信号与系统3.5典型非周期信号的频谱
信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
信号与系统第三章
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
信号与系统实验报告-实验3--周期信号的频谱分析
信号与系统实验报告-实验3--周期信号的频谱分析信号与系统实验报告实验三周期信号的频谱分析实验三周期信号的频谱分析实验目的：1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。
实验内容：（1）Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(0t)、cos(30t)、cos(50t) 和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。
程序如下:clear,%Clear all variablesclose all,%Close all figure windowsdt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of timew0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t);x3=cos(5*w0.*t);N=input('Type in the number of the harmonic components N=');x=0;for q=1:N;x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q;endsubplot(221)plot(t,x1)%Plot x1axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(w0.*t)')subplot(222)plot(t,x2)%Plot x2axis([-2 4 -2 2]); grid on,title('signal cos(3*w0.*t))')subplot(223)plot(t,x3)%Plot x3axis([-2 4 -2 2])grid on,title('signal cos(5*w0.*t))')subplot(224)plot(t,x)%Plot xtaxis([-2 4 -2 2])grid on,title('signal xt')（2）给程序3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
非周期信号的频谱——傅里叶变换
(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)
信号、系统与数字电路
《信号与系统》大纲注：（Δ）表示重点内容。
参考书目：[1] 徐天成，谷亚林，钱玲. 信号与系统（第二版）. 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2005[2] 郑君里，应启珩，杨为理. 信号与系统（第二版）. 北京：高等教育出版社，20002．2 零输入响应与零状态响应（Δ）2．2．1 零输入响应与零状态响应2．2．2 系统响应的线性特性分析2．3 冲激响应与阶跃响应（Δ）2．3．1 定义2．3．2 h(t)的求解2．3．3 阶跃响应g(t)的求法2．4 系统的卷积积分分析（Δ）2．4．1 卷积积分2．4．2 借助于冲激响应和叠加原理求系统的零状态响应2．4．3 卷积积分的图解法2．5 卷积积分的性质2．5．1 卷积积分的代数性质2．5．2 卷积积分的微分与积分2．5．3 与冲激函数或阶跃函数的卷积第３章傅里叶变换分析3．1 周期信号的频谱分析—傅里叶级数3．1．1 三角形式的傅里叶级数3．1．2 指数形式的傅里叶级数3．7．3 取样定理3．8 调制信号的傅里叶变换（△）3．8．1 调制的概念及调制的分类3．8．2 几种调幅信号的傅里叶变换（常规调幅与双边带抑制载波调幅）3．8．3 解调概念3．9 系统的频域分析3．9．1 系统响应的频域表示3．9．2 系统的频率模型——系统频率响应特性3．10 信号的传输与滤波3．10．1 无失真传输3．10．2 理想低通滤波器3．10．3 理想带通滤波器第４章拉普拉斯变换分析4．1 拉普拉斯变换的定义4．2 常用函数的拉氏变换4．3 拉氏变换的基本性质5．2．3 自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应 5．3 零、极点分布与系统频率响应特性的关系(△)5．3．1 频率响应特性的定义5．3．2 频响特性的矢量作图法5．4 典型系统的频响特性(△)5．5 全通系统和最小相移系统5．5．1 全通系统5．7 系统模拟及信号流图(△)5．7．1 系统的框图5．7．2 信号流图5．7．3 系统模拟5．8 系统的稳定性(△)5．8．1 稳定系统的定义5．8．2 系统稳定的条件第６章离散时间系统的时域分析6．1 离散信号基础6．1．1 离散信号概念6．1．2 典型离散信号6．1．3 序列的运算7．3．2 时移性质7．3．3 z域微分7．3．4 序列指数加权7．3．5 初值定理7．3．6 终值定理7．3．7 时域卷积定理7．4 差分方程的Z变换求解7．5 离散时间系统的系统函数7．5．1 系统函数与单位样值响应（Δ）7．5．2 系统函数的零极点分布对系统特性的影响（其中，2. 离散系统的稳定性域因果性为重点）7．6 序列的傅里叶变换7．6．1 序列的傅里叶变换的定义7．6．2 序列的傅里叶变换与z变换之间的关系 7．7 离散系统的频率响应（Δ）7．7．1 频率响应的意义7．7．2 频率响应的几何确定7．8 数字滤波器的一般概念7．8．1 数字滤波器原理7．8．2 数字滤波器的结构（△）1．8 系统分析方法第二章连续时间系统的时域分析2．1 引言2．2 微分方程式的建立与求解2．3 起始点的跳变——从0-到0+状态的转换2．4 零输入响应与零状态响应（Δ） 2．5 冲激响应与阶跃响应（Δ）2．6 卷积（Δ）2．7 卷积的性质第三章傅里叶变换3．1 引言3．2 周期信号的傅里叶级数分析（△）（一）三角傅里叶级数（二）指数傅里叶级数（三）函数的对称性与傅里叶系数的关系3．3 典型周期信号的傅里叶级数3．4 傅里叶变换第五章傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与抽样5．1 引言5．2 利用系统函数)H求响应( j5．3 无失真传输5．4 理想低通滤波器5．7 调制与解调（△）第七章离散时间系统的时域分析7．1 引言7．2 离散时间信号——序列7．3 离散时间系统的数学模型（△）7．4 常系数线性差分方程的求解7．5 离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应7．6 卷积（卷积和）（△）第八章 z变换、离散时间系统的z域分析8．1 引言8．2 z变换的定义、典型序列的z变换（△）12．2 连续时间系统状态方程的建立（△）12．3 连续时间系统状态方程的求解（△）（一）用拉普拉斯变换法求解状态方程（三）由状态方程求系统函数12．4 离散时间系统状态方程的建立（△）12．5 离散时间系统状态方程的求解（变换域求解）（△）（三）离散系统状态方程的z变换解（四）用状态变量法分析离散系统举例南京理工大学研究生入学考试大纲科目名：《数字电路》一. 考试内容1.数字逻辑基础(3)其他类型的TTL门OC门、三态输出门电路结构、工作特性。
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
非周期信号的频谱
F(j)称为 f(t) 的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱；
f(t) 称为F(j) 的傅里叶反变换或原函数。
也可简记为： F ( j )
f (t)
f (t)
1 F ( j)
或者： f (t ) F ( j )
频谱密度函数
F ( j ) 一般为复函数，可写为
F ( j) F ( j) ej () F ( ) e j ()
0,
2
A e j tdt
2
A e j t 2
j
2A sin 2
A Sa( )
2
2
t
2
t
2
8.矩形脉冲信号的频谱
f (t ) A
2π
F( j)
A
t 2 0 2
0 2π 4π
Ag (t)
A
Sa( )
2
傅里叶变换对 F ( j ) f ( t ) e j t d t
T
Fn
2Fn 1
Fn f1
T
2 T
f ( t ) e j n 1t d t
2
其中， Fn 或 Fn 表示单位频带上的频谱值，即频谱密度。
1
f1
对上式取极限 T ，各变量将相应改为 T
虽然 记作
Fn 0
F ( j)
，但
T
F
n 趋于一有限函数
1
2
T
d
n 1 n
F ( j )
et t 0
f (t) e t t 0
为 0的实数
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt j
2
0
2 a2
F (j) 2 2 a2
§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换
信号与系统
2. 周期信号的平均功率和功率谱 T
周期信号的平均功率为 P 1 2 f (t) 2 dt
T T
T2
T
根据傅立叶级数展开有 P
1 T
2 T
f 2 (t)dt
1 T
2 T
f
(t) Fne jnt0 dt
n
2
2
T
n
F n
1 T
2 T
f (t)e-jn0tdt
F nF n
根据前面的傅立叶系数公式知道：
an 是 n 的偶函数， bn 是 n 的奇函数。
An 是 n 的偶函数， n 是 n 的奇函数。
信号与系统
周期信号 f (t) ，周期为T
，角频率
0
2f
0
2
T
该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。
f (t) Fne jnt0
n
T
其中
1
Fn T
2
f (t)e -jnt0 dt,
dt
2(w
w
)0
信号与系统
（6）常数函数（直流信号） f (t) = A
直流信号不满足绝对可积条件，可采用取极限的方法导出其傅立叶变换
。当矩形脉冲宽度 τ →∞ 时，矩形脉冲便趋于直流信号，因此直流信号的
傅立叶变换为矩形脉冲信号在 τ→∞ 时的傅立叶变换。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
sin( )
F () A
变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分
析具有同样含义，所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是
一回事。
信号与系统
非周期信号的频谱
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F () F()e j() F () ~ 曲线称为非周期信号的幅度频谱
信号与系统第三章(2)
F n ⋅ 2 πδ (ω − n ω
) )
= 2π
n = −∞
∑
∞
F n ⋅ δ (ω − n ω
0
即周期信号的傅里叶变换为
F (ω ) = 2π ∑ Fn ⋅ δ (ω − nω 0 )
−∞
∞
上式表明：周期信号的频谱函数，是由无限多个冲激组 上式表明：周期信号的频谱函数， 成，这些冲激位于基频整数倍的频率 nω0处，每一冲激的 强度即为 2π Fn 。
3.5.1 单位冲激 δ (t )
由根据傅里叶变换的定义式， 由根据傅里叶变换的定义式，并且考虑到冲激函 数的抽（取）样性质，得 数的抽（ 样性质，
F (ω ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− jωt
dt = ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
结论:
1、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 恒定的 谱函数,为常数1,即冲激信号包含相对幅度相等的所 谱函数 为常数 即冲激信号包含相对幅度相等的所 有频率分量,相位都为 相位都为0. 有频率分量 相位都为 2、信号的持续时间与其频带宽度成反比。 反比。 、信号的持续时间与其频带宽度成反比
−∞ ∞ − jωt
dt = ∫ τ e
2 − 2
− jωt
dt =
e
−e − jω
j
ωτ
2
3.5.7 虚指数函数
利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质， 利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质，可得
1 F [δ (ω − ω 0 )] = 2π
−1
∫ δ (ω − ω )e
−∞ 0
∞
《信号与系统》第3章
信号与系统讲稿
• 这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一 些特殊情形下应用的三角级数方法发展 成内容丰富的一般理论，三角级数后来 就以傅里叶的名字命名。 • 《热的解析理论》影响了整个19世纪分 析严格化的进程。
信号与系统讲稿
3.1
周期性信号的频域分析
教学目标：掌握周期性信号频谱的概念， 会用傅里叶级数表示周期信号。
或 E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa 2 n 1
Cos( n1t )
若将展开指数形式的傅里叶级数，由式（8）可得：
1 Fn T1
T1 2 T 1 2
Ee
ห้องสมุดไป่ตู้
jn1t
E n1 dt Sa T1 2
幅度谱cn和相位谱 见书P104页。
特别注意：书P103 1． 2． 3． P105 “对称方波信号有两个特点： （1）它是正负交替的信号，其直流分量（a0 等于零。 （2） 它的脉宽等于周期的一半，即 ”
信号与系统讲稿 第三章
）
信号与系统讲稿
二． 三． 四． 五．
周期锯齿脉冲信号（书P106，自学） 周期三角脉冲信号（书P106，自学） 周期半波余弦信号（书P108，自学） 周期全波余弦信号（书P108，自学）
n 1
a0 d0 2 dn
2 2 an bn 1
n tg
an bn
n次谐波的初相角
信号与系统讲稿
三． 频谱的概念
f ( t )为时间函数，而c0、cn、n为频率函数， 所以，信号从用时间函数来表达过渡到用频率函 数来表达。 1. 幅度频谱：cn 随频率变化的情况用图 来表示就叫幅度频谱。 2. 相位频谱：n随频率变化的情况用图 来表示就叫相位频谱。
信号与系统-典型周期信号的频谱
T1 → ∞
频率也变成连续变量
2π ω1 = → 0 → dω T1
nω1 → ω
9
频谱演变的定性观察
2π ω1 = T1
F (nω1 )
-T/2
T/2
F ( n ω1 ) ω1
F(nω 1)
T/2
T/2
ω1
−∞
∞
−
2π τ
2π τ
10
从周期信号FS推导非周期的FT
~ f (t ) =
n=−ω
∑ F(nω ).e
§3.3 典型周期信号的频谱
l 周期矩形脉冲信号 l 周期锯齿脉冲信号 l 周期三角脉冲信号 l 周期半波脉冲信号 l 周期全波脉冲信号
1
一、周期矩形脉冲信号的频谱
E f (t ) = 0 τ ) 2 τ ( t > ) 2 ( t ≤
E -T
− τ 2
x(t)
τ 2
0
T
t
2
f (t ) =
n = −∞
∑
∞
Fne
jn ω 1 t
Fn
1 = T1
∫
τ 2 τ − 2
Ee
− jn ω 1 t
dt − e
jn ω 1 τ / 2
E − = (e T 1 ( − jn ω 1 ) n ω 1τ sin( ) Eτ 2 = T1 n ω 1τ 2
jn ω 1 τ / 2
)
τ
5
2mπ ω= τ
T1
周期矩形的频谱变化规律：
l 若T不变，在改变τ的情况 l 若τ不变，在改变T时的情况
T
τ
6
对称方波是周期矩形的特例
信号与系统 第3章傅里叶变换
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号 都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出 收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析 理论”中
傅里叶的两个最主要的贡献——
―周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权”—— 傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶 的第二个主要论点
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。 其他信号: 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号
周期全波余弦信号请自学。
六．周期信号的功率
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平 方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
证明
对于三角函数形式的傅里叶级数 平均功率
对于指数形式的傅里叶级数
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
例1
不满足条件1的例子如右图所示， 这个信号的周期为8，它是这样组 成的：后一个阶梯的高度和宽度是 前一个阶梯的一半。可见在一个周 期内它的面积不会超过8，但不连 续点的数目是无穷多个。
f (t ) 1
1 2
L 8 O 8
L t
例2
不满足条件2的一个函数是
f (t ) 1 L L O 1 t
§305 典型非周期信号的频谱
lim E
e j e j
j
E
lim
2
sin
2E
lim
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin
2E
F
2E
O
E 2E
时域无限宽，频带无限窄
lim
Sa
( )
X
四．符号函数
不满足绝对
e te j t dt
0
1
j
1
j
2
j2 2
F
lim
0
F1
lim
0
2
j2
2
2
j
X
频谱图
sgnt
2
j 2
2
j
e2
j
F
2
2
2
F 是偶函数
信号与系统
§3.5 典型非周期信号的频谱
X
主要内容
本节将讨论如下信号的频谱密度函数 矩形脉冲 单边指数信号 直流信号 符号函数
重点 矩形脉冲的频谱密度函数 难点 不满足绝对可积条件信号的频谱
X
一．矩形脉冲信号
f t
E 2 0 2
F
2 2
Ee
j
t
dt
E
f
(t
)
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F ( j) 2
2
2
0 0
虚部
Sg n(t)
X( )
1
o
t
o
－1
(a)
F
(b)
第3章 傅里叶变换
例 3.5-６ 求图 3.5-６所示升余弦脉冲信号的频谱函数。
升余弦脉冲信号的表示式为
f
(t)
E 2
1
cos
t
0 t
其波形如图3.5-6所示。
第3章 傅里叶变换
解：F f (t)e jtdt
2
1
e
jt
dt
2
jt
jt
e 2 e 2
j
2
sin
t
2
Sa
2
第3章 傅里叶变换
例 3.5-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
f
(t)
eat
0
f (t)
1 e－t ( ＞ 0)
t0 t0
( 0)
F( )
1
o
t
o
(a)
(b)
图 3.5-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
2
原角频率
令０＝２２ ，则
F
ESa
1
0
2
第3章 傅里叶变换 其频谱如图所示
由此可见，升余弦脉冲信号的频谱比矩形脉冲的频谱更
加集中。对于半幅度宽度为τ的升余弦脉冲信号，它的绝大部
分能量集中在
0 ~ 2 即 f 0 ~ 1范 围内。
2 4
－
4
－ 2
o 2 4
－
(c)
(d)
(a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱 (b) 图 3.5-1 门函数及其频谱
第3章 傅里叶变换
解： 门函数gτ(t)可表示为
g
(t
)
1
0
t
2
t
2
根据傅里叶变换的定义式得
F(j)
f (t)e jtdt
第3章 傅里叶变换
3.５ 典型非周期信号的傅里叶变换
第3章 傅里叶变换
例 3.5-1 图 3.5-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度
为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
g(t)
F(j )
1
－τ2o
τ 2
t
(a)
2
－4
－
2
o
4
(b)
F( )
( )
－
4
－
2
o
解：双边指数函数可表示为
eat t 0
f
(t
)
eat
t0
a 0
由傅里叶正变换定义式可得其频谱函数为
F j 0 eate jtdt eate jtdt
0
1 1 2a
j j 2 2
实函数
第3章 傅里叶变换
F
2a
a2 2
0
f (t)
1
et
e－t ＞0)
o
t
(a)
符号函数sgn(t)
1 (t 0)
sgn(t)
0
(t 0)
1 (t 0)
f t
1
t
0
1
显然，这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅 里叶变换。可以借助于上例中的双边指数函数的频谱取极 限而得到符号函数sgn(t)的频谱。
第3章 傅里叶变换
F
(
)
lim a0
a2
2 j 2
Fω 2
jω
第3章 傅里叶变换
解： F ( j) f (t)e jtdt ete jtdt
e( j)t
( j)
0
1
j
1
j arctan
e
a
a2 2
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数函数幅度频谱及相位频谱
第3章 傅里叶变换
例 3.5-3 求图 3.5-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
E 2
1
cos
t
e
jt dt
E
e jt dt E
e
jt
e
jt dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
E
2
Sa
显然F(ω)是由三项构成，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了
把上式化简，有
F
E sin
1
2
ESa
1
F(j )
2
1
a
oa
(b)
图 3.5-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
第3章 傅里叶变换 例 3.5-4 求图 3.5-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
虚部
f(t)
X( )
1
1
o － et
e－t ＞0)
t
a
a o
－1
－
1
(a)
图 3.4-4 例 3.4-4
(b)
(a) 信号f(t); (b) 频谱
第3章 傅里叶变换
解: 图示信号f(t)可表示为
f
(t)
eat
t0
eat t 0
其频谱为
a 0
F ( j) 0 eate jtdt ete jtdt
0
1
j
1
j
j
2 a2 2
2 F ( j) a2 2
2
2
0 0
第3章 傅里叶变换
例 3.5-5 求图 3.5-5(a)所示符号函数sgn(t)