常微分方程的思想与方法

第四讲常微分方程的思想方法
三、常微分方程的思想方法
数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点, 它在认识活动中被反复运用, 带有普遍的指导意义, 是建立数学以及应用数学解决问题的指导思想。

数学方法是指提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等, 二者的紧密联系即数学思想方法。

由此可见, 数学思想方法是以具体的教学内容为载体, 又高于具体数学内容的一种指导思想和大范围普遍适用的方法, 是数学的灵魂.
（1）挖掘、提炼和概括教材知识中的数学思想，实现由隐到显，体现规律性
一般来说, 由于教材的编排必须考虑学科内容的内在联系及逻辑系统性，故数学思想只能从相关内容中去体现，具有隐形态。

知识教学虽然蕴含了思想方法，但是如果没有有意识地被数学思想方法作为教学对象，学生学习数学知识时并不一定注意到数学思想方法。

因此教师应当以数学知识为载体，有意识地引导学生将隐藏在知识背后的数学思想挖掘、提炼、概括出来，使之由隐形态变为显形态，使学生对由对数学知识、数学方法的朦胧感受、死记硬背转化为明晰的理解、掌握和灵活运用，最终完成对数学知识、数学方法的本质认识。

（2）抓住课程中知识发生的过程，及时强化数学思想
数学知识的发现过程，实际上也是数学思想方法的发生过程，但对于学生来说，这种发现或发生过程，往往被教材浓缩，甚至隐去。

数学知识的教学是数学认识活动结果的教学，具有静态点型，重在记忆理解；数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，呈动态线型，重在思辨操作。

所谓数学活动过程是指：数学概念的形成过程，数学结论的推导过程，数学方法的思考过程，数学规律的被揭示过程，这些过程是数学思想的体现并受某种数学思想的指导，离开数学活动过程，思想方法也就无从谈起。

（3）把握知识的内在联系，注意数学思想方法的内在结构，使之系统化
数学思想方法的教学与具体的数学知识的教学一样，只有成为系统，建立自己的结构，才能发挥它的整体效益。

同时，系统的数学思想体系是良好的数学观念形成的物质基础。

教材中的许多知识，从思想方法角度去分析，更容易把握其本质联系，是原来看似孤立和静止的知识点成为有机联系的动态的知识发展过程。

因此在教学过程中，应突出数学思想，把对方法的认识提升到数学思想运用的高度，这有利于沟通知识联系，把握方法本质，是学生从整体结构上，从更深层次上，从事物内在的本质联系上，去把握知识，形成系统、完成的知识结构。

（4）加强应用，内化数学思想
应用数学知识解决问题的过程是诸多数学思想方法中和运用的过程。

一方面应把重点放作应用数学思想方法解决数学本身的问题；另一方面应该注意它的实际背景和应用，应用数学思想方法解决实际问题，逐渐将从数学知识挖掘出来的数学思想加以内化。

方程的思想
方程，尤其是目的在于求出解的方程，最初是作为解决实际问题的数学模型出现的，即用来表达“数量关系”，这时方程思想的基本点。

常微分方程的思想方法是代数方程思想方法的发展，但其基本点是一致的，即把问题归结为求未知量。

用含未知量的式子建立等量关系，由此求得未知量。

方程的基础是平衡原理。

⏹模型化思想
许多类型的常微分方程的发现都遵循这样的一个过程: (1) 在工程或自然科学研究中发现问题、提出问题; (2) 对实际问题进行分析, 提炼出数学模型, 建立目标函数的关系式, 提出相应的定解条件; (3) 求这个方程的解析解或数值解, 或对方程的形态进行分析; (4) 用所得的结果解释实际现象, 或对问题的发展变化趋势进行预测. 这个过程就是数学建模的过程. 数学建模思想是常微分方程发展史所反映出的最重要的数学思想. 常微分方程自诞生之日起, 就是模型化的产物.
⏹抽象化思想
“量”和“形”作为数学中抽象的材料, 在两个研究对象具有相同的量和形时, 便可使用相同的方法处理, 由此决定了数学抽象性. 此外, 概念和规律的抽象也决定了数学内容的抽象性. 数学的抽象化是从简单到到复杂的逐步深化的过程, 常微分方程的发展也是抽象化的过程, 通过抽象, 理论意义进一步增强.
常微分方程的抽象化主要体现在两个方面, 一是研究领域的抽象化, 即从相平面到环面、到柱面、到一般的欧氏空间；从有限维欧氏空间到无穷维的Banach空间，到一般微分流形上，研究范围不断抽象；另一方面是研究对象的抽象化，从低阶方程到高阶方程、从线性方程到非线性方程、从一个方程到方程组、从自治系统到非自治系统。

⏹分类思想
求解方程的分类；轨线的分类；
⏹换元思想
解Bernoulli方程、
⏹化归的思想
数学中的化归思想，是指在研究数学问题时，把未解决的问题通过某种转化过程归结到另一类已经解决或者相对更容易解决的问题中去，最终使原问题得到解决的一种思维方法。

化归思想方法的主要特点在于它具有很强的目的性、方向性和概括性，就是希望通过由已知到未知、由难到易、由繁到简的化归来达到解决问题的目的。

化归思想应用的关键在于如何实现由所要解决的问题向已经解决的或较易解决的问题的转化。

化归的思想，从宏观上讲，它是数学家区别于一般科学家的分水岭，是发现问题、分析问题、解决问题，形成数学构想的方法论依据。

大致一门学科，一项思维的总体构思，小至一个基本问题的解决，无不由于化归思想的作用。

从微观上看，数学问题的解决过程就是不断发现问题、分析问题，将之归结为熟知问题的过程。

从常微分方程发展历程来看，化归是常微分方程的重要数学思想方法。

下面仅举几例，这几个例子都是用连续、变化的观点，有意识地将问题化繁为简，划归解决的，
都符合“化难为易、化未知为已知、化繁为简的化归原则。

●一阶常微分方程初等解法
用初等积分法求解一阶显方程，常用的处理方法有两种：一是以变量分离方程为基础，通过适当的变量代换，将非变量可分离方程转化为变量可分离方程来求解；二是以恰当方程为基础，选择适当的积分因子，将非恰当方程转化为恰当方程来求解。

● 高阶方程的降阶法
对于高阶方程，常常选用适当的变量代换转化为低阶方程来解。

特别是对于线性齐次方程，若已知它的K 个线性无关解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低K 阶。

● 常系数线性齐次方程（组）的特征值法
特征值法本质上是将求常系数线性微分方程（组）的解的问题转化为高等代数中的求代数方程的特征值问题（特征值、特征向量）加以解决，从而省去了积分运算。

待定系数法和幂级数解法的思想也是把积分运算化归为代数运算。

● 非齐次线性方程（组）的常数变易法
在已知非齐次线性微分方程相应其次线性方程的基本解组的条件下，求解非齐次线性微分方程（组）的常数变易法，本质上是通过一个变量代换，将其转化为易于求解的方程（组）来求解。

● 一阶常微分方程的解的存在唯一性的证明
首先将常微分方程的初值问题化归为等价积分方程的初值问题，而相应的积分方程的解的存在性又是通过逐次逼近法，进而将其化归为逐次逼近函数列的一致收敛问题来证明的。

利用逐次逼近法通常需要经过以下几步:
(1) 初值问题等价于积分方程
0()(,()),t
t x t x f s x s ds =+⎰ 0.t t h
-≤
(2) 作等价积分方程的Picard 近似解序列{}()n t ϕ:
00x ϕ=, 0
01()(,()),t
k k t t x f s s ds ϕϕ-=+⎰ 0,t t h
-≤ 1,.k =⋅⋅⋅
(3) 证明近似解序列{}()n t ϕ在0t t h -≤上一致收敛.
(4) 证明()lim ()n n t t ϕϕ→+∞
=为积分方程的解, 从而是()的解. (5) 利用同一法证明解的唯一性.
● 非线性系统的稳定性
非线性系统的零解的问题性可以转化为线性系统进行研究。

例如： 考虑系统
(,),x
Ax g t x =+ 其中(,0)0,(,)g t g t x =在0[,)n t R +∞⨯连续, 对x 足Lipschitz 条件, 且对t 一致的有 0(,)
lim 0,x g t x x →=
则当A 没有零实部的特征值时, 此系统的零解的稳定性与其线性化系统x
Ax 具有相同的稳定性.
● Laplace 变换法
首先通过作Laplace 变换，将线性非齐次常微分方程求解问题划归为以未知函数的Laplace 变换为未知变量的代数方程的求解问题，求得此代数方程的解后，再应用Laplace 反演变换将代数方程的解翻译成原常微分方程的解。

应用Laplace 变换法解方程，作为化归的一种情形，体现了RMI 原则（关系relationship 、映射mapping 、反演inversion 原则），充分利用了关系映射的确定性。

⏹ 数形结合的思想
数形结合化抽象为具体、化深奥为浅显，可以生动形象地揭示问题的本质。

例如：常微分方程中的线素和线素场，对于不可积的方程，可依据线素场研究解的性质，从而构成了常微分方程近似解法和定性理论的基本思想。

研究自治系统引入相平面和轨线，又使解的研究易于积分曲线的研究。

数形结合的思想在常微分方程中得到了充分的应用。

⏹ 逼近的思想
Euler 折线法、逐次逼近法、线性系统逼近非线性系统等。

参 考 文 献
1. Kline M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Time, Oxford University
Press ,1990. 中译本：古今数学思想，上海科学技术出版社，2002.
2. 亚历山大洛夫 A D. 数学-它的内容、方法和意义, 科学出版社，2001.
3. 李文林. 数学史概论（第二版），高等教育出版社，北京，200
4.。