随机变量基础资料.
四随机变量的数字特征-文档资料
考点与例题分析
考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
考点一：数学期望和方差的计算
1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.
例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各
部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部
件数,试求X的E(X)和D(X).
（二）方差 1.定义 D(X)=E{[X-E(X)]2}
均方差或标准差：(X)D (X)
2.计算 (1) 离散型： D (X ) [x k E (X )2p ]k.
(2)连续型： D (X )k [xE (X )]2f(x)d x.
(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).
(5)(6) XY 1; (6)(7)XY 1 X与Y以概率1线性相关,即存在a,b
且a≠0,使 P (Y a X b ) 1 .
(8)
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
（四）矩与混合矩
3.随机变量函数的数学期望
（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.
离散型：E (Y)E [g(X )] g(xk)p k;
连续型：E (Y ) E [g (X )] k g (x )f(x )d x .
第11课预习资料 随机变量的分布、均值、方差
随机变量的分布列、均值、方差(5年6考)[高考解读]高考对该点的考查常以生产、生活实际为背景，考查考生从题干中提取信息建立数学模型，并应用期望(或方差)对实际问题作出决策的能力.预测2020年会加强对该点的考查.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解决分布列、期望、方差问题的3关(1)判断关：即依据题意判断随机变量的取值及判断所求分布列的类型．(2)概率关：即依据事件间的相互关系，结合相应的概率公式求出每个随机变量取值的概率．(3)决策关：即借助分布列，计算随机变量的数学期望，并结合实际问题作出合理决策．1．(以统计图表为背景)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机A PP 软件层出不穷．为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”(时间：分钟)，得到茎叶图如下：(1)请计算“送达时间”的平均数与方差；(2)根据茎叶图，求A，B，C，D的值；送达时间35分钟以内(包括35分钟) 超过35分钟频数 A B频率 C D(3)在(2)的情况下，以频率代替概率，现有3个客户应用此软件订餐，求在35分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．2．(函数与概率统计的交汇)某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0＜p＜1)．(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.①试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f(k)；②若p＝1－13e，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 4≈1.386 3，ln 5≈1.609 4，ln 6≈1.791 8.样本的均值、方差与正态分布的综合(5年2考)[高考解读] 正态分布可与二项分布、控制生产线结合，很受命题者的青睐，主要考查3σ区间与对称性；考查正态分布的题目，要重视题后数据的利用，题后数据作用：①提供方向(计算)与目标；②切勿掉入题后数据误导的陷阱．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.9810.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.0410.05 9.95经计算得＝，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2，…，16.用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)． 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解决正态分布问题有4个关键点(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性求指定范围内的概率值，由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率；(4)曲线与x轴之间面积为1.。
《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
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例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
概率统计教学资料-1-2节第2章随机变量及其分布
因此事件A在n次试验中发生k次的概率为
n
P (X k ) C n kp k q n k ,k 0 ,1 , ,n
C
k n
p
k
q
n k C n 0 p 0 q n C n 1 p q n 1 C n n p n q 0 1
.
k 0
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13
二项分布（Binomial distribution）
k! n
nn
li(1 m )n k li(1 m )nli(1 m ) k
n nln in C lnm in k m p (1kqn nn )k nn ( k )k !ee n ,k0,1,2,
2019/11/18
将 样 本 空 间 与 实 数 值 之 间 建 立 一 种 对 应 关 系 ， 以 便 利 用 数 学
分 析 的 方 法 对 随 机 试 验 的 结 果 进 行 深 入 广 泛 的 研 究 和 讨 论 .
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4
1. 随机变量的定义
定义: 设随机试验E的样本空间为 S {e}, 若对于每 一个样本点 eS, 变量X 都有唯一确定实数与之对应, 则X是定义在 S上的单值实函数, 即 XX(e), 称
辆汽车通过的概率.
解： 由题意知
P(X0)0e0.2, 则1.61.
0! 而 P ( X 1 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 )
10.21 e 1 0 .2 1 .6 0 1 .2
1!
0.478.
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19
P ( X 2 ) P ( A ) P ( A B ) P ( B |A ) 0 . 7 0 . 8 5 0 . 6
概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数
4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布， 简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件 的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元 件的总数来说又很小,因而此抽样可近似 当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解： 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
基础会计学 随机变量
基础会计学随机变量
在基础会计学中，随机变量是一个非常重要的概念。
随机变量指的是在某个随机试验中可能取得的值，这些值是随机的，并且可以用来描述事件发生的概率分布。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
离散随机变量是指在一定范围内可能取得有限个数值的变量，比如掷硬币的结果只能是正面或反面。
而连续随机变量则是指在某一区间内可以取得任意值的变量，比如人的身高就是一个连续随机变量。
在会计学中，随机变量的应用非常广泛。
比如在风险管理中，我们可以用随机变量来描述不同风险事件发生的概率，从而制定相应的风险管理策略。
又比如在财务分析中，我们可以用随机变量来描述公司未来收入的不确定性，从而评估公司的经营风险。
随机变量还可以帮助我们进行决策分析。
通过对不同随机变量的概率分布进行分析，我们可以选择出最优的决策方案，从而提高决策的准确性和效果。
总的来说，随机变量在基础会计学中起着非常重要的作用。
通过对随机变量的研究和分析，我们可以更好地理解和应对不确定性，从而提高会计学的决策效率和准确性。
希望大家能够深入学习和理解随机变量的概念，从而更好地应用于实际的会计工作中。
概率论：相互独立的随机变量
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性
二、小结
随机变量相互独立是概率论中非常重要的 概念,它是随机事件相互独立的推广.
本节主要讨论两个随机变量相互独立的一
般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个 连续性随机变量相互独立进行不同的处理.
A {Y y} 设A是随机变量Y所生成的事件：
（4）随机变量x于Y相互独立的充分必要条件是X所 生成的任何事件与Y生成的任何事件独立， 即，对任意实数集A,B
P{ X A, Y B} P{ X A}P{Y B}
(5)若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中 的任意m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
4 xy 0 x 1,0 y 1 f ( x, y) . 其它 0
(1)求分别关于 X 与 Y 的边缘密度函数; (2)X 与 Y 是否独立?说明理由.
解 (1)
f X ( x)
1 4 xydy 0 x 1 2 x 0 x 1 f ( x, y )dy 0 0 其它 0 其它
N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y ) 的联合概率密度 .
解 由于X 与Y 相互独立,
所以 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
1 又 f X ( x) e , x ; 2 πσ 1 , b y b, fY ( y ) 2b 其他. 0,
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{Y X }
2
《概率论》第2章2离散型随机变量-24页文档资料
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 11/23
则
P{X1}P(A1) p
P{X2}P(A1A2)P(A2| A1)P(A1) p(1 p)
P{X3}P(A1A2A3) P (A 3|A 1A 2)P (A 2|A 1 )P (A 1 ) p(1 p)2
P{X 4} P (A 1 A 2A 3A 4) P (A 1 A (12 A 3 pA )4 3)
故 X的分布律为
P{X 0} 1 8
P{X
1}
3 8
P{X 2} 3 8
所有样本点 遍历一次
全部和为1
P{X 3} 1 8
分布律有什么特点
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 3/23
pk0, k1,2,
pk 1
k 1
pk P{X xk}
k1
k1
P
U{X
k 1
xk }
P(S) 1
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 8/23
只产生两个结果 A , 的A 试验 伯努利试验产生什么样的随机变量
将伯努利试验独立重复进行 n 次的试验
某战士用步枪对目标进行射击，记
Байду номын сангаас
A { 击中目标 } ,A { 没击中目标 } 每射击一次就是一个伯努利试验 ,如果对目标进行 n 次射
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 6/23
如果 r.v 的X 分布律为
P{X c}1
则称 r.v 服X 从 单点，分其布中 为常数c
概率论学习资料
E ( X ) = ∫ xf ( x)dx
−∞
4
1.5数学期望的性质:(以下均设所遇到的数学期望存在 数学期望的性质 以下均设所遇到的数学期望存在 以下均设所遇到的数学期望存在) 数学期望 10 设C为常数 则有 为常数,则有 E(C)=C。 为常数
20 设C为常数 X是随机变量 则有 为常数, 是随机变量,则有 为常数 是随机变量
∑x
k =1
∞
k
pk
绝对收敛时,数学期望为 绝对收敛时 数学期望为
E ( X ) = ∑ xk pk
k =1
∞
1.4 连续型随机变量的均值 数学期望 连续型随机变量的均值 数学期望), 均值(数学期望 的概率密度为f 设X的概率密度为 (x), 的概率密度为 若积分
∞
∫
∞
−∞
xf ( x)dx
绝对收敛时,则数学期望为 绝对收敛时 则数学期望为
例3:
按规定,某车站每天 按规定 某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有 某车站每天 都恰有 一辆车到站,但到站的时刻是随机的 但到站的时刻是随机的,且两车到站的 一辆车到站 但到站的时刻是随机的 且两车到站的 时间是相互独立的.其规律为 时间是相互独立的 其规律为
8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6
18
1 k k +1 k k 1 则 E(X) = q + (1−q ) =1−q + k k k 1 k 则N个人平均化验的总次数为 N (1− q + ) 个人平均化验的总次数为 k k 1 + 对固定的p,选取 选取k使得 小于1且取到最小 对固定的 选取 使得 L = (1− q 小于) 且取到最小 k 就是最好的. 值,就是最好的 就是最好的
二维随机变量及分布
二维随机变量及其概率分布复习资料内容摘要一、二维随机变量设随机试验的样本空间为Ω，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量（X ，Y ）为二维随机变量或二维随机向量。
1． 联合分布函数设（X ，Y ）是二维随机变量，y x ,是任意实数，函数F （x ,y ）=P{X ≤x ,Y ≤y}称为（X ，Y ）的分布函数，或称随机变量X 与Y 的联合分布函数. 2． 联合分布函数的性质（1） 0≤F （x ,y ）≤1;（2） F(x ,- ∞)= F(-∞,y)= F(-∞,- ∞)=0F(+∞,+ ∞)=1;（3） F(x ,y)对x 和y 分别是不减的.即对于固定的y ，若x 1<x 2,则F （x 1，y ）()，y x F 2≤；对于固定的x ，若y 1<y 2，则F(x ，y 1)≤F(x ，y 2)；（4） F （x ，y ）关于x 右连续，关于y 右连续，即 F （x +0，y ）=F （x ，y ），F （x ，y+0）=F （x ，y ）。
（5） 对于任意的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1<x 2，y 1<y 2，有 F(x 2,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1)≥0. 3.二维离散型随机变量如果二维随机变量(X ，Y)所有可能取的数对为有限个或可数个，则称（X ，Y ）为二维离散型随机变量．并且称Ｐ｛Ｘ＝i , Y=y j ｝=ij p ,i ,j=1,2…为（Ｘ，Ｙ）的分布律，或称做Ｘ与Ｙ的联合分布律． 分布律也可用表格列出：分布律满足下列３条性质：４．二维连续型随机变量设（Ｘ，Ｙ）的分布函数为Ｆ（x，y），如果存在非负函数f（x，y），使得对任意实数x，y都有则称（Ｘ，Ｙ）为二维连续型随机变量，函数f（x，y）称做（Ｘ，Ｙ）的概率密度，或Ｘ，Ｙ的联合概率密度．f（x，y）具有下列性质：（１）f(x,y)≥0,（２）⎰+∞∞-⎰+∞∞- f(x,y)d x dy=1（３）若f（x，y）在点（x，y）连续，则有（４）设Ｄ为x Oy平面上的区域，则f(x,y)d x dyP{(x,y)∈D}=⎰⎰D二、边缘分布１．边缘分布函数设Ｆ（Ｘ，Ｙ）是Ｘ与Ｙ的联合分布函数，则ＦX（x）＝Ｐ｛Ｘ≤x，Y＜+∞｝=F(x,+∞)F Y(y)=P{ X＜+∞，Y≤y } =F（+∞）分别称为（Ｘ，Ｙ）关于Ｘ与Ｙ的边缘分布律。
第五章随机变量的数字特征与极限定理
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20
❖ 5.1.3 随机变量函数的数学期望
❖ 关于一维随机变量函数的数学期望，有下面的定理 ❖ 定理5.1 设Y=g(X)，g(x)是连续函数. ❖ (ⅰ)若X是离散型随机变量，分布列为P(X=xk)=pk，
k=1,2,…，且
k 1
❖ 绝对收敛，即
| xk | pk
k1
❖ 则称该级数为离散型随机变量X的数学期望或均值， 记为EX或E(X)，即
EX xk pk k1
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3
❖当
| xk | pk
k 1
❖ 发散时，则称X的数学期望不存在.
❖ 定义中的绝对收敛条件是为了保证式
xk pk
k 1
❖ 不受求和的次序的改变而影响其和的值.
❖ 这个结果是可以预料的，因为X在[a,b]上服从均匀 分布，它取值的平均值当然应该是[a,b]的中点.
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14
❖ 例5 (指数分布) 设连续型随机变量X的概率密度为
ex,
f(x) 0,
❖ 其中λ是正常数，求EX.
x0, x0.
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15
❖ 解 EX
xf ( x ) dx
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12
❖ 常用的连续型随机变量的数学期望 ❖ 例4 (均匀分布)设连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
1 ba
,
a x b,
0,
其 他.
(a b)
❖ 求EX.
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13
❖ 解
EX xf ( x ) dx
bx
随机变量的统计参数资料
解：尽管甲 乙, 但由于x甲 x乙， 所以不能用来说明离散程度的大小，
而必须用相对值Cv来衡量，即：
Cv甲
甲
x甲
360 1200
0.3
Cv乙
乙
x乙
320 800
0.4
这说明甲地区的年雨量离散程度比乙地区的小。
3、偏态系数CS 衡量随机变量分布在均值两边是否对
称以及不对称（偏态）程度的参数。
n
二、矩法
§4—4 频率计算 一、经验频率曲线 （一）经验频率的计算公式
p m 100% n
经验频率的修正公式
p m 100% n 1
（二）经验频率曲线的绘制及其应用
1、绘制经验频率曲线
（1）排序（由大到小）；
（2）计算经验频率（
p
m n 1
100%
）；
（3）在机率格纸上点绘各相应点据（pi , xi）；
三、随机变量的统计参数
1、算术平均数 x
x
x1 x2
x3 xn n
1 n
n i 1
xi
均值对密度曲线的影响
f(x)
1
2
o
x1
x
x2
均值对频率曲线的影响
x
x1 x2
2 1
频率p（%）
2、均方差σ与变差系数CV 均值相等的不同系列，它们的离散程
度可用均方差σ来衡量。
n
(xi x)2
i1
四、抽样误差
抽样误差：由随机抽样而引起的误差。 均方误计算公式：
x
n
cv
Cv 2n
1
2Cv 2
3 4
Cs 2
2CvCs
Cs
6 n
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称X服从参数为p的几何分布。几何分布显然也属于n重贝努 利试验，只是最后一次试验结果是确定事件A发生的。
1.分布函数
设X为随机变量，x 为实数，定义 F(x) P{X x} ，-x
为X的概率分布函数，简称分布函数。若X为离散型，则有
F(x)= P(X
a
)
i
p i
3. 基本事件
在随机试验中，最简单的随机事件称为基本事件。比如 投掷骰子出现1,2，……，6点均为基本事件，而出现偶数 点不是基本事件。
4. 样本空间
随机试验的所有基本事件组成的集合称为样本空间，记 为S，或者为Ω。每个基本事件亦称为样本空间里的一个样 本点。如投掷骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
k nk
C C lim C N
M N M n
k pk (1 p)nk , k 0,1,..., n
n
CN
（4）、泊松分布
设随机变量X的可能取值为0,1,2，…，且概率分布为
P(X k) ke (k 0,1, 2，...， 0)
k!
则称X服从参数为λ的泊松分布。
泊松定理 设λ=np，对于任意一个非负整数k，
C lim k pk (1 p)nk e . k
n n
k!
证明 ：令p=λ/n推得
C k pk (1 p)nk n(n 1)...(n k 1) ( )k (1 )nk
n
k!
nn
k (1 )n (1 )k[1（1- 1 ) ... (1 k 1)]
k! n n
n
n
lim lim 又,
（1）试验的样本空间S是个有限集合，不妨记作S={ω1 ，
ω2 ，… ， ωn }
（2）每个样本点在1次试验后都等可能的出现。
因此，我们规定在古典概型中，事件A发生的可能性为他的概 率，即古典型概率，为
nA
P(A) n
8. 几何概率
一般地，假设样本空间S是某个区域，这个区域可以是一 维的，二维的，也可以是三维的，每个样本点等可能出现，我 们规定事件A的概率为
（1）、（0,1）分布
设随机变量X的可能取值只有0和1，其概率分布为 P(X=1)=p,P(X=0)=1-p(0<p<1) 称X服从（0,1）分布。记作X~B(1，p)。例如，投掷硬币的 试验。
凡是样本空间S仅由两个样本点构成的试验，都可以用0-1 分布的随机变量来描述，例如产品的优劣、婴儿的性别、 天气的晴雨等。m(A)P( A) m(S )
m(.)可以是长 度，面积和体
积
9. 概率的公理化定义
给定一个随机试验，S是他的样本空间，对于任何一个事 件A，规定一个实数，记作P(A）.如果P(.)满足下列3条公理：
公理1 非负性 对于任意一个事件A，P(A)>=0;
公理2 规范性 P(S)=1；
公理3 可列可加性 当可列无限个事件A1，A2，……两两不相 容时，有P(A1UA2U……)=P(A1)+P(A2)+… 那么称P(A)为事件A的概率。
随机信号分析与处理的基础是概率论与随机变量的理论。
1. 随机试验
满足下列三个条件的试验称为随机试验，记为E ：
可重复性 (1)在相同条件下可重复进行；
总体 确定
性
(2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确； 具体随机性
(3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。
例：投掷硬币
2. 随机事件
在随机试验中，对试验中可能出现也可能不出现的、而 在大量的重复试验中体现某种规律性的事情，称之为随机 事件，简称为事件。
ai: x i
ai: x i
2.分布函数的性质
（1）F（x）是一个单调非减函数，即当
x x 1
时，F
2
(
x1)
F
(x2
)
（2） 0 F(x) 1
（3）limF (x) 1, limF (x) 0;
x
x
（4）F ( x)在（-，+）上每一点处至少右连续
3.概率密度函数
给定一个连续型随机变量X，如果存在一个定义域为 (,)
(1 )n
(1
)
n
e
n
n
n
n
故得证。
服从泊松分布的例子很多，比如某交通路口忙时的车流量， 某个通信端局忙时的通信量，1年内我国发生3级以上的地震 次数，公共车站候车的乘客数，1年内战争爆发次数等等。
（5）、几何分布
篮球运动员罚点球问题。若一篮球运动员罚点球命中的概率 为p，且不限制他罚球的次数，只是一旦命中即停止。设X为 首次命中的罚球次数，则有
（2）、二项式分布
假设随机试验E只有两种可能结果A和 A’，并且P(A)=p,P(A’)= 1-p=q,将E独立重复n次，这样的试验为贝努利试验，那么在 n次试验中事件A发生k次的概率为
P( X k) Cnk pkqnk (0 k n)
记为X~B(n,p)。
（3）、超几何分布
假定在N件产品中有M件不合格品，即这批产品的不合格率为
非负实值函数 f (x) ，使得X的分布函数 F(x) 可以表达为
x
d F(x) f (t) , x ,
t
则 f (x) 为连续性随机变量X的概率密度函数。
4.概率密度函数的性质
（1） f (x) 0;
p=M/N,从这批产品中随机抽取n件做检查，发现有X件是不合
格品。则X的概率分布为
C CC P(X k)
k nk
M n NM , k 0,1,..., n
N
如果为有放回抽样，则n件被检查产品不合格数X~B(n,p),其 中p=M/N. 又，当N非常大时，即N>=10n，也用二项分布来 描述产品抽查的不合格率。因为
5. 频数和频率
在相同条件下的n次重复试验中，事件A发生的次数nA 称为事件A的频数，而nA /n 为事件A的频率。
6. 概率（统计性定义）
如果试验次数n趋向无穷大，频率将趋于某个稳定值， 这个值就称为事件A发生的概率，记为P(A)，即
nA
lim P( A)
n n
7. 古典概率
一般地，具备下列两个特征的随机试验的数学模型称为古 典概型：
1.随机变量的定义
定义：设随机试验E的样本空间为S={e}，如果对于每一个 eS，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上 的单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。
2.随机变量的分类
通常用概率分布
随 离散型随机变量
律来描述
机
变 量
连续型随机变量
通常用概率密度 函数来描述
3.几种典型的离散型随机变量的分布