平面向量的应用——三角形四心的性质

平面向量的应用——三角形四心的性质

一 知识点精讲

三角形四“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ∆的外心2

22O A O B O C ⇔== . （2）O 为ABC ∆的重心

0OA OB OC ⇔++= .

证明： 证明： （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅

.

证明： （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=

. 证明：

二 典例解析

一、重心

1. 已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++

，(0)λ∈+∞，

，则P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心

2. 已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足sin ||sin ||(

C

AC B

AB +

+=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过

ABC △的（ ）．

Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心

二、垂心

3. O 是ABC △所在平面上一点，222222||||||||||||+=+=+，O 是ABC △___

Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心

4. 已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足

cos ||cos ||(

C

AC B

AB +

+=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过

ABC △的（ ）．

Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心

三、内心

4.（2003江苏） 已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪

=++ ⎪⎝⎭

，(0)λ∈+∞，

，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心

四、外心

5. 已知O 是平面上的一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2

cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的．

Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂

心

6. (2005湖南)．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝

ABc

PBC

S S ∆∆， λ2＝

ABC

PCA

S S ∆∆， λ3＝

ABC

PAB S S ∆∆，定义),,()(321λλλ=p f ，若G 是△ABC 的重心，)61

,31,21()(=Q f ，则（ ）

A ．点Q 在△GA

B 内 B ．点Q 在△GB

C 内

C ．点Q 在△GCA 内

D ．点Q 与点G 重合

定理：设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，则有

=++∆∆∆S S S PBC PAC PAB

五 判断三角形的形状及求最值 7.在△ABC 中，已知向量2

1

0(

=

=⋅+

BC AC AB 满足与，则△ABC 为（ ）

A ．三边均不相等的三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．等边三

角形

8. 在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值

为 .

六 轨迹问题

9．已知)0,1(),0,4(N M ，若动点(,)P x y 满足6||MN MP NP ⋅=

，求动点P 的轨迹方程.

三课堂检测：

1若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=

，则ABC ∆的形状为

( ) A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

2.已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，且PA PB PC AB ++=

，则点P 与

ABC ∆的位置关系是( ) A.P 在ABC ∆内部 B.P 在ABC ∆外部 C.P 在AB 边上或其延长线上 D.P 在AC 边上

3.平面直角坐标坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC

=

αOA +βOB

，若中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ）

A 、（x －1）2

+（y －2）2

=5 B 、3x+2y －11=0 C 、2x －y=0 D 、x+2y －5=0

4.已积OB =（2，0），OC =（2，2），CA = （2cos α，2sin α），则OA 与OB 夹角的

范围是（ ）

A 、[0，π4]

B 、[π4，5π12]

C 、[π12，5π

12

] D

、

[

5π12，π

2

] 5.平面向量a =（x ，y ），b =（x 2，y 2

），c =（1，1），d =（2，2），若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a

有A 、1个

B 、2个

C 、多于2个

D 、不存在

6.设O 为ABC ∆所在平面上一定点, P 为平面上的动点,且满足