圆锥曲线培优讲义

圆锥曲线培优讲义 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆

的离心率为，且过点

．若点M

（x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积． 2.

己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和 C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ．

（1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距

离，并证明 S =1

2∣x 1y 2−x 2y 1∣； （2）设 l 1:y =kx ，C (√33,

√3

3)，S =1

3，求 k 的值．

（3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变

动，面积 S 保持不变．

3. 已知椭圆()0,01:22

22

>>=+b b

y x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -,

椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ∆中，满足

.12

7,12

1221π

π

=

∠=

∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程；

（2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ⋅=⋅，求

22OC OB +的值.

4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率

之积为1

4

-

(1)求动点M 的轨迹C 的方程；

(2)设点1122(,),(,)A x y B x y 是轨迹C 上相异的两点．

(I)过点A ，B 分别作抛物线2y =的切线1l 、2l ，1l 与2l 两条切线相交于点

()N t ，证明：0NA NB =；

(Ⅱ)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为1

4-，证明：AOB S ∆为定值，并求出这

个定值· 5.

已知 A 、 B 分别是 x 轴和 y 轴上的两个动点，满足 ∣AB∣=2，点 P 在线段 AB 上，且 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =tPB ⃗⃗⃗⃗⃗ （t 是不为 0 的常数），设点 P 的轨迹方程为 C ． （1）求点 P 的轨迹方程 C ；

（2）若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，试求实数 t 的取值范围； （3）若 t =2，点 M ，N 是曲线 C 上关于原点对称的两个动点，点 Q 的

坐标为 (3

2,3)，求 △QMN 的面积 S 的最大值．

6.

已知椭圆 C 1 的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点；抛物线 C 2 的焦点在 y 轴上，顶点在坐标原点．在 C 1，C 2 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：

x 3−24

√2y

9

208√22

（1）求 C 1，C 2 的标准方程；

（2）已知定点 C (0,1

8)，P 为抛物线 C 2 上一动点，过点 P 作抛物线 C 2 的

切线交椭圆 C 1 于 A ，B 两点，求 △ABC 面积的最大值．

7.

已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点． （1）若 AF

⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线 AB 的斜率； （2）设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C ，求四

边形 OACB 面积的最小值．

8.

设椭圆 C 1：x 2

a 2+y 2

b 2=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2，下顶点为 A ，线段 OA 的中点为 B （O 为坐标原点），如图．若抛物线 C 2：y =x 2−1 与 y 轴的交点为 B ，且经过 F 1，F 2 点． （1）求椭圆 C 1 的方程；

（2）设 M (0,−4

5)，N 为抛物线 C 2 上的一动点，过点 N 作抛物线 C 2 的

切线交椭圆 C 1 于 P 、 Q 两点，求 △MPQ 面积的最大值．

二 定点定值问题

9. 动点P 在圆E ：22(1)16x y ++=上运动，定点(1,0)F ，线段PF 的垂直平分

线与直线PE 的交点为Q ． （Ⅰ）求Q 的轨迹T 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且

12l l ⊥．证明：过AB 和CD 中点的直线过定点．

10. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是双曲线D 抛物线C 的焦点与双曲线D 的焦点相同． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）若点(,1)P t (0)t >为抛物线C 上的定点，A ，B 为抛物线C 上两个动

点．且PA ⊥PB ，问直线AB 是否经过定点若是，求出该定点，若不是，说明理由．

11.

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √6

3，直线 l 与 x 轴交于点 E ，与椭圆 C 交于 A,B 两点．当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为 2√63

． （1）求椭圆 C 的方程；

（2）若点 E 的坐标为 (√3

2,0)，点 A 在第一象限且横坐标为 √3，连接点

A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P ，求 △PA

B 的面积； （3）是否存在点 E ，使得 1

EA 2+1

EB 2 为定值若存在，请指出点 E 的坐

标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．