2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第14讲

an－am (4)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N )，d＝ (m，n∈N*，m≠n)； n－m
*
(5)下标成等差数列且公差为 d 的项 ak，ak＋ m，ak＋ 2m，…(k，m∈ N*)组成公差为 md 的等差数列；
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高{an}，{bn}是等差数列，则{a2n}，{a2n－1}，{kan ＋b}，{ran ＋ sbn}也成等差数列． 2．性质(1)可以推广到三项、四项等情形．推广和使用本性质时应 特别注意等式两边作和的项数是一样多的．如a1＋a8＋a18与a7＋a20，尽 管下标和相等，但两式不一定相等．
[解析] (1)由等差数列的性质，有 a3＋a11＝2a7＝40，所以 a7＝20，
而 a6＋a7＋a8＝3a7＝60，故答案选 C. am－an a10－a16 (2)d＝ ＝ ＝－10，所以 a1＝a10－9d＝－90－(－90)＝ m－n 10－16 0.故答案选 D. (3)由等差数列的性质，有 a3＋a7＋a11＋a15＋a19＝5a11＝0，所以 a11 ＝0. (4)由等差数列的性质， 结合题意， bn＝a5n＝3×(5n)－6＝15n－6， 有 即 bn＝15n－6.
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[答案]
(1)C
(2)D
(3)0
(4)bn＝15n－6
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类型四
等差数列前 n 项和性质的应用
解题准备：1.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n，…仍成等差数列． S奇 n ，S 奇 －S 偶＝an 2．项数为奇数 2n－1 的等差数列有： ＝ S偶 n－1 S奇 an ＝a 中，S2n－ 1＝(2n－1)an.项数为偶数 2n 的等差数列有： ＝ ，S 偶 S偶 an＋ 1 －S 奇＝nd，S2n＝n(an＋an＋ 1)． 3．Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，Tn 是等差数列{bn}的前 n 项 S2n－ 1 an S2n－ 1 am 2n－1 S2m－ 1 ， ＝ ， ＝ × . 和．则 an＝ bn T2n－ 1 bn 2m－1 T2n－ 1 2n－1
a1， n＝1， an－1＋d，n≥2.
，其中 d 为公差．
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2．若{an}是等差数列，则其通项公式 an＝a1＋(n－1)d 或变式为 an－a1 an＝am＋(n－m)d(n≠m)，其中 m，n∈N ，则 d＝ (n≠1)或 d＝ n－1
*
第十四讲 等差数列
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回归课本 1.如果数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个 常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差．即 an － an － 1 ＝ d(n ∈ N* ， 且 n≥2) 或 an ＋ 1 － an ＝ d(n ∈ N*) 或 an ＝
答案：C
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2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6， 那么a10等于( A．－165 C．－30 ) B．－33 D．－21
解析：由ap＋q＝ap＋aq，a2＝－6，得a4＝a2＋a2＝－12，同理a8＝ a4＋a4＝－24，所以a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30. 答案：C
4．若三数成等差数列，则可设为 a，a＋d，a＋2d 或 a－d，a， a＋d；若四数成等差，则设为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其公差 为 2d. 5．{an}成等差数列，求 Sn 的最值；若 a1＞0，d＜0，且满足
an≥0， an＋1≤0，
时 Sn 最大；若
an≤0， a1＜0，d＞0，且满足 an＋1≥0，
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[解析]
设首项为a1，公差为d，由已知得
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类型三
等差数列性质的应用
解题准备：1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质： (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq； (2)若m＋n＝2p，则am ＋an ＝2ap ，an ＋ k ＋an － k ＝2an(m，n，p， k∈N*，n>k)； (3)若{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相 等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…；
(3) 在 等 差 数 列 {an} 中 ， a3 ＋ a7 ＋ a11 ＋ a15 ＋ a19 ＝ 0 ， 则 a11 等 于 ________．
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(4)等差数列{an}的通项公式为an＝3n－6，取a5，a10，a15，…组成 数列{bn}，求{bn}的通项公式．
S2n－1 S奇 n 若{an}共有 2n－1(n∈N )项， S 奇－S 偶＝an＝ 则 ， ＝ ； 2n－1 S偶 n－1
*
S奇 a n 若{an}共有 2n(n∈N )项，则 S 偶－S 奇＝nd， ＝ . S 偶 a n ＋1
*
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等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m，n∈N*且m≠n)，则am＋n＝0 ；若Sn＝m，Sm＝n(m，n∈N*，且m≠n)则Sm＋n＝－(m＋n)．若Sn＝Sm(m ，n∈N*，且m≠n)，则Sm＋n＝0.
解析：解法一：S 偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，① S 奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15.② ①－②得 15＝5d，∴d＝3. n 解法二：∵n＝10，∴S 偶－S 奇＝ d＝5d＝15，∴d＝3. 2
答案：C
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【典例3】
(1)在等差数列{an}中a3＋a11＝40，则a6＋a7＋a8等于 ( )
A．36 C．60
B．48 D．72
(2)在等差数列{an}中，a10＝－90，a16＝－150，则a1，d分别是 ( A．0,10 C．10,0 B．－10,10 D．0，－10 )
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考点陪练 1.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的 和S10＝( ) B．135 D．23 A．138 C．95
解析：∵a2＋a4＝4，a3＋a5＝10， ∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6，∴d＝3. 又 a2＋a4＝2a1＋4d＝4，∴a1＝－4. 10(10－1) ∴S10＝10a1＋ d＝－40＋45×3＝95. 2
类型一
等差数列的判断与证明
解题准备：等差数列的判定方法主要运用以下几个充要条件： 1．an－an－1＝d(n≥2，d为常数)⇔{an}是公差为d的等差数列． 2．2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}是等差数列． 3．an＝kn＋b(k，b为常数)⇔{an}是等差数列． 4．S An Bn(A B 4 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an} ) {a }是等差数列．
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n(a1＋an) n(n－1)d 3．求和公式 Sn＝ ＝na1＋ .其推导方法是倒序相 2 2 a1＋an n＋1 加法．若 n 为奇数，则 Sn＝n· ＝na 中＝na ；求和公式又可 2 2 d d 变形为 Sn＝pn ＋qn，其中 p＝ ，q＝a1－ .即{an}成等差数列⇔Sn＝ 2 2
时，Sn
最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．
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6．a1＋an＝a2＋an－1＝…＝am＋an＋1－m，即若m＋n＝p＋q(m，n， p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 若{an}，{bn}成等差数列，则{man＋kbn}仍是等差数列，其中m，k 为常数；等差数列{an}中，抽出间隔相同的项按原来的顺序组成的新数 列仍是等差数列． 等差数列{an}中，Sn 是其前n项和，则Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m 成等 差数列，公差是m2d.
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类型二
等差数列基本量的运算
解题准备：在等差数列中，五个基本的量，只要已知三个量，就 可以求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n 项和公式，先求出a1和d.
【典例 2】 设{an}是等差数列，n＝ b 1 b1b2b3＝ .求等差数列的通项 an. 8 21 ， b1＋b2＋b3＝ ， 且 8
解析：由 a2＋a8＋a11＝3a 1＋18d ＝3(a1＋6d)＝3a7， a1＋a13 所以 S13＝ ×13＝13a7(定值)． 2
答案：C
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5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为 30，则其公差为( A．5 C．3 ) B．4 D．2
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【典例 1】 设实数 a>0，且函数 f(x)＝a(x 值－1. (1)求 a 的值；
2
1 ＋1)－ 2x＋ 有最小 a
a2＋a4＋…＋a2n (2)设数列{an}的前 n 项和 Sn＝f(n)，令 bn＝ ，n＝ n 1,2,3，…，证明数列{bn}是等差数列．
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3．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( A．4 C．6 B．5 D．7