos e (sin cos )axaxaxf x a x x a x x '=+=+ ● 21e sin()axa x ϕ=+⋅+，其中a 1tan =ϕ，π02ϕ<<.● 令 ()0f x '=，由0x …得πx m ϕ+=，即*π,x m m ϕ=-∈N .● 对k ∈N ，若2π(21)πk x k ϕ<+<+，即2π(21)πk x k ϕϕ-<<+-，则()0f x '>；● 若(21)π(22)πk x k ϕ+<+<+，即(21)π(22)πk x k ϕϕ+-<<+-，则()0f x '<. ● 因此，在区间((1)π,π)m m ϕ--与(π,π)m m ϕ-上，)('x f 的符号总相反，的符号总相反， ● 于是，当*π,x m m ϕ=-∈N 时，)(x f 取得极值，所以*π,n x n n ϕ=-∈N . ● 此时，()1()()e sin(π)(1)e a n n a n n f x n πϕπϕϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ，● 且2[(1)π]π11(π)()(1)e e ()(1)en a n a n n a n n f x f x ϕϕ++-++--==--是常数，是常数， 21.（2016全国丙理21）设函数()cos2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中a >，记()f x 的最大值为A . （1）求()f x '； （2）求A ；（3）证明2.f x A '（）…21.解析 (1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---. （2）当1a …时，()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--. 令()()2211g t at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为令，解得且，所以. （i ）当时，在内无极值点，，，，所以.()1g a -=()132g a =-14a t a-=()g t ()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1114aa --<<13a >-15a >15a >105a <…()g t ()1,1-()1g a -=()123g a =-()()11g g -<23A a =-（ii ）当时，在同一坐标中画出函数，，在上的图像.由上图，我们得到如下结论当时，.综上，. （3）由（1）得. 当时，；当时，，所以； 当时，.所以； 综上所述有.25.（2017山东理20）已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；处的切线方程；115a <<y x =32y x =-2618x x y x ++=1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭y=x 2+6x+18xy=x y=3x-2O y x115a <<2618a a A a++=2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩...()()2sin21sin 21f x a x x a a α'=---+- (105)a <…()()1242232f x a a a A '+-<-=?115α<<131884a A a =++…()12f x a A '+<?1a ≥()31642f x a a A '--=?()2f x A '…()2f x A '…()22cos f x x x =+()()e cos sin 22xg x x x x =-+-e 2.71828=L ()y f x =()(),f ππ（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.25.解析 （1）由题意，又，所以，因此曲线在点处的切线方程为， 即.（2）由题意得， 因为，令，则，所以在上单调递增. 因为，所以当时，；当时，. （i ）当时，.当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为；（ii ）当时，，由，得，. ① 当时，，当时，，此时单调递增；单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增. 所以当时，取得极大值，极大值为， ()()()()h x g x af x a =-∈R ()h x ()22f π=π-()22sin f x x x '=-()2f 'π=π()y f x =()(),f ππ()()222y x -π-=π-π222y x =π-π-2()e (cos sin 22)(2cos )xh x x x x a x x =-+--+()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin xxh x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin xx x a x x ---()()2e sin x a x x =--()sin m x x x =-()1cos 0m x x '=-…()m x R (0)0m =0x >()0m x >0x <()0m x <0a …e x a -0>0x <()0h x '<()h x (),0-∞0x >()0h x '>()h x ()0,+∞0x =()h x ()021h a =--0a >()()()ln 2e esin xah x x x '=--()0h x '=1ln x a =2=0x 01a <<ln 0a <(),ln x a ∈-∞()0h x '>()h x ()ln ,0x a ∈()0h x '<()h x ()0,x ∈+∞()0h x '>()h x ln x a =()h x ()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦当时，取得极小值，极小值是； ②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值点； ② 当时，，所以 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以当时，取得极大值，极大值为； 当时，取得极小值，取得极小值，极小值为. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 函数有极小值，极小值为；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是； 当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是，极小值是. 26.(2017北京理19)19.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；处的切线方程；0x =()h x ()021h a =--1a =ln 0a =(),x ∈-∞+∞()0h x '…()h x (),-∞+∞1a >ln 0a >(),0x ∈-∞()0h x '>()h x ()0,ln x a ∈()0h x '<()h x ()ln ,x a ∈+∞()0h x '>()h x 0x =()h x ()021h a =--ln x a =()h x ()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦0a …()h x (),0-∞()0,+∞()h x ()021h a =--01a <<()h x (),ln a -∞()0,+∞()ln ,0a ()h x ()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦()021h a =--1a =()h x (),-∞+∞1a >()h x (),0-∞()ln ,a +∞()0,ln a ()h x ()021h a =--()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦()e cos x f x x x =-()y f x =()()0,0f（2）求函数在区间上的最大值和最小值.26.解析 （1）因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减 所以对任意，有，即. 所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.10.（2014 辽宁理辽宁理21）（本小题满分12分）已知函数()()()cos 2f x x x x =-π+-()8sin 13x +，()()()23πcos 41sin ln 3x g x x x x ⎛⎫=--+- ⎪π⎝⎭.证明：（1）存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =； （1）存在唯一1,2x π⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，使()10g x =，且对（1）中的01x x +<π.16.【2012高考真题全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数f （x ）=ax+cosx ，x ∈[0，π].（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；）的单调性；（Ⅱ）设f （x ）≤1+sinx ，求a 的取值范围. 【答案】【答案】()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()e cos x f x x x =-()e (cos sin )1xf x x x '=--(0)0f '=(0)1f =()y f x =(0,(0))f 1y =()e (cos sin )1xh x x x =--()e (cos sin sin cos )2e sin xxh x x x x x x '=---=-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<()h x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()(0)0h x h =…()0f x '…()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(0)1f =ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2013）北京文已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。
重难点专题13 导数与三角函数结合的解答题(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
【变式 2-1】3. （2021 秋·河北邯郸·高三统考开学考试）已知函数() =
e
― 2（ ∈ ）
（其中 ≈ 2.71828为自然对数的底数）.
（1）当 = 2时，判断函数()的单调性；
（2）若 > 1，证明() > cos对于任意的 ∈ [0, + ∞)恒成立.
∈ 0, π ．
2
(1)当 = 1时，讨论()的单调性；
(2)若() + sin < 0，求的取值范围．
4．
（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当0 < < 1时， ― 2 < sin < ；
（2）已知函数() = cos ― ln(1 ― 2)，若 = 0是()的极大值点，求 a 的取值范围．
证明：
（1）()在区间(0,)存在唯一极大值点；
（2）()有且仅有 2 个零点.
1
【变式 1-1】2. （2019 秋·安徽·高三校联考开学考试）已知函数() = cos + 42 ―1.
2 2
（1）证明：() ≤ 0， ∈ ― ,
；
（2）判断 = ()的零点个数，并给出证明过程.
题型 2 放缩法 ..................................................................................................................................2
题型 1 分段分析法
sin
2．
（2023·全国·统考高考真题）已知函数() = ― cos3, ∈ 0, π
高中三角函数专题练习题(附答案)
高中三角函数专题练习题（附答案）一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.3．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.4．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 6．关于函数()()33sin cos sin 2f x x x x =+-有下列结论：①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）.7．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.8．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．9．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足1222PA PC +=的点P 有__________个.10．已知函数()2log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.二、单选题11．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，则cos A 的最小值为（ ）A 2B 7C 7D ．3412．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭13．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ） A ．216B ．312C ．316D ．21814．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离为（ ）A ．15B ．35C ．105D ．25515．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5416．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大17．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ） A ．1BC ．32D ．218．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18519．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5520．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．163三、解答题21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．22．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.23．已知函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值；（3）若对任意实数,()(0)a y g x ωω=>在,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上与直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数ω的取值范围.24．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.25．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.26．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.27．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.28．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．29．已知ABC ∆的外接圆．．．2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，2sin sin 4n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.30．已知函数()()()2331?0f x cos x sin x cos x ωωωω=>，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值.【参考答案】一、填空题1．3π234．05．①③6．②③78．9．1810．6二、单选题11．C 12．C 13．A 14．C 15．B 16．C 17．B 18．A 19．B 20．A三、解答题21．（1）2()2sin233f x xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难. 22．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3θ=时，()min 33f θ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题. 23．（1）2()sin(3)3g x x π=+；（2）6π；（3）4083ω<≤.【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的对称性，可得函数()f x 的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数()g x 的解析式；（2）将不等式进行转化，得到函数()()f x g x -在[0，t ]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；（3）求出()y g x ω=的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可． 【详解】（1）因为函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以有()0sin[3()]0()(0)9933f k k Z ππππϕϕπϕπϕ-=⇒-+=⇒-=∈<<∴=，()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象.所以 2()sin[3()]sin(3)933g x x x πππ=++=+；（2）由()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，构造新函数为()()()sin3h x f x g x x =-=，由题意可知：任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，说明函数()sin3h x x =在[0,]x t ∈上是单调递增函数，而()sin3h x x =的单调递增区间为：22232()()226363k k k x k k Z x k Z ππππππππ-+≤≤+∈⇒-+≤≤+∈，而[0,]x t ∈， 所以单调递增区间为：06x π≤≤，因此实数t 的最大值为：6π；（3）2()sin(3)3y g x x πωω==+，其最小正周期23T πω=， 而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个,则34T π≤，且54T π>，解得：4083ω<≤. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.24．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-= 整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -=∴sin cos()sin A A C C +=∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π= （2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-,∵ACD ∆为正三角形,∴2254cos CD C A α=-=,在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin AC βα=, ∴sin sin AC βα=,∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=-- 2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-,12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.25．（1）()23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222xx x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴23m k ππ-=，k Z ∈ ∴26km ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增 当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.26．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1.【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果.【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π= 当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题.27．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；（3）运用正弦函数图像，即可求解.【详解】 解：()sin coscos sin cos cos sin sin cos 6633f x x x x x x a ππππ=-++++11cos cos cos 22x x x x x a =-+++cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-.（2）由22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得222,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭. 所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以722,666k x k k Z πππππ-+<+<+∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.28．（Ⅰ）(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）12a =或12a =- 【解析】（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-cos 2232sin(2)36x x x π=-=+- ()2sin(2)36f x x π∴=+- 由2,6x k k Z ππ+=∈ 得：,122k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+- 1sin(2)16x π-≤+≤ 当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤- 则有234a --=- 解得12a = 当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤-- 则有234a -=-解得12a =- 综上 12a ∴=或12a =-． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．29．(1) 3C π=. (2) max S = 【解析】【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.30．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果． 【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤， ∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=，∴()2(2)13f x sin x π=+-． 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值2.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.3.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性4.在锐角中，，，则的值等于；的取值范围为 .【答案】；【解析】，所以，由正弦定理得，即，所以，为锐角三角形，则，且，即，则有，且有，所以，故有，，所以，即，故的取值范围为.【考点】1.正弦定理；2.三角函数的取值范围5.已知是第二象限角,，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知是第二象限角,，所以，故选B.【考点】同角三角函数基本关系式.6.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，, ７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．7.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，，而，，所以坐标变换公式为，. 故选D.【考点】均匀随机数的意义与简单应用.8.已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的最大值为C．函数在区间上是增函数D．函数的最小正周期为【答案】C【解析】令得错误；函数的最大值为，故错误；函数的最小正周期为，故错误；当时，，故函数在区间上是增函数，所以选．【考点】考查三角函数的图像及其性质．9.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。
高三数学三角函数经典练习题及答案精析
（1）求角 的大小；
（2）设 的中点为 ，且 ，求 的最大值.
32．已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求使 成立的 的取值集合.
33．已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 取得最大值的所有 组成的集合.
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：由题意得 ，因为 ，所以 ，选A.
9．如图是函数y=2sin（ωx+φ），φ＜ 的图象，那么
A.ω= ，φ=
B.ω= ，φ=-
C.ω=2，φ=
D.ω=2，φ=-
10．要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（）
A．向左平移 个单位
B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位
D．向右平移 个单位
11．要得到 的图象，只需将函数 的图象（）
【解析】
试题分析：因为 ，故选B.
考点：三角函数的诱导公式．
【易错点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式．在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错．诱导公式的应用是三角函数中的基本知识，主要体现在化简或求值，本题难度不大．
4． 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．记 =( ).
A． B． C． D．
6．若 = - ，a是第三象限的角，则 =（ ）
（A）- （B） （C） （D）
7．若 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周期为 B． 在 上单调递减
2023年高考数学真题分训练 三角函数的综合应用(含答案含解析)
专题 13 三角函数的综合应用十年大数据x 全景展示年 份2023 卷 1卷 1 题 号考 点考 查 内 容理 16 文 16 主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函 数的最值问题三角函数最值与值域三角函数的实际应用 理 6 主要考查利用三角函数的应用及三角公式 主要考查三角公式及三角函数最值理 14 文 14 理 16 文 12卷 2三角函数最值与值域2023卷 2 卷 1三角函数的实际应用 主要考查圆的相关知识、正弦定理等根底知识三角函数图象与性质 主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值，考查理 12的综合应用 运算求解能力．2023三角函数图象与性质 主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称 的综合应用轴．卷 2 卷 2 卷 2理 7 文 11 理 14 文 13 文 6三角函数最值与值域 主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值 主要考查同角三角函数根本关系、三角函数图像与性质、 三角函数最值与值域换元法求最值．2023 卷 2卷 3三角函数最值与值域 主要考查辅助角公式及三角函数的最值． 主要考查诱导公式与三角函数的最值，考查转化与化归思 三角函数最值与值域想．主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、 三角函数最值与值域利用导数研究函数的单调性、极值与最值．卷 12023理 16 文 8三角函数图象与性质 主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值，考查转化卷 1的综合应用与化归思想与运算求解能力三角函数图象与性质 的综合应用2023 卷 1 理 11主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题．大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数最值与值域7/13 2023 年仍将重点考查三角函数图像与性质的 综合应用及 三角函数图象与性质的综合应用4/13三角函数的最值与值域问题，题型仍为选择题或填空题，三角函数的实际应用 2/13 难度为中档题或压轴题．十年真题分类x 探求规律考点 42 三角函数最值与值域π f (x ) cos 2x 6 cos( x ) 1．(2023 全国新课标卷 2，文 11) 函数 的最大值为( ) 2(A)4 (B)5(C)6(D)7（答案）B 3 112 （解析）因为f (x ) 1 2sin 2 x 6sin x 2(sin x ) 2 ，而sin x 1,1]，所以当sin x 1时， f (x ) 取2得最大值 5，选 B ．12．(2023 新课标卷 3，文 6)函数 f (x )= sin(x + )+cos(x − )的最大值为5 3 6653 51 5A ．B ．1C ．D ．（答案）A 6 2 33 （解析）因为cos x cos x sin x， 所 以1 533 636f xsin x sin x sin x ，函数的最大值为 ，应选 A ．5 5 x6 33．(2023 山东) 函数 y 2sin (0 x9) 的最大值与最小值 之和为A ．2 3 D ． 1 3B ．0C ．－1（答案）A7 30 x 9,x , sin( x ) 1, （解析） 3 6 3 6 2 6 3y 2, y 3. 应选 8．max min 4．(2023•新课标Ⅰ，理 16)已知函数 f (x ) 2sin x sin 2x ，则 f (x ) 的最小值是 ．3 3（答案）2（解析）由题意可得T 2 是 f (x ) 2sin x sin 2x 的一个周期，故只需考虑 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ) 上 的 值 域 ， 先 来 求 该 函 数 在 0 ， 2 ) 上 的 极 值 点 ， 求 导 数 可 得 1 f (x ) 2 c os x 2cos 2x 2cos x 2(2cos 2 x 1) 2(2cos x 1)(cos x 1) ， 令 f (x ) 0 可 解 得 cos x 或 25， x , f (x ), f (x )在在0 ，2 ) 上的变化情况如下表所示：cos x 1，可得此时 x ， 或33x25 5 35(0, ) ( , ) ( , ) ( ,2 ) 33333f (x ) f (x )+ 0—0 —↘+↗极大值 ↘ 极 小 值 ↗ 03 23 3 23 3y 2sin x sin 2x 的最小值为． 2f x =2cos x sin x 5．(2023 新课标卷 2，文 13)．函数 （答案） 5的最大值为．（解析）因为 f (x ) 5 sin(x )，其中 tan 2 ，所以 f (x ) 的最大值 为 5 ． 3 26．(2023 新课标卷 2，理 14)．函数 f x sin 2 x 3 cos x ( x 0, )的最大值是．4 （答案）13 14 2cos 2 x 3 cos x（解析） f x 1 cos x3 cos x 423 1， x 0, 3cos x ，那么cos x 0,1 ，当cos x 时，函数取得最大值 1． 的最大值为_________．2 2 27．(2023 新课标Ⅱ，理 14)函数 f xsin x 2（答案）12sin cos x（解析）∵ f (x ) sin(x 2 ) 2sin cos(x ) sin (x )] 2sin cos(x )sin cos(x ) cos sin(x ) 2 s in cos(x ) cos sin(x ) sin cos(x ) =sin x ∴ f (x ) 的最大值为 18．(2023新课标Ⅰ，理15)设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______ 2 5 （答案）55 2 5 5 5 2 5 5（解析）∵ f (x ) =sin x 2 c os x = 5(sin x cos x ) ，令cos = ，sin ，则 5 5f (x ) = 5(sin x cos sin cos x ) = 5 sin(x ) ，当 x = 2k ,k z ，即 x = 2k ,k z2 22 55时， f (x ) 取最大值，此时 = 2k ,k z ，∴cos = cos(2k ) =sin =． 2 23 sin 3x cos 3x ，假设对任意实数 x 都有 f x ≤a ，则实数 a 的取值范围 9．(2023 江西)设 f x 是 ．（答案）a 2f (x ) 3 sin 3x cos 3x 2sin(3x ) | f (x ) | 2 a 2．（解析）得 故 f (x ) sin x , x R f (x ) 10．(2023 浙江 18)设函数 (1)已知0, 2 ),．是偶函数，求 的值；函数(2)求函数 y f (x) f (x )]2 的值域． 2 12 4（解析）(1)因为 f (x ) sin(x ) 是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ) sin( x ) ， 即sin x cos cos x sin sin x cos cos x sin ， 故2sin x cos 0 ， 所以cos 0 ．π 3π 2又 0, 2π)，因此 或． 2 22π π π π 4 y f x f x sin 1 2 x sin 12 2 x (2)12 4π π1 cos 2x 1 cos 2x6 2 1 3 3 3 π 3 cos 2x sin 2x 1 cos 2x ． 2 2 2 2 2 23 ,13]．因此，函数的值域是12 2 考点 43 三角函数图象与性质的综合应用1．(2023•新课标Ⅰ，理 11)关于函数 f (x ) sin | x | | sin x | 有下述四个结论： ① f (x ) 是偶函数② f (x ) 在区间( ， ) 单调递增2 ③ f (x ) 在 ， 有 4 个零点 ④ f (x ) 的最大值为 2 其中全部正确结论的编号是( )A ．①②④ （答案）C（解析）∵ f ( x ) sin | x | | sin( x ) | sin | x | | sin x | f (x ) ，∴函数 f (x ) 是偶函数，故①正确；B ．②④C ．①④D ．①③当 x ( ， ) 时，sin | x | sin x ，| sin x | sin x ，则 f (x ) sin x sin x 2sin x 为减函数，故②错误；2 当 0 x 时， f (x ) sin | x | | sin x | sin x sin x 2sin x ，由 f (x ) 0 得 2sin x 0 得 x 0 或 x ，由 f (x ) 是偶函数，得在 ，) 上还有一个零点 x ，即函数 f (x ) 在 ， 有3 个零点，故③错误， 当sin | x | 1，| sin x | 1 时， f (x ) 取得最大值 2，故④正确，故正确是①④，应选C ． 2．(2023•新课标Ⅰ，文 8)已知函数 f (x ) 2 c os A ． f (x ) 的最小正周期为 ，最大值为 3 B ． f (x ) 的最小正周期为 ，最大值为4 C ． f (x ) 的最小正周期为2 ，最大值为 3 D ． f (x ) 的最小正周期为2 ，最大值为 4 （答案）B2x sin 2x 2 ，则()（解析）函数 f (x ) 2 c oscos 2x 1 2x sin 2 x 2 2 c os 2 x sin 2 x 2sin 2 x 2 c os 2 x 4 c os 2 x sin 2 x3cos 2x 5 3 53cos 2 x 1 3 1 ，故函数的最小正周期为 ，函数的最大值为 4，应选 B ．2 2 2 2 23．(2023 新课标卷 1，理 12)12．已知函数 f (x ) sin( x+ )( 0， ), x 为 f (x ) 的零点，x 2 4 45 18 36为 y f (x ) 图像的对称轴，且 f (x ) 在 ， 单调，则 的最大值为( )(A)11(B)9 (C)7(D)5（答案）B ．11 9 ，所以 ， （解析）当 11时，由k ，k Z ，∴ k ,k Z ，因为| | 4 2 4 4 45 13 23 13 23 ， 不36 18 所以 f (x ) =sin(11x ) ，当 x 时，11x ( ， ) ，因为 y sin x 在〔 418 36 4 36 18 97单调，故 A 错；当 9 时，由k ，k Z ，∴ k ,k Z ，因为| | ，所以 4 24 45 3 3 3 3，所以 f (x ) =sin(9x )，当 x时，9x ( ， ) ，因为 y sin x 在〔 ， 〕 4 4 1836 4 4 2 4 2单调，应选 B ．4．(2023•新课标Ⅱ，理 7)假设将函数 y 2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为12 ()kkA ． x(k Z ) B ． x(k Z ) 2 62 6kkC ． x (k Z )D ． x(k Z ) 2 122 12（答案）B（解析）将函数 y 2sin 2x 的图象向左平移个单位长度，得到 y 2sin 2(x ) 2sin(2x ) ，由 12 12 6k k2x k (k Z ) 得：x (k Z ) ，即平移后的图象的对称轴方程为 x (k Z ) ，应选 B ．6 2 2 6 2 6 5．( 2023 山东)函数 f (x ) ( 3 sin x cos x )( 3 cos x sin x ) 的最小正周期是3 A ．B ．πC ．D ．2π22（答案）B（ 解 析 ） 由 题 意 得 f (x ) 2 s in(x ) 2 cos(x ) 2sin(2x ) ， 故 该 函 数 的 最 小 正 周 期6 632 T．应选 B ． 26．(2023 安徽)假设将函数 f (x ) sin 2x cos 2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是 3 3 A ．B ．C ．D ．8484（答案）C（解析） f (x ) 2 sin(2x ) ，将函数 f (x ) 的图象向右平移 个单位得4f (x ) 2 sin(2x 2 ) ，由该函数为偶函数可知2 k ,k Z ，4 4 2k 3 3即，所以 的最小正值是为． 2 8 87．(2023 福建)将函数 y sin x 的图象向左平移 个单位，得到函数 yf x的函数图象，则以下说法正 2确的是 A ． yf x 是奇函数B ． y f x 的周期是的图象关于直线x 对称 D ． y f x 的图象关于点 ,0C ． y f x 2 2 （答案）D（解析）函数 y sin x 的图象向左平移个单位，得到函数 f (x ) sin(x ) cos x 的图象，22f (x ) cos x 为偶函数，排解 A ； f (x ) cos x 的周期为2 ，排解 B ；因为 f ( ) cos 0 ，所以2 2f (x ) cos x 不关于直线 x 对称，排解 C ；应选 D ．28．(2023 辽宁)将函数 y 3sin(2x )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数3 277A ．在区间, 上单调递减 B ．在区间, 上单调递增 12 12 12 12 C ．在区间 , ]上单调递减 D ．在区间 , ]上单调递增6 36 3（答案）B（解析） 将 y 3sin(2x ) 的图象向有右移个单位长度后得到 y 3sin2(x ) ，即32 2 32 2y 3sin(2x ) 的 图 象 ， 令 2k ≤2x≤ 2k ， k Z ， 化 简 可 得 3 2 3 2 7x k , 12k ]，k Z ， 2 12 7即 函 数 y 3sin(2x) 的 单 调 递 增 区 间 为 k ,k ， k Z ， 令 k 0 ． 可 得 3 12 122 7y 3sin(2x ) 在区间 , 上单调递增，应选 B ．3 12 12y sin 2x 的图像沿x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的 9．(2023 山东)将函数 8一个可能取值为3 A ．B ．C ．0D ．444（答案）B（解析）将函数 y=sin(2 x + )的图像沿 x 轴向左平移 个单位，得到函数，因为此时函数为偶函数，所以 ，即，所以选 B ．10．(2023 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点 P (cos , s in ) 到直线 x my 2 0的距离，当 ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C| cos m sin 2 | | m sin cos 2 |（解析）由题意可得dm 212 m 1m 1 | m 21( sin cos ) 2 | 2 1 m 2 1 | m 2 1sin( ) 2 | 1 mm 2 1 m2 m1(其中cos，sin)，∵ 1≤sin( )≤1，m 21m 21| 2 m 2 1 | 2 m 2 1 2 m 2 12∴ ≤d ≤， 1 ，m 2 1 m 2 1 m 2 12m 1∴当m 0时，d 取得最大值 3，应选 C ．f (x ) sin 2x b sin x c ，则 f (x ) 的最小正周期11．(2023 年浙江)设函数 A ．与 b 有关，且与 c 有关 C ．与 b 无关，且与 c 无关 B ．与 b 有关，但与 c 无关 D ．与 b 无关，但与 c 有关（答案）B 1 cos 2xf (x ) sin 2 x b sin x cb sin xc ． （解析）由于2当b 0 时， f (x ) 的最小正周期为 ； 当b 0 时， f (x ) 的最小正周期2 ；c 的变化会引起 f (x )的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．应选 B ．2x sin x cos x 1 的最小正周期是________，单调递减区间是_______．12．(2023 浙江)函数 f (x ) sin 7 3（答案） 、k , k k Z() 8 8 23 3 7（解析）f (x )sin(2x ) ，故最小正周期为 ，单调递减区间为 k , k ] k Z ( )．2 4 28 8 3 y sin 2x cos 2x 的最小正周期为 ．13．(2023 山东)函数 2（答案） 3 3 1 1 1 ysin 2x cos 2x = y sin 2x cos 2x sin(2x ) ，所以其最小正周期为 （解析）2 2 2 2 6 22． 24f x sin 2x y 14．(2023 安徽)假设将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正值是________． 3 （答案）8（ 解 析 ） f (x ) sin2(x ) sin(2x 2 ) ， ∴2 k (k Z ) ， ∴ 444 2k3(k Z ) ，当k 1时 min ． 8 2 82 cos 2x sin 2x A sin( x b (A > 0) ，则 A =__，b =__．15．(2023 年浙江)已知 （答案） 2 1（解析）2cos2x sin 2x 2 sin(2x ) 1，所以 A 2,b 1.4，向量a sin 2 ，cos ，b cos ，1，假设a ∥b 16．(2023 陕西)设0，2则tan _______． 1（答案）2（解析）∵a ∥b ，∴sin 2 cos 2，∴2 s in cos cos2，∵ (0, ) ，21 ∴tan ．217．(2023 江苏)已知向量a (cos x , s in x ) ，b (3, 3) ， x 0, ]．(1)假设a ∥b ，求 x 的值；(2)记 f (x ) a b ，求 f (x ) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值． （解析）(1)因为a (cos x , s in x ) ，b (3, 3) ，a ∥b ， 所以 3 cos x 3sin x ．假设cos x 0，则sin x 0，与sin 2 x cos x 1矛盾，故cos x 0． 2 3于是 tan x． 35 又 x 0, ]，所以 x． 6π f (x ) a b (cos x , s in x ) (3, 3) 3cos x 3 sin x 2 3 cos(x ) (2) ． 6π π 7π x 0, ]，所以 x ,， 6 6因为 6π 6 3 从而 1 cos(x )． 2π πx x 0时， f (x )取到最大值 3；于是，当 ，即 6 6π5πx xf (x ) 当 ，即 时， 取到最小值 2 3 ．6618．(2023 山东)设函数 f (x ) sin( x ) sin( x )，其中0 3．6 2已知 f ( ) 0 ． 6(Ⅰ)求 ；(Ⅱ)将函数 y f (x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个 43单位，得到函数 y g (x ) 的图象，求 g (x ) 在 ,]上的最小值． 4 4 （解析）(Ⅰ)因为 f (x ) sin( x ) sin( x )，623 1所以 f (x )sin x cos x cos x 2 23 3sin x cos x 2 213 3( sin x cos x )2 2 3(sin x )3由题设知 f ( ) 0 ，6k ，k Z ． 所以6 3故 6k 2，k Z ，又03， 所以 2．(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (x ) 3 sin(2x) 3所以 g (x ) 3 sin(x ) 3 sin(x)． 124 33因为 x , ]， 4 42 所以 x, ， 12 3 3当 x ， 12 3 即 x 时， g (x ) 取得最小值 ． 3 4 219．(2023 年天津)已知函数 f (x ) 4 tan x cos x cos(x ) 3 ．3(Ⅰ)求 f (x )的定义域与最小正周期； (Ⅱ)商量 f (x )在区间 , ]上的单调性． 4 4（解析）(Ⅰ) f (x )的定义域为（x | xk ,k Z ）． 2f (x ) 4 tan x cos x cos(x ) 334 s in x cos(x ) 33 13 4 s in x ( cos x sin x ) 32 2 2 s in x cos x 23 sin 2 x 3 sin 2x 3(1 cos 2x ) 3sin 2x 3 cos2x 2sin(2x )32 所以 f (x )的最小正周期T． 225令 z 2x , 函数 y 2 s in z 的单调递增区间是 2k , 2k ,k Z . 32由 2k 2x 2k ，得k x k ,k Z . 2 3 2 12124 4 5设 A ,,B x k x k ,k Z ， 12 1212 4易知 A B, ．所以， 当 x ,时， f (x )在区间 4 12, 上单调递增， 在区间 ， 上单调递减． 4 4 12 4x xx 20．(2023 北京)已知函数 f (x ) 2 sin cos 2 sin2． 2 22(Ⅰ) 求 f (x ) 的最小正周期；(Ⅱ) 求 f (x ) 在区间 π，0上的最小值． 2 2 2（解析）(Ⅰ)因为 f (x )sin x (1 cos x ) sin(x ) 2 2 4 2 所以 f (x ) 的最小正周期为2 ． 3x (Ⅱ)因为 x 0，所以 ． 4 4 43当 x，即 x 时， f (x ) 取得最小值． 4 2 432 所以 f (x ) 在区间 ,0 上的最小值为 f ( ) 1． 42π21．(2023 湖北)某同学用“五点法〞画函数 f (x ) A sin( x ) ( 0, | | ) 在某一个周期内的图象时，列2表并填入了局部数据，如下表：π 2 3π 2 x 0π2ππ 35π 6 xA sin( x )50 5 (Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f (x ) 的解析式；(Ⅱ)将 y f (x ) 图象上全部点向左平行移动 ( 0) 个单位长度，得到 y g (x ) 的图象．假设 y g (x ) 图象 5π的一个对称中心为( , 0) ，求 的最小值．12π（解析）(Ⅰ)依据表中已知数据，解得 A 5, 2, ． 数据补全如下表：6π 2 3π 2 x 0 π2π 13 π π 3 7π 12 5π 6 xπ 12 12 A sin( x )55π且函数表达式为 f (x ) 5sin(2x ) ．6π π(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x ) 5sin(2x ) ，得 g (x ) 5sin(2x 2 ) ．6 6 因为 y sin x 的对称中心为(k π, 0) ，k Z ． π k π π令2x 2 k π ，解得 x ，k Z ．6 2 12 5π 由于函数 y g (x ) 的图象关于点( , 0) 成中心对称，令12k π π 5π12 ， 2 12 k π π π解得，k Z ． 由 0可知，当 k 1时， 取得最小值 ． 2 3 622．(2023 福建)已知函数 f (x ) 2 c os x (sin x cos x )． 5(Ⅰ)求 f ()的值； 4(Ⅱ)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 55 5 5 （解析）解法一：(Ⅰ) f () 2 cos (sin cos ) 44 4 42 cos ( sin cos ) 24 4 42x sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 1．(Ⅱ)因为 所以Tf (x ) 2 s in x cos x 2 cos 42． 2 由2k 2x 2k ,k Z ， 2423得kx k ,k Z ， 8 83 所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ．8 8f (x ) 2 s in x cos x 2 cos x sin 2x cos 2x 12 解法二：因为2 sin(2x ) 145 (Ⅰ) f ( ) 2 sin111 2 sin 1 2． 4 4 42(Ⅱ)T． 2 由2k 2x 2k ,k Z ，2423得kx k ,k Z ， 8 83所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ． 8 8123．(2023 福建)已知函数 f (x ) cos x (sin x cos x ) ．22 (Ⅰ)假设0 ，且sin，求 f ( ) 的值； 22 (Ⅱ)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 2 2（解析）解法一：(Ⅰ)因为0, sin , 所以cos． 2 2 22 2 2 1 1所以 f ( )( ) ． 2 2 2 2 21 11 cos 2x 1f (x ) sin x cos x cos 2 x sin 2x(Ⅱ)因为 2 22 21 12 sin 2x cos 2x sin(2x ) ，2 2 2 4 2 3所以T．由 2k 2x 2k ,k Z , 得k x k ,k Z ．2 2 4 2 8 83 所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ．8 81 1 1 cos 2x 1f (x ) sin x cos x cos 2 x sin 2x解法二： 2 22 21 12 sin 2x cos 2x sin(2x ) 2 2 2 42(Ⅰ)因为0 , sin, 所以 2 2 42 23 12从而 f ( ) 2 sin(2 ) sin 2 4 2 4 (Ⅱ)T2 3x k ,k Z ． 由2k 2x 2k ,k Z , 得k 2428 83所以 f (x ) 的单调递增区间为k,k ],k Z ． 8 8624．(2023 北京)函数 f x 3sin2x 的局部图象如下图． (Ⅰ)写出 f x 的最小正周期及图中 x 、 y 的值； 0 0 2 12,(Ⅱ)求 f x 在区间 上的最大值和最小值．7， y 0 3． （解析）：(I) f x 的最小正周期为 ， x 0 65(II)因为 x , ，所以2x 12 ,0，于是 2 6 6当2x 0，即 x 时， f x 取得最大值 0； 6 12当2x，即 x 时， f x 取得最小值 3．6 2 33 3 cos 2 x 25．(2023 天津)已知函数 f x cos x sinx ， x R ．34(Ⅰ)求 f x 的最小正周期； 4 4 (Ⅱ)求 f x 在闭区间 , 上的最大值和最小值．13 3 1 = sin2x 3（解析）(Ⅰ)由已知， f (x ) = sin cos x xcos 2 x cos 2x 22 4 4 41= sin(2x ) ，2 32所以 f (x ) 的最小正周期T ． 2(Ⅱ)∵ x， 4 45 t 2x ∴， 6 3 61 2由 y sin t 的图像知，-1 sin(2x ) 31 1 ∴ f (x ) ，2 4∴函数 f (x ) 在闭区间 , 1 -1 2 上的最大值为 ，最小值为 4 ． 4 42 f x3 sin x 0，x的图像关于直线26．(2023 重庆)已知函数 对称，且图 23象上相邻两个最gao 点的距离为 ．(I)求 和 的值；324 62 3 32 fcos 的值． ，求 (II)假设 （解析）：(I)因 f x 的图象上相邻两个最gao 点的距离为 ，所以 f x 的最小正周期 T ，从而22 ．又因 f x 的图象关于直线x 对称， T 3所以2 k ,k 0, 1, 2, ,因得k 0．32222 所以 ． 23 6236 1 (II)由(I)得 f 3 sin 2，所以sin ． 2 6 4 42 由得0 , 6 3 6 26 61 215 4 所以 cos 1 sin 2 1 4.3 2 6 6因此cossin sin 66sin cos cos sin6 6 13 15 13 15 =． 4 2 4 2 83f (x )3 sin 2 x sin x cos x ( 0) y f (x ) ，且 的图象的一个对称 27．(2023 山东)设函数 2中心到最近的对称轴的距离为 ． 4(Ⅰ)求 的值；3 f (x ) 在区间 ,]上的最大值和最小值．(Ⅱ)求 2 3（解析）(1) f (x ) ＝3 sin 2ωx －sin ωx cos ωx 23 1 cos 2 x 1 sin 2 x ＝ 3 1 π 3＝3 cos 2ωx － sin 2ωx ＝ sin 2 x ． 2 2 2 2 2 π因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，42π 2 π又ω＞0，所以=4 ．因此ω＝1． 4π 3(2)由(1)知 f (x ) ＝ sin 2x ．3π 2 5π 3 π 8π 3 π 3．所以 sin 2x 1 当π ≤x ≤时， ≤ 2x， 3 3 2 3 因此－1≤ f (x ) ≤． 23π故 f (x ) 在区间 π,3 上的最大值和最小值分别为 ，－1． 224 28． (2023 天津)已知函数 f (x ) 2 sin 2x 6sin x cos x 2 cos 2 x 1, x R ．(Ⅰ) 求 f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 求 f (x )在区间 0, 上的最大值和最小值．2π π （解析）(1) f (x ) ＝ 2 sin 2x · cos 2cos 2x sin ＋3sin 2x －cos 2x 4 4π 4＝2sin 2x －2cos 2x ＝2 2sin 2x ．2π2所以， f (x ) 的最小正周期 T ＝＝π．3π (2)因为 f (x ) 在区间 0, 3π π8 2 上是增函数，在区间 , 上是减函数． 83π 8 π2 又 f (0)＝－2， f2 2 ， f 2 ， π 故函数 f (x ) 在区间 0, 上的最大值为2 2 ，最小值为－2．2329．(2023 湖南)已知函数 f x cosx cos x 2 f ()的值； (1)求 314f (x )(2)求使 成立的 x 的取值集合．1 2 3 1 1 4（解析）(1) f (x ) cos x (cos x cos sin x sin3) (sin 2x cos 2x )32 2 1 1 2 13 1 1 2 14 sin(2x ) f ( ) sin .所以f ( ) ．2 6 43 2 24 4 3(2)由(1)知，11 1 f (x ) sin(2x ) sin(2x ) 0 (2x ) (2k ,2k )2 6 4 4 6 67 7x (k,k ),k Z .所以不等式的解集是：(k ,k ),k Z . 1212 12 12 2f (x )cos(2x ) sin x 2 30．(2023 安徽) 设函数 2 4(I)求函数 f (x ) 的最小正周期；(II)设函数 g (x ) 对任意 x R ，有 g (x ) g (x )，且当 x 0, ]时，2 21g (x ) f (x ) ； 求 g (x ) 在 , 0]上的解析式．22 1 1 1f (x )cos(2x ) sin 2 x cos 2x sin 2x (1 cos 2x ) （解析）2 4 2 2 21 1sin 2x ． 2 22(I)函数 f (x ) 的最小正周期T． 21 1 (Ⅱ)当 x 0, ]时， g (x ) f (x ) sin 2x ．2 221 1 当 x ,0时，(x ) 0, ]， g (x ) g (x ) sin 2(x ) sin 2x2 2 2 2 2 2 21 1 当 x , ) 时，(x ) 0, ) ， g (x ) g (x ) sin 2(x ) sin 2x2 2 2 21sin 2x ( x 0) 2 2 得：函数 g (x ) 在 ,0]上的解析式为 g (x )． 1 sin 2x ( x )22f (x ) A sin( x ) 1 A 0, 0 31．(2023 陕西)函数 ()的最大值为 3， 其图像相邻两条对称轴之间 6的距离为． 2f (x ) (1)求函数 的解析式； (0, ) f ( ) 2，求 的值．(2)设 ，则 2 2（解析）(Ⅰ)∵函数 f (x ) 的最大值是 3，∴A 1 3，即 A 2 ．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T ，∴ 2． 2f (x ) 2sin(2x ) 1 故函数 f (x ) 的解析式为． 61 2f ( ) 2 s in( ) 1 2 sin( ) (Ⅱ)∵ ，即 ，∴ ， 2 6 6 ∵0 ，∴，故 ． 2 6 6 3 6 6 32 (x )．32．(2023 山东)设 (Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间；(Ⅱ)在锐角△ ABC 中，角 A , B ,C ，的对边分别为a ,b ,c ，假设 f ( ) 0，a 1，求△ ABC 面积的最f (x ) sin x cos x cos 4A 2大值．1 cos(2x )1 1 1 12 （解析）(Ⅰ)由题意 f (x ) sin 2x sin 2x sin 2x2 2 2 2 2 1sin 2x ．2由 2k 2x 2k ( k Z )，可得 k x k ( k Z )； 2 2 4 43 3 由 2k 2x2k ( k Z )，得 k x k ( k Z )； 2 2 4 4所以 f (x )的单调递增区间是 k , k ( k Z )； 443单调递减区间是 k ,k ]( k Z )． 4 4A 1 1 (Ⅱ) f ( ) sin A 0， sin A ，2 223 由题意 A 是锐角，所以 cos A． 2由余弦定理：a 2 b 2 c 2 2bc cos A ，可得1 3bc b 2 c 2bc21bc2 3 ，且当b c 时成立．2 32 3 2 3bc sin A ．ABC 面积最大值为 ． 4 4f (x ) sin( x )( 0,0)的周期为 ，图像的一个对称中心为 ( ,0)，33．(2023福建)已知函数 4f (x ) 将函数 图像上的全部点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移 个单位长 2g (x ) 度后得到函数 的图像．(1)求函数f (x ) 与g (x )的解析式；x ( , ) (2)是否存在 ，使得 f (x ), g (x ), f (x )g (x ) 按照某种顺序成等差数列？假设存在，请确定6 4x 0 的个数；假设不存在，说明理由．a nF (x ) f (x ) ag (x ) 在(0,n )(3)求实数 与正整数 ，使得 内恰有 2023 个零点．f (x ) sin( x )0，得 2 的周期为 ，（解析）(Ⅰ)由函数y f (x ) ( ,0) (0, )， 又曲线 的一个对称中心为 4f ( ) sin(2 ) 0 ，得 f (x ) cos 2x 故 ，所以 4 4 2f (x )2y cos x图象上全部点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将将函数y cos x g (x ) sin x的图象向右平移 个单位长度后得到函数 2 x ( , )122 1 sin x ，0 cos 2x (Ⅱ)当 时， ， 6 4 2 2 所以sin x cos 2x sin x cos 2x ．在 问题转化为方程2cos 2x sin x sin x cos 2x ( , )内是否有解6 4设G (x ) sin x sin x cos 2x 2cos 2xx ( , )，6 4 G(x ) cos x cos x cos 2x 2 s in 2x (2 sin x ) 则x ( , ) G(x ) 0 G (x ) ( , ) 在 ，因为 ，所以 内单调递增6 4 6 41 42 G ( ) 0 G ( )0 又 ， 6 4 2且函数G (x ) 的图象连续不断，故可知函数G (x ) 在( , ) 内存在唯—零点 x 0， 6 4x ( , ) 即存在唯—的 满足题意． 0 6 4F (x ) a sin x cos 2xF (x ) a sin x cos 2x 0，令(Ⅲ)依题意， 当sin x 0 ，即 x k (k Z ) 时， cos 2x 1，从而 x k (k Z ) cos 2xF (x ) 0不是方程的解，所以方程F (x ) 0x 等价于关于 的方程ax k (k Z )，sin x 现研究x (0, ) U ( ,2 ) 时方程解的情况cos 2x令h (x )x (0, ) U ( ,2 ) ， sin xy a 与曲线y h (x ) 在x (0, ) U ( ,2 ) 的交点情况则问题转化为研究直线 2 x 1) 3 cos x (2sin h (x ) ，令 h (x ) 0 ，得 x x 或 ． sin 2x2 2h (x )h (x )和变化情况如下表 x当 变化时， x33 3(0, )( , ) ( , )( ,2 ) 2 2 2 2 2 2h (x )h (x )0 010 Z]]1Zx 0 x h (x ) 趋向于当 且 趋近于 时，x x且 趋近于 时，h (x ) 趋向于 h (x ) 趋向于 当 当 当 x x且 趋近于 时，x 2 x 2 时，h (x ) 趋向于且 趋近于 故当a 1时，直线y a 与曲线 y h (x ) 在(0, ) 内有无交点，在( ,2 )a 1内有 个交点；当 时，2 y a y h (x ) 在(0, ) 2 内有 个交点，在 ( ,2 ) 1 a 1y a 时，直线 与直线 曲线 直线 与曲线 内无交点；当 y h (x ) 在(0, )2内有 个交点，在 ( ,2 ) 2内有 个交点由函数h (x ) 的周期性，可知当a 1时， y a y h (x ) 在(0,n )n y a 内总有偶数个交点，从而不存在正整数 ，使得直线 与曲线与曲线 y h (x ) 在(0,n ) 内恰有2023个交点；当a 1时，直线 y a 3个交点，由周期性，2023 3 671，所以n 671 2 1342y h (x ) 在(0, )U ( ,2 ) 与曲线 内有综上，当a 1，n 1342 时，函数F (x ) f (x ) ag (x ) 在(0,n ) 内恰有2023个零点 考点 44 三角函数的实际应用1．(2023 新课标Ⅰ，理 6)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线OA ， 终边为射线OP ，过点 P 作直线OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线OP 的距离表示为 x 的函数 f (x ) ， 则 y = f (x ) 在0， ]上的图像大致为()（答案）B（解析）如图：过 M 作 MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM= cos x ，在 Rt OMP 中， OM PM cos x sin x 1 21sin 2x ，∴ f (x ) sin 2x (0 x )，选 B ． MD=cos x sin x OP 1 2 2．(2023 陕西)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x ) k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为6A ．5B ．6C ．8D ．10（答案）C（解析）由图象知： y2 ，因为 y3 k ，所以 3 k 2，解得：k 5，所以这段时间水深的minmin 最大值是 y max 3 k 3 5 8 ，应选 C ．3．(2023 新课标Ⅱ，理 16)设点 M( x 0 ，1)，假设在圆 O ：x 的取值范围是________． 2y 1上存在点 N ，使得∠OMN=45°，则 x 02 （答案） 1 x 0 1（ 解 析 ） 由 图 可 知 点 M 所 在 直 线 y 1 与 圆 O 相 切 ， 又 ON 1 ， 由 正 弦 定 理 得 ：ON OM1 OM sin ONM，∴ ，即：OM 2 sin ONM ，又∵0 ONM ， sin OMN sin ONM2 2∴OM 2 ，即 x 0 1 2 ，解之： 1 x 0 12 4 ．(2023 湖北) 某实验室一天的温度( 单位：℃) 随时间 t ( 单位：h) 的变化近似满足函数关系：π πf (t ) 10 3cos t sin t ，t 0, 24) ．12 12 (Ⅰ)求实验室这一天上午 8 时的温度； (Ⅱ)求实验室这一天的最大温差．π π2π 3 2π 3（解析）(Ⅰ) f (8) 10 3cos ( 8) sin ( 8) 10 3cossin 12 12 13 10 3 ( ) 10 ．2 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃．(Ⅱ)因为 f (t ) 10 2( cos t 1sin t ) =10 2sin( t π) ，3 π π π 2 12 2 12 12 3 π π π 7π 3 π π又0 t 24 ，所以 t 12 ， 1 sin( t ) 1．3 3 12 3 π ππ π 当t 2 时，sin(t ) 1；当t 14 时，sin( t ) 1． 12 312 3于是f(t) 在0, 24) 上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最gao温度为12 ℃，最di温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．5．(2023 江苏)某农场有一块农田，如下图，它的边界由圆O的一段圆弧MPN( P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40 米，点P到MN的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为 ．(1)用 分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin 的取值范围；(2)假设大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．（解析）(1)连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以 COE ，故OE 40 c os ，EC 40sin ，则矩形ABCD的面积为2 40 cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) ，1CDP的面积为 2 40 cos (40 40sin ) 1600(cossin cos ) ．2过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK KN 10．1 4令 GOK 0 ，则sin0 ， (0, ) ．0 6, ) 时，才能作出满足条件的矩形ABCD，当0 21所以sin 的取值范围是,1)．4答：矩形ABCD的面积为800(4sin cos cos ) 平方米， CDP的面积为11600(cos sin cos ) ，sin 的取值范围是 ,1)．4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k 0) ， 则年总产值为4k 800(4sin cos cos ) 3k 1600(cos sin cos )8000k (sin cos cos ) ， , ) ．0 2设 f ( ) sin cos cos ，, ) ， 0 2f () cos 2 sin 2 sin (2sin 2 sin 1) (2sin 1)(sin 1) ． 则 π 令 f () 0 ，得 ， 6当 ( , )时， f ′( )>0，所以 f ( )为增函数；0 6当 ( , ) 时， f ′( )<0，所以 f ( )为减函数，6 2π因此，当 时， f ( )取到最大值．6π 答：当 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．66．(2023 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ， E G 的长分别为 14cm 和 62cm ． 分 1 1 别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为 40cm ．(容器厚度、玻 璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在 容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC 1 上，求l 没入水中局部的长度； (2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG 1 上，求l 没入水中局部的长度．（解析）(1)由正棱柱的定义，CC 1 平面 ABCD ， 所以平面 A ACC 平面 ABCD ，CC AC ． 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在CC 1 上点 M 处． 因为 AC 10 7 ， AM 40．3MN 40 2 (10 7) 2 30，从而sin MAC ．所以 4记 AM 与水平的交点为 P ，过 P 作 PQ AC ，Q 为垂足， 1 1 1 1 1 则 PQ 平面 ABCD ，故 PQ 12，1 1 1 1 P 1Q sin MAC1 从而 AP 1 16．答：玻璃棒 没入水中局部的长度为 16cm ． l( 如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，则结果为 24cm)(2)如图，O ，O 是正棱台的两底面中心．1由正棱台的定义，OO ⊥平面EFGH ，1E 1EGG ⊥． EFGH ，OO EG1 所以平面 ⊥平面 1E 1EGG EFGH ，OO E 1G 同理，平面 ⊥平面 ⊥ ．1 1 1 1 1 1 1 记玻璃棒的另一端落在GGN上点 处．1G GK E G K，1为垂足， 则GK =OO 1 =32． 过 作 ⊥ 1EG = 14 E G= 62 因为 ， ， 24 ，从而GG 1 KG 1 162 14 KG 2 1 GK 2 24 2 32 40 2 所以 = ． 124 ∠EGG 1 ,∠ENG , sin sin( ∠KGG ) cos ∠KGG 设 则 ． 1 1253 5因为，所以cos． 240 14 7 在△ENG 中，由正弦定理可得，解得sin ． sin sin 2524 因为0 ，所以cos． 2 25于是sin ∠NEG sin( ) sin( ) sin cos cos sin4 24 3 7 3 5( ) ． 5 25 5 25 EN P P 2PQ 2 EG ，Q P 2QEFGH⊥平面P Q，故=12，从而2 2记 与水面的交点为 ，过 作 为垂足，则 2 2 22 P 2Qsin ∠NEG2EP 20． = 2 答：玻璃棒 没入水中局部的长度为 20cm ． (如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，则结果为 20cm)7．(2023 湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位： h )的变化近似满足函数关系：lπ πf (t ) 10 3cos t sin t ，t 0, 24) ．12 12 (Ⅰ)求实验室这一天的最大温差； (Ⅱ)假设要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？31 （解析）(Ⅰ)因为 f (t ) 10 2( cos t sin t ) 10 2sin( t )，2 12 2 12 12 37又0 t 24，所以 t ， 1 sin( t ) 1， 3 12 3 3 12 3当t 2时，sin(t ) 1；当 t 14时，sin( t ) 1； 12 3 12 3于是 f (t )在0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8．故实验室这一天最gao 温度为12 C ，最di 温度为8 C ，最大温差为4 C (Ⅱ)依题意，当 f (t ) 11时实验室需要降温． 1由(Ⅰ)得 f (t ) 10 2 s in( t )，所以10 2 s in( t ) 11 ，即sin( t ) ， 12 3 12 3 12 3 27 11又0 t 24，因此t，即10 t 18，故在 10 时至 18 时实验室需要降温． 6 12 3 6。
导数和三角函数练习题(有答案)
复习题1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 3．[2014·太原模拟]函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( ) A.(－∞，4) B.(0，＋∞) C.(0,4] D.[4，＋∞)4．已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =．则（ ）（A ）>>a b c （B ）>>a c b （C ）>>c a b （D ）>>c b a5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．[2014·郑州质检]要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8π个单位7．（5分）（2011•湖北）已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，x ∈R ，若f （x ）≥1，则x的取值范围为（ ） A.{x|k π+≤x≤k π+π，k ∈Z} B.{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z} C.{x|k π+≤x≤k π+，k ∈Z} D.{x|2k π+≤x≤2k π+，k ∈Z}8．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为 （ ）A ．1B ．0 C9．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)4321sin(2)(π+=x x f C ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)4321sin(2)(π-=x x f 10．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)421sin(4)(π-=x x f11．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象如图所示．为了得到g(x)＝－Acosωx(A ＞0，ω＞0)的图象，可以将f(x)的图象( )A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度12．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43-13．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度14．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.-4,4ππ⎤⎡⎥⎢⎣⎦， B.344ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.[,]2ππ15．为了得到sin 2y x =的图象，只需将sin(2)3y x π=+的图象 （ ）A ．向右平移3π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位16．已知1sin(),(0,)22ππαα+=-∈，则cos α的值为 .17．设角α是第三象限角，且sin2α＝－sin2α，则角2α是第________象限角． 18．若 tan α＝3，则 sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝______. 19．若sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.20．已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15. (1)求sinx －cosx 的值；(2)求tanx 的值．21．已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f(I)求函数()x f 的单调增区间; (II)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,求函数()x f 的最大值及相应的x 值.参考答案1．B 【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算 2．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质知1a >，0b <，由幂函数的性质知01c <<，故有a c b >>. 考点：对数、幂的比较大小 3．C【解析】设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t. 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t为关于t 的减函数， 所以0＜y ＝(12)t ≤(12)－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．4．（B ） 【解析】 试题分析：由0.60.6log 0.5>log 0.6=1,1a >.ln 0.5ln10,0b <=<.0.5000.60.61,01c <<=∴<<.可得a c b >>.故选（B ）考点：1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 5．B【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2， 当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 6．B【解析】∵y ＝cos2x ＝sin(2x ＋2π)，∴只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向4π个单位，即得y ＝sin2(x ＋4π)＝cos2x 的图象，故选B. 7．B 【解析】试题分析：利用两角差的正弦函数化简函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，为一个角的一个三角函数的形式，根据f （x ）≥1，求出x 的范围即可．解：函数f （x ）=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），因为f （x ）≥1，所以2sin （x ﹣）≥1，所以，所以f （x ）≥1，则x 的取值范围为：{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z}故选B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型． 8．A 【解析】试题分析：由已知，4112,(),2,3126A T πππω==⨯-==，所以()2sin 2()f x x ϕ＝＋， 将(),26π代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππϕϕ==⨯＋＋，所以，,326πππϕϕ==＋， ()2sin 2(0)2sin 2(),(01662s n 6)i f x x f πππ⨯==＝＋＝＋，故选A ．考点：正弦型函数，三角函数求值．9．B 【解析】试题分析：由图象可知函数的最大值为2，最小值为-2，所以2A =; 由图象可知函数的周期324,22T πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以221=42T ππωπ== 所以，13-+==2224πππϕϕ⎛⎫⨯∴ ⎪⎝⎭， 所以函数的解析式为：)4321sin(2)(π+=x x f 故答案选B.考点：三角函数的图象与性质. 10．B 【解析】试题分析：因为()()sin f x A x ωϕ=+,所以 ()()cos f x A x ωωϕ'=+由()f x ' 图象知32,4222T T ππππ⎛⎫=--=∴= ⎪⎝⎭,22142T ππωπ=== 2A ω=，4A ∴= 10224ππϕϕ⎛⎫⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭ ()14sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选B.考点：1、导数的求法；2、三角函数的图象与性质. 11．B【解析】由图象知，f(x)＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，g(x)＝－cos 2x ，代入B 选项得sin 52123x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2x ． 12．（C ） 【解析】试题分析：由1tan()47πα+=所以tan 113,tan 1tan 74ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.13．B 【解析】试题分析：由于函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，所以2ω=.所以函数()cos 2f x x = sin(2)2x π=+.所以将函数()x f y =向右平移8π即可得到()sin(2)4g x x π=+.故选B.考点：1.函数的平移.2.函数的诱导公式. 14．C 【解析】试题分析：A ：当[,]44x ππ∈-时，2[,]22x ππ∈-，不是减函数； B ：当3[,]44x ππ∈时，32[,]22x ππ∈，不是减函数； C ：当[0,]2x π∈时，2[0,]x π∈，是减函数；D ：当[,]2x ππ∈时，2[,2]x ππ∈，不是减函数，故选C.考点：三角函数单调性判断.15．B 【解析】试题分析：sin(2)3y x π=+sin 2()6x π=+，所以向右平移6π个长度单位即可. 考点：三角函数的平移变换. 16．23 【解析】试题分析：1s i n ()s i n 2παα+=-=-,即1sin 2α=，又(0,)2πα∈，故c o s i n 2α==.考点：诱导公式，同角三角函数的基本关系式. 17．四【解析】由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋32π (k ∈Z)，k π＋2π<2α<k π＋34π(k ∈Z)，知2α是第二或第四象限角，再由sin 2α＝－sin 2α知sin 2α<0，所以2α只能是第四象限角． 18．35【解析】sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα-++ ＝22tan 2tan 3tan 1ααα-++＝12610-＝35. 19．－35【解析】cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 32ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－35. 20．（1）75（2）-43【解析】(1)∵sinx ＋cosx ＝15，∴1＋2sinxcosx ＝125， ∴2sinxcosx ＝－2425，又∵0<x<π，∴sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴sinx －cosx 75＝.(2)111717sinx cosx tanx sinx cosx tanx ＋＋＝，＝－－，tanx ＝－43.21．(I) ()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.【解析】试题分析：(I)()1cos 2cos sin 322-+=x x x x f x x 2cos 2sin 3+=⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx 令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的图象和性质。
三角函数、数列、导数试题及详解
三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a，则实数y 的值为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为A B C D ．14-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为A ．12πB ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为A ．12B ．12-CD9．设函数f （x ） =e x （sinx —cosx ），若0≤x ≤2012π，则函数f （x ）的各极大值之和为A ．1006(1)1e e e πππ--B ．20122(1)1e e eπππ-- C ．10062(1)1e e e πππ-- D ．2012(1)1e e eπππ-- 10．设函数011()(),21xf x x A x =++为坐标原点，A 为函数()y f x =图象上横坐标为*()n n N ∈ 的点，向量11,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan 3nkk θ=<∑的最大整数n 是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设1(sin cos )sin 2,()3f f ααα+=则的值为 ．12．已知曲线1*()()n f x x n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++ 则的值为____．13．已知22sin sin ,cos cos ,33x y x y -=--=且x ，y 为锐角，则tan （x -y ）= ． 14．如图放置的正方形ABCD ，AB =1．A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称 这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可 得到“n 边形数列”，记它的第r 项为P （n ，r ），则（1）使得P （3，r ）>36的最 小r 的取值是 ；（2）试推导P （n ，r ）关于，n 、r 的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1cos 1)OA a x a OB x x ==-+ ，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-= 表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力． 【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。
高三数学导数计算试题答案及解析
高三数学导数计算试题答案及解析1. [2014·山东济宁]已知f(x)＝x2＋2xf′(2014)＋2014lnx，则f′(2014)＝()A．2015B．－2015C．2014D．－2014【答案】B【解析】f′(x)＝x＋2f′(2014)＋，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)＋，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.2.（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为_________．【答案】2x﹣y+1=0【解析】y′=3x2﹣1令x=1得切线斜率2所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1）即2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=03.已知函数（,）.（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为.（Ⅲ）【解析】（Ⅰ））利用导数的几何意义，在处切线的斜率为即为因为，所以当时，.，又，则曲线在处切线的方程为. （Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. （1）若，当，即时，函数为增函数；当，即和时，函数为减函数. 若，当，即和时，函数为增函数；当，即时，函数为减函数.（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，易得，从而.（Ⅰ）,.当时，.依题意，即在处切线的斜率为.把代入中，得.则曲线在处切线的方程为. .4分（Ⅱ）函数的定义域为..（1）若，当，即时，函数为增函数；当，即和时，函数为减函数.（2）若，当，即和时，函数为增函数；当，即时，函数为减函数.综上所述，时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为. .9分（Ⅲ）当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，则.可知在时，，为增函数；时，，为减函数.则.从而.另解：(1)当时，，所以不恒成立.(2)当且时，由（Ⅰ）知，函数的单调增区间为，单调减区间为.所以函数的最小值为，依题意，解得.综上所述，． .13分【考点】利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值4.如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】C【解析】因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x），此时两边对x求导得：f′（x）=﹣f′（﹣x），又因为f′（0）存在，把x=0代入得：f′（0）=﹣f′（0），解得f′（0）=0．故选C5.已知函数f（x）=，要得到f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）个单位．A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【答案】D【解析】∵f′（x）=2cos（2x+），∴f′（x）=cos（2x+），∴将f（x）=sin（2x+）向左平移个单位可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+）]=sin[（2x+）+]=cos（2x+）=f′（x），故选D．6.若直线是曲线的切线，则实数的值为．【答案】－e【解析】设切点为，则有因此【考点】利用导数求切线7.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】（1）先求导，再令导数等于0，解导数大于0得函数的增区间，解导数小于0得函数的减区间。
高三三角函数习题及答案
高三数学（理）一轮复习第五章三角函数 第一节 角的概念的推广与弧度制A 组1．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α3．若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．5．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．6．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．B 组1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．2．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．5．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第________象限．6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．7．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．8．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．9．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，则k 的值为________．10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．11．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .12．(1)角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角β的终边在直线y ＝3x 上，用三角函数定义求sin β的值．第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式A 组1．若cos α＝－35，α∈(π2，π)，则tan α＝________.2．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.3．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________.4．已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x2sin x ＋cos x＝______.5．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cos α，sin α的值．B 组1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.2． cos 10π3＝________.3．已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos 2α的值等于________．4．若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝_________________.5．已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝___________________.6．若θ∈[0，π)，且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________.7．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．8．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.9．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3)的值为________．10．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )的值．11．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三内角．12．已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)．(1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α值；(2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)的值．第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质A 组1．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是．①函数f (x )的最小正周期为2π②函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x )是奇函数2．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是________．①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数④最小正周期为π2的偶函数3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为________．4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．5．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．6．设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．B 组1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．.答案：3π22．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π6)3．若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为__．4．(函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．6．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．①y ＝4sin(4x ＋π6)②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 ④y ＝2sin(4x ＋π6)＋28．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．10．已知向量a ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )，向量b ＝(cos ωx,23)，其中ω>0，函数f (x )＝a ·b ，若f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意实数x ∈[π6，π3]，恒有|f (x )－m |<2成立，求实数m 的取值范围．11．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为4，求m 的值．12．已知函数f (x )＝3sin ωx －2sin 2ωx2＋m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]时，函数 f (x )的最小值为0.(1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．第四节 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像A 组1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于________．3．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．4．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f (x )的最小正周期为π2；②函数f (x )的振幅为23；③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝712π；④函数f (x )的单调递增区间为[π12，712π]；⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －23π)．5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 1＋2010)成立，则ω的最小值为________．6．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．B 组1．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象________．4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________.5．将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称．6．定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________．7．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．8．给出三个命题：①函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2；②函数y ＝sin(x －3π2)在区间[π，3π2]上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin(2x ＋5π6)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．9．当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．10．设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．1.解析：由于点P 从(－1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，32)．答案：(－12，32)2.α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tan α2<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①3.答案：三4.解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1.答案：{－1,3}5.解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－43 3.答案：－43或－433 6.解：因为sin α＝24y ＝y(－3)2＋y 2，所以y 2＝5，当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153；当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153. 7.解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限，sin α＝22； 当a <0时，点P (a ，－a )在第二象限，sin α＝22.答案：228.解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋α·R ＝612R 2·α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或49.解析：S ＝12|α|r 2＝12×23π×100＝1003π(cm 2)．答案：1003π cm 2答案：{56°，176°，296°}10.解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．答案：一或三11.解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r ＝(－6a )2＋(－8a )2＝10|a |，∴sin α－cos α＝y r －x r ＝－8a ＋6a 10|a |＝－a 5|a |＝±15.答案：±1512.解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 313.解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π414.解析：设α终边上任一点P (x ，y )，且|OP |≠0，∴y ＝kx ，∴r ＝x 2＋(kx )2＝1＋k 2|x |.又sin α>0，cos α<0.∴x <0，y >0，∴r ＝－1＋k 2x ，且k <0.∴sin α＝y r ＝kx －1＋k 2x ＝－k 1＋k 2，又sin α＝25.∴－k 1＋k 2＝25，∴k ＝－2.答案：－215.解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝103π(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12·103π·10－12·102sin60°＝50(π3－32)(cm 2)．15.解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr ＝8，∴r ＝82＋α.∴S 扇＝12αr 2＝12α·64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4，当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r ＝82＋2＝2 (cm)，∴|AB |＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．16.解：(1)根据题意，有x ＝4t ，y ＝－3t ，所以r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，①当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.②当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t＝－45，所以2sin α＋cos α＝65－45＝25.(2)设P (a ，3a )(a ≠0)是角β终边y ＝3x 上一点，若a ＜0，则β是第三象限角，r ＝－2a ，此时sin β＝3a －2a＝－32；若a ＞0，则β是第一象限角，r ＝2a ，此时sin β＝3a 2a ＝32. 第二节1.解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－432.解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35.答案：－353.解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：354.解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sin x －cos x 2sin x ＋cos x ＝5tan x －12tan x ＋1＝95.答案：955.解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3.答案：0或3或－ 36.解：由题意，得2sin αcos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713.③sin α－cos α＝713，④③＋④得：sin α＝1213.③－④得：cos α＝513.7.解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.答案：958.解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－129.解析：cos α＝－1－sin 2α＝－45， sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×35－45＝－32.10.解析：sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝165 11.解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12.答案：5－1212.解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ＝0或sin θ－cos θ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π413.解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.14.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.解析：∵f (α)＝sin α·cos α·cot α－cos α＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12.答案：－1215.解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3]＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.(2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32×(－12)＝－34.16.解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32.又A 、B 是三角形内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.解：(1)∵a ∥b ，∴3cos α－1·(sin α－m )＝0，∴m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－π3)．又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－π3)＝－1时，m min ＝－2.此时α－π3＝32π，即α＝116π.(2)∵a ⊥b ，且m ＝0，∴3sin α＋cos α＝0.∴tan α＝－33.∴cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)＝sin α·(－sin2α)－cos α＝tan α·2sin α·cos α＝tan α·2sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α·2tan α1＋tan 2α＝12. 第三节1.解析：∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，y ＝－cos x 为偶函数，∴T ＝2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y 轴对称．答案：④2.解析：y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos(2x －π2)＝sin2x ，∴T ＝π，且为奇函数3.解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2.答案：24.解析：∵x ＝π12是对称轴，∴f (0)＝f (π6)，即cos0＝a sin π3＋cos π3，∴a ＝33.5.解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x ＝π3对称，所以有sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k 1π－π6(k 1∈Z )，由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0得2x ＋k 1π－π6＝k 2π(k 2∈Z )，∴x ＝π12＋(k 2－k 1)π2，当k 1＝k 2时，x ＝π12，∴f (x )图象的一个对称中心为(π12，0)．答案：(π12，0)6.解：(1)f (x )＝32(cos2x ＋1)＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin(2x ＋π3)，故T ＝π.由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，所以单调递增区间为[k π－512π，k π＋π12](k ∈Z )．(2)令f (x )＝1，即sin(2x ＋π3)＝1，则2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )．于是x ＝k π＋π12(k ∈Z )，∵0≤x <3π，且k ∈Z ，∴k ＝0,1,2，则π12＋(π＋π12)＋(2π＋π12)＝13π4.∴在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π.7.解析：f (x )＝cos 2x 3＋sin 2x 3＝2sin(2x 3＋π4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝2π23＝3π，∴T 2＝3π2 8.解析：④中，∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为对称轴．解析：π4<x <π2，tan x >1，令tan 2x －1＝t >0，则y ＝tan2x tan 3x ＝2tan 4x 1－tan 2x ＝2(t ＋1)2－t ＝－2(t ＋1t ＋2)≤－8，故填－8.9.解析：因为f (x )＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－(cos x －1)2＋2，又其在区间[－2π3，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－π2. 答案：－π210.解析：由题意，得2π4ω≥2π3，∴0<ω≤34，则ω的最大值为34.答案：3411.解析：因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x 0＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]，得x 0＝－π6.12.解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4m －A ＝0，解得A ＝m ＝2，又最小正周期为2πω＝π2，所以ω＝4，又直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin(4×π3＋φ)＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6.答案：④13.解析：函数y ＝sin π2x 的周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现两个波峰，则t ≥54T ＝5.答案：514.解析：∵y ＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，且由函数y ＝f (x )与直线y ＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y ＝f (x )的周期T ＝π，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x＋π6)．令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 15.解：(1)f (x )＝a ·b ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )·(cos ωx,23)＝sin2ωx ＋3(1＋cos2ωx )＝2sin(2ωx ＋π3)＋ 3.∵相邻两对称轴的距离为π，∴2π2ω＝2π，∴ω＝12， ∴f (x )＝2sin(x ＋π3)＋ 3.(2)∵x ∈[π6，π3]，∴x ＋π3∈[π2，2π3]，∴23≤f (x )≤2＋ 3.又∵|f (x )－m |<2，∴－2＋m <f (x )<2＋m .,若对任意x ∈[π6，π3]，恒有|f (x )－m |<2成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2＋m ≤23，2＋m ≥2＋3，解得3≤m ≤2＋2 3. 16.解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π]．(2)当x ∈[0，π6]时，∵f (x )单调递增，∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值为m ＋3，即m ＋3＝4，解之得m ＝1，∴m 的值为1.17.解：(1)f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx －1＋m ＝2sin(ωx ＋π6)－1＋m .依题意，函数f (x )的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝23.∴f (x )＝2sin(2x 3＋π6)－1＋m .当x ∈[0，π]时，π6≤2x 3＋π6≤5π6，12≤sin(2x 3＋π6)≤1，∴f (x )的最小值为m .依题意，m ＝0.∴f (x )＝2sin(2x 3＋π6)－1.(2)由题意，得f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1＝1，∴sin(2C 3＋π6)＝1.而π6≤2C 3＋π6≤5π6，∴2C 3＋π6＝π2，解得C ＝π2.∴A ＋B ＝π2. 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )．第四节1.解析：函数的最小正周期为T ＝2π|a |，∴当|a |>1时，T <2π.当0<|a |<1时，T >2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．os 2A －sin A －sin A ＝0，解得sin A ＝－1±52.∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12. 2.解析：y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)3.解析：因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，f (x )的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π6.4.解析：据图象可得：A ＝3，T 2＝5π6－π3⇒T ＝π，故ω＝2，又由f (7π12)＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2k π－2π3(k ∈Z )，又－π<φ<π，故φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x ＝7π12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤5.解析：显然结论成立只需保证区间[x 1，x 1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，则2010≥2πω2⇒ω≥π2010.答案：π2010解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32，令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得：ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32，当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52.令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴4k π＋4π3≤x ≤4k π＋103π(k ∈Z )．即x ∈[4k π＋4π3，4k π＋103π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．1.解析：由图可知，T 2＝2π－34π，∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y ＝sin(45x ＋φ)．又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z . ∵－π≤φ<π，∴φ＝910π. 答案：910π2.解析：由图象知T ＝2(2π3－π6)＝π.∴ω＝2πT ＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.答案：π63.解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，∴2πω＝π，故ω＝2. 又f (x )＝sin(2x ＋π4)∴g (x )＝sin[2(x ＋π8)＋π4]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x .答案：向左平移π8个单位长度4.解析：T 2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT ＝3.又(712π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，代入f (π2)＝－23，得A ＝223，∴f (0)＝23. 答案：235.解析：由y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)可知其函数图象关于点(－π6，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－π12，0)对称，只需向右平移π12即可．答案：右 π126.解析：由题意，知f (x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x －π6)，其图象向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －π6＋m )，平移后其对称轴为x －π6＋m ＝k π＋π2，k ∈Z .若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋2π3(k ∈Z )，故m 的最小值为2π3.答案：2π37.解析：y ＝tan(ωx ＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]，即y ＝tan(ωx ＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋k π(k ∈Z )时，两图象重合，此时ω＝12－6k (k ∈Z )．∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12.答案：128.解析：由于函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，故函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2，①正确；y ＝sin(x －3π2)＝cos x ，该函数在[π，3π2)上单调递增， ②正确；当x ＝5π4时，y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin(5π2＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos 5π6＝－32，不等于函数的最值，故x ＝5π4不是函数y ＝sin(2x ＋5π6)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：29.解析：当0≤x ≤1时，y ＝sin πx2的图象如图所示，y ＝kx 的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k ≤0时，y ＝kx 在[0,1]上的图象恒在x 轴下方，原不等式成立．当k >0，kx ≤sin πx2时，在x ∈[0,1]上恒成立，k ≤1即可．故k ≤1时，x ∈[0,1]上恒有sin πx2≥kx .答案：k ≤110.解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)依题意，得g (x )＝2sin[3(x －π2)＋π4]＋2＝2sin(3x －5π4)＋2.由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )．故g (x )的单调增区间为[23k π＋π4，23k π＋7π12](k ∈Z )．11.解：(1)由最低点为M (2π3，－2)得 A ＝2.由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵x ∈[0，π12]，∴2x ＋π6∈[π6，π3]，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.12.解：法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.法二：(1)同法一．(2)由(1)得 ，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]．g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin(－3x ＋3m ＋π4)＝sin(3x ＋3m ＋π4)对x ∈R 恒成立．∴sin(－3x )cos(3m ＋π4)＋cos(－3x )·sin(3m ＋π4)＝sin3x cos(3m ＋π4)＋cos3x sin(3m ＋π4)，即2sin3x cos(3m ＋π4)＝0对x ∈R 恒成立．∴cos(3m ＋π4)＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.。
高三数学导数试题答案及解析
高三数学导数试题答案及解析1.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为的定义域为，又，由，得．当时，，当时，据题意，，解得．故选B．【考点】应用导数研究函数的单调性2.曲线处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】切线斜率，故切线方程为，即，其和坐标轴围成的三角形面积，选A.【考点】导数的几何意义、直线方程.3.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为 .【答案】【解析】由题意知在有定义，即在恒成立，即，又在增，故在恒成立，因为，故，综上可知,.【考点】利用导数研究函数单调性、函数最值.4.定义在上的函数同时满足以下条件：①函数在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③函数在处的切线与直线垂直. （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若存在使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由三个条件可得三个等式，从而可求出三个未知数.（Ⅱ）一般地若存在使得，则;若存在使得，则.在本题中，由可得: .则大于的最小值.试题解析：（Ⅰ）,由题设可得:所以（Ⅱ）由得: 即:令由题意得:所以在单调递增,在上单调递减又,所以的最小值为【考点】函数的性质,导数的求法及应用.5.设函数 (R)，且该函数曲线在处的切线与轴平行.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：当时，.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当时，，在上单调递增，求出在上的最大值为和最小值，用最大值减去最小值可得结论.试题解析：（Ⅰ），由条件知，故则 3分于是.故当时，；当时，。
从而在上单调递减，在上单调递增. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递增，故在上的最大值为最小值为 10分从而对任意有，而当时，，从而12分【考点】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值；3.正余弦函数的取值范围.6.曲线在点处的切线方程为 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴切线方程为，即.【考点】用导数求切线方程.7.过坐标原点与曲线相切的直线方程为 .【答案】【解析】设切点坐标为，∵，∴，∴，∴切线方程为，又∵在切线上，∴即，又∵在曲线上，∴，∴，∴切线方程为即.【考点】过点求切线.8.已知函数,则函数的图象在点处的切线方程是 .【答案】【解析】，由得，切线斜率为，所以切线方程为，即.【考点】1.直线方程；2.导数的几何意义.9.已知函数在点处的切线方程是x+ y－l=0，其中e为自然对数的底数，函数g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），对一切x∈（0,+）均有恒成立．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ）,,；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求、，利用导数导数法判断单调性，用函数的最值积恒成立求；（Ⅱ）构造新函数，利用导数法求的最小值，利用结合（Ⅰ）中的结论进行证明.试题解析：（Ⅰ）,,,,. (2分),由于,所以当时,是增函数,当时,是减函数,,由恒成立，，即恒成立，①（4分）令，则，在上是增函数，上是减函数，，即，当且仅当时等号成立 .，由①②可知，，所以. (6分)（Ⅱ）证法一:所求证不等式即为.设,,当时,是减函数,当时,是减函数,,即. (8分)由（Ⅰ）中结论②可知,,,当时,,从而 (10分).(或者也可)即,原不等式成立. (12分)【考点】导数法判断函数的单调性，恒成立，不等式的证明.10.曲线C：在x＝0处的切线方程为________．【答案】【解析】因为，，所以，，曲线在点处的切线的斜率为，曲线在点处的切线的方程为，故答案为．【考点】导数的几何意义11.已知，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义计算的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是奇函数，由定积分的性质【考点】考查定积分的简单计算．12.已知函数的导函数为（其中为自然对数的底数，为实数）,且在上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，，在上恒成立，此时函数在上是单调递增函数，与题设条件矛盾，排除A、B选项，由于，故，函数的导函数，令，解不等式得，解不等式得，故函数在区间上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，亦即最小值，由于函数在上不是单调函数，故函数存在变号零点，，由于，解得.【考点】函数的单调性与导数13.已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（Ⅰ）由，得．又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得．（Ⅱ），①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．②当时，令，得，．，；，．所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值．（Ⅲ）当时，令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解．假设，此时，，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．又时，，知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当时，．直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解．①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．②当时，方程（*）化为．令，则有．令，得，当变化时，的变化情况如下表：当时，，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为．所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是．综上，得的最大值为．此题的一二问考查的是最基本的函数切线问题及对极值含参情况的讨论，所以导数公式必需牢记，对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出现问题的地方.而第三问对于曲线是否无交点要懂得转化成函数零点或方程根的个数问题处理，这也是常规处理含参就比较麻烦，平时要多加练习.【考点】本小题主要考查函数与导数，两数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．属综合要求比较高的难题.14.设，则的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于，那么可知，故选C.【考点】定积分的运算点评：主要是考查了分段函数的解析式以及定积分的计算，属于基础题。
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2014-2015学年度第一学期高三数学（理）函数与三角函数综合测试试卷命题人：周扬本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分为150分，考试用时为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、函数243,[0,3]y x x x=-+∈的值域为 ( )A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]2、下列函数中，值域为(),0-∞的是（）A．2y x=-B.131()3y x x=-< C.1yx= D.y=3、7cos()6π-的值为（）A．12- B.12C.2- D.24．已知31sin()23πα+=，则cos2α=（）A．79-B．79C．13-D．135．将函数)26cos(xy-=π的图像向右平移12π个单位后所得的（）图像的一个对称轴是A．6π=x B．4π=x C．3π=x D．12xπ=6、在ABC△中，若60,45,A B BC︒︒∠=∠==AC=（）.A．B． D．27.已知2)2sin()cos()sin()2sin(=-+--+-xxxxπππ，则)43tan(π+x的值为（）A.2B.2-C.21D.21-8．已知函数()sin()(,A0,0,||)2f x A x x Rπωφωφ=+∈>><的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为()A．ωπ=，3πφ=B．2ωπ=，3πφ=C．ωπ=，6πφ=D．2ωπ=，6πφ=第II卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 计算(cos1)x dxπ+=⎰π．10．函数ln()(0)xf x xx=>的单调递增区间是(0,]e．11、函数y=的定义域是___(,2]-∞-_____12、已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于_60°或120°.13、ABC∆中，若1,3ABCa C S∆===b=14、关于函数()cos2cosf x x x x=-，下列命题：①若1x，2x满足12x xπ-=，则()()12f x f x=成立；②()f x在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；④将函数()f x的图像向左平移127π个单位后将与2sin2y x=的图像重合．其中正确的命题序号①③④（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知函数()sin(),4f x A x x Rπ=+∈，且53()122fπ=；（1）求A的值；（2）若3()()2f fθθ+-=，(0,)2πθ∈，求3()4fπθ-；【答案】（1）由已知，5523sin sin1212432f A Aππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A=（2）由（1）知，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以：()()4444sin cos cos sin sin cos cos sin 44443cos 42f f ππθθθθππθθππππθθθθπθθ⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭===解得cos θ=，又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=.所以()33444f πππθθπθθ⎛⎫⎛⎫-=-+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16、已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =-- （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若()10f α=，求sin 2α的值．解：（1）由已知，……………………………4分所以的最小正周期为，单调递增区间为37[2,2]44k k ππππ++. ……………………………6分 （2）由（1）知，所以. ……………………8分所以，……………………………12分或由得：……………………8分两边平方得：，所以。
……………………12分17、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos B =，2b =，求△ABC 的面积. 解：（Ⅰ）因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， 3分 又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. 6分 （Ⅱ）因为cos =B ，(0,π)∈B ，所以sin B ==. 8分 由正弦定理sin sin =a b A B ， 得 sin 3sin ==b Aa B. 10分因为 222b c a bc +=+， 所以 2250--=c c ， 解得1=±c 12分因为 0>c ，所以1=c . 故△ABC的面积1sin 22S bc A ==. 14分18、已知函数b xax x f ++=ln )(，当1=x 时，)(x f 取得极小值3. （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值和最小值.解：（Ⅰ）因为()21xax x f -=' 2分所以()()⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=='3013101b a a f f 4分 解得⎩⎨⎧==21b a 6分（Ⅱ）因为()21ln ++=x x x f 所以()22111xx x x x f -=-='所以()10=⇒='x x f当1=x 时，)(x f 取得极小值即最小值：()()31min ==f x f因为()04ln 4ln ln 2ln 2232212323>=-=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛e e f f当21=x 时，)(x f 取得最大值()2ln 421max -=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f 19．(本题满分14分)已知函数2()2cos1sin (01)f x x x x ωωωω=-+<<，直线()3x f x π=是图象的一条对称轴．（1）试求ω的值：（2）已知函数)(x g y =的图象是由y=()f x 图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位长度得到，若6(2),(0,),sin 352g ππααα+=∈求的值。
20、已知函数，．（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a 的取值范围；解：（1）当时，，其定义域为（0，+∞）.因为，…………………………1分所以在（0，+∞）上单调递增，…………………………2分所以函数不存在极值. …………………………3分（2）由存在一个，使得成立，等价于，即成立…………………………4分令，等价于“当时，”.…………………………5分因为，且当时，，所以在上单调递增，…………………………7分故，因此. …………………………8分。