一次不等式的解法(数学论文)

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解不等式的方法

解不等式的方法解不等式是代数学中的重要内容，它在数学建模、优化问题、函数图像等方面都有着重要的应用。

在解不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，下面我将为大家介绍几种解不等式的常用方法。

一、一元一次不等式的解法。

对于一元一次不等式ax+b>c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax+b-c>0；2. 根据a的正负情况进行讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为x>-b/a+c；b. 若a<0，则不等式的解集为x<-b/a+c。

二、一元二次不等式的解法。

对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac的值；2. 根据Δ的正负情况进行讨论：a. 若Δ>0，则二次函数有两个不等实根，即x的取值范围为x<x1或x>x2；b. 若Δ=0，则二次函数有两个相等的实根，即x的取值范围为x=x1=x2；c. 若Δ<0，则二次函数无实根，即不等式无解。

三、绝对值不等式的解法。

对于绝对值不等式|ax+b|<c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 分情况讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为-b<c<ax+b；b. 若a<0，则不等式的解集为-b<c<-ax-b。

四、分式不等式的解法。

对于分式不等式f(x)>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出分式的定义域；2. 求出分式的零点；3. 根据零点的正负情况进行讨论：a. 若零点为实数且大于0，则不等式的解集为定义域内使分式大于0的实数；b. 若零点为实数且小于0，则不等式的解集为空集。

五、不等式组的解法。

对于不等式组{f(x)>0, g(x)>0}，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出每个不等式的解集；2. 将每个不等式的解集取交集，得到不等式组的解集。

不等式的性质与解法

不等式的性质与解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或两个代数式之间的大小关系。

在解不等式时，我们需要了解不等式的性质和解法。

本文将首先介绍不等式的基本性质，然后探讨常见的解不等式的方法。

一、不等式的基本性质对于一般的不等式，包括大于（＞）、小于（＜）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等关系符号，具有以下基本性质：1.传递性：若a ＞ b，b ＞ c，则a ＞ c。

若a ＜ b，b ＜ c，则a ＜ c。

2.对称性：若a ＞ b，则b ＜ a。

若a ＜ b，则b ＞ a。

3.加减性：若a ＞ b，则a＋c ＞ b＋c；若a ＜ b，则a＋c ＜ b＋c（c为常数）。

4.倍乘性：若a ＞ b，且c ＞ 0，则ac ＞ bc；若a ＜ b，且c ＞ 0，则ac ＜ bc；若a ＜ b，且c ＜ 0，则ac ＞ bc；若a ＞ b，且c ＜ 0，则ac ＜ bc。

5.同乘性：若a ＞ b，且c ＞ 0，则ac ＞ bc；若a ＜ b，且c ＞ 0，则ac ＜ bc。

二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次项的不等式，它可以通过以下步骤解决：1.将所有的项移至等号一侧，将常数项移至另一侧，得到形如ax ＋b ＞ 0或ax ＋ b ＜ 0的不等式。

2.当a ≠ 0时，将不等式两边同时除以a，注意因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要根据a的正负情况进行分类讨论。

3.将一元一次不等式转换为一个关于未知数的区间，通过判断区间是否满足不等式来确定解的范围。

三、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次项的不等式，它可以通过以下步骤解决：1.将不等式移项，将不等式转化为标准形式，即形如ax²＋ bx ＋ c ＞ 0或ax²＋ bx ＋ c ＜ 0的一元二次不等式。

2.如果a＞0，通过求解二次函数的零点，即ax²＋ bx ＋ c ＝ 0，得到x的取值范围，再根据区间判断不等式的解。

不等式的解法与应用

不等式的解法与应用不等式是数学中常见的一种数值关系，它描述了数值之间的大小关系，与等式不同，不等式中的符号可以是“大于”，“小于”，“大于等于”，“小于等于”等。

解不等式的过程中，需要运用一系列的数学方法和技巧，同时不等式也有广泛的应用场景。

一、一元一次不等式的解法与应用1. 解一元一次不等式的基本方法是通过移项、合并同类项和化简等步骤，最终得到不等式的解集。

例如对于不等式2x + 3 > 7，可以先将3移到等式右边，得到2x > 7 - 3，再将同类项合并得到2x > 4，最后除以2得到x > 2，所以该不等式的解集为{x | x > 2}。

2. 在实际应用中，一元一次不等式经常用于描述物品的限制条件或问题的解集。

例如，在某个超市购物时，商品x的价格大于5元，可以表示为x > 5。

当我们需要求购物的范围时，就可以得到该不等式的解集，即{x | x > 5}。

二、一元二次不等式的解法与应用1. 解一元二次不等式的方法相对复杂一些，一般需要通过图像、因式分解、求根、区间判断等步骤来求解。

例如对于不等式x^2 - 4 < 0，可以将不等式的左边因式分解得到(x + 2)(x - 2) < 0，然后根据乘积为负的条件，可以得到x取值的范围为-2 < x < 2，即解集为{x | -2 < x < 2}。

2. 一元二次不等式在实际应用中有较广泛的应用。

例如，在解决某些物理问题时，一元二次不等式可以用来描述某个物理量的取值范围或限制条件。

同样地，在经济学中，一元二次不等式也可以用来描述某些经济问题的解集。

三、绝对值不等式的解法与应用1. 绝对值不等式是一种特殊的不等式，其中涉及到绝对值符号。

解绝对值不等式的方法一般分为以下几种情况来讨论：当绝对值大于等于零时，解集为实数集；当绝对值小于某个数时，解集为两个不等式的交集；当绝对值大于某个数时，解集为两个不等式的并集。

常见不等式的解法--高考数学【解析版】

专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-；由于()221a a a+--=，于是当20a -<<时，21x a≤≤-；当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤．综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞；当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩，即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<，所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭，则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =，不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6），则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <．即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ，则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增，而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ，由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =，当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5，当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜，综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥，则()1215f a a -=--，因为()13f a -<，所以2153a --<，即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-．综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+．（2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ．（3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。

不等式的解法

不等式的解法不等式，即数学中用来表示大小关系的符号，它与等式不同的地方在于，不等式可以有无数个解，而不像等式只有一个解。

解不等式的方法有很多种，接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式，它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次不等式的方法有两种：图解法和代数法。

1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。

首先，我们将不等式中的x系数作为直线的斜率，常数项作为直线的截距，画出不等式对应的直线。

然后，根据不等式符号的方向，涂色标记出不等式的解集。

例如，对于不等式3x+2>0，我们可以画出直线y=3x+2，并根据大于号的方向，将直线上大于0的部分涂色。

2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。

首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。

然后，根据不等式中的系数和常数项，进行加法、减法、乘法和除法运算，将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧，使得不等式变为0的形式。

最后，通过考察几个关键点的取值情况，确定不等式的解集。

二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元二次不等式的方法有两种：图解法和代数法。

1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。

首先，我们将不等式转化为对应的一元二次方程，找到方程的判别式，判断方程的根的情况。

根据根的位置，将坐标平面分为几个区域，并确定每个区域对应的不等式的正负。

然后，将不等式对应的曲线画在坐标平面上，并根据不等式符号的方向，将曲线上符合条件的部分涂色。

2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。

首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。

然后，根据不等式中的系数和常数项，进行移项、配方、因式分解等运算，将不等式变为一元二次方程的零点形式。

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。

本文将介绍几种常用的不等式的解法。

一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。

1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。

例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。

所以x的取值范围为大于2的所有实数。

2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。

例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。

所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。

因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。

二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。

1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。

例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。

然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。

2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。

例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。

然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。

解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。

因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。

三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。

数学中不等式的解法研究

422摘要：数学是我国的重要学科，贯穿到我国基础教育的各个方面，不等式作为数学中重要的一节，它贯穿了几何代数和函数，在多个方面起到重要作用，其中一元二次不等式是一个典型代表。

本文就数学中不等式的解法进行了研究，主要介绍了对于不含参数的一元二次不等式我们可以使用因式分解或配方法，对于含参的一元二次不等式我们可以采用分类讨论、参变分离和函数结合等多种方法解决。

一方面对于不等式不同解法的掌握可以体现学生的代数分析能力和数学综合能力，另一方面可以提高学生的数学分析能力和数学感悟能力。

关键词：不等式；解法研究；含参数不等式中图分类号：O122.3 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)031-0422-01中国是数学大国，但是我国的数学教育在很长一段时间内都是方法单一的，并不利于数学这门课程的发展，数学史的变迁蕴藏着很多的思想和方法，而不等式的学习就是数学史发展历程中的重要组成部分，同时不等式的学习是数学这门课上的重要难点，也是中学数学中的重要知识点，不等式刻画了数量之间不相等的关系，在生活中的很多领域中都有重要的应用，不等式体现在我们生活的方方面面，本文详细介绍了一元二次不等式含参数的不等式两种不同的不等式的重要解法。

一、一元二次不等式的解法(一)因式分解一元二次不等式因式分解法是我们在解决一元二次方程的时候最常用的方法，就是把这个一元二次方程转换为两个一元一次方程的乘积，这两个一元一次方程越化成简单的形式就越好解答，一元二次不等式含有一个未知数并且这个未知数的最高次数为2，这个二次方就是解题的拦路虎。

如果一道一元二次不等式中符合当把这个不等式转换成等式的时候有两个数值不相等的根，那么就可以把原不等式转换成两个一元一次的不等式，解出这两个方程的答案，交集就是我们要求的一元二次不等式的答案。

例题:求不等式的解集根据上述我们提到的用因式分解的方法解决一元二次方程的思路发现，可以得出如下的解题思路，因为2乘以x 的平方减去x 减去1大于0，可以把这个一元二次不等式拆分成两个一元一次不等式的乘积，2乘以x 的平方减去x 减去1大于0就可以拆分成括号里x 减去1和2乘以x 在加上1的乘积，解出x 大于1并且x 小于负的二分之一就是这道题的解集，这比我们去盲目的去消除原题中的二次方要简单的多。

求解不等式的方法

求解不等式的方法在数学学习中，不等式是一个非常重要的概念。

它不仅在数学中有广泛的应用，而且在生活中也有很多实际的应用。

因此，掌握解不等式的方法对于中学生来说是至关重要的。

本文将介绍一些常见的解不等式的方法，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。

解一元一次不等式的方法与解方程的方法类似，可以通过移项、合并同类项等步骤来求解。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以先将3移到等式的另一边，得到2x > 7 - 3，即2x > 4。

接着，我们将不等式两边都除以2，得到x > 2。

因此，不等式的解集为{x | x > 2}。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。

解一元二次不等式的方法相对复杂一些，需要考虑不等式的开口方向以及二次函数的图像。

对于形如ax^2 + bx + c > 0的一元二次不等式，我们可以先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以先求出二次函数x^2 - 4x + 3 = 0的零点，得到x = 1和x = 3。

然后，我们可以绘制二次函数的图像，根据图像可以确定不等式的解集为{x | 1 < x < 3}。

三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

解绝对值不等式的方法比较灵活，可以根据不等式的形式来选择不同的解法。

对于形如|ax + b| > c的绝对值不等式，我们可以分两种情况讨论。

当ax + b > 0时，不等式可以化简为ax + b > c，解得x > (c - b)/a；当ax + b < 0时，不等式可以化简为-(ax + b) > c，解得x < (b - c)/a。

因此，绝对值不等式的解集为{x | x < (b - c)/a 或 x > (c - b)/a}。

一元一次不等式的解法

一元一次不等式的解法在代数学中，一元一次不等式是一个包含一个未知数的一次多项式不等式。

解一元一次不等式是找到使得不等式成立的未知数的取值范围。

本文将介绍常见的一元一次不等式的解法。

一、一元一次不等式的基本形式一元一次不等式的基本形式如下：ax + b > 0 （或ax + b ≥ 0）其中，a和b是已知实数，x是未知数。

二、两种基本解法解一元一次不等式有两种基本的解法：图解法和代数解法。

1. 图解法图解法是通过在数轴上绘制函数图像来找到不等式的解。

首先，我们将不等式中的等号改为等号，并根据系数a的正负性质判断函数图像的开口方向。

如果a > 0，函数图像开口向上；如果a < 0，函数图像开口向下。

然后，根据b的正负性质确定函数图像与x轴的交点。

如果b > 0，交点在x轴上方；如果b < 0，交点在x轴下方。

最后，确定不等式的解集。

如果不等式是大于号（>），解集为交点右侧的所有实数；如果不等式是大于等于号（≥），解集为交点及其右侧的所有实数。

图解法直观明了，可以直接观察出解集的范围。

2. 代数解法代数解法是通过对不等式进行变形和运算来找到不等式的解。

首先，根据不等式的形式，确定变式的目标。

如果目标是求x的取值范围，则可以将不等式进行变形，以消去a的系数。

然后，进行变形和运算，使得不等式的形式简化。

例如，可以根据a的正负性质将不等式改写为：x > -b/a 或x ≥ -b/a。

最后，根据不等式的形式确定解集的范围，并将解集用集合的符号表示出来。

代数解法较为繁琐，但可以精确得出解集的范围。

三、示例解析现以一个具体的例子来说明一元一次不等式的解法。

例：2x + 3 > 51. 图解法根据不等式的形式，将等号改为等号，得到2x + 3 ≥ 5。

由于a > 0，函数图像开口向上。

由于b > 0，交点在x轴上方。

解集为交点右侧的所有实数：x > 1。

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

不等式的解法高中数学

不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。

例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。

不等式的解法与应用

不等式的解法与应用不等式是数学中常见的一个概念，用于描述数之间的大小关系。

在实际问题中，不等式的解法和应用非常重要，可以帮助我们解决各种各样的问题。

本文将介绍不等式的解法和应用，并通过具体的例子来说明其在实际中的应用。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是最简单的一类不等式，其形式为a*x + b > c，其中a、b、c为已知常数，x为变量。

解一元一次不等式的关键是找出变量x的取值范围。

对于大多数一元一次不等式，我们可以通过以下步骤来求解：1. 将不等式转化为等式，得到一个方程。

2. 在方程解空间上选取一个测试点，代入原不等式进行判断。

3. 根据测试点判断结果，确定不等式的解集。

举个例子来说明一元一次不等式的解法。

假设要解不等式2x + 3 > 7。

我们可以按照上述步骤进行求解：1. 将不等式转化为等式，得到2x + 3 = 7。

2. 选取一个测试点，比如x = 2。

代入原不等式得到2*2 + 3 = 7，符合不等式。

3. 根据测试点判断结果，确定解集为x > 2。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是稍微复杂一些的不等式，其形式为a*x^2 + b*x +c > 0，其中a、b、c为已知常数，x为变量。

解一元二次不等式的关键是找出变量x的取值范围。

对于一元二次不等式，我们可以通过以下步骤来求解：1. 将不等式转化为等式，得到一个方程。

2. 根据一元二次函数的图像和性质，确定函数的凹凸性和零点情况。

3. 根据凹凸性和零点情况，确定函数的取值范围，得到不等式的解集。

举个例子来说明一元二次不等式的解法。

假设要解不等式x^2 - 3x+ 2 > 0。

我们可以按照上述步骤进行求解：1. 将不等式转化为等式，得到x^2 - 3x + 2 = 0。

解这个方程得到两个根x = 2和x = 1。

2. 根据一元二次函数的图像和性质，我们知道这个函数是开口向上的抛物线，两个根分别是函数的两个零点。

解不等式的方法与技巧

解不等式的方法与技巧在数学中，不等式是比较两个数或两个式子大小关系的一种数学表达式。

解不等式的过程就是寻找满足不等式条件的变量取值范围。

本文将介绍解一元不等式的常用方法与技巧。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式通常具有形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0 的形式，其中a 和b 是实数，x 是变量。

解这类不等式的方法如下：1. 求解步骤：a. 将不等式转化为等价的形式：ax + b = 0，即找到临界点。

b. 根据临界点将数轴分为几个区间。

c. 分别选取每个区间内的一个点代入不等式，判断是否满足不等式，得出最终解的范围。

2. 解题要点：a. 当 a > 0 时，解集为临界点右侧的一段区间。

b. 当 a < 0 时，解集为临界点左侧的一段区间。

c. 当 a = 0 时，解集为b ≠ 0 时的全部实数。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式通常具有形如 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，x 是变量。

解这类不等式的方法如下：1. 求解步骤：a. 将不等式转化为等价的形式：ax² + bx + c = 0，即找到临界点。

b. 根据临界点将数轴分为几个区间。

c. 分别选取每个区间内的一个点代入不等式，判断是否满足不等式，得出最终解的范围。

2. 解题要点：a. 当 a > 0 时，解集为临界点两侧的区间的并集。

b. 当 a < 0 时，解集为临界点两侧的区间的交集。

三、常见不等式的特殊解法除了一元一次和一元二次不等式外，还存在一些特殊形式的不等式，可以通过特殊的方法来解决，如以下几种情况：1. 绝对值不等式：a. |f(x)| < c：解集为 -c < f(x) < c。

b. |f(x)| > c：解集为 f(x) < -c 或 f(x) > c。

高中数学不等式论文不等式论文

高中数学不等式解法及应用笮江苏省兴化市第一中学陈业摘要：从笔者对往年高考试卷分析来看，不等式的考查仍是考查重点之一，而且考查的形式多样，充满灵活性，需要考生及高中生认真掌握不等式相关知识，尤其是对诸如柯西不等式等的掌握。

在教学中发现，不少学生对不等式题无从下手，解答很费力，因此本文以不等式为研究对象，重点探讨其解法和应用，以期为提高学生解答不等式相关问题服务。

关键词：高中数学；不等式；应用及解法；探讨本文对高中数学不等式解法及应用进行研究，主要是通过几个常考点来阐述。

高考对知识的掌握，不是单单的考查简单的知识，而是充满了灵活性，考查学生的创新意识，那么学生掌握书本上简单的知识点是往往不够的，高考的题型是由简单的知识组合而来的，需要学生掌握通过现象看到本质的能力。

一、不等式中有关恒成立的问题及解答其实恒成立考查的就是不等式方面的东西，与函数最值或者极值有着间接的关系。

如下题目所示：例题：已知f(x)=x2-2bx+6，当x∈[0,+∞)时，f(x)≥b恒成立，求b 的取值范围？解答：根据题意可知，f(x)=x2-2bx+6=（x-b）2+6-b2从该函数图像中可以发出：该函数在x=b时候取值最小f(x) min=f(b)=6-b2≥b从而b+b2-6≤0，（b+3）（b-2）≤0，-3≤b≤2。

综上所述,所求b的取值范围-3≤b≤2二、分式形式的不等式问题及解答在填空或者选择题中，很容易出现分式形式的不等式，而且往往比较复杂，对于这一题型，是有窍门的，不需要计算繁杂的式子。

这个小窍门就通过例题来阐述：例题：x2-3x-4x2-x＞0求x的取值范围？解答：分子，分母通分：从而找出x的四个点，分别为-1、0、1、4。

在数轴上标出，因为不等式是大于0，那么在4的右边可以任意取一个值，比如5代入不等式中，得出大于0，那么曲线在4右边是在数轴上方的，按照这个顺序在这四个点上标出，形成了一条曲线，那么从中就可以看出，x的取值范围是（-∞,-1）U（0,1）U（4, +∞）。

《浅析初中生解一元一次不等式(组)应用题的困难及应对策》论文

浅析初中生解一元一次不等式(组)应用题的困难及应对策【摘要】现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系. 解决实际问题的过程中，有时不能确定或无需确定某个量的具体取值，但可以求出或确定这个量的变化范围，不等式（组）就是探求不等关系的基本工具. 列不等式（组）解决实际问题是初中数学中的难点，同时也是中考的热点. 解这类题的关键是在实际问题中找出相等关系和不等关系，列出方程和不等式. 但在解不等式（组）时有的同学常因基础不扎实、概念不清、粗心大意，而在解题过程中遇到各种困难.【关键词】初中生；一元一次不等式（组）应用题；应对策略对于“不等式（组）”，新课程标准的具体要求是：“能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题，并体会不等式（组）也是描述实际问题的一个有效的数学模型.”虽然同学们都能够记住解题步骤，但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在，使学生们在解题过程中遇到困难，而不能得到正确的解.一、解题中遇到的困难及常见错误１．生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大屏障例１地砖按每块５．５元出售，地砖每边长３５厘米，用这种砖铺满长７．８米、宽５．７米的房间，需花费多少钱购买地砖？评析要正确地解应用题，必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求. 本题中，学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义，否则不能读懂题意. “地砖问题”中的事实知识包括长方形、正方形的概念，以及米与厘米之间的进率换算. 像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多，信息量大，经验不足导致学生读不懂题目，不知从何下手，是学生最伤脑筋的. 总之，学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量，已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺.2．思维定式造成设未知数出错并带来列式困难例２苏科版八年级下教科书２０页练习第１题.某班学生外出春游时合影留念，１张彩色底片的费用为１元，冲印１张彩照需０．６元. 如果每人预定１张彩照，且每人所花费用不超过０．８元，那么参加合影的学生至少有多少人？错解设参加合影的学生至少有ｘ人，（错误原因：设未知数不确切，应改为设“参加合影的学生有ｘ人”）则１＋０．６ｘ≥０．８ｘ，（错误原因：列式时不等号反向）解这个不等式，得ｘ≤ ５.答：参加合影的学生有５人．（错误原因：认为此题结果是确定值，而此题结果是一个取值范围）评析在列不等式解应用题中，学生设未知数时，往往受方程应用题的迁移，沿用求什么设什么的做法，常给列式带来困难，甚至出错．3．列不等式（组）时忽视关键词例３（２０１１山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”. 计划用不超过１９００本科技类书籍和１６２０本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共３０个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍８０本，人文类书籍５０本；组建一个小型图书角需科技类书籍３０本，人文类书籍６０本．（１）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（２）若组建一个中型图书角的费用是８６０元，组建一个小型图书角的费用是５７０元，试说明（１）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？解（１）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（３０－ｘ）个．由题意，得８０ｘ＋３０（３０－ｘ）≤ １９００，５０ｘ＋６０（３０－ｘ）≤ １６２０，解这个不等式组，得１８≤ ｘ≤ ２０．由于ｘ只能取整数，∴ｘ的取值是１８，１９，２０．当ｘ＝１８时，３０－ｘ＝１２；当ｘ＝１９时，３０－ｘ＝１１；当ｘ＝２０时，３０－ｘ＝１０．故有三种组建方案：方案一，中型图书角１８个，小型图书角１２个；方案二，中型图书角１９个，小型图书角１１个；方案三，中型图书角２０个，小型图书角１０个．（２）方案一的费用是：８６０×１８＋５７０×１２＝２２３２０（元）；方案二的费用是：８６０×１９＋５７０×１１＝２２６１０（元）；方案三的费用是：８６０×２０＋５７０×１０＝２２９００（元）．故方案一费用最低，最低费用是２２３２０元．评析解这类应用题的难点在于理清题意，寻找题目中的关键词语. 例３中的两个关键词“不超过”、“ 不少于”是列不等式（组）的依据. 另外还要注意所设未知数受实际情况的制约，此例中中型图书角的个数ｘ应是正整数．不等式应用题的取材广泛，又紧密结合实际生活，解这类题首先要理清题意，寻找关键词，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等，从而找到不等关系，列出不等式（组），通过解不等式确定不等式的解，最后要检验所求解是不是与实际问题相符合.4．移项或两边同乘（除）负值时不变号根据题意正确地列出不等式（组）后，最重要的是解不等式（组）．例４解不等式：２ｘ＋４＞ｘ－１．错解移项，得２ｘ＋ｘ＞－１＋４．即３ｘ＞３，则ｘ＞１．例５解不等式：－３ｘ＋９＜０．错解移项，得－３ｘ＜－９．系数化为１，得ｘ＜３．评析上面两例均犯了不变号的错误. 例４、例５分别因“移项要变号”、“不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向应改变”这类知识点不能及时回应所致. 因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心. 例４的正确结果应为ｘ＞－５，例５的正确结果应为ｘ＞３.5．概念或意义不明确例６求不等式２ｘ－４＜０的非负整数解．错解因为２ｘ－４＜0的解为ｘ＜２，所以它的非负整数解为１．例７解不等式：｜ｘ｜＜３．错解ｘ＜３．评析例６和例７错误的原因主要是对某些概念不明确或混淆，如“非负整数解”、“绝对值”等. 非负整数应包括0和一切正整数，故例６正确解为：０和１. 绝对值的意义是指在数轴上某个数到原点的距离，故例７的正确解为：－３＜ｘ＜３.6．去括号时不遵守运算法则例８解不等式：３ｘ－２（１－２ｘ）≥ ５．错解去括号，得３ｘ－２－２ｘ≥ ５，故ｘ≥ ７．评析本题有括号，根据解不等式的步骤，要先去括号. 括号前的数要与括号里的各项相乘. 去括号时，除应遵循乘法的分配律不能漏乘外，还应遵循去括号法则：去括号时，括号前面为“－”，去括号要将括号里的各项都变号. 本题产生错解的原因有两点：括号外的数只与第一项相乘，括号前面是负号只对第一项变号. 因此本题的正确解应为ｘ≥ １.7．去分母时，漏乘不含分母的项例９解不等式：＋２≥ －２ｘ．错解去分母，得ｘ－１＋２≥ －４ｘ．移项、合并同类项，得５ｘ≥ －１，即ｘ≥ －．评析本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，去分母时，不等式的两边同乘各分母的最小公倍数，漏乘不含分母的项，漏乘了常数项，这是解一元一次不等式（组）时常出的错误之一，应引起高度重视. 因此本题的正确解应为ｘ≥ －.８. 分子是多项式，去分母时忽视了分数线的括号作用例１０解不等式：－＞０．错解去分母，得４ｘ－１－３ｘ－１＞０，移项、合并同类项，得ｘ＞２．评析去分母时，当分子是多项式时，各分式的分子必须看成一个整体. 忽视分数线的括号作用也是解一元一次不等式时常出的错误之一.为避免出这类错，应分别对分子添加括号，再运用去括号法则. 例10中没有添加括号导致了错误.正确去分母，得２（２ｘ－１）－３（ｘ－２）＞０．去括号，得４ｘ－２－３ｘ＋６＞０，移项、合并同类项，得ｘ＞－４．二、学好解一元一次不等式（组）及应用题的策略1．理解有关的概念①不等式：用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子，叫做不等式.②一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一次不等式. 分母中不能含有未知数.③不等式的解：在含有未知数的不等式中，把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式若有解，一般它的解有无数个.④不等式的解集：如果一个不等式有解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集. 不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值.２．领悟不等式的三个基本性质①不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.②不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.③不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据，其中前两个性质类似于等式的性质，而在运用性质③时，要注意必须改变不等号的方向，这是不等式特有的性质.3．牢固掌握不等式（组）的解法解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成１.各步需注意事项：①去分母：不要漏乘不含分母的项，是否改变不等号的方向；②去括号：括号前是负号时，括号内各项均要变号；③移项：移项要变号；④合并同类项：系数相加，字母及字母指数不变；⑤系数化成１：是否改变不等号的方向.4．牢固掌握列不等式（组）解应用题的步骤，抓住不等关系关键词，挖掘隐含的不等关系在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语，如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等．我们一定要利用好这些关键信息，列出不等式（组）以解决实际问题.有些题目中无明显表示不等关系的关键词，而是深藏于题意中，这就要求老师引导学生根据问题的实际意义，深入挖掘蕴含其中的不等关系．5. 重视不等式（组）应用题的教学在平时的教学过程中，教师既要注重知识的传授和题目的解答，也要重视学生的实践性活动的开展和教学，这样才会避免数学和实际生活脱节，同时教学中要不断地增加新的背景和内容，跟上时代，弥补生活经验的不足，激发学生学习的热情．对于不等式（组）应用题文字较多学生获得信息困难的问题，教师平常在教学中在应用题上要多停留，有耐心.在实际问题中，有许多用方程很难解决的问题，而用不等式去处理则可轻易解决. 应用题是初中数学的重点，列不等式解应用题是初中数学的难点，根据题意正确地列出不等式（组），解应用题就成功了一半. 一元一次不等式（组）的解法十分重要，它与一元一次方程的解法有许多相似之处，但又有其自身特点，同学们要认清两者解法的联系与区别. 正确应对学生在解题过程中遇到的困难，提高学习的积极性，增加学习数学的兴趣，才有可能应用一元一次不等式（组）去解决生活中的实际问题.。

不等式的解法和图像表示

不等式的解法和图像表示不等式是数学中常见的一种关系表达式，描述了两个数量之间的大小关系。

解不等式意味着寻找满足该关系的所有可能取值，这在数学问题和实际应用中都有重要意义。

本文将探讨不等式的解法和图像表示。

一、一元一次一元一次不等式是指只有一个未知数的一次方程。

例如，考虑以下不等式：ax + b > c其中，a、b、c为已知常数，x为未知数。

要解这个不等式，我们需要经过以下步骤：1. 应用基本运算规则将不等式化简为形如 x > d 的标准形式。

这可以通过移项、合并同类项和化简等步骤完成。

2. 根据标准形式，我们可以得出解集。

解集表示不等式所有满足条件的解，其可用数轴上的区间和图像表示。

对于 x > d，解集表示一条从 d 开始的无限延伸的封闭区间。

二、一元二次一元二次不等式是指只有一个未知数的二次方程。

例如，考虑以下不等式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c为已知常数，x为未知数。

解一元二次不等式的常用方法有以下几种：1. 利用因式分解法将不等式转化为(x - p)(x - q) > 0的形式，其中p和q是已知实数。

2. 利用求根公式求得二次方程的根，然后绘制抛物线的图像。

通过观察抛物线的开口方向和与x轴的交点，我们可以得到解集的图像表示。

若抛物线开口向上，与x轴的交点分别为A和B，则解集表示为两个开区间，即 x<p 或 x>q。

若抛物线开口向下，与x轴的交点为A和B，则解集表示为一个闭区间和两个开区间，即 p<x<q。

三、线性不等式组的解法和图像表示线性不等式组是指由多个线性不等式组成的方程组。

例如，考虑以下线性不等式组：{ax + by ≥ c,dx - ey ≤ f}其中，a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知数。

要解线性不等式组，我们可以采用以下方法：1. 图像法：分别绘制每个不等式的图像，并找到它们的交集。

2. 代入法：从一个不等式开始，将另一个不等式的未知数表示为已知数的函数，然后代入到第一个不等式中，得到一个只包含一个未知数的不等式，进而求解。

例谈一元一次不等式(组)中的数学思想方法

例谈一元一次不等式（组）中的数学思想方法作者：钱小刚来源：《初中生世界·七年级》2015年第06期课堂教学中渗透数学思想、数学方法是非常必要的.它包括培养学生通过观察、分析，综合概括抽象出概念、性质的能力，对知识进行分类，系统化的能力；也包括运用运动变化的观点，矛盾转化的思想分析问题和解决问题的能力.本文就结合一元一次不等式（组）的教学，谈谈如何渗透类比思想、数形结合和建模的的数学思想方法.一、数形结合的思想方法在解决代数问题时，我们可以借助图形，直观而形象，易于理解. 体现在不等式组上，即找各个不等式的公共解时，可以利用数轴来解决问题.例1 解不等式组x-3x+1>0.②解：由①得，x-1，所以不等式组的解集为-1【说明】不等式的解也是组成它的每个不等式的解，即不等式组的解是每个不等式的公共解，体现在图形上为每个解集都包含的部分.二、类比思想方法解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤基本上一样，不同的是解一元一次不等式根据的是不等式的性质，而解一元一次方程根据的是等式的性质；特别应注意的是化系数为1时，若除以（或乘以）的是一个负数时，解不等式时不等号的方向要改变，而解一元一次方程只要系数不为0，所得的方程与原来的方程同解. 通过类比，加深了对它们的理解，避免了一些不该犯的错误.例2 解不等式 2（x+5）>3（x-5）.解：去括号，得2x+10>3x-15，移项，得2x-3x>-15-10，合并同类项，得-x>-25，系数化为1，得 x例3 解方程 2（x+5）=3（x-5）.解：去括号，得2x+10=3x-15，移项，得2x-3x=-15-10，合并同类项，得-x=-25，系数化为1，得x=25.【说明】通过这两道例题，可以发现它们的解题步骤相同，但是所用的性质不同，加强学生在解一元一次不等式时改变符号的意识.三、建模的思想方法在日常生活中，利润的优化，方案的设计等都有不等关系，所以建立不等式模型解决实际问题也是我们数学中的一种很好的思考方法.例4 君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产. 甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同.（1）求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？（2）君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元. 现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15 000元而不超过15 080元. 请你通过计算为青扬公司设计购买方案.解：（1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品.根据题意3（x+2）=4x；解得x=6；∴x+2=8.答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品.（2）设青扬公司购买B种产品m件，则购买A种产品（80-m）件，∵15 000∵m为整数，∴m为46或47或48或49；又∵乙车间8天生产48件，∴m为46或47或48.∴有三种购买方案：购买A种产品32件，B种产品48件；购买A种产品33件，B种产品47件；购买A种产品34件，B种产品46件.【说明】本题以产品的加工与经销问题背景，借助方程与不等式，进行方案设计，突出考查了学生综合运用方程与不等式知识解决实际问题的能力，体现了建模的数学思想.（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）。

不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数之间的大小关系。

在解决实际问题时，经常会遇到需要求解不等式的情况，本文将介绍常见的不等式解法方法，帮助读者更好地理解和掌握不等式的求解过程。

一、一元一次一元一次不等式是指只含有一个未知数并且次数为1的不等式。

常见的一元一次不等式形式为ax + b < c或者ax + b > c。

求解一元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + b = c的形式。

2. 根据a的正负情况，分别讨论两种情况：- 当a > 0时，解为x > (c - b) / a。

- 当a < 0时，解为x < (c - b) / a。

3. 以解集的形式表示不等式的解。

例如，对于不等式3x + 4 > 10，可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到3x + 4 = 10。

2. 根据3的正负，讨论两种情况：- 当3 > 0时，解为x > (10 - 4) / 3，即x > 2。

- 当3 < 0时，解为x < (10 - 4) / 3，即x < 2。

3. 不等式的解为解集{x | x > 2}。

二、二元一次二元一次不等式是指含有两个未知数并且次数为1的不等式。

常见的二元一次不等式形式为ax + by > c或者ax + by < c。

求解二元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + by = c的形式。

2. 根据a、b的正负情况，分别讨论四个象限的情况：- 当a > 0，b > 0时，解为x > (c - by) / a。

- 当a > 0，b < 0时，解为x > (c - by) / a。

- 当a < 0，b > 0时，解为x < (c - by) / a。

- 当a < 0，b < 0时，解为x < (c - by) / a。

初一数学论文_精选3篇

初一数学论文_精选3篇[摘要] 数学的教学，最终要教师本人落实到课堂中去，要做到切实提高课堂教学效果，就要求我们教师“凡是你教的东西，就要教的透彻”。

教师只有不断揣摩教材，才能对教材有独到的体悟，在课堂教学中也才能做到“精彩纷呈”。

数学教师的教学，就应拉近数学与学生的距离，让学生感受到它的火热，享受数学中生动的故事。

把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创新时的火热思考，做到返璞归真。

[关键词] 数学本质返璞归真火热思考主动建构教师的教学在于能够“授人以业”、“授人以法”、“授人以道”。

从所授知识要求的角度来看，“授人以业”要求所授知识“准确”;“授人以法”要求所授知识“深刻”，而“授人以道”则更多地要求所授知识“本质”。

显然，一堂高效的数学课教学必须呈现“数学本质”。

对于“数学本质”本身不同的理解有不同的视角，我们在课堂中要追求的“数学本质”，一般其内涵包括：数学知识的内在联系;数学规律的形成过程;数学思想方法的提炼;数学理性精神(依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识为理性认识。

重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系)的体验等方面。

基于对“数学本质”内涵的认识，本人认为要在课堂中呈现“数学本质”，提高初中数学课堂效果，应从以下几个方面下功夫。

一、教师要深透领悟教材内容数学的教学，最终要教师本人落实到课堂中去，要做到切实提高课堂教学效果，就要求我们教师“凡是你教的东西，就要教的透彻”。

为求透彻，教师必须深钻教材，“沉下去”，理清知识发生的本原，把握教材中最主要、最本质的东西。

回顾自己上过的许多的课，总感到有些许的憾意：课堂缺少耐人回味的东西，缺少引起学生思考的部分，对教材内容的领悟浅薄，缺少厚重感。

本人认为要弥补这些憾意，教师对教材的领悟必须有自己的眼光，目光要深邃，看到的不能只是文字、图表和各种数学公式定理，而应是书中跳跃着的真实而鲜活的思想。

一元一次组不等式的解法

一元一次组不等式的解法一元一次组不等式是中学数学课程中的重要内容，它能够帮助学生更好地理解数学，并用它来解决实际问题。

学习一元一次组不等式的解法可以帮助学生提高解决实际问题的能力，有助于提高学生的解决问题的能力。

一元一次组不等式解法的基本原理是使用自变量分别代替等号左右两边的式子，而自变量的符号由等号左右两边系数的正负来确定。

根据不等式的符号，我们可以对解进行分类：（1）一元一次组大于不等式解一元一次组大于不等式的步骤如下：首先，将等式两边同乘以一个负数，以统一等号左右两边系数的乘积。

接着，将等号两边同除以自变量的系数，以确定自变量的值，比如4x+3>1，则4x+3=1，自变量x=（1-3）/4= -1/2。

最后，将自变量的值代入原式，以确定解的范围，即x≥-1/2。

（2）一元一次组小于不等式一元一次组小于不等式的解法跟大于不等式的解法类似，不同的是将等式两边同乘以一个正数，以统一等号左右两边系数的乘积，之后的步骤类似，如4x+3<1，则4x+3=1，自变量x=(1-3)/4=-1/2，解的范围是x<-1/2。

（3）一元一次组等于不等式解一元一次组等于不等式的步骤和前面的不等式类似，不同的是将等号两边同除以自变量的系数，以确定自变量的值，如4x+3=1，自变量x=(1-3)/4=-1/2，解的范围是x=-1/2。

除了上述解法外，还有其他更复杂的解法，如一元二次不等式、一元三次不等式等。

这些方法都是在求解一元一次组不等式的基础上发展而来的。

总之，一元一次组不等式的解法是中学数学课程中重要的内容，学生学会解决一元一次组不等式，不仅能够更好地理解数学，而且有助于提高学生的解决实际问题的能力。