信号与系统3.5典型非周期信号的频谱

E 2
1
cos
t
e
jt dt
E
e jt dt E
e
jt
e
jt dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
E
2
Sa
显然F(ω)是由三项构成，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了
把上式化简，有
F
E sin
1
2
ESa
1
第3章 傅里叶变换
解： F ( j) f (t)e jtdt ete jtdt
e( j)t
( j)
0
1
j
1
j arctan
e
a
a2 2
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数函数幅度频谱及相位频谱
第3章 傅里叶变换
例 3.5-3 求图 3.5-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
F(j )
2
1
a
oa
(b)
图 3.5-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
第3章 傅里叶变换 例 3.5-4 求图 3.5-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
虚部
f(t)
X( )
1
1
o － et
e－t ＞0)
t
a
a o
－1
－
1
(a)
图 3.4-4 例 3.4-4
(b)
(a) 信号f(t); (b) 频谱
2
原角频率
令０＝２２ ，则
F
ESa
1
0
2
第3章 傅里叶变换 其频谱如图所示
由此可见，升余弦脉冲信号的频谱比矩形脉冲的频谱更
加集中。对于半幅度宽度为τ的升余弦脉冲信号，它的绝大部
分能量集中在
0 ~ 2 即 f 0 ~ 1范 围内。
第3章 傅里叶变换
解: 图示信号f(t)可表示为
f
(t)
eat
t0
eat t 0
其频谱为
a 0
F ( j) 0 eate jtdt ete jtdt
0
1
j
1
j
j
2 a2 2
2 F ( j) a2 2
2
2
0 0
第3章 傅里叶变换
例 3.5-5 求图 3.5-5(a)所示符号函数sgn(t)
2
1
e
jt
dt
2
jt
jt
e 2 e 2
j
2
sin
t
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
Sa
2
第3章 傅里叶变换
例 3.5-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
f
(t)
eat
0
f (t)
1 e－t ( ＞ 0)
t0 t0
( 0)
F( )
1
o
t
o
(a)
(b)
图 3.5-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
2 4
－
4
－ 2
o 2 4
－
(c)
(d)
(a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱 (b) 图 3.5-1 门函数及其频谱
第3章 傅里叶变换
解： 门函数gτ(t)可表示为
g
(t
)
1
0
t
2
t
2
根据傅里叶变换的定义式得
F(j)
f (t)e jtdt
符号函数sgn(t)
1 (t 0)
sgn(t)
0
(t 0)
1 (t 0)
f t
1
t
0
1
显然，这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅 里叶变换。可以借助于上例中的双边指数函数的频谱取极 限而得到符号函数sgn(t)的频谱。
第3章 傅里叶变换
F
(
)
lim a0
a2
2 j 2
Fω 2
jω
第3章 傅里叶变换
3.５ 典型非周期信号的傅里叶变换
第3章 傅里叶变换
例 3.5-1 图 3.5-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度
为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
g(t)
F(j )
1
－τ2o
τ 2
t
(a)
2
－4
－
2
o
4
(b)
F( )
( )
－
4
－
2
o
解：双边指数函数可表示为
eat t 0
f
(t
)
eat
t0
a 0
由傅里叶正变换定义式可得其频谱函数为
F j 0 eate jtdt eate jtdt
0
1 1 2a
j j 2 2
实函数
第3章 傅里叶变换
F
2a
a2 2
0
f (t)
1
et
e－t ＞0)
o
t
(a)
F ( j) 2
2
2
0 0
虚部
Sg n(t)
X( )
1
o
t
o
－1
(a)
F
(b)
第3章 傅里叶变换
例 3.5-６ 求图 3.5-６所示升余弦脉冲信号的频谱函数。
升余弦脉冲信号的表示式为
f
(t)
E 2
1
cos
t
0 t
其波形如图3.5-6所示。
第3章 傅里叶变换
解：F f (t)e jtdt