2013天津大学工程硕士工程数学复习题纲

第四章掌握重点：方阵范数及谱值的元素 1），||A||F =()1/22ij a ∑∑即矩阵中每个元素取模或者绝对值，然后相加，之后再开根号；2），||A||1=11max n ij i j na -≤≤∑ 即矩阵中每列的元素取模，然后找最大的3），||A||∞=即矩阵中每行的元素取模，然后找最大的4），||A||25），ρ(A)=max{|λi |} 即如果求该式结果，需要计算特征值1,矩阵A=11021120i i -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则||A||F =||A||1=5 ||A||∞=3 ||A||1来说，分别计算各列元素模的和，找最大的：01i =2，122=5(max),110i -大们别说复数的取模不会啊！！||A||∞来说，分别计算各行元素模的和，找对最大的：11i -=3； 021i -120=3 (max)||A||F 所有元素都取模平方，=2,矩阵A=1212⎡⎤⎢⎥-⎣⎦则ρ||A||2解析：E A λ-=1214λλ--⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=λ2+2λ-4=0；分解因式得λ又因为取得数值要取模，所以答案中为正。

第五章掌握重点：p102,例5.1 1，A(t)=201t t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则求导10()02dA t t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦P105 例5.2,2，f(x)=213321233sinx x x x e x x ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦求'()f x 解：思路：按照分别对x 1,x 2,x 3求导，在求导过程中，要把其他元素看成常数处理，生成一个矩阵形式.'()f x =22322123233032sinx cosx x x x e e x x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦3,设f(x)=212121x x x x x x e ⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ 求'()f x解：'()f x =2221111x x x x ex e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦4，关于求,,cosA,cosAt AAte e ,方法1，利用J 标准型；2，采用最小多项式例5.9 A=010001254⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求At e解：det(E A λ-)=101254λλλ----=2(4)25λλλ--+=∴m(λ)=(2)(1)λλ--或2(2)(1)λλ--将(2)(1)λλ--进行检验得（只有使m(A)=0的特征根才是最小多项式）2()(2)()0m A A E A E λλλ=--≠∴Q 最小多项式m()=(-2)(-1)（注：最小多项式应该为0化多项式） 所以该多项式的次数deg(m(λ))=3;设2012()()()()()At f At e a t E a t A a t A T At ==++=则任意2次多项式T(t λ)=a 0(t)+a 1(t)λ+a 2(t)2λ使得()()tT t f t e λλλ==且()T t λ与t e λ在矩阵A 上有相同的ρ谱值2012012''12124(2)(2)(1)(1)2(1)(1)ttt t a t a t a t T t f t e a t a t a t T t f t e a t a t T t f t e te λλ=⎧++===⎪⎪++===⎨⎪+====⎪⎩解的2021222(32)2(1)t tt tt t a t te e a t t e e a t t e e ⎧=-+⎪=+-⎨⎪=-++⎩322222452(441)2((2)1)2(2)2(2)[(2)1](2)(1)λλλλλλλλλλλλλλλλ-+-=-++-=-+-=-+-=--+=--所以2012()()()()At e T At a t E a t A a t A ==++ 代入各解得---略（课本P126）例 A=200123401⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求①A 的最小多项式②Ax e解det(E A λ-)=210012341λλλ-------=2(2)(1)λλ--∴ m(λ)=(2)(1)λλ--或2(2)(1)λλ--Q m(A)=(A-2E)(A-E)≠0∴m(λ)=2(2)(1)λλ--任意2次多项式T(t λ)=a 0(t)+a 1(t)λ+a 2(t)2λ使得()()t T t f t e λλλ==且()T t λ与te λ在矩阵A 上有相同的ρ谱值2012012212244t t ta t a t a t e a t a t a t e a t a t te ⎧++=⎪++=⎨⎪+=⎩∴2012()()()()At e T At a t E a t A a t A ==++222220012121333440tt t tt t t t t te e e te e e e e e e ⎡⎤⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦第七章1，掌握计算条件数 cond(A)=1A A -2,严格对角占优矩阵 P175 定理7.43迭代法11121,Jacobi M ()7.7P1792,()7.81823,------------D L U G S M D L U P SOR --⎧--=+⎪---=-⎨⎪⎩例题例题不需要掌握例题7.7的迭代格式按照公式111(L U)x k k k x M x f D b +-=+=++由方程组写出迭代格式，就是将(n 1,2,.....)n x n =系数拿出，其他的部分右移，然后该元素的系数做除法。

例如：12364314x x x --=---→其变形为：1231(314)64x x x =++---------→ -----→变成J 迭代式子：(1)()()1231(314)64k k k x x x +=++ 例题：解方程组1231231232256227x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：换成J迭代式=>1123121313122256227 k k kk k kk k kx x xx x xx x x+++⎧=-++⎪=--+⎨⎪=--+⎩如果换成G-S迭代格式，唯一的区别是：等号=右侧的第2,3行的系数最高次数由k----k+1，第一行不变。

即换成G-S迭代格式=>(1)()()123(1)(1)(1)213(1)(1)(1)3122256227 k k kk k kk k kx x xx x xx x x+++++++⎧=-++⎪=--+⎨⎪=--+⎩例题求解方程组132312332628 225x xx xx x x-=⎧⎪+=⎨⎪-++=⎩解：J迭代格式形式：(1)(13123(k+1)()()3121(26)31(8)212-+52k kk kk kx xx xx x x++⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=⎪⎩）（）（）（）G-S迭代格式形式(1)(131123(k+1)(1)(1)3121(26)31(8)212-+52k kk kk kx xx xx x x+++++⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=⎪⎩）（）（）（）后续的计算过程参照例7.11 P187和例7.10 P186第八章考点1，Newton插值及差商表例题参照P214 例8.2公式：N3(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)(x-x2)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)估计考试也就考个3次插值多项式的，所以记住这个公式就OK了关于差商表的计算公式：考点2 Legendre 最佳平方逼近 公式：[,]22b a b af a b x t -+∈→=+ [1,1]t ∈- 01321k 1()1P ()1()(31)-------221()P ()2a k P x x xP x x k F t t dt -===-+=⎰可能用不到0011221()()()+()S t a P t a P t a P t a =+个人感觉也就考到误差计算122222012[a ]221k k f SF k =-=-+∑ 参照P239 例8.6第九章数值积分 考点：1.求积系数A k0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰2.余项：0()()()nbk k a k R f f x dx A f x ==-∑⎰3.代数精度：≤m 的代数多项式使得()R f =0，而m+1次多项式使得()R f ≠0，则称此求积公式具有m 次代数精度例题9.1 P2514.复化求积法---复化梯形公式11[(a)2(x )(b)]2n n k k hT f f f -==++∑5.Romberg 计算求T,S,C,R P265 例题9.4012122124222222323[()()]21[()]22213()2[()()]22444S 41441441n nn n nn n nn b aT T f a f b b a a bT T T f b a a b a b T T T f f T T S S C C C R -==+-+==+-++==++-=--=--=-。