二元一次方程组竞赛题集
二元一次方程组竞赛卷
二元一次方程组竞赛卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）（A ）2311089x y x y ⎧+=⎨-=-⎩（B ）426xy x y =⎧⎨+=⎩（C ）21734x y y x-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩（D ）24795x y x y +=⎧⎨-=⎩ 2．二元一次方程组⎩⎨⎧==+x y y x 2,102的解是() （A ）⎩⎨⎧==;3,4y x （B ）⎩⎨⎧==;6,3y x （C ）⎩⎨⎧==;4,2y x （D ）⎩⎨⎧==.2,4y x 3．根据图1所示的计算程序计算y 的值，若输入2=x ，则输出的y 值是（）（A ）0（B ）2-（C ）2（D ）44．如果2315a b 与114x x y a b ++-是同类项，则x ，y 的值是() （A ）⎩⎨⎧==31y x （B ）⎩⎨⎧==22y x （C ）⎩⎨⎧==21y x （D ）⎩⎨⎧==32y x 5．已知12x y =⎧⎨=⎩是方程组的解，则a +b =(). （A ）2（B ）－2（C ）4（D ）－46．如图2，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是()（A ）9015x y x y +=⎧⎨=-⎩（B ）90215x y x y +=⎧⎨=-⎩（C ）90152x y x y +=⎧⎨=-⎩（D ）290215x x y =⎧⎨=-⎩ 7．如果二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-a y x a y x 3的解是二元一次方程0753=--y x 的一个解，那么a 的值是()（A ）3（B ）5（C ）7（D ）98.若的一个解是方程02=+⎩⎨⎧==y x b y a x ，()b a a ,,0则≠的符号为（） A 、b a ,同号B 、b a ,异号C 、b a ,可能同号可能异号D 、0,0=≠b a A D BC图2 y ° x °9.已知：关于y x ,的方程组y x ，a y x a y x -⎩⎨⎧-=++-=+则3242的值为（） A 、－1B 、1-a C 、0D 、110.6年前，A 的年龄是B 的3倍，现在A 的年龄是B 的2倍，则A 现在的年龄为（）A 、12B 、18C 、24D 、30二、填空题（每小题4分，共20分）11．若关于x ，y 的二元一次方程组23-12-2x y k x y +=⎧⎨+=⎩的解满足x ＋y =1，则k 的取值范围是. 12．一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为_______．13.甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x 米/秒，乙的速度为y 米/秒，则列方程组为___________________________．14．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图（1）方式放置，再交换两木块的位置，按图（2）方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A 、74cmB 、75cmC 、76cmD 、77cm15.某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果,1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果,1千克C 水果.已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元，C 水果每千克10元。
二元一次方程组竞赛题集(答案 解析)
二元一次方程组典型例题【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解二元一次方程组能力提升讲义知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
二元一次方程组专项练习100道
二元一次方程组专项练习100道提供了一份包含100道二元一次方程组练题的卷子。
以下是其中的部分题目：1.判断以下是否为二元一次方程组的解：$\begin{cases} x-\frac{1}{3}y=2 \\ 5y=26 \end{cases}$。
答案：是。
2.判断以下是否为方程组$\begin{cases} y=1-x \\ 3x-2y=13\end{cases}$的一组解。
答案：是。
3.由两个二元一次方程组成的方程组一定是二元一次方程组吗？答案：是。
4.将方程组$\begin{cases} 2y-35x-6y=-27x+4 \\ 5x+2y=2\end{cases}$转化为同解的方程组。
答案：$\begin{cases} 2y-35x-6y=-27x+4 \\ 15x+6y=6 \end{cases}$。
5.如果$(a^2-1)x^2+(a-1)x+(2a-3)y=0$是二元一次方程组，则$a$的值为$\pm1$。
答案：是。
6.如果$x+y=0$，且$|x|=2$，则$y$的值为2.答案：是。
7.如果方程组$\begin{cases} mx+my=m-3x \\ 4x+10y=8\end{cases}$有唯一的解，则$m$的值为$m\neq-5$。
答案：是。
8.如果方程组$\begin{cases} x+y=2 \\ 3x+3y=6\end{cases}$有无数多个解。
答案：是。
9.如果$x+y=5$，且$x$和$y$的绝对值都小于5的整数解共有5组。
答案：是。
10.如果方程组$\begin{cases} 3x-y=1 \\ x+5y=3\end{cases}$的解是方程$x+5y=3$的解，反过来方程$x+5y=3$的解也是方程组$\begin{cases} 3x-y=1 \\ x+5y=3\end{cases}$的解。
答案：是。
11.如果$|a+5|=5$，$a+b=1$，则$a-b$的值为$-\frac{7}{3}$。
二元一次方程组解法奥赛题
10.（2003信利杯）已知三个数a，b，c满足
ab = 1／3 ， bc = 1／4 ，
a+b
b+c
ca
abc
c+a = 1／5 ，则 ab+bc+ca 的值为（ A )
A. 1 B. 1 C. 2
D. 1
6
12
15
20
12.若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0 （xyz≠0），
则式子 5x 2+2 y 2- z 2 的值等于（ D ） 2x 2-3 y-210 z 2
8.（1997山东）如果 x=2是方程组 ax+by=7的解，则a与c
y=1
bx+cy=5
的关系是（ ）
A.4a+c=9 B.2a+c=9 C.4a-c=9 D.2a-c=9
9.(重庆竞赛)已知 (x-y+1) 2 +︱2x+y-7︱=0,
则 x 2 -3xy+ 2y 2 的值为( )
A.0 B.4 C.6 D.12
10.(五羊杯竞赛)满足 (y+z)1999 + (z+x)1999 的整数解组(x,y,z)有( )
A.3 B.5 C.8 D. 12
+(x-y+1) 2 =2
11.若︱a+b+1︱与(a-b+1) 2 互为相反数,则a与b的大小
关系是( ) （2004广西）
A.a＞b B.a=b C.a＜b D.a≥b
x,y的二元一次方程,则 m 的值等于 -_3_________.
n
7
4上海竞赛）若a-b=2，a-c=1／2，
二元一次方程组经典练习题集+答案100道
二元一次方程组练习题100道（卷一）（范围：代数： 二元一次方程组）一、判断1、⎪⎩⎪⎨⎧-==312y x 是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-910326523y x y x 的解 …………（ ） 2、方程组⎩⎨⎧=+-=5231y x xy 的解是方程3x -2y =13的一个解（ ）3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（ ）4、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++25323473523y x y x ，可以转化为⎩⎨⎧-=--=+27651223y x y x （ ）5、若(a 2-1)x 2+(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（ ）6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（ ）7、方程组⎩⎨⎧=+-=+81043y x xm my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（ ）8、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+623131y x y x 有无数多个解 …………（ ） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（ ） 10、方程组⎩⎨⎧=+=-3513y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组⎩⎨⎧=+=-3513y x y x 的解 ………（ ）11、若|a +5|=5，a +b =1则32-的值为b a ………（）12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则437yx +=（ ）二、选择：13、任何一个二元一次方程都有（ ） （A ）一个解；（B ）两个解； （C ）三个解；（D ）无数多个解；14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ） （A ）5个（B ）6个（C ）7个（D ）8个15、如果⎩⎨⎧=+=-423y x ay x 的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）a <2； （B ）34->a ； （C ）342<<-a ； （D ）34-<a ； 16、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x my x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m 的值是（ ）（A ）2；（B ）-1； （C ）1； （D ）-2；17、在下列方程中，只有一个解的是（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+0331y x y x（B ）⎩⎨⎧-=+=+2330y x y x（C ）⎩⎨⎧=-=+4331y x y x（D ）⎩⎨⎧=+=+3331y x y x18、与已知二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ） （A ）15x -3y =6 （B ）4x -y =7（C ）10x +2y =4（D ）20x -4y =319、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） （A ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x（B ）⎩⎨⎧=+=+75z y y x（C ）⎩⎨⎧=-=6231y x x（D ）⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x20、已知方程组⎩⎨⎧-=+=-135b y ax y x 有无数多个解，则a 、b 的值等于（ ）（A ）a =-3,b =-14 （B ）a =3,b =-7 （C ）a =-1,b =9（D ）a =-3,b =1421、若5x -6y =0，且xy ≠0，则yx yx 3545--的值等于（ ）（A ）32 （B ）23 （C ）1 （D ）-122、若x 、y 均为非负数，则方程6x =-7y 的解的情况是（ ） （A ）无解（B ）有唯一一个解 （C ）有无数多个解（D ）不能确定23、 （A ）14（B ）-4 （C ）-12 （D ）1224、已知⎩⎨⎧-==24y x 与⎩⎨⎧-=-=52y x 都是方程y =kx +b 的解，则k 与b 的值为（ ） （A ）21=k ，b =-4 （B ）21-=k ，b =4 （C ）21=k ，b =4（D ）21-=k ，b =-4 三、填空：25、在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =________，当y =-2时，x =_______ 若x 、y 都是正整数，那么这个方程的解为___________；26、27、如果0.4x -0.5y =1.2，那么用含有y 的代数式表示的代数式是_____________； 28、29、方程|a |+|b |=2的自然数解是_____________； 30、如果x =1，y =2满足方程141=+y ax ，那么a =____________； 31、已知方程组⎩⎨⎧-=+=+m y x ay x 26432有无数多解，则a =______，m =______；32、若方程x -2y +3z =0，且当x =1时，y =2，则z =______；33、34、若x +y =a ，x -y =1同时成立，且x 、y 都是正整数，则a 的值为________； 35、从方程组)0(030334≠⎩⎨⎧=+-=--xyz z y x z y x 中可以知道，x :z =_______；y :z =________；36、四、解方程组 五、解答题：47、甲、乙两人在解方程组 时，甲看错了①式中的x 的系数，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==475847107y x ；乙看错了方程②中的y 的系数，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==19177681y x ，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；48、使x +4y =|a |成立的x 、y 的值，满足(2x +y -1)2+|3y -x |=0，又|a |+a =0，求a 的值；49、代数式ax 2+bx +c 中，当x =1时的值是0，在x =2时的值是3，在x =3时的值是28，试求出这个代数式；50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a 的值。
专题01 二元一次方程组(五大题型)(题型专练)(解析版)
专题01 二元一次方程组（五大题型）【题型1 二元一次方程的概念】【题型2 根据二元一次方程的定义求参数】【题型3 二元一次方程的解】【题型4 解二元一次方程】【题型5 二元一次方程组的概念】【题型1 二元一次方程的概念】1．（2023春•浦北县月考）下列选项中，是二元一次方程的是（ ）A．y＝x B．x+y2＝2C．x﹣y D．x+y＝z 【答案】A【解答】解：A．y＝x是二元一次方程，故此选项符合题意；B．x+y2＝2是二元二次方程，故此选项不合题意；C．x﹣y不是等式，不是方程，故此选项不合题意；D．x+y＝z是三元二次方程，故此选项不合题意．故选：A．2．（2023春•松北区期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）A．3x2+y＝8B．x﹣1＝﹣4C．x+y﹣2＝0D．x﹣y﹣z＝10【答案】C【解答】解：A．方程3x2+y＝8的最高次数是2，选项A不符合题意；B．方程x﹣1＝﹣4是一元一次方程，选项B不符合题意；C．方程x+y﹣2＝0是二元一次方程，选项C符合题意；D．方程x﹣y﹣z＝10是三元一次方程，选项D不符合题意．故选：C．3．（2023春•任丘市期末）在下列方程中，是二元一次方程的为（ ）A．2x﹣6＝y B．y﹣1＝5C．yz＝8D．【答案】A【解答】解：A．该方程是二元一次方程，故符合题意；B．该方程是一元一次方程，故不符合题意；C．该方程符合二元二次方程的定义，故不符合题意；D．该方程不是整式方程，故不符合题意．故选：A．4．（2023春•连山区月考）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）①xy＝1；②2x＝3y；③；④x2+y＝3；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：∵2x＝3y，是二元一次方程；xy＝1，，x2+y＝3不是二元一次方程，∴所有方程中，只有方程①和方程⑤共2个二元一次方程，故选：B．【题型3 二元一次方程的解】11．（2023春•云阳县期末）下列哪对x ，y 的值是二元一次方程x +2y ＝6的解（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：A ．当x ＝﹣2，y ＝﹣2，得x +2y ＝﹣6，那么x ＝﹣2，y ＝﹣2不是x +2y ＝6的解，故A 不符合题意．B ．当x ＝0，y ＝2，得x +2y ＝4，那么x ＝0，y ＝2不是x +2y ＝6的解，故B 不符合题意．C ．当x ＝2，y ＝2，得x +2y ＝2+4＝6，那么x ＝2，y ＝2是x +2y ＝6的解，故C 符合题意．D ．当x ＝3，y ＝1，得x +2y ＝3+2＝5，那么x ＝3，y ＝1不是x +2y ＝6的解，故D 不符合题意．故选：C ．12．（2023春•丹徒区期末）是下面哪个二元一次方程的解（ ）A ．y ＝﹣x +2B ．x ﹣2y ＝1C ．x ＝y ﹣2D ．2x ﹣3y ＝1【答案】D【解答】解：把x ＝5代入A ，得y ＝﹣5+2＝﹣3，所以不是二元一次方程A 的解；把x ＝5代入B ，得y ＝（5﹣1）÷2＝2，所以不是二元一次方程B 的解；把x ＝5代入C ，得y ＝5+2＝7，所以不是二元一次方程C 的解；把x ＝5代入D ，得y ＝（10﹣1）÷3＝3，所以是二元一次方程D 的解．故选：D ．13．已知21x y =ìí=î是二元一次方程3kx y -=的一个解，那么k 的值是（ ）A ．1k =B ．2k =C ．1k =-D ．2k =-【答案】B【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．【详解】解：把21x y =ìí=î代入二元一次方程3kx y -=得：213k -=，解得：2k =；故选：B ．14．下列四组数值是二元一次方程26x y -=的解的是（ ）A ．26x y =ìí=îB ．42x y =ìí=îC ．24x y =ìí=-îD ．23x y =ìí=î【答案】B【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将各项中x与y的值代入方程检验即可．【详解】解：A、把26xy=ìí=î代入方程得：左边462=-=-，右边6=，左边¹右边，不符合题意；B、把42xy=ìí=î代入方程得：左边826=-=，右边6=，左边=右边，符合题意；C、把24xy=ìí=-î代入方程得：左边448=+=，右边6=，左边¹右边，不符合题意；D、把23xy=ìí=î代入方程得：左边431=-=，右边6=，左边¹右边，不符合题意；故选：B．15．（2023•西山区校级开学）二元一次方程2x+y＝8的正整数解有（ ）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C【解答】解：由2x+y＝8得：y＝8﹣2x，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝4；当x＝3时，y＝2；∴二元一次方程2x+y＝8的正整数解有3组，故选：C．16．（2023春•霸州市期末）已知关于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么●的值是（ ）A．2B．1C．﹣3D．﹣2【答案】C【解答】解：设•＝a，由题意得：﹣2a﹣2＝4，解得：a＝﹣3，【题型4 解二元一次方程】19．（2023春•怀安县期末）已知二元一次方程3x﹣y＝6，用x表示y的式子为（ ）A．y＝3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝3x﹣6D．y＝﹣3x+6【解答】解：移项，得﹣y＝6﹣3x，系数化1，得y＝3x﹣6．故选：C．20．（2023春•天津期末）把二元一次方程2x﹣3y＝4写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：2x﹣3y＝4，2x＝4+3y，x＝，故选：A．21．（2023春•浠水县校级期末）把方程3x+y﹣1＝0改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）A．x＝B．x＝C．y＝3x﹣1D．y＝1﹣3x【答案】D【解答】解：3x+y﹣1＝0，y＝1﹣3x．故选：D．22．（2023春•梁园区期末）把方程2x+y＝3改写成用含x的代数式表示y的形式为（ ）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣3【答案】C【解答】解：方程2x+y＝3，解得：y＝﹣2x+3．故选：C．23．（2022秋•朝阳区校级期末）已知方程2x+y＝6，用含x的代数式表示y，则y＝ 6﹣2x ．【答案】6﹣2x．【解答】解：2x+y＝6，移项，得y＝6﹣2x．故答案为：6﹣2x．∴二元一次方程24x y +=的正整数解为21x y =ìí=î，故答案为：21x y =ìí=î．【题型5 二元一次方程组的概念】26．（2023春•攸县期中）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：A 、有3个未知数，不是二元一次方程组，故A 不符合题意；B 、有2个未知数，但是最高次数是2，不是二元一次方程组，故B 不符合题意；C 、有两个未知数，方程的次数是1次，所以是二元一次方程组，故C 符合题意；D 、有两个未知数，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故D 不符合题意．故选：C ．27．（2023春•威海期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：A ．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；B ．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；C ．是二元一次方程组，故本选项符合题意；D ．第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；故选：C ．28．（2023春•东兰县期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）。
江苏省2022-2023学年七年级下学期第10章《二元一次方程组》竞赛题精选(附解析)
江苏省2022-2023学年七年级下学期第10章《二元一次方程组》竞赛题精选学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元2．（5分）若关于x，y的方程组没有实数解，则（）A．ab＝﹣2B．ab＝﹣2且a≠1C．ab≠﹣2 D．ab＝﹣2且a≠2 3．（5分）有一份选择题试卷共6道小题，一道小题答对得8分，不答得0分，答错倒扣2分，某同学共得了20分，那么他答卷情况是（）A．答对1题B．答对3题C．有3题没答D．答错2题4．（5分）方程x+y+z＝7的正整数解有（）A．10组B．12组C．15组D．16组5．（5分）方程（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解有（）A．3对B．4对C．5对D．6对6．（5分）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（）A．30 B．34 C．40 D．447．（5分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（）①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则y＝﹣；A．①②B．②③C．②③④D．①③④8．（5分）如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为l，则标号为①的正方形的边长为（）A．l B．lC．l D．l二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为．10．（5分）如图所示，矩形ABCD被分成一些正方形，已知AB＝32cm，则矩形的另一边AD＝cm．11．（5分）若2x﹣3y+z＝0，3x﹣2y﹣6z＝0且xyz≠0，则＝．12．（5分）如图，甲乙两车分别自A、B两城同时相向行驶，在C地相遇继续行驶分别达到B、A两城后，立即返回，在D处再次相遇．已知AC＝30千米，AD ＝40千米，则AB＝千米，甲的速度：乙的速度＝．13．（5分）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．14．（5分）已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝时，n取得最小值．三．解答题（共4小题，满分30分）15．（6分）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．16．（8分）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）17．（8分）爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物．在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，（1）求随身听和书包单价各是多少元．（2）新年来临赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？18．（8分）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙5 8 10汽车运载量（吨/辆）汽车运费（元/辆）400 500 600（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？《二元一次方程组》竞赛题精选答案解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值．【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．故选：B．【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想．2．（5分）若关于x，y的方程组没有实数解，则（）A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab＝﹣2且a≠2【分析】把①变形，用y表示出x的值，再代入②得到关于y的方程，令y的系数等于0即可求出ab的值．【解答】解：，由①得，x＝﹣1﹣ay，代入②得，b（﹣1﹣ay）﹣2y+a＝0，即（﹣ab﹣2）y＝b﹣a，因为此方程组没有实数根，所以﹣ab﹣2＝0，ab＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，解答此类问题时要熟知解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法．3．（5分）有一份选择题试卷共6道小题，一道小题答对得8分，不答得0分，答错倒扣2分，某同学共得了20分，那么他答卷情况是（）A．答对1题B．答对3题C．有3题没答D．答错2题【分析】假设答对x题，答错的有y题，不答的有z题，依题意得，满足6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0且都为整数，分情况讨论即可得出答案．【解答】解：设答对x题，答错的有y题，不答的有z题，依题意得：，满足6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0且都为整数，当x＝0时，z＝﹣10，不合题意舍去；当x＝1时，z＝﹣6，不合题意舍去；当x＝2时，z＝﹣2，不合题意舍去；当x＝3时，z＝2，y＝1；当x＝4时，z＝6，y＝﹣4，不合题意舍去；当x＝5时，z＝10，y＝﹣9，不合题意舍去；当x＝6时，z＝14，y＝﹣14，不合题意舍去；综上所述，该同学答对的有3题，答错的有1题，不答的有2题．故选：B．【点评】本题考查了三元一次方程组的知识，解答此题的关键是列出方程组，就x的取值讨论得到方程组的解，难度较大．4．（5分）方程x+y+z＝7的正整数解有（）A．10组B．12组C．15组D．16组【分析】利用已知条件方程x+y+z＝7的正整数解，得出x，y，z的取值范围，列出所有的可能即可．【解答】解：根据已知条件1≤x≤5，1≤y≤5，1≤z≤5，列出所有的可能即可：当x＝1时，x＝1，y＝1，z＝5x＝1，y＝2，z＝4x＝1，y＝3，z＝3x＝1，y＝4，z＝2x＝1，y＝5，z＝1当x＝2时，x＝2，y＝1，z＝4x＝2，y＝2，z＝3x＝2，y＝3，z＝2x＝2，y＝4，z＝1当x＝3时x＝3，y＝1，z＝3x＝3，y＝2，z＝2x＝3，y＝3，z＝1当x＝4时，x＝4，y＝1，z＝2x＝4，y＝2，z＝1当x＝5时，x＝5，y＝1，z＝1所以共有15组．故选：C．【点评】此题主要考查了三元一次方程的解法，从已知入手得出未知数的取值范围即可，难度不大．5．（5分）方程（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】要求方程（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解，知其两个因式分别等于1，7或7，1即可．【解答】解：∵要求（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解，∵7＝1×7，∴有两种情况：①|x|+1＝1，|y|﹣3＝7，解得x＝0，y＝±10，②|x|+1＝7，|y|﹣3＝1解得，x＝±6，y＝±4，∴方程（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解有6对．故选：D．【点评】此题考查二元一次方程的解及其取整问题和绝对值的性质，是一道比较有难度的题．6．（5分）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（）A．30 B．34 C．40 D．44【分析】将x、y的值分别代入y＝x3+ax2+bx+c，转化为关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值，再把x＝4代入，求出y的值．【解答】解：把x＝5，y＝50；x＝6，y＝60；x＝7，y＝70代入y＝x3+ax2+bx+c，得，解得；代入y＝x3+ax2+bx+c得：y＝x3﹣18x2+117x﹣210，把x＝4代入y＝x3﹣18x2+117x﹣210得：y＝43﹣18×42+117×4﹣210＝64﹣288+468﹣210＝34，解法二：y﹣10x＝x3+ax2+bx+c＝0有三个根5，6，7，∴y＝（x﹣5）（x﹣6）（x﹣7）+10x．∴当x＝4时，y＝34．故选：B．【点评】本题通过建立关于a，b，c的三元一次方程组，求得a、b、c的值后而求解．7．（5分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（）①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则y＝﹣；A．①②B．②③C．②③④D．①③④【分析】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，①+②得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确，（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确，（3）方程组，解得，∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，因此③是正确的，（4）方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），即；y＝﹣+因此④是正确的，故选：D．【点评】考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．8．（5分）如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为l，则标号为①的正方形的边长为（）A．l B．l C．l D．l【分析】设两个大正方形边长为x，小正方形的边长为y，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可．【解答】解：长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴两个大正方形相同、2个长方形相同．设两个大正方形边长为y，小正方形的边长为x，∴小长方形的边长分别为（y﹣x）、（x+y），大长方形边长为（2y﹣x）、（2y+x），∵大长方形周长＝l，即：2[（2y﹣x）+（2y+x）]＝l，∴8y＝l，∴y＝∵3个正方形和2个长方形的周长和为l，即：，∴16y+4x＝，∴x＝，则标号为①的正方形的边长，故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质和二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为45 ．【分析】设十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和是9、新两位数﹣原两位数＝9”列方程组求解可得．【解答】解：设十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得：，解得：，∴原来的两位数为45，故答案为：45．【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意抓住相等关系列出方程是解题的关键．10．（5分）如图所示，矩形ABCD被分成一些正方形，已知AB＝32cm，则矩形的另一边AD＝29 cm．【分析】可以设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，根据已知AB＝CD＝32cm，可得到两个关于xy的方程，求方程组即可得解，然后求矩形另一边AD的长即可，仍可用xy 表示出来．【解答】解：设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，将各个正方形的边长都用x和y表示出来（如图），根据AB＝CD＝32cm，可得，解得：x＝4cm，y＝5cm．矩形的另一边AD＝x+2y+y+2y＝x+5y＝29cm．故答案填：29．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂图意根据矩形的性质列出方程组并求解．11．（5分）若2x﹣3y+z＝0，3x﹣2y﹣6z＝0且xyz≠0，则＝．【分析】此题可先联立两个方程成为二元一次方程组然后求出x，y，z的比值，再把原式化简即可．【解答】解：∵2x﹣3y+z＝0，3x﹣2y﹣6z＝0，将前式乘以2，后式乘以3，两式相减得：x＝4z，将前式乘以3，后式乘以2，两式相减得：y＝3z．∴．【点评】此题考查的是学生对于二元一次方程的解法的了解，能够较好的运用比值关系求解．12．（5分）如图，甲乙两车分别自A、B两城同时相向行驶，在C地相遇继续行驶分别达到B、A两城后，立即返回，在D处再次相遇．已知AC＝30千米，AD ＝40千米，则AB＝65 千米，甲的速度：乙的速度＝．【分析】设甲速度为a，乙速度为b，BD为x千米，根据到C点时甲乙用时相同可列一个方程，再根据到达D时两人用时也相同可得第二个方程，求方程组的解即可．【解答】解：设甲速度为a，乙速度为b，BD为x千米，根据题意得：，解方程得x＝25，．则AB＝AD+BD＝65（千米）．故答案两空分别填：65、．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，看懂图意，根据题目给出的条件找出等量关系，列出方程组再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．13．（5分）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．【分析】利用整体思想可得，【解答】解：利用整体思想可得，解得．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题．14．（5分）已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝72 时，n 取得最小值 5 ．【分析】先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值．【解答】解：移项得，n＝﹣﹣75＝﹣75，∵m、n为正整数，∴﹣75≥0，∴m≥67.5，若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数，∴当m＝72时，n最小＝5．【点评】本题考查的是解二元一次方程，解答此类题目时要注意此类方程属不定方程，由无数组解，要根据题意找出符合条件的未知数的对应值．三．解答题（共4小题，满分30分）15．（6分）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．【分析】（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．【解答】解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x＝15，y＝8．则原方程组的解是．【点评】此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．16．（8分）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）【分析】设长方形的长和宽为未数，根据图示可得到关于xy的两个方程，可求得解，从而可得到大长方形的面积，再根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6个小长方形的面积求解即可．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，x+3y＝14，①x+y﹣2y＝6，即x﹣y＝6，②①﹣②得4y＝8，y＝2，代入②得x＝8，因此，大矩形ABCD的宽AD＝6+2y＝6+2×2＝10．矩形ABCD面积＝14×10＝140（平方厘米），阴影部分总面积＝140﹣6×2×8＝44（平方厘米）．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，以及学生对图表的阅读理解能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．17．（8分）爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物．在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，（1）求随身听和书包单价各是多少元．（2）新年来临赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？【分析】（1）设书包单价为x元，则随身听单价为y元，根据随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，列方程组求解；（2）根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱．【解答】解：（1）设书包单价为x元，则随身听单价为y元，由题意得，，解得：．答：书包单价92元，随身听单价360元．（2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金：452×＝361.6（元）∵361.6＜400，∴可以选择在人民商场购买；在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2＝362（元），∵362＜400，∴可以选择在家乐福购买．∵362＞361.6，∴在人民商场购买更省钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．18．（8分）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙5 8 10汽车运载量（吨/辆）汽车运费（元/辆）400 500 600（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆列出方程组即可．（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，列出等式．【解答】解：（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得，解得．答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆．（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得5a+8b+10（14﹣a﹣b）＝120，化简得5a+2b＝20，即a＝4﹣b，∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数，∴b只能等于5，从而a＝2，14﹣a﹣b＝7，∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，∴需运费400×2+500×5+600×7＝7500（元）．答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握。
二元一次方程组竞赛题集(答案+解析)
二元一次方程组竞赛题集（答案+解析）【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【例2】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【例3】解方程组【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.1、【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法. （１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.【例2】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式. 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.解：设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数. 依题意可得方程：2x+5y=33.因为5y个位上的数只可能是０或５，所以2x个位上数应为３或８.又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少.答：付款方式有３种，分别是：付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱. 其中第一种付款方式付出的张数最少.【例3】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得 y=4－mx，③把③代入②，得 2x+5（4－mx）=8，解得（2－5m）x=-12，当2－5m＝0，即m＝时，方程无解，则原方程组无解.当2－5m≠0，即m≠时，方程解为将代入③，得故当m≠时，原方程组的解为【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．对于x、y的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则①时，原方程组有惟一解；②时，原方程组有无穷多组解；③时，原方程组无解.【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.（2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.因为 1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得0<x<25．①当0<x≤20，y≤40时，由题意，得②当0<x≤20，y>40时，由题意，得（与0<x≤20，y≤40相矛盾，不合题意，舍去）．③当20<x<25时，25<y<30．此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合题意，舍去）.综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.答：张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.【例6】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2０００，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的正方形纸板数×横式纸盒个数 = 正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的长方形纸板数×横式纸盒个数 = 长方形纸板的总数通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个. 根据题意，得①×4-②，得５y=2000，解得 y=400.把y=400代入①，得 x+800=1000，解得 x=200.所以方程组的解为因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.答：竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰好将库存的纸板用完.。
二元一次方程组练习题100道
二元一次方程组练习题100道二元一次方程组练题100道（卷一）1、判断1、方程组x-3y=2y=-x/3的解是y=5/26的解。
（×）2、方程组y=1-x3x+2y=5的解是方程3x-2y=13的一个解。
（√）3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组。
（×）4、方程组2y-3x=27x-45x+6y=23可以转化为2y-35x=45y+27x=635、若(a-1)x+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，则a的值为±1.（√）6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2.（×）7、方程组mx+my=m-3x4x+10y=8有唯一的解，那么m的值为m≠-5.（√）8、方程组x+y=23x=3有无数多个解。
（√）9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组。
（√）10、方程组3x-y=1x+5y=3的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组3x-y=1x+5y=3的解。
（√）11、若|a+5|=5，a+b=1则a2-b3的值为-7.（√）12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则x=(7+3y)/4.二、选择：13、任何一个二元一次方程都有（D）无数多个解；14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（C）7个；15、如果x-y=a3x+2y=4的解都是正数，那么a的取值范围是（C）-2<a<4/3；16、关于x、y的方程组x-y=9mx+2y=3m的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（D）-2；17、在下列方程中，只有一个解的是（A）x+y=13x+3y=418、与已知的二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（B）4x-y=7.改写：已知方程组5x-y=2和4x-y=7有无数多个解，则选项B的方程组成立。
19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（A）{x+y=4.11x+y=9}。
(完整版)二元一次方程组经典练习题+答案解析100道
二元一次方程组练习题100道（卷一）1、⎪⎩⎪⎨⎧-==312y x 是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-910326523y x y x 的解 …………（ ） 2、方程组⎩⎨⎧=+-=5231y x xy 的解是方程3x -2y =13的一个解（ ）3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（ ）4、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++25323473523y x y x ，可以转化为⎩⎨⎧-=--=+27651223y x y x （ ）5、若(a 2-1)x 2+(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（ ）6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（ ）7、方程组⎩⎨⎧=+-=+81043y x xm my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（ ）8、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+623131y x y x 有无数多个解 …………（ ） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（ ） 10、方程组⎩⎨⎧=+=-3513y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组⎩⎨⎧=+=-3513y x y x 的解 ………（ ） 11、若|a +5|=5，a +b =1则32-的值为b a ………（）12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则437yx +=（ ） 二、选择：13、任何一个二元一次方程都有（ ） （A ）一个解； （B ）两个解；（C ）三个解； （D ）无数多个解；14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ）（A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个 15、如果⎩⎨⎧=+=-423y x ay x 的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）a <2； （B ）34->a ； （C ）342<<-a ； （D ）34-<a ；16、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+my x my x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m 的值是（ ）（A ）2； （B ）-1； （C ）1； （D ）-2；17、在下列方程中，只有一个解的是（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+0331y x y x（B ）⎩⎨⎧-=+=+2330y x y x（C ）⎩⎨⎧=-=+4331y x y x（D ）⎩⎨⎧=+=+3331y x y x18、与已知二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ）（A ）15x -3y =6 （B ）4x -y =7 （C ）10x +2y =4 （D ）20x -4y =3 19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x （B ）⎩⎨⎧=+=+75z y y x（C ）⎩⎨⎧=-=6231y x x（D ）⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x20、已知方程组⎩⎨⎧-=+=-135b y ax y x 有无数多个解，则a 、b 的值等于（ ）（A ）a =-3,b =-14（B ）a =3,b =-7 （C ）a =-1,b =9（D ）a =-3,b =14 21、若5x -6y =0，且xy ≠0，则y x yx 3545--的值等于（ ）（A ）32 （B ）23 （C ）1 （D ）-122、若x 、y 均为非负数，则方程6x =-7y 的解的情况是（ ） （A ）无解 （B ）有唯一一个解 （C ）有无数多个解 （D ）不能确定23、若|3x +y +5|+|2x -2y -2|=0，则2x 2-3xy 的值是（ ）（A ）14 （B ）-4 （C ）-12 （D ）12 24、已知⎩⎨⎧-==24y x 与⎩⎨⎧-=-=52y x 都是方程y =kx +b 的解，则k 与b 的值为（ ） （A ）21=k ，b =-4 （B ）21-=k ，b =4 （C ）21=k ，b =4（D ）21-=k ，b =-4 三、填空：25、在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =________，当y =-2时，x =_______ 若x 、y 都是正整数，那么这个方程的解为___________； 26、方程2x +3y =10中，当3x -6=0时，y =_________；□x +5y =13 ① 4x -□y =-2 ②27、如果0.4x -0.5y =1.2，那么用含有y 的代数式表示的代数式是_____________； 28、若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ； 29、方程|a |+|b |=2的自然数解是_____________； 30、如果x =1，y =2满足方程141=+y ax ，那么a =____________； 31、已知方程组⎩⎨⎧-=+=+my x ay x 26432有无数多解，则a =______，m =______；32、若方程x -2y +3z =0，且当x =1时，y =2，则z =______；33、若4x +3y +5=0，则3(8y -x )-5(x +6y -2)的值等于_________；34、若x +y =a ，x -y =1同时成立，且x 、y 都是正整数，则a 的值为________； 35、从方程组)0(030334≠⎩⎨⎧=+-=--xyz z y x z y x 中可以知道，x :z =_______；y :z =________；36、已知a -3b =2a +b -15=1，则代数式a 2-4ab +b 2+3的值为__________；四、解方程组37、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1332343n m nm ； 38、)(6441125为已知数a a y x a y x ⎩⎨⎧=-=+； 39、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+125432y x yx y x ； 40、⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++0)1(2)1()1(2x y x x x y y x ； 41、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=+=+6253)23(22)32(32523233y x y x yx y x ； 42、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x ；43、⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=-+3113y x z x z y z y x ； 44、⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+101216x z z y y x ；45、⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+35351343z y x z y x z y x ； 46、⎪⎩⎪⎨⎧=+-==30325:3:7:4:z y x z x y x ；五、解答题：47、甲、乙两人在解方程组 时，甲看错了①式中的x 的系数，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==475847107y x ；乙看错了方程②中的y 的系数，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==19177681y x ，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；48、使x +4y =|a |成立的x 、y 的值，满足(2x +y -1)2+|3y -x |=0，又|a |+a =0，求a 的值；49、代数式ax 2+bx +c 中，当x =1时的值是0，在x =2时的值是3，在x =3时的值是28，试求出这个代数式；50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a 的值。
二元一次方程组竞赛题集答案解析
二元一次方程组培优专题一【例1】方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k 的值.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.【例2】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元与５元两种面值的人民币各假设干张，买了一件这种商品. 假设无需找零钱，那么付款方式有哪几种〔指付出２元与５元钱的张数〕？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】此题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式. 然后找出量与未知量设元，列方程组求解.最后，比拟各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少..【例3】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零. 【小结】含字母系数的一次方程组的解法与数字系数的方程组的解法一样，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．5. 对于x、y的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，那么①时，原方程组有惟一解；②时，原方程组有无穷多组解；③时，原方程组无解.【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小一样，两道侧门大小也一样.平安检查中，对4道门进展了训练：当同时开启一道正门与两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门与一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.〔1〕求平均每分钟一道正门与一道侧门各可以通过多少名学生？〔2〕检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.平安检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门平安撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合平安规定？请说明理由.【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购置香蕉50千克〔第二次多于第一次〕，共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购置香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购置香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格与张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购置香蕉的千克数.【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进展分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.。
初一二元一次方程组竞赛题
解 二元一次方程组1⎩⎨⎧-=+=-)1(212y x y x 2⎩⎨⎧-=--=-85)1(21)2(3y x x y3⎩⎨⎧=-=+6)3(242y x 4⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++0)1(2)1()1(2x y x x x y y x 5⎩⎨⎧-=-=-+)()()(2y 39x 47y 3y x 2 6⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+193213225y x y x 7⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3431332n m n m 8⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1332343n m nm9⎪⎩⎪⎨⎧=+=-123222n m n m 1011233210x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 11⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x 12⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+1624)(4)(3yx y x y x y x135341134x y x y x y x y +-⎧-=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩ 14⎪⎩⎪⎨⎧=+---=+--216710125y x y x y x y x 15357,23423 2.35x y x y ++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩ 16⎪⎩⎪⎨⎧=+-=653425y x y x 17⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y 18⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=-3593332y y x yx1 9⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-++12131222131y x y x 20、 21243y x x x y --+==解二元一次方程组1⎩⎨⎧=+=-172305y x y x 2⎩⎨⎧=+-=-5332yx y x 3⎩⎨⎧=-+=+-0100730203y x y x 420328x y x y -=⎧⎨+=⎩5⎩⎨⎧-=-=+92312y x y x 6⎩⎨⎧=+=+1341632y x y x 737,35;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 8220,7441;x y x y ++=⎧⎨-=-⎩93216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩ 10523,611;x y x y -=⎧⎨+=⎩11⎩⎨⎧=-=-22534y x y x 12128x y x y -=⎧⎨+=⎩1320328x y x y -=⎧⎨+=⎩ 14⎩⎨⎧=+=-74823x y y x15⎩⎨⎧=+=-172305y x y x 16⎩⎨⎧=-=-432534y x y x17⎩⎨⎧-=+-=-672953y x y x 18⎩⎨⎧=-=+422822y x y x1935231x y x y =⎧⎨-=⎩ 20⎩⎨⎧=-=+113032y x y x解三元一次方程组1⎩⎪⎨⎪⎧x 7 =y 10 =z 5 2x+3y=44 2⎩⎪⎨⎪⎧x+y=z 2x+y+z=7x-3y+z=83⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+598x z z y y x 4⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+101216x z z y y x 5 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=-+3113y x z x z y z y x 6⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++6654564233832z y x z y x z y x7⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+35351343z y x z y x z y x 8⎪⎩⎪⎨⎧=+-==30325:3:7:4:z y x z x y x9⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++182126z y x y x z y x 10⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++=++2311326z y x z y x z y x11⎪⎩⎪⎨⎧===-+2431632zy x z y x二元一次方程组应用题1、某长方形的周长是44cm ，若宽的3倍比长多6cm ，则该长方形的长和宽各是多少？2、已知梯形的高是7，面积是56cm 2，又它的上底比下底的三分之一还多4cm ，求该梯形的上底和下底的长度是多少？3.某校初一年级一班、二班共104人到博物馆参观，一班人数不足50人，二班人数超过50人，已知博物馆门票规定如下：1～50人购票，票价为每人13元；51～100人购票为每人11元，100人以上购票为每人9元（（1）若分班购票，则共应付1240元，求两班各有多少名学生？ （2）请您计算一下，若两班合起来购票，能节省多少元钱？ （3）若两班人数均等，您认为是分班购票合算还是集体购票合算？ 4、某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。
2020-2021学年浙江七年级数学下第二章《二元一次方程组》竞赛题(解析版)
2020-2021学年浙江七年级数学下第二章《二元一次方程组》竞赛题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程(m−2016)x|m| − 2015+(n+4)y|n| − 3=2018是关于x、y的二元一次方程，则()A. m=±2016；n=±4B. m=2016，n=4C. m=−2016，n=−4D. m=−2016，n=4【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．根据二元一次方程的定义可得：|m|−2015=1，|n|−3=1且m−2016≠0，n+4≠0，求出m、n的值．【解答】解：由题意得：|m|−2015=1，|n|−3=1，解得：m=±2016，n=±4，∵m−2016≠0，n+4≠0，解得：m≠2016，n≠−4，∴m=−2016，n=4．故选D．2.若k为整数，则使得方程(k−1999)x=2001−2000x的解也是整数的k值有()A. 4个B. 8个C. 12个D. 16个【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题，主要用的是排除法．先把原方程变形为(k−1999)x+2000x=2001，得出x=2001k+1然后求出2001的因数有16个．【解答】解：原方程变形得：(k −1999)x +2000x =2001， ∴x =2001k+1，∵k 为整数，∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，−1，−3，−23，−29，−69，−87，−667，−2001． ∴共有16个． 故选D ．3. 方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解为{x =4y =6，则方程组{4a 1x +3b 1y =5c14a 2x +3b 2y =5c 2的解为( )A. {x =4y =6B. {x =5y =6C. {x =5y =10D. {x =10y =15【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据方程组解的定义即可判断；把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，即可得到一个关于x ，y 的方程组，即可求解． 【解答】解：∵方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解为{x =4y =6，∴将第二个方程组的两个方程的两边都除以5，可得{45x =435y =6∴{x =5y =10, 故选C ．4. 设实数x 、y 满足{|x |+2y =11x −|y |=8，则13x −y =( )．A. 2或143B. 2C. 2或−10D. −10【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解法，绝对值，代数式求值，运用了整体代入法的有关知识，对x 、y 分类后化简绝对值，得二元一次方程组，求解后再计算13x −y 即可． 【解答】解：(1)当x >0，y >0时， 原方程组可化为{x +2y =11x −y =8 解得{x =9y =1(与x >0，y >0相符) ∴ 13x −y =2(2)当x >0，y <0时， 原方程组可化为{x +2y =11x +y =8解得{x =5y =3(与x >0，y <0不符，解不成立) (3)当x <0，y >0时， 原方程组可化为{−x +2y =11x −y =8 解得与x <0，y >0不符，解不成立) (4)当x <0，y <0时， 原方程组可化为{−x +2y =11x +y =8解得{x =53y =193(x <0,y <0不符，解不成立)故选B ．5. 已知关于x,y 的二元一次方程(2+3m )x +(2m −1)y −8−3m =0，当m 每取一个值时就得到一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是( )A. {x =197,y =−187.B. {x =719,y =−718.C. {x =1,y =−2D. {x =−1y =2【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程.解法一：当m 每取一个值就得到一个方程，而这些方程有一个公共解，说明方程中不含m 的项，即含m 的项的系数相加为0，则可以得到关于x,y 的二元一次方程组，它的解就是这些方程的公共解．解法二：本题也可以采用特殊值法，即取两个m 的不同值，得到两个方程，联立方程组，求出来的解就是这些方程的公共解． 【解答】 解：法一：已知 (2+3m )x +(2m −1)y −8−3m =0， 整理2x +3mx +2my −y −8−3m =0， m (3x +2y −3)+2x −y −8=0， 根据题意，得{3x +2y −3=0,2x −y −8=0, 解得{x =197,y =−187.故这个公共解是{x =197,y =−187. 故选A ． 法二：令m =1，得 5x +y −11=0. 令m =0，得 2x −y −8=0.联立方程组,得{5x +y −11=0,2x −y −8=0解得 {x =197,y =−187.故这个公共解是{x =197,y =−187.故选A ．6. 已知关于x ，y 的方程组{x +2y =k +22x −3y =3k −1，以下结论：①当x =1，y =2时，k =3；②当k =0时，方程组的解也是y −x =17的解；③存在实数k ，使x +y =0；④不论k 取什么实数，x +9y 的值始终不变，其中正确的是( )A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ①②③④【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的解法和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【解答】解：①把x =1，y =2代入原方程可得：{1+2×2=k +22×1−3×2=3k −1, 解出{k =3k =−1，故①不正确；②当k =0时，原方程组可整理得：{x +2y =22x −3y =−1, 解得：{x =47y =57,把{x =47y =57代入y −x =17得： y −x =57−47=17，即②正确；③解方程组{x +2y =k +22x −3y =3k −1得： {x =9k +47y =−k +57, 若x +y =0， 则9k+47+−k+57=0，解得：k =−98，即存在实数k ，使得x +y =0， 即③正确；④解方程组{x +2y =k +22x −3y =3k −1得： {x =9k +47y =−k +57, ∴x +9y =9k+47+9×−k+57=7，∴不论k 取什么实数，x +9y 的值始终不变，故④正确． 故选C ．7. 爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下则小明9:00时看到的两位数是( )A. 54B. 45C. 36D. 27【答案】D 【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，及二元一次方程组的解法．正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明9：00时看到的两位数，十位数为x ，个位数为y ，根据两位数之和为9可列一个方程，再根据匀速行驶，9：00～9：45时行驶的里程数除以时间等于9：45～12：00时行驶的里程数除以时间列出第二个方程，解方程组即可． 【解答】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x ，个位数为y ，即为10x +y ；则9：45时看到的两位数为x +10y ，9：00～9：45时行驶的里程数为：(10y +x)−(10x +y)；则12：00时看到的数为100x +y ，9：45～12：00时行驶的里程数为：(100x +y)−(10y +x)；由题意列方程组得：{x +y =910y+x−(10x+y)34=100x+y−(10y+x)94，解得：{x =2y =7，所以9：00时看到的两位数是27， 故选：D ．8. 某校七年级(1)班同学为“希望工程”共捐款206元，捐款情况如下表所示：由于不小心被墨水污染，表格中捐款4元和5元的人数已经看不清楚．根据已有的信息推断，捐款4元和5元的人数不可能为 ( )A. 6，24B. 8，22C. 11，20D. 16，16【答案】B 【解析】 【试题解析】 【分析】考查了二元一次方程整数解的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程求出整数解．通过理解题意可知本题只存在一个等量关系，即捐款总数=206，结合实际情况解应用题． 【解答】解：设捐款4元的人数为x ，捐款5元的人数是y ， 依题意得：2×6+4x +5y +10×5=206，解得y =144−4x5=4×36−x 5．所以y 为4的倍数， ∵xy 均为非负整数，∴{x =1y =28，{x =6y =24，{x =11y =20，{x =16y =16，{x =21y =12，{x =26y =8，{x =31y =4，{x =36y =0， 故捐款4元和5元的人数不可能为8，22． 故选：B ．9. 若4x −3y −6z =0，x +2y −7z =0(xyz ≠0)，则5x 2+2y 2−z 22x 2−3y 2−10z 2的值等于( )A. −12B. −192C. −15D. −13【答案】D【解析】解：由{4x −3y −6z =0x +2y −7z =0 解得{x =3zy =2z , 代入5x 2+2y 2−z 22x 2−3y 2−10z 2=45z 2+8z 2−z 218z 2−12z 2−10z 2=−13，故选：D ．先由{4x −3y −6z =0x +2y −7z =0解得{x =3z y =2z.，再代入5x 2+2y 2−z 22x 2−3y 2−10z 2即可．本题的实质是考查三元一次方程组的解法，通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成该未知数的二元一次方程组．10. 已知整数x ，y ，z ，满足x ≤y <z ，且{|x +y |+|y +z |+|z +x |=4,|x −y |+|y −z |+|z −x |=2,那么x 2+y 2+z 2的值等于( )．A. 2B. 14C. 2或14D. 14或17【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法以及代数式求值，解题关键是利用加减消元法结合x 、y 、z 为整数的条件求出x 、y 、z 的值.根据x ≤y <z 对第二个方程去绝对值化简，可得出z =x +1，再根据x ，y ，z 是整数且y <z 得出x =y ，将z =x +1和x =y 代入第一个方程可求出x 的值，进而得出y 和z 的值代入计算即可得出答案． [详解]解：∵x ≤y <z ，∴|x −y |=y −x, |y −z |=z −y, |z −x |=z −x,因而第二个方程可化简为：2z −2x =2, 即z =x +1．∴|x −y |+|y −z |=1.又∵ y <z,且y,z 为整数， ∴|y −z |≥1．∴|x −y |=0.∴x =y ．方程|x +y |+|y +z |+|z +x |=4中， 把x =y 代入得，2|x |+2|x +z |=4.∴|x |+|x +z |=2把z =x +1代入上式，得|x |+|2x +1|=2. ∴|x |=1,即x =±1.|2x +1|=1,即x =0或 x =−1.∴x =−1. ∴z =x +1=0. ∴y =x =−1.∴x 2+y 2+z 2=(−1)2+(−1)2+0=2.故选A ．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. 已知{x =3y =4是方程ax +by =7的一个解，求方程组{x +y =3a +4b +1x −y =−8b −6a −2的解为：___________． 【答案】{x =−4y =12 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解及二元元一次方程组的解法有关知识，先把方程的解代入ax +by =7中，得出3a +4b =1，然后再代入解答． 【解答】解：把{x =3y =4代入ax +by =7中可得3a +4b =7，把3a +4b =7代入方程组中可得{x +y =8x −y =−16，解得：{x =−4y =12．故答案为{x =−4y =1212. 4x a+2b−5−2y 3a−b−3=8是二元一次方程，那么4a +b =______．【答案】10【解析】解：由意义可知：{a +2b −5=13a −b −3=1解得：{a =2b =2∴4a +b =10， 故答案为：10根据二元一次方程的定义即可求出a 与b 的值．本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．13. 如果{x =2y =3是方程组{ax +by =7bx +ay =−2的解，那么代数式a 2−b 2的值为______．【答案】−9【解析】解：把{x =2y =3代入方程组{ax +by =7bx +ay =−2中，可得：{2a +3b =72b +3a =−2，解得：{a =−4b =5，把a =−4，b =5代入a 2−b 2=16−25=−9， 故答案为：−9把x 与y 的值代入方程组求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．14. 若关于x 、y 的二元一次方程组{3x −my =52x +ny =6的解是{x =1y =2，则关于a 、b 的二元一次方程组{3(a +b )−m (a −b )=52(a +b )+n (a −b )=6的解是_____．【答案】{a =32b =−12【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，将{x =1y =2代入{3x −my =52x +ny =6求出m 与n 的值，再将m 与n 的值代入所求不等式组即可求出解． 【解答】解：将{x =1y =2代入{3x −my =52x +ny =6得：{3−2m =52+2n =6, 解得：{m =−1n =2, 将{m =−1n =2代入{3(a +b )−m (a −b )=52(a +b )+n (a −b )=6得：{3(a +b )+(a −b )=52(a +b )+2(a −b )=6, 解得：{a =32b =−12．15. 已知关于x ，y 的方程组{3x +y =244x +ay =18有正整数解，则整数a 的值为____．【答案】−1 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与二元一次方程的整数解.根据题意可以先求出第一个方程的正整数解，然后将正整数解逐一代入a =18−4x y即可求解．【解答】解：由3x +y =24得，y =24−3x ， ∵关于x ，y 的方程组有正整数解，∴该方程组正整数解有{x =1y =21或{x =2y =18或{x =3y =15或{x =4y =12或{x =5y =9或{x =6y =6或{x =7y =3, 又由4x +ay =18得a =18−4x y(x 、y 为正整数)将上述方程组的正整数解逐一代入，当{x =6y =6时，a =−1(符合题意) 故答案为：−1．16. 在解关于x ，y 的方程组{ax +by =2cx −7y =8时，老师告诉同学们正确的解是{x =3y =−2，粗心的小勇由于看错了系数c ，因而得到的解为{x =−2y =2，则abc 的值为多少？ 【答案】−40 【解析】 【分析】本题是解二元一次方程的逆向思维，把所求得的x 、y 的值代入方程即可求出c 的值，然后再利用算错的学生的答案找到另一方程，与代入得到的方程组成方程组，解出a 、b 的值，最后代入求值即可． 【解答】解：将{x =3y =−2代入{ax +by =2cx −7y =8中的第二个方程，解得：c =−2．将两组解代入重组关于a 、b 的二元一次方程组{3a −2b =2−2a +2b =2,解得{a =4b =5．解得abc =4×5×(−2)=−40． 故答案为−40．17. 现安排一批工人完成一项工作，如果这批工人同时开始工作，且每个工人的工作效率相同，那么9 ℎ可以完工；如果开始先安排1人做，以后每隔t(ℎ)(t 为整数)增加1人，且每个人都一直做到工作全部完成，结果最后一个人做的时间是第1人做的时间的15，那么第一人做的时间是__________h ． 【答案】15【解析】 【分析】本题考查了工程问题中工作总量=工作效率×工作时间的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程组是关键． 设总共有n 个工人完成这项工程，第1个工人用了x 小时，第2个工人用了(x −t)小时，第3个工人用了(x −2t)小时，…，第n 个工人用了[x −(n −1)t]小时，由这n 个人完成的工作时间之和为9n 建立方程，及最后一个人做的时间是第1人时间的15建立方程，从而构成方程组，求出其解即可． 【解答】解：设总共有n 个工人完成这项工程，第1个工人用了x 小时，第2个工人用了(x −t)小时，第3个工人用了(x −2t)小时，…，第n 个工人用了[x −(n −1)t]小时． 由题意，得{x +(x −t )+(x −2t )+...+x −(n −1)t =9n①x =5[x −(n −1)t ]②，由①得2x =18+(n −1)t ③ 由②得x =5x −5(n −1)t5(n −1)t =4x (n −1)t =45x④将④代入③：2x =18+45x10x =90+4x 6x =90x =15． 故答案为15．18. 如图，宽为50cm 的大长方形由10个完全相同的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为___cm 2．【答案】400 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽=50cm ，小长方形的长+小长方形宽的4倍=小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积． 【解答】解：设一个小长方形的长为xcm ，宽为ycm ， 则可列方程组{x +y =50x +4y =2x ，解得{x =40y =10，则一个小长方形的面积=40cm ×10cm =400cm 2． 故答案为400．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）19. 请你根据所学的二元一次方程(组)的有关知识，解答下列问题：(1)下面四对数值：①{x =−1y =−7；②{x =3y =1；③{x =12y =4；④{x =−3y =−1，其中，满足二元一次方程2x −y =5的值是_______；(只填序号)(2)已知二元一次方程2x −y =5与−3x +4y =−5有一个公共解，求这个公共解； (3)若有关于x ，y 的二元一次方程(1−m)x +my =3−2m ，无论m 取何值，总有确定的一对x ，y 的值满足此方程，求出这对值． 【答案】解：(1)①② ；(2){2x −y =5①−3x +4y =−5②,解得：{x =3y =1；(3)∵(1−m)x +my =3−2m ， ∴ x −mx +my −3+2m =0， 即m(2−x +y)+(x −3)=0， ∵m 可取任意值则{2−x +y =0x −3=0 ，∴{x =3y =1 ． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及加减消元法解二元一次方程组．(1)将各组数据代入2x −y =5，判定即可； (2)解关于x 、y 的二元一次方程组即可；(3)将二元一次方程(1−m)x +my =3−2m 化为m(2−x +y)+(x −3)=0，因为无论m 取何值，总有确定的一对x ，y 的值满足此方程，所以可得{2−x +y =0x −3=0 ，解得即可． 【解答】解：(1)①{x =−1y =−7代入方程，左边=2×(−1)+7=5=左边；②{x =3y =1代入方程，左边=2×3−1=5=左边；③{x =12y =4代入方程，左边=2×12−4=−2≠左边； ④{x =−3y =−1代入方程，左边=2×(−3)−(−1)=−5≠左边；∴①②是方程程2x −y =5的解， 故答案为①②； (2)见答案； (3)见答案．20. 已知关于x ，y 的方程组{x +2y −6=0x −2y +mx +5=0(1)请直接写出方程x +2y −6=0的所有正整数解； (2)若方程组的解满足x +y =0，求m 的值；(3)无论实数m 取何值，方程x −2y +mx +5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解？(4)若方程组的解中x 恰为整数，m 也为整数，求m 的值． 【答案】解：(1)方程x +2y −6=0，2x +y =6， 解得：y =6−2x ，当y =1时，x =4；当y =2时，x =2，方程x +2y −6=0的所有正整数解为：{x =2y =2，{x =4y =1；(2)由题意得：{x +y =0x +2y −6=0，解得{x =−6y =6，把{x =−6y =6代入x −2y +mx +5=0，解得m =−136； (3)x −2y +mx +5=0，(1+m)x −2y =−5， ∴当x =0时，y =2.5， 即固定的解为：{x =0y =2.5，(4){x +2y −6=0 ①x −2y +mx +5=0 ②，①+②得：2x −6+mx +5=0， (2+m)x =1， x =12+m ，∵x 恰为整数，m 也为整数， ∴2+m 是1的约数， 2+m =1或−1， m =−1或−3．【解析】(1)将x 做已知数求出y ，即可确定出方程的正整数解．(2)将x +y =0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得x 、y 的值，再代入第二个方程中可得m 的值；(3)当含m 项为零时，取x =0，代入可得固定的解；(4)求出方程组中x 的值，根据x 恰为整数，m 也为整数，确定m 的值．此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．21. 解方程组{x 1+x 2=x 2+x 3=x 3+x 4=⋯…=x 2019+x 2020=x 2020+x 2021=1x 1+x 2+x 3+⋯…+x 2019+x 2020+x 2021=2021 【答案】解：{x 1+x 2=x 2+x 3=x 3+x 4=⋯…=x 2019+x 2020=x 2020+x 2021=1 ①x 1+x 2+x 3+⋯…+x 2019+x 2020+x 2021=2021 ②由①得：x 1=x 3=x 5=⋯…=x 2017=x 2019=x 2021， x 2=x 4=x 6=⋯…=x 2018=x 2020，因为1到2021中，奇数有1011个，偶数有1010个， 则可得方程组解得：{x 1=1011x 2=−1010． 故x 1=x 3=x 5=⋯…=x 2017=x 2019=x 2021=1011，x 2=x 4=x 6=⋯…=x 2018=x 2020=−1010【解析】本题考查的是解二元一次方程组有关知识，先寻找x 1,x 3,x 5,……,x 2017,x 2019，x 2021及x 2,x 4,x 6,……,x 2018,x 2020彼此间的联系，然后根据这些联系重新联立组成新的方程组，解方程组即可得解．22. 阅读探索：解方程组{(a −1)+2(b +2)=6,2(a −1)+(b +2)=6.解：设a −1=x ，b +2=y ，原方程组可变为{x +2y =6,2x +y =6, 解得{x =2,y =2,即{a −1=2,b +2=2.∴{a =3,b =0. 此种解方程组的方法叫换元法．(1)拓展提高：运用上述方法解方程组{(a3−1)+2(b5+2)=4,2(a 3−1)+(b5+2)=5.(2)能力运用：已知关x ，y 的方程组{a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2的解为{x =5,y =3,求关于m ，n 的方程组{5a 1(m +3)+3b 1(n −2)=c 1,5a 2(m +3)+3b 2(n −2)=c 2的解．【答案】解：(1)设a3−1=x ，b5+2=y ， 原方程组可变为{x +2y =42x +y =5，解得{x =2y =1，即{a 3−1=2b5+2=1，解得{a =9b =−5(2)设5(m +3)=x ，3(n −2)=y ， 原方程组可变为{a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2. 由已知{x =5y =3，得{5(m +3)=53(n −2)=3， 解得{m =−2n =3．【解析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是认真审题，理解阅读材料提供的换元法思路，准确换元．(1)拓展提高，观察阅读材料的解题方法，理解换元法； 设a3−1=x ，b5+2=y ，根据材料中的结论确定出关于x 与y 方程组，求出解得到x 与y 的值，即可求出a 与b 的值； (2)能力运用，设{5(m +3)=x3(n −2)=y，根据已知方程组的解确定出m 与n 的值即可.23. 数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称M 是点N 的“追赶点”.如图，数轴上有两个点A ，B ，它们表示的数分别为−3，1.已知M 是点N 的“追赶点”，且点M ，N 表示的数分别为m ，n ．(1)由题意易知，A 是点B 的“追赶点”，AB =1−(−3)=4(AB 表示线段AB 的长，以下相同)；类似地，MN =__________；(2)在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ．(3)若AM =BN ，MN =43BM ，求m 和n 的值． 【答案】解：(1)n −m(2)分为三种情况：①如解图1，当M 是AN 的中点时，AM =MN ． 因为AM =m −(−3)=m +3，MN =n −m ， 所以m +3=n −m ． 所以n =2m +3；②如解图2，当A 是MN 的中点时，AM =AN ． 因为AM =−3−m ，AN =n −(−3)=n +3， 所以−3−m =n +3． 所以n =−m −6；③如解图3，当N 是MA 的中点时，MN =AN. 因为MN =n −m ，AN =−3−n ， 所以n −m =−3−n ． 所以n =12m −32.综上所述，n =2m +3，n =−m −6或n =12m −32； (3)因为AM =BN ，所以|m +3|=|n −1|． 因为MN =43BM ， 所以n −m =43|m −1|．所以分3种情况： ①当m >1时，因为n >m ，所以n >1． 所以可得{m +3=n −1n −m =43(m −1)解得{m =4n =8②当−3<m <1时，因为MN =43BM ，n >m ，n >1， 所以可得{m +3=n −1n −m =−43(m −1)解得{m =−2n =2③当m <−3时，同②可得n >1， 所以可得{−m −3=n −1n −m =−43(m −1)解得{m =−5n =3综上所述，{m =4n =8或{m =−2n =2或{m =−5n =3．【解析】 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用以及数轴上两点间的距离公式，解决该题型题目时，结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程组是关键． (1)由两点间距离直接求解；(2)分①M 是A 、N 的中点；②当A 点是MN 点中点时；③N 是MA 的中点时，三种情况分别求解即可；(3)由已知可得|m +3|=|n −1|，n −m =43|m −1|，分情况求解即可． 【解答】解：(1)MN =n −m ， 故答案为n −m ； (2)见答案； (3)见答案．24. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．(加工时接缝材料不计)(1)若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a 张，全部加工成上述两种纸盒，且120<a <136，试求在这一天加工两种纸盒时，a 的所有可能值．【答案】(1)设加工竖式纸盒x 个，加工横式纸盒y 个， 根据题意得：{x +2y =10004x +3y =2000，解得：{x =200y =400．答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个． (2)设加工竖式纸盒m 个，加工横式纸盒n 个， 根据题意得：{m +2n =504m +3n =a ，∴n =40−a5．∵n 、a 为正整数， ∴a 为5的倍数， 又∵120<a <136，∴满足条件的a 为：125，130，135．【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合长、正方形纸板的张数列出关于x 、y 的二元一次方程组；(2)通过解二元一次方程组用含a 的代数式表示出n 值．(1)设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板50张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合120<a< 136即可求出a的值，此题得解．。
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二元一次方程组培优专题一
()()41312223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩ 2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩
()()9185232032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 7231
x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩ 若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222
222
522310x y z x y z +---的值.
已知关于x y 、的方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩
有整数解,即x y 、都是整数,m 是正整数,求m 的值.
已知方程组
的解x ，y 满足方程5x-y=3，求k 的值.
解方程组
k 、b 为何值时，方程组⎩⎨
⎧+-=+=2)13(x k y b kx y (1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解?
已知关于x ，y 的方程组⎩⎨
⎧=+=+-b
y x y x a 5)1(当a ，b 满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无数解？
已知方程组⎩
⎨⎧=+=-b ay x y x 91243有无穷多个解，试求a 、b 的值。
已知关于ｘ、ｙ的二元一次方程(a －1）x ＋（a ＋2）y －２a ＋５＝0，当a 每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，求这个公共解；并证明对于任何a 值，它都能使方程成立。
若方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩
⎨⎧=-=1514y x ，求方程组⎩⎨⎧=+=+222111957957c y b x a c y b x a 的解。
已知m 是整数，方程组⎩
⎨
⎧=+=-266634my x y x 有整数解，求m 的值 已知xyz ≠0,且⎩⎨⎧=-+=--0
720634z y x z y x ，求2222
2275632z y x z y x ++-+的值
若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，那么a+b+c+d 的最大值是
( )
A ．－1
B ．－5
C ．0
D ． 1。