变质量动量定理
变质量动量定理
设第一级火箭总质量为m1 其内携带燃料的质量为m1e 且 m1e m1 第二级火箭总质量为m2 其内携带燃料的质量为 m2e m2 载荷的质量为 m p 设燃料从火箭喷出的相对速度 r =常数 方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数 火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得 第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为 m1 m2 m p 1 r ln （a） m1 m2 m p m1 当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为 m2 m p 2 1 r ln m2 m p m2 （b）
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
(e) 设作用于质点系的外力为 F
质点系在瞬时t的动量为 p1 m dm 1 质点系在瞬时t+dt的动量为 p2 (m dm)( d ) 根据动量定理
( e) (m dm)( d ) (m dm 1 ) F dt 将上式展开得 ( e) md dm dm d dm 1 F dt
i [
mi mi 1 mn m p (1 i )mi mi 1 mn m p
]
（e）
则得第n级火箭燃料燃烧完毕时的速度
n ri ln i
i 1
n
（f）
利用拉格朗日乘子法 可以求得满足下式的 i 将使火箭的总质量为最小值
（d）
如果取 m p / m 1/ 100 则 m2 / m 1 / 10， m1 / m 9 / 10 如果仍用 0.8 、 r / g 300s m/s 则由式（d）可得 2 max 7500 这显然比 m1 m2时的 2 6000m/s 要大得多 下面讨论多级火箭 ，mn 设各级火箭的质量分别为 m1 ，m2 ， ， 2， ，n) 各级火箭内的燃料质量为 i mi (i 1
变质量物体绕定轴转动的角动量定理
Ｍ＝∑ｒ Ｆ Ｉ Ｉ × ＋∑ Ｆ × Ｉ 。＝∑ × Ｉ Ｆ．
ｉ ＝１ ｉ ＝ｌ ｉ ＝ｌ
式中
为质 点系受到 的外力 ， 。为质点系 中的内
力（ 包括主体与微元 之间的相互作用 力 ） 由于内力总是成 ．
对 出现 ， 等大反向且在一条直线上 ， 故质 点系中所有 内力对 某一 固定点 的力矩之和为零． 由方程 （ ） ４ 得变质 量系统对 固定点的角动量定理为
黄 光 兵
（ 安职业技 术学院基础部 ， 广 四川 广安 ６ ８０ ） ３３ ０
摘 ．要 ： 运用角动量定理 ， 究了变质量物体 绕定轴转动的规律 ， 出了变质量物体 绕定轴 转动 的角动量 定 研 得
理， 然后 运用它分析解决 了两个常见的变质量物体绕定轴转动的 实例 。
关 键 词 ：角 动 量 定 理 ； 变质 量 ； 轴 转 动 定
警－舢 Ｍ（ ｒ ＝ ５ ）
其 中， 是变质 量系统 中所 有 质点 对某 一 固定点 的角 － ，
动量之和 ， 是系统受到 的外 力对 固定点 的力矩 之和 ， “表 示微 元合 并前 或分离后瞬间的速度 ，表示研究对象对 固定 ｒ
詈删 一ｄ＝ （ （）“ １ ｍ ）
用位矢 ｒ 矢乘方程 （ ）两边得 １
ｄ （） ３
其 中，Ｉ ×ｒ ｒ ×（ Ｉ ）＝ （ ・ ） 一（ ・Ｉｒ ２ 则 ｒ Ｉ＝ｒ ） Ｉ ．
其 中ｄ ｒ×（ ｍ ）＝Ｏ所 以方程 （ ） ２ 变为
，
整个系统对 固定转轴 的角动量为
（ ｒ×ｍｖ 一 ）一ｒד “
＝ｒ×
（） ４
绕 定轴 （ 或定点 ） 转动的角动量定理解决 ． 么对 于绕 定轴 那 转 动的变质 量问题 ， 我们又该如何去研究呢 ？ 由文献［ ］ １ 可知 ， 研究变质 量物体 的平动规 律时 ， 是把 变 质量系统 分解 为无数恒 质量 系统 ， 然后 运用 系统 的动量 定 理即可得出变 质量物体的动力学方程 ， ， 绕定轴 那么 研究 转 动的变质 量问题 时 ， 们 同样 可 以把变 质量 系统分解 成 我 无数短暂 的恒质 量系统 ， 然后运 用恒质量 系统绕 定轴转 动 的角动量定理 去研究 分析 ． １变质量物体绕定轴转动的角动量定理 变质量物体 的动力学方程 …为
变质量问题公式
变质量问题公式一、火箭发射类问题。
题目1：一枚火箭的初始质量为M_0，燃料以相对火箭的速度v_e向后喷出。
在某一时刻，火箭的质量变为M，求此时火箭的速度v（假设火箭在太空中，不受外力作用）。
解析：根据变质量物体的动力学方程：M(dv)/(dt)=-v_e(dM)/(dt)分离变量得：dv = - v_e(dM)/(M)两边积分：∫_v_0^v dv=-v_e∫_M_0^M(dM)/(M)其中v_0 = 0（初始速度为0）解得：v = v_eln(M_0)/(M)题目2：火箭的初始质量是1000kg，燃料的喷射速度为2000m/s。
当火箭的质量变为600kg时，它的速度是多少？解析：已知M_0 = 1000kg，M = 600kg，v_e=2000m/s由v = v_eln(M_0)/(M)v = 2000×ln(1000)/(600)=2000×ln(5)/(3)≈ 2000×0.5108 = 1021.6m/s题目3：火箭质量M_0 = 5000kg，燃料喷射速度v_e = 3000m/s。
若要使火箭达到6000m/s 的速度，火箭最终的质量M是多少？解析：根据v = v_eln(M_0)/(M)6000 = 3000×ln(M_0)/(M)ln(M_0)/(M)= 2(M_0)/(M)=e^2M=(M_0)/(e^2)=(5000)/(e^2)≈ 676.7kg二、雨滴增长类问题。
题目4：雨滴在云层中下落时，不断有小水滴凝结在上面。
设雨滴初始质量为m_0，在下落过程中，其质量的增长速率为λ（即(dm)/(dt)=λ），雨滴受到的空气阻力为F = - kv （k为常数，v为雨滴速度）。
求雨滴的速度随时间的变化关系。
解析：根据牛顿第二定律：(m_0+λ t)(dv)/(dt)=(m_0 +λ t)g- kv分离变量得：(dv)/(g-frac{k){m_0+λ t}v}=(dt)/(m_0+λ t)令u = m_0+λ t，则dt=(du)/(λ)方程变为：(dv)/(g-frac{k){u}v}=(du)/(λ u)这是一个一阶线性非齐次微分方程，通过求解该方程可得雨滴速度随时间的变化关系。
物理动量定理知识点总结
物理动量定理知识点总结一、动量定理的基本概念。
1. 动量。
- 定义：物体的质量和速度的乘积叫做动量，用p表示，p = mv。
- 单位：千克·米/秒（kg· m/s）。
- 矢量性：动量是矢量，方向与速度方向相同。
2. 冲量。
- 定义：力和力的作用时间的乘积叫做冲量，用I表示，I = Ft。
- 单位：牛·秒（N· s）。
- 矢量性：冲量是矢量，方向与力的方向相同。
当力为变力时，I=∫_t_1^t_2Fdt （高中阶段一般研究恒力冲量）。
3. 动量定理。
- 内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化，即I=Δ p。
- 表达式：Ft = mv_2 - mv_1（F为合外力，t为作用时间，m为物体质量，v_1为初速度，v_2为末速度）。
- 意义：动量定理反映了力对时间的累积效应与物体动量变化之间的关系。
二、动量定理的理解与应用。
1. 解题步骤。
- 确定研究对象：明确要研究的物体或系统。
- 进行受力分析：找出研究对象所受的合外力。
- 确定初末状态：明确研究对象的初速度v_1和末速度v_2，从而得到初动量p_1 = mv_1和末动量p_2=mv_2。
- 应用动量定理列方程求解：根据Ft=Δ p = p_2 - p_1列方程求解。
2. 应用举例。
- 碰撞问题。
- 例如，两个小球发生碰撞，已知碰撞前两球的速度和质量，求碰撞后小球的速度。
先确定系统（两小球组成的系统），分析系统所受合外力（若碰撞过程中合外力为零，系统动量守恒），再根据动量定理（或动量守恒定律结合动量定理）求解。
- 缓冲问题。
- 如汽车安装安全带和安全气囊。
当汽车突然停止时，人由于惯性会继续向前运动。
根据Ft=Δ p，在动量变化Δ p一定的情况下，延长作用时间t，可以减小作用力F。
安全带和安全气囊就是通过延长人停止运动的时间，从而减小人受到的冲击力。
- 反冲问题。
- 火箭发射是典型的反冲现象。
火箭燃料燃烧产生的气体向后喷出，根据动量守恒定律（系统总动量为零），火箭就会获得向前的动量。
方法04应用动量定理分析变质量问题的技巧(原卷版)
建模提能04 应用动量定理分析变质量问题的技巧 对“连续”质点系持续施加作用力时，质点系动量(或其他量)连续发生变化。
这类问题的处理思路是：正确选取研究对象，即选取很短时间Δt 内动量(或其他量)发生变化的那部分质点作为研究对象，建立如下的“柱状”模型：在时间Δt 内所选取的研究对象分布在以S 为截面积、长为v Δt 的柱体内，这部分质点的质量为Δm ＝ρSv Δt ，以这部分质点为研究对象，研究它在Δt 时间内动量(或其他量)的变化情况，再根据动量定理(或其他规律)求出有关的物理量。
1.流体类问题通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ。
2.微粒类问题通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n 。
二、高考真题例证【例证1】（2021·湖北·统考高考真题）抗日战争时期，我军缴获不少敌军武器武装自己，其中某轻机枪子弹弹头质量约8 g ，出膛速度大小约750 m/s 。
某战士在使用该机枪连续射击1分钟的过程中，机枪所受子弹的平均反冲力大小约12 N ，则机枪在这1分钟内射出子弹的数量约为（ ）A ．40B ．80C ．120D ．160【例证2】（2022·福建·高考真题）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。
放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例。
工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。
某次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为41.610m /s ⨯，推进器产生的推力为80mN 。
已知氙离子的比荷为57.310C /kg ⨯；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（ ）A ．氙离子的加速电压约为175VB ．氙离子的加速电压约为700VC ．氙离子向外喷射形成的电流约为37AD ．每秒进入放电通道的氙气质量约为65.310kg -⨯【例证3】（2019·北京·高考真题）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。
动量定理变质量问题
动量定理变质量问题1、如图所示，一个下面装有轮子的贮气瓶停放在光滑的水平地面上，底端与竖直墙壁接触。
现打开右端阀门，气体向外喷出，设喷口的面积为S ，气体的密度为ρ，气体向外喷出的速度为v ，则气体刚喷出时瓶底端对竖直墙面的作用力大小是( )A ．ρv SB ．ρv 2SC ．12ρv 2SD ．ρv 2S2、为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水位上升了45 mm.查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s ，据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m 3)( )A ．0.15 PaB ．0.54 PaC ．1.5 PaD ．5.4 Pa3、航天器离子发动机原理如图所示，首先电子枪发射出的高速电子将中性推进剂离子化(即电离出正离子)，正离子被正、负极栅板间的电场加速后从喷口喷出，从而使航天器获得推进或姿态调整的反冲力。
已知单个正离子的质量为m ，电荷量为q ，正、负极栅板间加速电压为U ，从喷口喷出的正离子所形成的电流为I 。
忽略离子间的相互作用力，忽略离子喷射对航天器质量的影响。
该发动机产生的平均推力F 的大小为( )A ．I2mU q B ．I mU q C ．I mU 2q D ．2I mU q4、有一宇宙飞船，它沿运动方向的正对面积S ＝2 m 2，以v ＝3×103 m/s 的相对速度飞入一宇宙微粒尘区。
此微粒尘区1 m 3空间中有一个微粒，每一个微粒的平均质量为m ＝2×10－7 kg 。
设微粒与飞船外壳碰撞后附着于飞船上，要使飞船速度不变，飞船的牵引力应增加( )A ．3.6×103 NB ．3.6 NC ．1.2×103 ND ．1.2 N5、如图所示，自动称米机已在许多大粮店广泛使用．买者认为：因为米流落到容器中时对容器有向下的冲力而不划算；卖者则认为：当预定米的质量达到要求时，自动装置即刻切断米流，此刻有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来．下列说法正确的是()A．买者说的对B．卖者说的对C．公平交易D．具有随机性，无法判断6、用豆粒模拟气体分子，可以模拟气体压强产生的原理．如图3所示，从距秤盘80 cm高处把1 000粒的豆粒连续均匀地倒在秤盘上，持续作用时间为1 s，豆粒弹起时竖直方向的速度大小变为碰前的一半，方向相反．若每个豆粒只与秤盘碰撞一次，且碰撞时间极短(在豆粒与秤盘碰撞极短时间内，碰撞力远大于豆粒受到的重力)，已知1 000粒的豆粒的总质量为100 g．则在碰撞过程中秤盘受到的压力大小约为()A．0.2 N B．0.6 NC．1.0 N D．1.6 N答案 B7、水力采煤就是利用从高压水枪中喷出来的强力水柱冲击煤层而使煤层碎裂。
变质量动力学
变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少,譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小,因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。
要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究.一般情况下,当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究.关键词;变质量运动学动量定理动量距定理1。
变质量指点的运动微分方程1.变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时的质量为,速度为；再瞬时,有微小质量并入，只是指点的质量为,速度为；微小质量在尚未并入的瞬时，它的速度为，以原质点与并入的微小质量组成质点系。
设作用于质点系的外力为。
质点在瞬时的动量为：质点系在瞬时的动量为：根据动量定理得将上式展开得略去高阶微量，并以除各项，得或上式中是微小质量在并入前相对于质点的相对速度，令则可以得到上式称为变质量质点的运动微分方程。
式中是变量，是代数量.变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。
其中常称为反推力。
2.两种常用的质量变化规律1。
质量按线性规律变化。
设变化规律为,式中, 皆为常数,该式代表质量随时间变化呈线性关系.由知,其反推力为由上式可知,当为常量时,反推力也为常量,且与方向相反。
3.质量按指数规律变化。
设变化规律为式中，全为常数。
由知，其反推力为令表示仅在反推力作用下变质量质点的加速度则当为常量时，也是常量,即由反推力而引起的加速度为常量。
2。
变质量质点的动力学普遍定理1。
变质量指点的动量定理变质量质点在任一瞬时的动量,其中是时间的函数，将动量对时间求导得得出记并入（或放出）质量的绝对速度为，即则有记称为由于并入（或放出)质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
得出：=+上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数,等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和.将上式积分，设=0时质点质量为，速度为，得=+=+上式称为变质量质点动量定理的积分形式。
动量定理、变质量质点动力学方程
在生物学中，细胞分裂、细菌繁殖等现象也可以用动量 定理和变质量质点动力学方程来描述。通过这些理论， 我们可以更深入地理解生命运动的本质。在化学反应动 力学中，爆炸、燃烧等现象也可以用变质量质点动力学 方程来描述，这有助于我们更好地理解和控制化学反应 过程。同时，随着计算机技术的发展，我们可以通过数 值模拟来更精确地研究这些理论的数学结构和物理意义 ，这将有助于我们更好地应用这些理论来解决实际问题 。
动量定理的应用实例
总结词
动量定理的应用实例包括碰撞、火箭推进、车辆加速 等。
详细描述
动量定理在物理学、工程学和天文学等领域有着广泛 的应用。例如，在碰撞过程中，两个物体在接触时会 发生相互作用，根据动量定理可以计算出碰撞后物体 的速度；在火箭推进中，燃料燃烧产生的气体通过喷 嘴喷出，根据动量定理可以计算出火箭的推力；在车 辆加速过程中，发动机产生的力作用在车辆上，根据 动量定理可以计算出车辆的加速性能。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
变质量质点动力学方程
变质量质点的定义与特点
定义
变质量质点是指质量随时间变化的质 点。
特点
在运动过程中，质点的质量可能会发 生变化，如燃烧、蒸发等过程。
变质量质点动力学方程的推导过程
牛顿第二定律
$F=ma$，其中$F$是力，$m$是质量， $a$是加速度。
考虑变质量情况
由于质点的质量随时间变化，需要将质量的 变化纳入考虑范围。
动量定理指出，一个物体动量的变化率等于作用在其上的力。这个定理可以用于分析各种力学系统，如弹簧振荡器、行星运 动等。变质量质点动力学方程则考虑了物体质量随时间变化的情形，如火箭燃烧、爆炸等过程，通过这个方程可以更准确地 描述物体的运动规律。
变质量物体的运动
§3-7 变质量物体的运动1.公式推导设（m ， v ）与（∆m u , ）经过时间∆t 合并为（m m v v ++∆∆,）。
由动量定理： ()()()m m v v mv mv F t d mv dt dm dt u F ++--=⇒-=∆∆∆∆ 若 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dt F =⇒= 2.例题〖例3-9〗P138例 〖例3-10〗用手拿住均匀链条上端，使下端刚好着地。
突然将手放开，使链条竖直下落。
求证地面受到的最大压力是链条重量三倍。
解：设链条长l ，质量M ，上端A下落距离为x(t)。
考虑空中链条，落地链条瞬间与上端速度相等，()()l x Mdv ldt l x M l g dv dt g -=-⇒= ∴=v gx 22取全部链条为研究对象，其总动量为 p=(l-x)Mv/l, 由动量定理()/p Mv l l x Mg lMg N N Mgx l =-+-=-∴=23 当x=l 即链条全部落地的瞬间压力最大为N Mg =3。
质点系应用问题小结1.碰撞问题1)恢复系数的求法 2)碰撞后速度的求解 3)完全弹性碰撞问题 2.孤立两体问题 1)运动：两体质心作惯性运动，两体相对质心作圆锥曲线运动。
2)折合质量：将一物体视为静止，则对另一物体写动力学方程时需减小质量为折合质量。
3.变质量物体的运动 1)运动方程 d mv dt dm dtu F () -= 2)特殊情况 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dtF =⇒= 4.习题六〖P150习题2.3，2.5，2.8，2.10，2.14，2.16〗第四章 刚体运动学§4-1 刚体运动的分析1.刚体位置的描述 1)刚体的概念一种特殊的质点系，其任意两点间距在运动过程中保持不变（只有位变而无形变）2)问题的提出 自由度：描述物体运动的独立变量 对单个质点： r xi yj zk =++ 三个自由度对质点系：3n 个自由度，减去质点间的约束关系 对刚体：三点决定位置，且三点间距固定，故刚体 自由度为9－3＝63)欧拉方法 刚体运动＝基点运动（质点平动）＋绕基点转动 即：三个线变量＋三个角变量 2.刚体运动的分类1)平动 2)定轴转动 3)平面运动 4)定点转动 5)一般运动 概念、特征、自由度§4-2 角速度矢量1.有限转动与无限小转动1)构成矢量的条件 大小、方向，加法满足平行四边形法则且满足交换律（对易律）2)有限转动的非矢量性如图所示，刚体先绕z 轴转动90度再绕y 轴转动90度后所处的位置与刚体先绕y 轴转动90度再绕z 轴转动90度所处的位置不同。
动量定理的公式
动量定理的公式动量定理是指在一个封闭系统内，如果没有外力作用，系统总动量保持不变的定理。
它的公式是：∑p = constant其中，∑p表示系统内所有物体的动量之和，constant表示它保持不变。
需要注意的是，这个定理仅适用于封闭系统内的物体，而非一个单独的物体。
在一个封闭系统中，物体之间可能有相互作用，这些作用通常可以描述为物体之间的碰撞。
在碰撞之前和之后，每个物体的动量都能得出，而总动量保持不变。
如果存在外力，并且系统没有继续封闭，动量定理就不再适用。
接下来，我们将详细介绍动量定理的公式及其应用。
公式解析动量定理可以推导出物体的速度、质量和动量之间的关系，以及物体所受的力与其发生的运动的关系。
它的公式是：∑p = constant可以解析为：封闭系统的总动量等于系统初态时的总动量。
其中，动量是一个矢量量，它定义为运动物体的质量与其速度的乘积。
形式上，它可以表示为：p = mv其中，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
这表示，一个物体的动量，取决于它的质量和速度。
应用示例现在，让我们来看一下动量定理在应用中的一些示例。
示例1：撞球的运动学问题假设我们有两颗球，它们质量相等，速度分别为v1和v2，方向相反。
它们发生碰撞后，我们想计算它们的最终速度。
根据动量定理，这个系统的总动量在碰撞前后保持不变。
因此可以得出：m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’其中，v1’和v2’表示碰撞后两个球的速度。
由于这里的质量是相等的，因此可以简化公式为:v1 + v2 = v1’ + v2’这意味着，两个球碰撞后的总速度保持不变。
假设v1 = 3m/s，v2 = -1m/s。
这个系统的总动量将是：3m/s * 1kg + (-1m/s) * 1kg = 2m/s * 1kg因此，在碰撞后，两鼓的速度相加等于2m/s,这将分散在两个球之间。
示例2：火箭的动力学问题假设我们有一个火箭，它正在飞往太空。
动量定理 质心运动定理
动量定理 质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。
式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。
上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
《变质量动量定理》课件
首先，根据牛顿第二定律，系统受到的合力等于质量与加速度的乘积，即 F = ma。其次，根据动量守恒定律， 系统总动量在碰撞前后保持不变，即 Δp = 0。最后，根据牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等、方向相 反。通过以上三个基本原理的运用，可以推导出变质量动量定理的公式。
与牛顿第二定律的关系
太空船在太空中进行加速或减速时， 也需要利用变质量动量定理。太空船 可以喷射物质或反物质，通过改变自 身的质量来实现加速或减速。
太空船的加速和减速过程需要精确控 制喷射物质的量和速度，以确保太空 船能够按照预定计划运行。
碰撞与冲击问题
在碰撞和冲击问题中，变质量动量定理也有重要的应用。例 如，在研究子弹撞击目标时，需要考虑子弹和目标之间的相 互作用力以及动量的变化。
《变质量动量定理》ppt课件
目录
• 引言 • 变质量动量定理的基本概念 • 变质量动量定理的应用 • 实例分析 • 结论与展望
01
引言
主题介绍
主题概述
变质量动量定理是物理学中的一个重要概念，涉及到物体质量的变化对其动量 的影响。
主题背景
在自然界和工程领域中，物体质量的变化是一个常见现象，如火箭升空、太空 探测器等。因此，理解变质量动量定理对于解决实际问题具有重要意义。
05
结论与展望
变质量动量定理的意义和贡献
01
完善了动量定理的理论体系
变质量动量定理是对经典动量定理的补充和完善，使得动量定理能够更
好地描述和解释现实生活中的力学现象。
02
为实际问题提供更准确的解决方案
变质量动量定理能够解决一些经典动量定理无法处理的问题，例如火箭
发射、喷气式飞机飞行等，为实际问题提供了更准确的解决方案。
物理 动量定理
s=
vf
2
+ v0
2
4 g sin θ
4g = 4.1(m)
h = s sin θ =
v f + vo
练习1 利用动能定理重做例题 。 练习1、利用动能定理重做例题2-4。 如图所示，细棒下落过程中， 解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为
应用动能定理， 应用动能定理 ， 因初速 度为0，末速度v可求得如下 度为 ，末速度 可求得如下
∴ I = I x + I y = 2 mv
2 2
θ = tg
−1
Iy Ix
= 45
0
落到另一传送带B，如图， 例2：矿砂从传送带 落到另一传送带 ，如图， ：矿砂从传送带A落到另一传送带 其速度 v1=4m/s ，方向与竖直方向成 30°角， ° 而传送带B与水平成 而传送带 与水平成 15 ° 角，其速度 v2=2m/s 。 如传送带的运送量恒定，设为k 如传送带的运送量恒定，设为 = 20kg/s 。 求 落到传送带B上的矿砂在落上时所受的力。 落到传送带 上的矿砂在落上时所受的力。 上的矿砂在落上时所受的力
二、质点的动能定理 r r
r F ⋅ dr =
b
1 2 1 2 mv : 质点的动能，用 K表示，EK＝ mv E 2 2
A = Ekb − Eka
合外力所作的功＝质点动能的增量 合外力所作的功＝
例、一物体由斜面底部以初速v0＝10m/s向斜面上 一物体由斜面底部以初速 向斜面上 方冲去，然后又在斜面上下滑， 方冲去，然后又在斜面上下滑，滑到底部时速度 变为v 变为 f=8m/s，已知斜面倾角 为300,物体与斜面 ，已知斜面倾角θ为 物体与斜面 间有摩擦力。求物体上冲到最高点的高度。 间有摩擦力。求物体上冲到最高点的高度。 解：上冲过程
《理论力学 动力学》 第十六讲 变质量质点的动力学普遍定理
3、变质量质点的动力学普遍定理(1) 变质量质点的动量定理设变质量质点在任一瞬时的动量p =m v ，其中m =m (t )是时间的函数，将动量对时间求导，得到：d d()d d d d d d m m m t t t t==+p v v v 而，代入上式得：d d d d r mm t tf =+=+v F F F v d d d d d d r m m t t t =++p v F v 记并入或放出质量的绝对速度为v 1, 则：1=+rv v v 则动量对时间的导数等于：1d d d d m t t =+p F v 记1d d a m tf =F v 称F ϕa 为由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
于是有：d d a tf =+pF F —变质量质点动量定理的微分形式变质量质点的动量对时间的导数，等于作用其上的外力与由于并入或放出质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。
设t=0时质点质量为m 0、速度为v 0，积分上式得：00a 10d d d d tttmm m m t t t mf -=+=+òòòòv v F F F v 3、变质量质点的动力学普遍定理如果并入或放出质量的绝对速度v 1=0，则积分形式变为：000d tm m t-=òv v F 即使F =0，v 也不是常量，v =m 0v 0/m .(2) 变质量质点的动量矩定理变质量质点对任一定点O 的动量矩为：O m =´L r v对时间t 求导，得到：d d d d d ()()()d d d d d O m m m m t t t t t=´=´+´=´L r r v v r v r v 代入变质量质点动量定理的微分形式得到：d()d a m tf =+v F F d d()d d O a m t tf =´=´+´L r v r F r F —变质量质点的动量矩定理变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入或放出质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。
动量定理一动碰一静公式
动量定理一动碰一静公式
一、定义
动量定理（又称恒动量定理或质量-速度定理），又称牛顿第二定律的衍生定理，是物理学上最重要的定理之一，它指出:就力学而言,物体在受到外力作用之后，其动量Δp随时间变化满足:
Δp=F*Δt
式中，Δp表示物体在受到外力F作用时发生的动量变化，Δt表示该变化发生的时间。
这一定理也可称为“一动碰一静”，即一物体之动量变化等于另一物体之动量变化的相反数之和。
它以更直观的方式表达了力学定律中的等效原理，它指出：当两物体之间发生接触力作用时，两物体的动量变化之和等于受力物体所受外力的大小乘以作用时间。
二、证明
对于物体在受外力作用时，其动量变化Δp的定义，可以建立如下证明。
1.假设物体在受到F1力的作用下，从t1秒到t2秒的时间段内，有Δp1=F1*(t2-t1)的动量变化，记作：
Δp1=F1*(t2-t1)
2.同样的，假设物体在受到F2力的作用下，从t2秒到t3秒的时间段内，有Δp2=F2*(t3-t2)的动量变化，记作：
Δp2=F2*(t3-t2)
3.由于受力物体在t1秒到t3秒的时间段内，受到了F1和F2两股外
力的作用，即F1和F2时分别发生在t1秒到t2秒和t2秒到t3秒的时间
段内，于是，在t1秒到t3秒的时间段内，受力物体的动量变化Δp满足：。
变质量动量定理
d dm m mg r dt dt 设初始时刻t=0时 0 m m0 且 r为常量
将式（f）积分得
（f）
m0 0 gt r ln m
（g）
例 6－2 二级火箭及多级火箭 单级火箭具有重大的缺欠 那就是燃料装得越多其壳体也就越大 任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度 而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度 这就限制火箭速度的提高 多级火箭可以克服这一缺欠 当前一级火箭燃料燃烧终了时 连同其壳体一起抛弃 后一级火箭开始工作 二级火箭由3部分组成 第一级火箭 第二级火箭和载荷
m0 N mf
m0 N ef / r mf
（c）
称此式为齐奥尔科夫斯基公式 它表明在 r 已知时 欲使火箭达到特征速度 0 所应具备的质量比
如果火箭在真空中且处于均匀重力场内 沿铅直方向向上运动 称为齐奥尔科夫斯基第二类问题 与第一问题的区别是有均匀重力作用 运动微分方程（6－3）在铅直方向上的投影为
设第一级火箭总质量为m1 其内携带燃料的质量为m1e 且 m1e m1 第二级火箭总质量为m2 其内携带燃料的质量为 m2e m2 载荷的质量为 m p 设燃料从火箭喷出的相对速度 r =常数 方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数 火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得 第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为 m1 m2 m p 1 r ln （a） m1 m2 m p m1 当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为 m2 m p 2 1 r ln m2 m p m2 （b）
（6－5）
（2）质量按指数规律变化 设变化规律为
dm t m e m ， 由 知 式中 0 皆为常数 0 dt 其反推力为
经典力学中动量定理物理原理分析
经典力学中动量定理物理原理分析动量定理是经典力学中最基本的定律之一，它描述了一个物体在受到力的作用下发生运动时的动力学规律。
通过分析动量定理的物理原理，我们可以更好地理解力学中的动力学现象。
动量定理的基本原理可以简单地表述为：外力作用在物体上，物体就会发生动量的变化。
具体地说，动量定理表示了物体动量的变化率与作用在其上的合外力之间的关系。
数学上，动量的变化率等于合外力的大小与方向的乘积。
动量的概念是物体的运动状态的重要描述量。
物体的动量是其质量与速度的乘积，也可以用力与时间的乘积来表示。
动量的方向与速度方向一致，因此它是一个矢量量。
在没有外力作用的情况下，根据牛顿第一定律，物体将保持现有的速度和方向运动，动量守恒。
当外力作用于物体时，动量定理告诉我们，物体的动量将发生改变，其变化率等于作用在物体上的合外力。
动量定理是建立在牛顿第二定律基础之上的，牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体质量成反比。
将牛顿第二定律与动量定义相结合，可以推导出动量定理。
假设一个质量为m的物体在一段时间内受到一个作用力F，物体的加速度为a。
根据牛顿第二定律可以得到F=ma。
将动量定义为p=mv，其中v为物体的速度，则物体的动量变化率为dp/dt=m(dv/dt)=ma=F。
从上述推导中可以看出，动量定理的物理原理可以简单地解释为：物体受到作用力时，将产生加速度，进而改变其速度和动量。
动量定理在实际应用中具有广泛的意义和重要性。
例如，它可以用来分析交通事故中的碰撞过程，研究炮弹的弹道运动，解释球类运动中的击打与接球过程等。
在碰撞过程中，动量定理可以帮助我们理解碰撞物体的速度变化和能量转化。
根据动量定理，碰撞后物体的总动量保持不变，这意味着一个物体的速度减小，另一个物体的速度增加。
在炮弹弹道运动中，动量定理可以帮助我们计算炮弹的速度和射程。
通过对炮弹受到的重力和空气阻力等外力的分析，可以得到炮弹运动的动力学方程，并进一步计算出炮弹的轨迹和着陆点。
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则用上面方法可以求得
r
[(1
)e
n nr
1] 1
（h）
n
1 2 n e nr
（i）
式（i）表明 欲使火箭总质量为最小
dLO dt
r
F
r
Fa
（6－16）
式（6－16）称变质量质点的动量矩定理：
变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数
等于作用于质点上外力的合力对 该点之矩与由于并入（或放出） 质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和
3.变质量质点的动量定理
变质量质点动量定理的微分形式（6－13）可以写成
（6－1）
F
则式（6－1）改m写d为
dt
ddmt r
F(e)
F
（6－2） （6－3）
上式称为变质量质点的运动微分方程
dm
式中m是变量
是代数量
dt
因 F具有力的量纲且与喷气方向相反
称为反推力
2.常用的几种质量变化规律
（1）质量按线性规律变化 设变化规律为
m m0 (1 t) ， t 1 （6－4）
例 6－3
以图速为度传送1砂流子下的倾装角置为θ砂的子传从送漏带斗上铅并直沿流斜下面下滑l长度
火箭中每一级火箭燃烧完毕所增加的速度i 值应相同
即欲使火箭达到给定的最终速度
使火箭总质量为最小值的条件是 火箭中每一级燃料燃烧完毕时所增加的速度必须相同
满足这一条件时总质量为
n
ner
mmin
[1
e
n nr
(1
)]n
1m p
（j）
利用 i相等这一条件
式中 m0 ， 皆为常数 该式代表质量随时间呈线性变化
由可见ddmt 当 mr 为0F常知数 时其ddmt反反推推r 力力为也m为0常量r
（6－5）
且与 r方向相反
（2）质量按指数规律变化 设变化规律为
m m0e t
（6－6）
式中 m0 ， 皆为常数
将其代入式（6－11）得
dp dt
d dt
(m)
F
Fa
（6－13）
式（6－13）称为变质量质点动量定理的微分形式：
变质量质点的动量对时间的导数
等于作用其上的外力与由于并入（或放出）
质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和
将式（6－13）积分设t=0时质点质量为m0
速度为0
得
m m00
第六章 变质量动力学
§ 6－1 变质量质点的运动微分方程
1.变质量质点的运动微分方程
设作用于质点系的外力为F(e)
质点系pv1 在 m瞬v时td的m动v量1 为
质点系在瞬时t+dt的动量为
p2 (m dm)( d)
根据动量定理
d p p2 p1
F(e) dt
（d）
如果取m p / m 1/100 则 m2 / m 1/10 ， m1 / m 9 /10
如果仍用 0.8 、r / g 300s
则由式（d）可得 2max 7500 m/s 这显然比 m1 m2时的 2 6000 m/s 要大得多
下面讨论多级火箭
设各级火箭的质量分别为 m1，m2 ， ，mn
由于 1 r 即 1 2 r
因此式（6－18）也可以写成为
d(1 2
m
2
)
1 2
2 dm
F
dr
F
dr
r
F
dm
dr
（6－20）
因此变质量质点的动能定理也可以这样叙述：
变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量 由于牵连运动而具有的动能之差 等于作用于质点上外力的合力与反推力所作的元功之和
将式（f）积分得
（f）
0
gt
r
ln
m0 m
（g）
例 6－2 二级火箭及多级火箭 单级火箭具有重大的缺欠 那就是燃料装得越多其壳体也就越大
任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度 而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度 这就限制火箭速度的提高 多级火箭可以克服这一缺欠
当前一级火箭燃料燃烧终了时 连同其壳体一起抛弃 后一级火箭开始工作 二级火箭由3部分组成 第一级火箭 第二级火箭和载荷
其喷射出的气体相对于速度r 的大小不变
方向与火箭运功方向相反
此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题 对这一问题
变质量质点的运动微分方程（6－3） 在运动方向上的投影为
m d
dt
r
dm dt
或
d r dm
m
（a）
设初始时刻t=0时 0 m m0 将式（a）积分得
将其对m2求导 并令 d2 / dm2 0
化简并只取M/P幂级数展开的首项 得
m22 mpm2 mpm1
（d）
满足式（c）的 m2 / m 将使 2达到最大值
将式（c）代入式（a）（b）
略去 m2 / m 及 m p / m 的高次项 可得
2max 2r ln 1 [1 (m2 m)1/ 2 ]
2.变质量质点的动量矩定理
变质量质点对任一点O的动量矩为
式中 r为从点O指向L该O 质 r点的m矢径
（6－15） 点O为定点
dLO
d
(r m)
dr m r
d
(m) r
d
(m)
dt
dt
dt
dt
将变质量质点动量定理的微分形式（6－13）代入可得
0
r
ln
m0 m
（b）
设火箭燃烧终了时质量为 mf 速度为v 令
N m0 mf
（c）
称N为质量比（有些资料取 N mf /m0 为质量比） 令
f r ln N
（b）
称 f 为火箭的特征速度
它代表这一级火箭在初始速度 0的基础上所能增加的速度
由式（d）可得 N m0 ef /r mf
（c）
称此式为齐奥尔科夫斯基公式
它表明在 r已知时
欲使火箭达到特征速度 0 所应具备的质量比
如果火箭在真空中且处于均匀重力场内 沿铅直方向向上运动 称为齐奥尔科夫斯基第二类问题 与第一问题的区别是有均匀重力作用
运动微分方程（6－3）在铅直方向上的投影为
m d
dt
mg
dm dt
r
设初始时刻t=0时 0 m m0 且 r为常量
)dm
（6－18）
或
d(1 2
m
2
)
1
2
2dm
F
dr
Fa
dr
（6－19）
式（6－18）或（6－19）称变质量质点的动能定理：
变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于
其牵连速度而具有的动能的代数和
等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）
质量的绝对速度引起的反推力所作的元功之和
其反推力为
由
dm dt
m0e t
知
令a表示仅F在反d推dmt力Fr作用下m变0e质量t质r 点（的6加－速7）度
则当
r
a
为常量时 a
F m
r
也是常量
（6－8）
即由反推力引起的加速度为常量
例 6－1 单级火箭
设火箭在真空中运动且不受任何外力作用
t Fdt
0
t 0 Fadt
t Fdt
0
m m0
1dm（6－14）
式如（果并6－入1或4）放称出为质变量质的量绝质对点速动度量定1 理0的积分形式
则式（6－13）成为
d
(m)
F
dt
此式与不变质量质点的动量定理形式相同
但其m=m( t )是变量 将其积分有
显然 即使F 0 m也m不0是0 常 量0t Fdt m00 / m
dp dt
dm
dt
F
dm dt
r
（6－9） （6－10）
记并入（或放出）质量1的 绝对 速r 度为1 即
则式（6－10）可写d为p dt
F
dm dt
1
（6－11）
记
称Fa为由于并入（或F放a出）dd质mt 量1的绝对速度引（起6－的1反2）推力
设第一级火箭总质量为m1 其内携带燃料的质量为m1e 且 m1e m1 第二级火箭总质量为m2
其内携带燃料的质量为m2e m2 载荷的质量为m p
设燃料从火箭喷出的相对速度 r =常数
方向与火箭速度方向相反 每秒喷出的燃料质量也为常数
火箭由静止开始运动 略去重力 由例6.1式（b）可得
n级火箭（n→∞） mmin 13.2m p
§ 6－2 变质量质点的运动学普遍定理
研究变质量质点的动量
动量矩及动能的变化规律所使用的动量定理、动量矩定理
及动能定理统称变质量质点的动力学普遍定理
1.变质量质点的动量定理
dp d(m) dm m d
dt dt dt
dt
将式（6－2）（6－3）代入式（6－9）得
得 (m dm)( d) (m dm 1) F(e)dt