第四章整数规划
第四章 整数规划
例4-1求解下面ILP问题： 相应的LP：
(LP4)
（3.25，2.5） (LP2)
(4，1)，14
14.75
(2.5，3)，13.5
分枝定界法小结 （1） 先将求解最大化的ILP的松弛问题LP（若是最小化的ILP，可先化
成最大化的ILP），有以下结果之一：
1． 若LP无可行解，则原ILP也无可行解，计算结束； 2． 若LP的最优解是整数解，则它也是原ILP的最优解，计算
2、分枝
在ILP中，X1，X2要求取整数值。若X2取整数值，就要在X2≤2或
X2≥3中取值，为此，我们将X2≤2和X2≥3分别加入原ILP中，将ILP分
成两子问题。即
ILP1：
ILP2：
显然这两个子问题把LP的可行域划分成部分，但是，这样划分，并未丢 掉原ILP的可行解。我们称这一划分过程为分枝。
结束； 3．若LP的最优解不是整数解，则其目标函数值是ILP目标函数 值的上界，转下步。 （2） 在LP的最优解中选取小（分）数部分大的变量作为分枝变量，假 定的小（分）数部分大，则以构造两个约束条件和分别加入 ILP，将ILP分成两个子问题ILP1和ILP2； （3） 求解子问题的松弛问题LP1和LP2，并修改ILP目标值的上界，若 新上界所对应的解为整数解或符合混合整数规划条件，则这个解 就是原ILP的最优解，计算结束，否则，对新上界对应的子问题 继续分枝，直到求出最优解为止。
第4章 整数规划
第4章 整数规划判断:用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界；指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以用表上作用法求解；效率矩阵的任一行（或列）减去（或加上）任一常数，指派问题最优解不会受到影响； 匈牙利法只能用于平衡分配问题；对于极大化问题，匈牙利法不能直接求解。
整数规划问题解的目标函数值优于其相应的线性规划问题的解的目标函数。
用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界值，在进行比较剪枝。
分配问题的每个元素都加上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题的每个元素都乘上同一个常数k ，并不会影响最优分配方案。
分配问题域运输问题的数学模型结构形式十分相似，故也可以用表上作业法求解。
隐枚举法也可以用来求解分配问题简答试述分枝定界法求解问题的主要思想。
试述隐枚举法的步骤。
试讲述割平面方法的基本原理. 试例举三种应该剪枝的情况。
计算题分枝定界法用分枝定界法求解下列整数规划问题12max Z x x =+1212129511414123,x x x x x x +≤-+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 32Z x x =+121212231429,x x x x x x +≤+≤≥0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 2010Z x x =+1232312312324434323,,x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题12max 79Z x x =+121212136735,x x x x x x x +≤+≤≥－0，且为整数用分枝定界法求解下列整数规划问题123max 33Z x x x =++123231231231324432323,,,x x x x x x x x x x x x x ++≤≤+≤≥－--0，且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题：1212121212232478188..3219,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题1212121212250..6221,0MaxZ x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩且为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312121225231050..7228,0,MaxZ x x x x x s t x x x x x =-+-+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩为整数用分枝定界法解下列整数规划问题12312341234345272222..0,1,2,3,4,5,j MaxZ x x x x x x x x x x x s t x j x x =-+-⎧-+-+=⎪⎪⎪-++=⎨⎪≥=⎪⎪⎩为整数用分枝定界法求解下列整数规划模型12max 23z x x =+121257354936x x x x +≤+≤12,0x x ≥且为整数有如下整数规划问题12max z x x =+12129511414123x x x x +≤-+≤12,0x x ≥且为整数试用分枝定界法求其最优解。
第4章整数规划——指派问题
4 指派问题
解： 可行解｛c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0｝是一个独立零元素组， c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0分别称 为独立零元素； ｛c12=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝也 是一个独立零元素组，而｛c14=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝就不是独立零元素 组.
4 指派问题
1）对新矩阵中所有不含“*”元素的行打√ ； 2）对打√的行中，所有打×零元素所在的列打√； 3）对所有打√列中标记“*”元素所在行打√； 4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一列划一纵线， 即得到覆盖当前0元素的最少直线数。 第四步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打 √行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小 元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个 数，返回第二步。 【例5】 求解例1和例2
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
0 , 不 指 派 Ai 承 建 商 店 B j x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ,5 ) 1, 指 派 Ai 承 建 商 店 B j
第四章 整数规划
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
第4章 整数规划
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
4第四章 整数规划
分别求解这两个线性规划问题，得到的解是：
x1 4, x2 2.1, z 349 和 x1 5, x2 1.57, z 341 变量 x2 仍不满足整数的条件，对问题（A）， 必有 ，将（A）增加约束条件，得到
4.2 整数规划的求解算法 能否采用四舍五入或者去尾法求得整数解？ 以例4.1的求解为例，先不考虑 x1 , x2为整数的 条件，采用单纯形法求解该问题，得到： 采用四舍五入法求解，则有 x1 5, x2 0 x1 , x2 ，此解不是可行解； 而去尾法得到 x1 4, x2 0 ，目标函数 z 80 ， 该解是否是最优解呢？实际上，当 x1 4, x2 1 时， z 90 ，表明，去尾法得到的解并非最优解。 若对
4.1 整数规划的数学建模 4.1.1 装箱问题 例4.1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表4－1 所示。问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最 大？ 表 4－1
货物 甲 乙 托运限制 体积（米3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱） 5 4 24米3 2 5 13百公斤 20 10
用观察法找问题A的一个整数可行解，一 般可取 x j 0, j 1, , n, 试探，求 得其目标函数值，并记 z 。以 z* 表示问题 A的最优目标函数值；这时有 ， * z z z0 然后按下述步骤进行迭代。
步骤1：分支定界过程 分支过程。在B 的最优解中任选一个不符 bj [b j ] xj 合整数条件的变量 ，若其值为 ，以 bj 表示小于 的最大整数，构造两个约束条件： x j [bj ]和x j [bj ] 1 。将这两个约束条件， 分别加入问题B ，得到后续规划问题 B1和B2 。 不考虑整数条件求解这两个后续问题。 定界过程。以每个后续问题为一分支标明求 解的结果，在其他问题解的结果中，找出最优 目标函数值最大者作为新的上界 z 。从已符合 整数条件的各分支中，找出目标函数值最大者 作为新的下界 z ，若无可行解，则 z 0 。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
第4章 线性整数规划
线性整数规划的概念 例：用集装箱装运甲、乙两种货物，每种货物每包的体积、 重量和收益见下表。集装箱体积为 24m3 ，允许的最大 重量 14 吨，问每个集装箱应装两种货物各多少包才能
使收益最大?
货物 甲 乙 每包体积 (m3) 5 4 每包重量 (吨 ) 2 5 收益 (元/包) 1000 1500
线性整数规划的概念
二、线性整数规划的数学模型
在线性规划模型：
max S CX AX b s .t . X 0
中，若增加自变量取整数约束条件，则可得到线性整数 规划的数学模型：
max S CX AX b s.t . X 0且为整数
解：①解原问题的松弛问题P0： max S 40 x1 90 x2
9 x1 7 x2 56 s.t .7 x1 20 x2 70 x , x 0 1 2
分枝定界法 可用图解法求解。最优解为xl=4.809，x2=1.817，S=355.89 根据松弛问题的最优解可以确定原问题的目标函数值的 上界为S =355.89或 S =355，下界为 S =0（由于目标函数的 系数均为整数且大于0）。 ②将P0分解为两个子问题Pl和P2(分枝)
P3 的最优解为 x1=4 ， x2=2 ， S=340 ，因已得到一个整数 解，即原问题的一个可行解，故原问题目标函数下界 为：S=340。 P4的最优解为x1=1.428，x2=3，S＝327.12，S4 327
分枝定界法
因S4 S，故没有必要继续对 P4分枝，应将 P4剪掉(称为剪枝 )。
线性整数规划的概念
三、整数规划的解法概述
由于对变量的整数约束限制了通常的连续型方法的应 用，因此，人们在刚接触整数规划问题时，往往会产 生两种原始的求解设想： ①因为纯整数规划的可行解是有限的，因此，可采用一 一比较的方法(穷举法)找出最优解； ②先不考虑整数约束，解相应的连续型问题 ( 松弛问题 ) ， 然后用“四舍五入”的办法凑得一个较好的整数解作 为最优解。 这两种设想往往是行不通的。穷举法效率太低，只有 当可行解较少时才能行得通，当可行解很多时，需要 花很长的时间。凑整法不一定能得到问题的最优解。
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学PPT 第四章 线性整数规划
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
运动员 甲 乙
丙 丁
仰泳 75.5 65.8
67.6 74.0
蛙泳 86.8 66.2
84.3 69.4
蝶泳 66.6 57.0
77.8 60.8
自由泳 58.4 52.8
59.1 57.0
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
解：令 x i=
7
1， Ai被选中
i 1
0， Ai没被选中
bixi≤B ∑ i=1 x1+x2+x3≤2 s.t. x4+x5≥1 x6+x7≥1 x =0或 1，i=1, … ,7
i
7
课堂练习1:
某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻 井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且 井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 ;
解：令 x i=
管理运筹学讲义 第4章-整数规划(4学时)
• 要求部分或全部决策变量是整数的线性规划问题，则称 为整数规划(Integer Programming)。
当要求全部决策变量的取值都为非负整数的，则称为纯整数规 划或全整数规划(Pure IP) ； 仅要求部分决策变量的取值为整数，而另一部分不一定要求取 整数，则称为混合整数规划(Mixed IP)
cj CB
2 3 λj 3 2 0 0
XB x2 x1
x1
0 1 0
x2
1 0 0
x3
1/2 －1/4 －1/4
x4
－1/2 3/4 －5/4
b
5/2 13/4
最优解X=(13/4，5/2，0，0)T，x1 、x2不满足整数要求，选择x2行进行分割： 5 1 1 2 2 3 2 4 2 1 1 1 2 4 2 3 2 4 2
10 OM:SM
第一节 整数规划问题引言
三、 整数规划解的特点
3、完全枚举法
从图4-2可知，整数规划问题的可行解集是相应的线性规划 问题的可行域内的整数格子点，它是一个有限集。显然，我们 还有另一种方法，即将所有的可行解依次代入目标函数，比较 所得的目标函数的大小，从而得到最优解。这个方法称为完全 枚举法。如上例有整数可行解有７个，所以得到最优解（ 0， 2），最优值为10。 对于决策变量较少，可行的整数解又较少时，这种穷举法 有时是可行的，并且也是有效的。但对于大型的整数规划问题， 可行的整数解数量很多，用穷举法求解是不可能的。因此，如 何巧妙构造枚举过程是必须研究的问题，目前用得较多的是将 完全枚举法变成部分枚举法。常用的求解整数规划的方法有分 枝定界法和割平面法，对于特别的0-1规划问题的求解，可以采 用隐枚举法和匈牙利法。下面分别介绍。
系统工程---第四章 整数规划
问题B2 x1=2.25 x2=4 f2=272.5
90 f * 285
max f 50x1 40x 2 4 x1 5 x 2 29 3 x1 2 x 2 16 问题B4 x 2 3 x 4 1 x1 , x 2 0
继续对问题B1和 B2进行分解， 因f1 >f2，先分解B1为B3和 B4
例3 求解0-1规划
max f x x x x x x x x x x x x x x , x , x 或
① ② ③ ④
90 f * 288.5 由 x2=3.285 得到两个分枝如下：
max f 50x1 40x 2 4 x1 5 x 2 29 3x1 2 x 2 16 问题B1 x2 3 x1 , x 2 0
max f 50x1 40x 2
整数规划问题A
max(min)f ( x) c j x j
j 1 n
其松弛问题B
max(min)f ( x) c j x j
j 1 n
n a ij x j (, )bi , i 1,2, , m j 1 x j 0 且为整数, j 1,2, , n
f f1
再用观察法找到 A的一个整数可行解，求其目标函数值作为 f*的下界，记为f，这时有 f f * f Step3 判断 f 是否等于 f 。如果 f f ，则 A 的最优解即为 其目标函数值等于 f 的那个整数可行解。否则，进行Step4。
Step4 分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 xj=bj，以[bj]表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件：
运筹学-4-整数规划ppt课件
.
8
第四章 整数规划 0-1规划
解：设xi
1 0
带第 i件物品
不带第 i件物品 数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m
Z ci 带第i件
ci xi
i 1
m
携带物品的总重量 bi x i
i 1
m
max Z ci xi
m i1
s.t
i1
bi xi
b
xi 0,1，
i 1, 2, m
i1
1, 2,..., m
i1
s.t. xij bj j 1, 2 , n
i1
xij
0
,
yi 0,1
混合型整数规划
.
11
第四章 整数规划
例 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需 求地的单位物资运费cij，见下表：
.
10
第四章 整数规划
解：设 xij表示A 工 i运厂 往B 商 j的店 运量
m
n
则总运费为
c ij x ij
i1 j 1
数学模型：
mn
m
设yi
1 0
则总建厂费为
在第 i个地点建m厂in Z
不在第 i个地点建厂 n
m
fi yi
j1 m
xij
i1
j
ai
1
yi
cij xij
i
fi yi
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建 工 厂(i3,4)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
第04章 整数规划
第4章整数规划在前面讨论的线性规划问题中，决策变量的取值可以是整数也可以是小数或分数，但在有些实际问题中，决策变量只有取整数才有意义。
例如，生产或配备的机器的台数，完成工作需要的人数等等。
这时，若得到的解为小数或分数就不符合要求，粗看起来，似乎只要把已得到的带有小数或分数的解，经过“四舍五人”的办法，就可得到问题的整数解。
但这常常是不行的，因为化整后的解不一定是可行的解。
或虽是可行解，但不一定是最优解，因此，对于此类问题有必要另行研究。
我们把有变量限制为整数的规划问题称为整数规划（Integer Programming）。
在整数规划中，若所有变量都限制为整数，称为纯整数规划；若仅有一部分变量限制为整数，称为混合整数规划。
在纯整数规划中，若所有变量的取值仅限于0或1，称为0－1型整数规划。
对于整数规划的求解，还没有像线性规划中单纯形法那样普遍有效的方法。
但已经出现了一系列的算法，常用的有分枝定界法、隐枚举法、匈牙利法等。
下面分别进行介绍。
1 分枝定界法在求解整数规划时，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以确定最优解。
对于小规模问题，这个方法是可行的，也是有效的。
而对于大规模问题，可行的整数组合数很大，穷举法是不可能的。
所以，一般采取的方法是仅检查可行的整数组合中的一部分来确定最优的整数解，分枝定界法（Branch and Bound Method）就是这样的一种方法。
分枝定界法是以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果这个解不符合整数条件，就将原问题分为几个部分，每部分都增加了决策变量为整数这样的约束条件，这样就缩小了原线性规划问题的可行域。
考虑到整数规划的最优解不会更优于线性规划的最优解，对于求最大值问题来说，相应的线性规划的目标函数的最大值就成为整数规划目标函数值的上界。
分枝定界法就是利用这个性质进行求解的。
现举例说明这种方法。
例4—1 求解下列整数规划问题解先不考虑整数约束，求解相应的线性规划，得因x1、x2不满足整数条件，故需进行分枝迭代。
运筹学 第4章 整数规划
第四章整数规划整数规划（Integer Programming）主要是指整数线性规划。
一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题，在项目投资、人员分配等方面有着广泛的应用。
整数规划是近二、三十年发展起来的数学规划的一个重要分支，根据整数规划中变量为整数条件的不同，整数规划可以分为三大类：所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称全整数规划（All integer Programming）；仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（Mixed Integer Programming）；有的变量限制其取值只能为0或1，这类特殊的整数规划称为0－1规划。
本章主要讨论整数规划的分枝定界法、割平面法、0－1规划及指派问题。
第一节整数规划问题及其数学模型一、问题的提出在线性规划模型中，得到的最优解往往是分数或小数，但在有些实际问题中要求有的解必须是整数，如机器设备的台数、人员的数量等，这就在原来线性规划模型的基础上产生了一个新的约束，即要求变量中某些或全部为整数，这样的线性规划称为整数规划（Integer Programming）简称IP，是规划论中的一个分枝。
整数规划是一类特殊的线性规划，为了满足整数解的条件，初看起来，只要对相应线性规划的非整数解四舍五入取整就可以了。
当然在变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大，当变量取值较小时，得到的解与实际最优解差别较大，当变量较多时，如n＝10个，则整数组合有210＝1024个，而且整数解不一定在这些组合当中。
先来看下面的例子。
例4.1某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？表4－112量都要求为整数，建立模型如下：2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x 要求该模型的解，首先不考虑整数约束条件④，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：x 1＝3.25 x 2＝2.5 max z ＝14.75由于x 1＝3.25，x 2＝2.5都不是整数，不符合整数约束条件。
整数规划（PDF）
例4-2：求解整数规划问题
s.t. 4x1 2x2 1 4x1 2x2 11
2x2 1
c=[-1;-1];
x1, x2 0, 且取整数值
A=[-4 2;4 2;0 -2];
b=[-1;11;-1];
lb=[0;0];
M=[1;2];
%均要求为整数变量
Tol=1e-8; [x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],lb,[]) [x1,fval1]=intprog(c,A,b,[],[],lb,[],M,Tol)
可行否
枚举法随着变量维数增加呈指数增长，不可行！
四舍五入可能都不是可行解，不可行！
max s.t.
f 5x1 8x2 x1 x2 6 5x1 9x2 45 x1, x2 0, 且取整数值
x* f*
9 15 T 44 165 4
x [2 4]
四舍五入后的解 不是可行解！
一般整数规划问题的MATLAB求解
输入参数
MATLAB工具箱中的bintprog函数在求0-1规划问题时，提供的参数有如下几种 模型参数： x、c、b、beq、A和Aeq 初始解参数：x0 算法控制参数： options，我们可以通过optimset命令对这些具体的控制参数进
行设臵，其中主要参数的设臵方法如下一页的表格所示
调用格式 [x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger)
一般整数规划问题的MATLAB求解
标准形式
min f cT x s.t. Ax b
Aeq x beq lb x ub xi 0 (i 1, 2,...,n) x j 取整数值 (j M )
运筹学：第4章 整数规划与分配问题
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资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月）
小号容器 2 2 1
中号容器 4 3 2
大号容器 8 4 3
解：设 x1, x2, x3 分别为小号容器、中号容器和大号容 器的生产数量。
0， 不生产j型号容器 y j 1， 生产j型号容器
建立如下的数学模型：
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为：
C
j
(x
j
)
K 0,
j
c
j
x
j
,
xj 0 xj 0
其中 K j 是与产量无关 的生产准备费用
n
目标函数： min z C j (x j )
j 1
定义
0 y j 1
则原问题可表示为
xj 0
xj 0
n
min z (c j x j K j y j ) j 1
s.t
0 x j Myj
y
j
0或1
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§2.2 应用举例
例1 东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号
1,2,3,4）和2名研究生（代号5,6）值班。已知各学生从 周一至周五每天可安排的值班时间及每人每小时报酬见下 表所示。
学生 代号
1 2 3 4 5 6
酬金 (元/h) 10.0 10.0
9.9 9.8 10.8 11.3
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（0） 8
2
5
11 （0） 5
4
2
3 （0） 0
0
11
4
5
根据上图，k=2，
周一 6 0 4 5 3 0
每天可安排的值班时间(h) 周二 周三 周四
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整数规划问题的提出
实际问题有时要求线性规划模型给出整数解 的条件。例如，求产品的件数，设备的台数， 建设厂房数,装货车皮数,完成一项工作的人数 等。分数和小数的最优解就不合要求。在线 性规划中，要求解答满足整数条件，这样的 问题叫整数线性规划问题。有些线性规划问 题，如运输问题，利用表上作业法求解可以 证明其解答自动满足整数性要求。但对大多 数线性规划问题，单纯形算法不能保证这一 点。因而要谋求整数线性规划解法的新路。
第 四章
整数规划
Integer Programming（IP）
第四章 整数规划
第一节整数规划问题的提出 第二节割平面法 第三节分枝定界法 第四节 0-1型整数规划 第五节 指派问题
第一节 整数规划问题的提出
一、整数规划问题的一般形式 二、整数规划问题的例子 三、整数规划问题解的特点 四、整数规划问题的求解方法 五、求解整数规划问题的步骤
3.整数规划问题的数学模型一般形式
Max(或Min)
Z
=
n
ΣCjXj
j=1
n
Σaij xj ≤(或=,或≥)bi i=1,2 ,…, m
j=1
Xj≥0
j=1,2,…, n
Xj 部分或全部为整数
4.整数规划的分类
(1)混合整数规划： 是指它的某些决策变量部分 为整数。
(2)纯整数规划： 是指它的全部决策变量皆 整数时。
b` = Ni + fi
0＜ fi ＜ 1 , Ni 为整数
例如：若 b = 2.35 ，则 N = 2 ，f = 0.35；
若 b = -1.45 ，则 N = -2 ，f = 0.55
Xj +∑NiK Xk + ∑ fiK Xk = Ni + fi
Xj +∑ NiK Xk - Ni
= fi -∑ fiK Xk
中不符合整数要求的分量简单地取 整,所得的解不一定是整数规划问 题A的最优解,甚至也不一定是整数
规划问题可行解
四、整数规划问题的求解方法
割平面法 分枝定界法 0-1型整数规划的隐枚举法 指派问题的匈牙利解法
五、求解整数规划问题的步骤
1. 先按一般线性规划方法求 解整数规划问题的松弛问题 最优解。
fi -∑ fiK Xk ≤ 0
-∑fiK Xk ≤ - fi
割平面约束
-∑fiK Xk + Xk+1 = - fi 割平面方程
四、割平面法解题步骤
1、首先用单纯形法求出松弛问题最优解
(1)标准化 (2)建立初始单纯形表， (3)最优性检验 (4)用单纯形法求解，得最优单纯形表 2、构造割平面约束 3、确定割平面方程 4、把割平面方程加到最优表中，然后用对偶规划的
对偶单纯形法进行求解，得最优单纯形表
5、最优性检验,直到求得整数最优解和最优值 为止。
课堂练习
用割平面法求解如下问题
Max Z = X1+X2
-X1+ X2 ≤ 1
4X1 - X2 ≤ 3
X1，2≥0 且均为整数
用单纯形法求得最优表
Cj
11 0 0
一、割平面法的概念
割平面法：当不符合整数条件时，设法增 加一个线性不等式的约束，称 这个约束为切割条件。增加的 切割条件，相当于将可行解切 掉一部分，所以称为割平面。 增加切割条件后，成为一个改 进的松弛问题。
割平面法求解整数规划问题时，若其松驰问 题的最优解 X* 不满足整数要求时，则从 X* 的非整分量中选取一个，用以构造一个线性 约束条件（Gomory 割平面），将其加入原 松驰问题中，形成一个新的线性规划，然后 求解之。其关键在于新增加的这个线性约束 条件将切割掉部分非整数解，至少将当前松 驰问题的非整数最优解切割掉了，而不会切 割掉问题的任何整数解。
1.整数规划的定义
在数学规划中。如果它的某 些决策变量部分或全部决策变 量要求取整数时就是整数规划。
如果，目标函数和约束条件 都是线性的即为线性整数规划。
2.整数规划的松弛问题
Max(或Min)
Z
=
nΣCjXjj来自1nΣaij xj ≤(或=,或≥)bi i=1,2 ,…, m
j=1
Xj≥0
j=1,2,…, n
是在与整数规划相对应的松弛线性 规划问题中逐步增加线性约束条件 (称割平面)，每次增加一个割平面， 都使线性规划的可行域缩小，同时 保持整数规划的可行解集合不变； 然后来求解增加约束后的线性规划， 如果得到整数最优解则停止；如果 没有找到整数最优解，就再增加割 平面，一直到得到或证明无整数最 优解为止。
(3)全整数规划： (4) 0-1型整数规划：
二、整数规划问题的例子
例1:生产计划问题(纯整数规划) 例2:物资运输问题(混合整数规
划,,也是特殊的运输问题)
三、整数规划问题解的特点
1.举例:穷举法 2.整数规划问题解的特点
2.整数规划问题解的特点
整数规划问题A与整数规划问题的松弛问题B 可行域关系 A是B子集 可行解关系 是A一定是B 最优值关系 A≤B 上界 最优解关系 整数规划问题的松弛问题B最优解
2. 如果所得最优解满足整数 规划问题的要求，则该解就 是整数规划问题的最优解。
3.如果所求的整数规划问题的 松弛问题无可行解，则整数规 划也无可行解。
4.如果整数规划问题的松弛问 题有最优解，但不是整数解， 则对该解进行整数化处理，直 到求得整数规划的最优解。
第二节 割平面法
一、割平面法的概念 二、割平面约束与割平面方程 三、割平面法举例 四、割平面法解题步骤 五、运用割平面法应注意问题
二、割平面约束与割平面方程
首先求得线性规划的最优解 令 x终j是表相得应：松驰问题的最优解中为非整数值的一个基变量，由单纯形表最
其中 :
Xj +∑aij Xk = b` j∈Q （Q 指基变量下标集合)
k ∈K (K 指非基变量下标集合）
aij = NiK + fiK 0 ≤fiK ＜1 ， NiK 为整数
整数规划问题的提出
由于在线性规划问题中要求某 些变量必须为整数，如所需的 设备、人员，车间、销售网点 等。于是对变量的要求有了一 定的限制，必须为整数，即为 整数规划问题。
一、整数规划问题的一般形式
1.整数规划的定义 2.整数规划的松弛问题 3.整数规划问题的数学模型一般形式 4.整数规划的分类