等比数列及数列中解题方法

英杰教育学科教师辅导教案

审查组长：

学员编号： 年 级：高 一 课 时 数：3课时

学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师：

授课主题

数列的概念与等差数列 教学目的

1、理解并掌握等比数列的通项公式，前n 项和公式．

2、会灵活运用等比中项,会用构造新数列法求通项公式，

3、掌握递推公式法、倒序相加法、列项相消法、错位相减求数列的前n 项和；

教学重点 构造新数列法；数列的前n 项和求法 授课日期及时段

教学内容

一、等比数列

1、高考考点

（1） 等比数列的概念（2）等比数列的通项公式与前n 项和的公式 考试要求

（1）掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式

（2）能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题； （3）了解等比数列与指数函数的关系. 2、知识梳理

等比数列 定义 1

n n

a q a +=或212n n n a a a ++= 注意；0,0.n a q ≠≠

通项公式 11n n m n m a a q a q --==

前n 项和公式

11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q

=⎧⎪

=-⎨≠⎪-⎩

注意q 含字母讨论

简单性质

若*

(,,,)m n s t m n s t N +=+∈, 则m n s t a a a a ⋅=⋅.

3、 等比数列重要结论

（1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：

1

-n n a a =q （q ≠0）｛n a ｝成等比数列⇔n n a a

1+=q （+∈N n ,q ≠0）

①“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q ，q ≠0)

② 隐含：任一项00≠≠q a n 且 ③ q= 1时，{a n }为常数

例 下面四个数列：（1）1，1,2,4,8,16,32,64；（2）在数列{}n a 中，12

a a =2,2

3a a =2；（3）常数列a,a,a,...；（4）在数列{}n a 中，

1

-n n

a a =q ；其中是等比数列的有 （2）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

（3）等比定理：q=12a a =23a a =34a a =...=1-n n a a =1

321432......-+++++++n n

a a a a a a a a

（4）等比数列基本量的求法：1a 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出。——m n m n m n m

n a a q a a q

--==

;；q=n

n a a 1+ （5）等比数列与指数函数：11-⋅=n n q a a ，即n

n q q

a a ⋅=1,与指数函数x q y =类似，可借助指数函数的图像和性质来研究

4、 典型例题讲解

例1 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ；

（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有

)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++

由于 01≠a ，故022=+q q

又0≠q ，从而2

1

－=q

（Ⅱ）由已知可得3212

1

1=--）（a a

故41=a 从而）

）（（）

（）

）（（n n

n 211382

112114--=----=S 例2 已知{n a }是公比为q 的等比数列，且12,,++m m m a a a 成等差数列.

（1）求q 的值；

（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试判断12,,++m m m S S S 是否成等差数列？说明理由. 解：（1）依题意，得2a m+2 = a m+1 + a m

∴2a 1q m+1 = a 1q m + a 1q m – 1

在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，

∴2q 2 = q +1，解得q = 1或2

1

-.

（2）若q = 1， S m + S m+1 = ma 1 + (m+1) a 1=(2m+1) a 1，S m + 2 = (m+2) a 1

∵a 1≠0，∴2S m+2≠S m + S m+1

若q =2

1-，S m + 1 =m 2

m )21(6132)

2

1(1)21(1-⋅-=----+ S m + S m+1 = )

2

1(1)21(1)21(1)21(11

m m ----+----+])21()21[(32341m m +-+--==m )21(3134--

∴2 S m+2 = S m + S m+1

故当q = 1时，S m , S m+2 , S m+1不成等差数列； 当q =2

1-时，S m , S m+2 , S m+1成等差数列.

【变式】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ． 解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1

x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)

=q

2n(1+2n)

2

==+q n n n ()212

【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公1

2

式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．

解 (1)a =a q q =5252-∴－1

2