_《统计学》第9章抽样与抽样估计

分层抽样：也称分类抽样或类型抽样，它是按某个 主要标志对总体各单位进行分类，然后从各层中按 随机原则分别抽取一定数目的单位构成样本。
整群抽样：也称丛聚抽样或集团抽样。它是将总体 分为若干部分(每一部分称为一个群)，然后按随机 原则从中一群一群地抽选，对抽中群内的所有单位 进行全面调查。
系统抽样也称机械抽样。它是先将总体单位按一定 顺序排队，计算出抽样间隔（或抽样距离），然后 按固定的顺序和间隔抽取样本单位。
p
P(1 P) n
0.95 0.05 100
=0.0218
Δp=zα/2 p =1.96×0.0218=0.0359或3.59% 95%-3.59%=91.41%，95%+3.59%=98.59% 故该批产品合格率的置信区间为（91.41%,98.59%)
在重复抽样下，
x
z / 2
n
所以，必要抽样单位数
（2）总体方差σ2。其他条件不变的情况下，总体方差σ2愈大， 总体单位的差异程度愈大，则样本单位数应愈多；反之，样本 单位数可愈少。
（3）抽样估计的可靠程度1-α。当其他条件不变时，抽样估 计的可靠程度愈高，zα/2数值愈大，抽样数目就必须愈多；反 之，抽样估计的可靠程度愈低，抽样数目就可以愈少。
置信下限为58-1.96=57.04，
置信上限为58+1.96=59.96
故所求置信区间为（57.04，59.96）千克。
由于 T x ～t(n-1)，对于给定的置信度1-α，有
s/ n
P
{t / 2
x
s/ n
t / 2} 1
P {x t / 2
s n
x t / 2
s } 1
抽样分布反映样本统计量的分布特征，根据抽 样分布的规律，可揭示样本统计量与总体参数 之间的关系，计算抽样误差，并说明抽样推断 的可靠程度。
登记性误差
登记性误差是指在调查和汇总过程中由 于观察、测量、登记、计算等方法的差 错或被调查者提供虚假资料而造成的误 差。任何一种统计调查都可能产生登记 性误差。
重置抽样（重复抽样）(Sampling with replacement)
要从总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，每 次从总体中抽取一个单位，把顺序号登记下来之后， 重新放回参加下一次抽选，连续反复抽取n次组成所 要求容量的样本。
不重置抽样（不重复抽样）(Sampling without replacement)
容量n
2 x
2
n
N N
n 1
（4）n越大，样本平均数越趋近于正态分布
抽样平均误差 （1）均值 重复抽样：
x
2
nn
不重复抽样：
x
2 N n
n N 1 n
N n N 1
抽样平均误差 （1）比例 重复抽样：
p
p(1 p) n
不重复抽样：
p
p(1 p) N n n N 1
P{ z 2
x / n
z } 1 2
即
P x
z / 2
1
n
可见，极限误差的计算公式为
x
z / 2
n
z / 2 x
则总体均值的置信区间为
(x , x )
x
x
解：已知 x =58，σ=10，zα/2=1.96，n=100
x
n=10/10=1（千克）
x
z / 2=x1.96×1=1.96（千克）
重复抽样：
（1）总体是正态分布，样本必然是正态分布
（2）样本平均数的平均数等于总体平均数
（3）样本平均数的方差等于总体方差除以样本
容量n
2 x
2
n
（4）n越大，样本平均数越趋近于正态分布
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
n z2 / 2 2 1.962 1102 46（ 5 户）
2
10 2
x
解：
n (z 2 )2 2 (1.96)2 20002
E2
400 2
96.04 97
（1）允许误差范围Δ。当其它条件不变时，允许误差愈小， 必要的抽样单位数就需要愈多；反之，允许误差愈大，抽样单 位数就可以愈少。
系统性误差是指由于非随机因素引起的样 本代表性不足而产生的误差，表现为样本 估计量的值系统偏低或偏高。。
误差
系统性误差
代表性误差
随机性误差
代表性误差是指用样本指标推断 总体指标时，由于样本结构与总 体结构不一致、样本不能完全代 表总体而产生的误差。
随机性误差又称 偶然性误差，是 指遵循随机原则 抽样，由于随机 因素（偶然性因 素）引起的误差。 抽样估计中的所 谓抽样误差，就 是指的这种随机 误差。
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
均值和方差
N
Xi
X i1 2.5 N
N
(Xi X )2
2 i1
1.25
N
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
16个样本的均值
n
置信下限
x t /2 (n 1)
s置信上限
n
x t /2 (n 1)
s n
在大样本下，总体均值的置信区间为
s
s
(x t /2 (n 1)
n , x t /2 (n 1)
) n
解：
x x 407 /10 40.（ 7 岁）
n
s (x x)2 634.1/ 9 8.3939（ 7 岁） n 1
(x X )2
m
, p
( p P)2 m
抽样极限误差
样本指标与总体指标之间允许的误差范围叫抽样极限误 差。也称抽样允许误差。
它是样本指标可允许变动的上限或下限与总体指标 之差的绝对值。
即：
X x
pP p
X
x- 3 x- 2 x-
x X+ X+2 X+ 3
68.27%的样本
95.45% 的样本 99.73% 的样本
估计。
样本均值是总体均值的点估计量，样本方差s2是总体方差σ2的 点估计量，样本比例p是总体比例P的点估计量。
优良估计量的标准： 无偏性 有效性 一致性
区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并使其可 靠程度达到预定要求。
（1） 总体方差σ2已知时
由于 有
z x N (0,1) ，所以对于给定的置信度1-α， / n
总体(Population) 研究对象的全体称为总体
样本（子样）(Sample) 从总体中抽取一部分个体进行试验或观察，这种从总体
中抽取个体的行为称为抽样。而从总体中抽样所得的一部分 个体叫样本 总体参数（Population parameter）
描述总体分布特征的数值 样本统计量（Sample statistic）
➢ 抽样的方法。
在其他条件不变的情况下，重复抽样的抽样误差大于不重 复抽样。
➢ 抽样的组织形式。
例、从某校1000名学生中简单随机抽取50名学生，称得平均体重为50千克， 若已知总体标准差为10千克，计算重复抽样及不重复抽样下抽样平均误 差。
解：重复抽样条件下，
V (x) 2 102 2
n 50
登记性误差：存在于一切调查中 代表性误差：仅产生于抽样调查，不可避免。
代表性误差
系统性误差：不随样本量增减而变化 随机误差（抽样误差）：随样本量增大而减小
抽样误差在实际一次调查中是调查不出来的，但其平均值是 可以推算的
抽样平均误差：所有可能的样本指标与总体指标间的平均 差异程度。
x
s 8.39382 2.6544(岁)
x
n
10
当置信度为95%时， x
t / 2 x
=2.2622
2.6544=6.00(岁）
因为40.7-6.00=34.7 40.7+6.00=46.7
所以该保险公司投保人的平均年龄的置信区间为（34.7，46.7）岁。
在大样本条件下，若np>5，n(1-p)> 5，则样本比例趋 近于正态分布。
（4）抽样方法。相同条件下，由于采用重复抽样比不重复抽 样的误差大，所以，前者应比后者多抽一些样本单位。
除上述因素之外，抽样组织方式也是影响抽样单位数的一个 原因 。
1. 总体分布、样本分布、抽样分布 2. 单总体参数推断时样本统计量的分布 3. 参数估计的一般问题 4. 一个总体参数的区间估计 5. 样本容量的确定
x
n
2 1.41
不重复抽样条件下，
2
V(x)
N
n
102
1000 50
1.9
n N 1 50 1000 1
x 1.9 1.38
在样本量相同的情况下，不重复抽样的平均误差要小于重复抽样的平 均误差。
抽样估计必须包括三要素：
1）估计值 2）估计值的误差范围 3）概率保证程度（置信度）
一、点估计(Point estimate) 点估计也称定值估计，常用点估计方法有矩估计，极大似然
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( X ) 抽样分布