北航离散数学第11章习题答案
离散数学课后习题答案
1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。
由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
-
(10)
p:天下大雨
q:他乘车上班
-
(11)
p:下雪
q:路滑
r:他迟到了
(12)
p:2 是素数
q:4 是素数
-
(13)
p:2 是素数
q:4 是素数
-
15.设 p：2+3=5. q：大熊猫产在中国. r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值：
（1）
（2）
（3） （4） 解：p 真值为 1，q 真值为 1，r 真值为 0. （1）0，（2）0，（3）0，（4）1 16.当 p,q 的真值为 0,r,s 的真值为 1 时,求下列各命题公式的真值： （1） （2） （3） （4）
24.已知 的类型.
解：∵
是重言式，试判断公式
及
是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有
11，∴ 25.已知
解：∵
的类型.
都是重言式。
Hale Waihona Puke 是矛盾式，试判断公式及
是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值
只有 00，∴
都是重言式。
26. 已 知 解：
是重言式， 及
是矛盾式，试判断 的类型.
是矛盾式。
是重言式。
q:老王是河北人
-
(3)
p:天气冷
p:王欢与李乐组成
(4)
一个小组
p:李辛与李末是兄
(5)
弟
q:我穿羽绒服 -
-
p:王欢与李乐组成一个
-
小组
-
p:李辛与李末是兄弟
(6) p:王强学过法语
q:刘威学过法语
-
(7)
p:他吃饭
q:他听音乐
-
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精品文档离散数学习题答案习题一及答案：（ P14-15 ）14、将下列命题符号化：（ 5）李辛与李末是兄弟解：设 p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（ 6）王强与刘威都学过法语解：设 p：王强学过法语； q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q （ 9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设 p：天下大雨； q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p（ 11）下雪路滑，他迟到了解：设 p：下雪； q：路滑； r ：他迟到了；则命题符号化的结果是( p q)r15、设 p： 2+3=5.q：大熊猫产在中国 .r：太阳从西方升起 .求下列复合命题的真值：（ 4）(p q r )(( p q)r )解： p=1， q=1，r=0 ，(p q r )(110)1，((p q)r )((11)0)(00)1(p q r )(( p q)r ) 1 1119、用真值表判断下列公式的类型：（ 2）( p p)q解：列出公式的真值表，如下所示：p q p qp) ( p p)q( p001111011010100101110001由真值表可以看出公式有 3 个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：精品文档（ 4）( p q)q解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：( p q)1p0q0q0所以公式的成真赋值有： 01，10， 11。
习题二及答案：（ P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（ 2）(p q) (q r )解：原式( p q) q r q r( p p) q r( p q r ) ( p q r )m3m7，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011， 111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（ 2）( p q) ( p r )解：原式( pp r ) ( p q r )( p q r )M 4，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为 100。
离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 与 5 都是素数
答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为 p q∧ ，其真值为 1.
（2）不但 π 是无理数，而且自然对数的底 e 也是无理数. 答：p：π 是无理数，q：自然对数的底 e 是无理数，符号化为 p q∧ ，其真值为 1.
若 p 为真,则真值为 0;若 p 为假,则真值为 1
14.将下列命题符号化：
（1） 刘晓月跑得快,跳得高；
（2） 老王是山东人或者河北人；
（3） 因为天气冷,所以我穿了羽绒服；
（4） 王欢与李乐组成一个小组；
（5） 李欣与李末是兄弟；
（6） 王强与刘威都学过法语；
（7） 他一面吃饭,一面听音乐；
（8） 如果天下大雨,他就乘班车上班；
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此式为可满足式
20.求下列公式的成真赋值： （1）
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p
q
解：
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由真值表得：（1）的成真赋值是 01，10,11（2）的成真赋值是 00，10,11
离散数学第11章答案(刘玉珍 刘永梅)
习题11.11． 若n 个顶点的简单无向图G 中至少有2个孤立点，则结论自然成立；若G 中只有一个孤立点，而2n ≥，则G 中至少有3个顶点，其中至少有2个非孤立点，可不考虑孤立点；若G 中无孤立点，则G 中n 个顶点度数均不小于1.现设G 中n 个顶点的度数均不小于1，又G 为简单图，故所有顶点的度数均不大于n-1，即n 个顶点的度数的取值只能是1，2，…，n-1,由鸽舍原理知，结论成立。
2． 设G 有x 个顶点，则92)6(36)deg(122>⇒⨯-+⨯≤=⨯∑∈x x v Vv3． m n k n k n n k n v m k k k Vv 2)1()1()()deg(2-+=⇒+⨯-+⨯==∑∈4． ∑∈∈⨯≤=≤∈⨯Vv V v v n v m V v v n })max{deg()deg(2})deg(min{故所证不等式成立。
5.（1）非同构的4个顶点的自补图只有一个；非同构的5个顶点的自补图有2个（2）G 为自补图⇒G 与G 的边数相同，设均为m ，又G 与G 的边数之和为n K 的边数2)1(-n n ，即2)1(-n n =2m ，亦即)1(-n n =4m ，故n 为4的倍数，即n=4k ，或n-1为4的倍数，即n=4k+1，+∈I k6.（1）<0,1,1,2,3,3>,<3,3,3,3>均为可图解的，其对应图为<1,3,3,3>非可图解，否则，设3)deg()deg()deg(,1)deg(4321====v v v v ，由于要构成无向简单图，故，1v ，2v ，3v ，4v 之间必定有边关联，这与1)deg(1=v 矛盾，< 2，3，4，4，5>,<2,2,4>非可图解，以为简单图中所有顶点的度数多为n-1。
<1,2,2,3,4,5>z 中有奇数个，故非可图解。
（2）充分性：<1d 2-,1d 3-,…, 1d 1d -,1d 1d 1-+,2d 1d +,…,n d >可图解⇒添加度数为1d 的顶度，与度数为1d 2-,1d 3-,…, 1d 1d -,1d 1d 1-+的顶点相邻⇒<1d ,2d ,…, n d >可图解。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
离散数学答案版(全)
Q
P Q
( P Q)
( P Q) Q
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1.4.2 命题公式的分类 定义 设 G 为公式： （1）如果 G 在所有解释下取值均为真，则称 G 是永真式 或重言式； （2）如果 G 在所有解释下取值均为假，则称 G 是永假式或矛盾式； （3） 如果至少存在一种解释使公式 G 取值为真，则称 G 是可满足式。 1.4.3 等价公式 定义 设 A 和 B 是两个命题公式，如果 A 和 B 在任意赋值情况下都具有相同 的真值，则称 A 和 B 是等价公式。记为 A B。 性质定理 设 A、B、C 是公式，则 （1）A A （2）若 A B 则 B A （3）若 A B 且 B C 则 A C 定理 设 A、B、C 是公式，则下述等价公式成立： A A （1）双重否定律 （2）等幂律 A∧A A ； A∨A A （3）交换律 A∧B B∧A ； A∨B B∨A （4）结合律 （A∧B）∧C A∧（B∧C） （A∨B）∨C A∨（B∨C） （5）分配律 （A∧B）∨C （A∨C）∧（B∨C） （A∨B）∧C （A∧C）∨（B∧C） （A∨B） A∧ B （6）德·摩根律 （A∧B） A∨ B （7）吸收律 A∨（A∧B） A；A∧（A∨B） A （8）零一律 A∨1 1 ； A∧0 0 （9）同一律 A∨0 A ； A∧1 A （10）排中律 A∨ A 1 （11）矛盾律 A∧ A 0 （12）蕴涵等值式 A→B A∨B （13）假言易位 A→B B→ A （14）等价等值式 A B （A→B）∧（B→A）
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
离散数学第十一章群和环习题答案
习题十五
16
证明：每个阶数大于1的群必含有阶数大于1的交换子群. 证明： 因为G的阶数大于1，必有周期大于1的元aG，构造H=(a)，即 为所求。
习题十五
17
证明：循环群的子群必是循环群. 证明： 设G的生成元为a, H为G的子群，并且H中具有最小正幂的元是 ak, G=(a), HG, H={e, ak, ak2, ak3,…}，设ak是H中具有最小正指数 的元， amH，证明am=(ak)* ，H=(ak), 则 amH，令m=tk+r (0r<k), 则am=(ak)t ar, 由k的选择知，r=0, 即am=(合，试确定<A, +, >是否成环、整环或域。 (1)A={x|xZ且x 0}，无加法逆元，不是环 (2)A={a+b√3|a,bQ}，是域 (3)A={x|(y)[yZ且x=2y]}, 由偶数构成，是环，但无法幺元， 不是整环，不是域。 (4)A={a/b|a,b为正整数，且(a,b)=1}，既约分数，但无0，不构 成环。
习题十五 30
设<G, · >是群，a是G中一个固定元素，定义映射f:G → G使得对任何x G，f(x)=a· a-1. 求证：f是G的 x· 自同构映射。
证明： 容易证明f是G的同态映射， f(x· =a· y· -1 =a· a-1· y· -1 y) x· a x· a· a =f(x) ·f(y) 再证明f是双射， 证单射：f(x)=f(y), a· a-1 = a· a-1 x=y x· y· 证满射：令a· a-1 = y, x=a-1· a x· y·
c
c
c c
附加题：确定 2S，、 2S，、2S，各属于 哪一个层次？
• 2S，：闭，结，幺= S，无逆元，故含幺半群。 • 2S，：闭，结，幺= ，无逆元，故含幺半群。 • 2S，：闭，结，幺= （ A=A, AA= ）A-1=A, 群。
大学离散数学课后习题答案
大学离散数学课后习题答案大学离散数学课后习题答案离散数学是大学数学中的一门重要课程，它主要研究离散结构及其运算规则，是计算机科学、信息技术等领域的基础。
在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
然而，由于离散数学的题目种类繁多、难度不一，学生在解题过程中常常会遇到困难。
为了帮助同学们更好地学习离散数学，我整理了一些常见习题的答案，并将其按照不同章节进行分类。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学中的基础内容，它研究命题的真假和推理的规则。
在命题逻辑中，常见的习题类型包括真值表、命题公式的等值变换等。
下面是一道典型的命题逻辑习题及其答案：习题：给定命题P: "如果我明天考试及格，那么我会去图书馆。
" 命题Q: "我没有去图书馆。
" 请判断以下命题的真假：(1) 如果我明天考试及格，那么我没有去图书馆。
(2) 如果我没有去图书馆，那么我明天考试不及格。
答案：根据题意可知，P是一个条件命题，Q是其否定。
根据条件命题的真值定义可知，当P为真，Q为假时，命题(1)为假；当P为假，Q为真时，命题(2)为真。
因此，命题(1)为假，命题(2)为真。
2. 集合论集合论是离散数学中的另一个重要内容，它研究集合的性质和运算规则。
在集合论中，常见的习题类型包括集合的运算、集合关系的判断等。
下面是一道典型的集合论习题及其答案：习题：设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={4,5,6,7,8}，求(A∪B)∩C的元素。
答案：首先，求A和B的并集，得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7}；然后，求A∪B和C 的交集，得到(A∪B)∩C={4,5}。
因此，(A∪B)∩C的元素为4和5。
3. 关系与函数关系与函数是离散数学中的另一个重要内容，它研究元素之间的关系和映射规则。
在关系与函数中，常见的习题类型包括关系的性质判断、函数的图像和原像等。
下面是一道典型的关系与函数习题及其答案：习题：设关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，请判断以下命题的真假：(1) R是自反关系。
《离散数学》课后习题答案
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学习题解答北京大学出版社
习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2）5是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.x+<（4）235答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（15是有理数.5.p5.q5.其否定式q的真值为1.（225不是无理数.答：是有理数. p 不是无理数. q 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）是自然数.答：否定式：不是自然数. p ：是自然数. q ：不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1.（2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧⌝，其真值为1. （4）3是偶素数.答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数.答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ⌝∧⌝，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数.答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ⌝∨⌝，其真值为1.(5) 符号化：r s ⌝∨⌝，其真值为0. 6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ⌝∧∨∧⌝. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化1 1 0 1根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要,就有；（2）如果,则；（3）只有,才有；（4）除非,才有；（5）除非,否则；（6）仅当.答:设p:,则:;设q:,则:.符号化真值（1） 1（2） 1（3）0（4）0（5）0（6） 19.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多 1（2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0（3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多 1（4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多 1（5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球 1（6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多0（7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球 1 10．设p：9是3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.自然语言真值（1）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0（2）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻 1（3）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻 1（4）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻011．将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则是无理数.答:命题1 命题2 符号化真值（1）p:2+2=4 q:地球是静止不动的0 （2）p:2+2=4 q:地球是静止不动的 1 （3）p:地球上有树木q:人类能生存 1 （4）p:地球上有树木q:人类能生存 1（1）2+2=4当且仅当3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是3+36；（3）2+24与3+3=6互为充要条件；（4）若2+24,则3+36,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值(1) 113.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.14.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与4都是素数,这是不对的；（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.(12) p:2是素数q:4是素数-(13) p:2是素数q:4是素数-15.设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果3是无理数,则也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”解：p:是无理数q: 3是无理数r:是无理数s: 6能被2整除t：6能被4整除符号化为:，该式为重言式，所以论述为真。
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下⾯的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}?S,{{a},1,3,4}?R,R=S,{a}?S,{a}?R,φ?R,φ?{{a}}?R?E,{φ}?S,φ∈R,φ?{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ? S ，{{a}，1，3，4 } ? R ，R = S ，{a}?S ，{a}? R ，φ? R ，φ? {{a}} ? R ? E ，{φ} ? S ，φ∈R ，φ? {{3}，4 }2写出下⾯集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A?B当且仅当ρ(A)?ρ(B)；(2)ρ(A)?ρ(B)?ρ(A?B)；(3)ρ(A)?ρ(B)=ρ(A?B)；(4)ρ(A-B) ?(ρ(A)-ρ(B)) ?{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x?A。
由于A?B，故x?B，从⽽x∈ρ(B)，于是ρ(A)?ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}?A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)?ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A?B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X?A或X?B∴X?(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ?ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X?A且X?B∴X? A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y? A∩B∴Y?A且Y?B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
离散数学课后答案
离散数学课后答案第一章离散数学基础题目1问题：证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A 和集合B的基数的乘积。
答案：设集合A的基数为|A|，集合B的基数为|B|。
我们要证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A和集合B的基数的乘积，即|(A x B)| = |A| * |B|。
首先，我们可以将集合A x B表示为{(a, b) | a∈A, b∈B}。
由于A和B是两个集合，集合A x B中的元素可以看作是将A 中每个元素与B中每个元素组成的有序对。
因此，集合A x B 中的元素个数等于A中元素的个数乘以B中元素的个数，即|(A x B)| = |A| * |B|。
题目2问题：对任意两个集合A和B，证明A∩(A∪B) = A。
答案：要证明A∩(A∪B) = A，首先我们需要理解集合的交和并的定义。
- 集合的交：集合A∩B表示同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。
- 集合的并：集合A∪B表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
现在，我们开始证明。
首先，根据集合的并的定义，A∪B 表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
因此，任意属于集合A的元素也一定属于A∪B，即A⊆A∪B。
其次，根据集合的交的定义，A∩(A∪B)表示同时属于集合A和集合A∪B的元素组成的集合。
由于A⊆A∪B，所以A中的元素一定属于A∪B，因此A∩(A∪B) = A。
综上所述，对任意两个集合A和B，A∩(A∪B) = A成立。
第二章命题逻辑题目1问题：证明合取命题的真值表达式。
答案：合取命题的真值表达式表示命题P和命题Q同时为真时合取命题为真，否则为假。
假设命题P和命题Q的真值分别为真（T）或假（F），那么合取命题的真值可以通过以下真值表得出：P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上述真值表可以看出，只有P和Q都为真时，合取命题才为真。
如果其中一个或两个命题为假，则合取命题为假。
题目2问题：证明命题的等价关系。
离散数学课后答案全集
第1章 命题逻辑P7 习题1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。
否命题：不是大连的每条街道都临海。
（2）每一个素数都是奇数。
否命题： 并非每一个素数都是奇数。
2. 对下述命题用中文写出语句： （1）()P R Q ⌝∧→如果非P 与R ，那么Q 。
（2）Q R ∧Q 并且R 。
3. 给出命题P Q →，我们把Q P →、P Q ⌝→⌝、Q P ⌝→⌝分别称为命题P Q →的逆命题、反命题、逆反命题。
（1）如果天不下雨，我将去公园。
解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园；逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。
（2）仅当你去我才逗留。
解：（此题注意：p 仅当q 翻译成p q →） 逆命题：如果你去，那么我逗留。
反命题：如果我不逗留，那么你没去。
逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。
（3）如果n 是大于2的正整数，那么方程nn n xy z +=无整数解。
解：逆命题：如果方程nn n xy z +=无整数解，那么n 是大于2的正整数。
反命题：如果n 不是大于2的正整数，那么方程nn n x y z +=有整数解。
逆反命题：如果方程nn n xy z +=有整数解，那么n 不是大于2的正整数。
（4）如果我不获得更多的帮助，那么我不能完成这项任务。
解：逆命题：如果我不完成任务，那么我不获得更多的帮助。
反命题：如果我获得了更多的帮助，那么我能完成任务。
逆反命题：如果我能完成任务，那么我获得了更多的帮助。
4. 给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值。
（1）(()(()()))P Q R Q P R S ⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝=(()(()()))T T F T T F F ⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝ =()T F T ⌝∨→ =T F ∨ =T（2）()Q P Q P ∧→→ =()T T T T ∧→→ =T T T ∧→ =T T →=T（3）((()))()P Q R P Q S ∨→∧⌝↔∨⌝=((()))()T T F T T F ∨→∧⌝↔∨⌝ =(())T T F T ∨→↔ =T T ↔ =T（4）()()P R Q S →∧⌝→ =()()T F T F →∧⌝→=()F F F ∧→=F5. 构成下来公式的真值表： （1）()Q P Q P ∧→→（2）()()()P Q R P Q P R ⌝∨∧↔∨∧∨（3）()P Q Q P P R ∨→∧→∧⌝（4）()P P Q R Q R ⌝→∧⌝→∧∨⌝6. 使用真值表证明：如果P Q ↔为T ，那么P Q →和Q P →都是T ，反之亦然。
ch11 - 2离散数学第十一章群和环习题答案
• (1)将置换表示成循换的积 σ = (1 2)(3 4 5) τ = (1 3 5 2 4)
• (2) 计算στ,τσ,σ-1,τ-1,σ-1τσ
• 设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验 证G关于复数加法构成群。
• 复数加法在G上封闭,有结合律,单位元为 0=0+0i,a+bi的逆元为-a-bi.
• （1）生成元: a,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14
（2）子群: (a), (a3)={e,a3,a6,a9,a12}, (a5)={e,a5,a10}, G
• 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域 ① A = {a+bi |a,b∈Q}, 其中i2=-1, 运算为复数加法和
• 解：
（2）易见封闭性满足， 函数合成满足结合律,单 位元是f1,
f1-1=f1,f2-1=f2,f3-1= f3,f41=f5,f5-1=f4,f6-1=f6.
• 设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。 • 证明： • 任取G中元素a,b, 由于a,b为二阶元(周期为
2)，a=a-1, b=b-1, 从而
• 格与布尔代数。
• 对以下各小题给定的集合和运算，判断它们是哪一类代数 系统(半群,含幺半群,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。 (5) S5={0,1,2}, +为模3加法, *为模3乘法。
• 环与域，{0,1,2}关于模3加构成交换群、{1,2}关于模3乘构 成交换群，模3乘关于模3加有分配律。
• 证明：
• 易见f-1为G2到G1的双射函数。 任取G2中的元素x,y,存在G1中元素a,b
使得f(a)=x,f(b)=y.因此， f-1(xy)=f-1(f(a)f(b))=f-1(f(ab))=ab=f-1(x)f-1(y)
西北工业大学《离散数学》课件-第11章
W(C1)=10 W(C2)=11 W(C3)=9
最短
17
11.3 二部图与匹配
定义11.3 设 G=<V,E>为一个无向图, 若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得 G 中的每条边的两个端点都是一 个属于V1, 另一个属于V2, 则称 G 为二部图 ( 或称二分图, 偶 图), 称V1和V2为互补顶点子集, 常将二部图G记为<V1,V2,E>. 又若G是简单二部图, V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相邻， 则称G为完全二部图, 记为 Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|.
邻的顶点vi,vj, 均有
d(vi)+d(vj) n 则G中存在哈密顿回路.
（）
14
判断是否为哈密顿图
判断是否为(半)哈密顿图至今还是一个难题. (1) 观察出一条哈密顿回路或哈密顿通路. (2) 证明满足充分条件. (3) 证明不满足必要条件.
例4 证明右图(周游世界问题)是哈密顿图 证 abcdefghijklmnopqrsta 是一条哈密顿回路. 注意，此图不满足定理11.3推论的条件.
与已知条件矛盾. 得证V1中任意两顶点不相邻. 由对称性, V2 中也不存在相邻的顶点, 得证G为二部图．
21
最大匹配
定义11.4 设G=<V1,V2,E>为二部图, ME, 如果M中的任意两 条边都不相邻, 则称M是G的一个匹配. G中边数最多的匹配 称作最大匹配. 又设|V1||V2|, 如果M是G的一个匹配且 |M|=|V1|, 则称M是V1到V2的完备匹配. 当|V2|=|V1|时, 完备匹 配又称作完美匹配．
图论方法描述如下: 设G=<V,E,W>为一个n阶完全带权图Kn, 各边的权非负, 且可能为. 求G中的一条最短的哈密顿回路.
离散数学第11章
13
分配格的判别及性质
定理11.5 设L是格, 则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格 或五角格同构的子格. 证明省略. 推论 (1) 小于五元的格都是分配格. (2) 任何一条链都是分配格. 例6 说明图中的格是否为分配格, 为什么？ 解 都不是分配格. { a,b,c,d,e }是L1的子格, 同构于钻石格 { a,b,c,e,f }是L2的子格, 同构于五角格； { a,c,b,e,f } 是L3的子格 同构于钻石格.
2
实例
例2 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出.
(1) 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y. (2) 是格. x,y∈Z，x∨y = max(x,y)，x∧y = min(x,y)， 图2 (3) 都不是格. 可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界
11
子格及其判别法
定义11.4 设<L,∧,∨>是格, S是L的非空子集, 若S关于L中 的运算∧和∨仍构成格, 则称S是L的子格.
例5 设格L如图所示. 令 S1={a, e, f, g}, S2={a, b, e, g} S1不是L的子格, 因为e, fS1 但 e∧f = cS1. S2是L的子格.
16
有界格中的补元及实例
定义11.8 设<L,∧,∨,0,1>是有界格, a∈L, 若存在b∈L 使得 a∧b = 0 和 a∨b = 1 成立, 则称b是a的补元. 注意：若b是a的补元, 那么a也是b的补元. a和b互为补元.
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第11章习题答案
3. 对图11.3的有向图，找出从u 1到u 4的长度为2,3,4的所有通路，并找出顶点u 4上的长
度为2,3,4的所有回路。
用M 2，M 3，，M 4
，来验证这些结果。
解：从u 1到u 4长度为2的通路有1条：（u 1,u 2,u 4）
从u 1到u 4长度为3的通路有2条：（u 1,u 2,u 3，u 4），（u 1,u 4,u 2，u 4） 从u 1到u 4长度为4的通路有3条：（u 1,u 2,u 3，u 2，u 4），（u 1,u 2，u 4,u 2，u 4），（u 1,u 4,u 2，
u 3，u 4）
顶点u 4上的长度为2的回路有1条：（u 4,u 2,u 4） 顶点u 4上的长度为3的回路有1条：（u 4,u 2,u 3，u 4） 顶点u 4上的长度为4的回路有2条：（u 4,u 2,u 3，u 2，u 4），（u 4,u 2，u 4,u 2，u 4）
M =⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010
101011001010 M 2=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11
00111010201110
M 3
=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡10
20
212022102120
M 4
=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡221
323031403230
由M 2
，M 3
，，M 4
中的第1行第4列的元素可见，从u 1到u 4长度为2，3，4的通路分别有1
条，2条，3条。
由M 2，M 3，，M 4
中的第4行第4列的元素可见，u 4上的长度为2,3,4的回路分别有1条，1条，2条，说明所找的上述通路和回路正确。
5. 设有向图D 具有顶点集合{u 1，u 2，…，u n }，M 是D 的邻接矩阵。
证明对于i ≠j 和k=1,2,…，
n-1，如果M k
（k=1,2,…，n-1）中第i 行第j 列上的元素均为0，则u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。
证明：假设u i 和u j 属于D 的同一个强分图，则u i 和u j 互相可达。
由定理9.2可知，从一顶点到另一顶点可达，则有基本通路，因此存在u i 到u j 的基本通路。
已知有向图D 中有n 个顶点，根据定理9.4：n 个顶点的有向图中，任何基本通路的长度都不超过n-1。
因此存在
u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路。
然而，根据定理11.1和已知条件：M k
（k=1,2,…，n-1）中第i 行第j 列上的元素均为0，说明从u i 到u j 不存在长度小于或等于n-1的通路。
这与前面所述存在u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路矛盾，因此u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。
6. 试用图11.4的有向图的邻接矩阵求出可达性矩阵，并利用可达性矩阵求其强分图。
解：
M=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001010000000010100000010 M 2
=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡010*******
00010
1000001000
M 3
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000
010*******
0001010000 M 4
=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡0001001000
10000
010*******
I+M+M 2+M 3+M 4
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡10000
010*******
0001000001
+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡0001
01000
00000
1010000001
0+⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡0100
00001
00001
010*******
0+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000
01000010000001010000 +⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡000100100010000
010******* =
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21020
13010111110202011021
R=B （I+M+M 2+M 3+M 4
）=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡11010
1101011111
1101011011
R T =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡1111111111001001111100101 R ×R T =⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101011010001001101000001 由矩阵R ×R T 可知，该有向图的强分图有：{v 1}，{ v 2，v 4，v 5}，{ v 3}。