2013天津大学工程硕士工程数学复习题纲

第四章

掌握重点：方阵范数及谱值的元素 1），||A||F =()

1/2

2ij a ∑∑即矩阵中每个元素取模或者绝对值，然后相加，之后再开根号；

2），||A||1=

1

1max n ij i j n

a -≤≤∑ 即矩阵中每列的元素取模，然后找最大的

3），||A||∞=

即矩阵中每行的元素取模，然后找最大的

4），||A||2

5），ρ(A)=max{|λi |} 即如果求该式结果，需要计算特征值

1,矩阵A=11021120i i -⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

则

||A||F =||A||1=5 ||A||∞=3 ||A||1来说，分别计算各列元素模的和，找最大的：01

i =2，122

=5(max),110

i -大们别说复数的取模不会啊

！！

||A||∞来说，分别计算各行元素模的和，找对最大的：11i -=3； 02

1i -

120=3 (max)

||A||F 所有元素都取模平方，

=

2,矩阵A=1212⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

则ρ

||A||2

解析：E A λ-=121

4λλ--⎡⎤⎢

⎥+⎣⎦=λ2+2λ-4=0；分解因式得λ

又因为取得数值要取模，所以答案中为正。 第五章

掌握重点：p102,例5.1 1，A(t)=201t t ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦则求导10()02dA t t dt ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

P105 例5.2,

2，f(x)=21332

1233sinx x x x e x x ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦

求'

()f x 解：思路：按照分别对x 1,x 2,x 3求导，在求导过程中，要把其他元素看成常数处理，生成一个矩阵形式.

'()f x =2

23

2

2

1

23

233032sinx cosx x x x e e x x x ⎡⎤

+⎢⎥⎣⎦

3,设f(x)=212121x x x x x x e ⎛⎫

⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ 求'

()f x

解：'

()f x =222

1111x x x x e

x e ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎣⎦

4，关于求,,cosA,cosAt A

At

e e ,方法1，利用J 标准型；2，采用最小多项式

例5.9 A=010001254⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

求At e

解：det(E A λ-)=10

12

5

4λ

λ

λ----=2(4)25λλλ--+=

∴m(λ)=(2)(1)λλ--或2

(2)(1)λλ--

将(2)(1)λλ--进行检验得（只有使m(A)=0的特征根才是最小多项式）

2()(2)()0m A A E A E λλλ=--≠∴Q 最小多项式m()=(-2)(-1)

（注：最小多项式应该为0化多项式） 所以该多项式的次数deg(m(λ))=3;

设2

012()()()()()At f At e a t E a t A a t A T At ==++=则任意2次多项式T(t λ)=a 0(t)+a 1(t)

λ+a 2(t)2λ使得()()t

T t f t e λλλ==且()T t λ与t e λ在矩阵A 上有相同的ρ谱值

2012

012

''1

2124(2)(2)(1)(1)2(1)(1)t

t

t t a t a t a t T t f t e a t a t a t T t f t e a t a t T t f t e te λλ=⎧++===⎪⎪++===⎨⎪+====⎪⎩

解的202122

2(32)2(1)t t

t t

t t a t te e a t t e e a t t e e ⎧=-+⎪=+-⎨⎪=-++⎩

322222

452(441)2

((2)1)2(2)2

(2)[(2)1](2)(1)λλλλλλλλλλλλλλλλ-+-=-++-=-+-=-+-=--+=--

所以2012

()()()()At e T At a t E a t A a t A ==++ 代入各解得---略（课本P126）

例 A=200123401⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求①A 的最小多项式②Ax e

解det(E A λ-)=2

100

1

2

34

1

λλλ-------=2(2)(1)λλ--

∴ m(λ)=(2)(1)λλ--或2

(2)(1)λλ--

Q m(A)=(A-2E)(A-E)≠0

∴m(λ)=2

(2)(1)λλ--

任意2次多项式T(t λ)=a 0(t)+a 1(t)λ+a 2(t)2λ使得()()t T t f t e λλλ==且()T t λ与t

e λ在矩阵A 上有相同的ρ谱值

2012012212244t t t

a t a t a t e a t a t a t e a t a t te ⎧++=⎪++=⎨⎪+=⎩

∴2012()()()()At e T At a t E a t A a t A ==++

2222200

12121333440

t

t t t

t t t t t t

e e e te e e e e e e ⎡⎤

⎢

⎥

=-+-+⎢⎥⎢⎥-+⎣

⎦