2012年11月2013级绵阳一诊数学(文)试题及答案

绵阳市高2013级第一次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

CCBAD BAADD AB

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．-4 14．2 15．k >-3 16．①③

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1x )

x+ cos2x =2sin(2x+

6

π

)，………………………………………6分

∴ 最小正周期22

T π

π==． 令2x+

6

π

=2k π

π+

，k ∈Z ，解得x=

26

k ππ

+，k ∈Z ， 即f (x )的对称轴方程为x=26

k ππ

+，k ∈Z ．…………………………………8分 （Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6

π

≤76π，

∴ 当2x+

6

π

=

2π

，即x=

6π

时，f (x )取得最大值f (

6

π

)=2；

当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2

π)=-1．

即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设公比为q ，由已知a 6=2，a 3=

41

，得5211124

a q a q ==，， 两式相除得q 3=8，解得q =2，a 1=116

， ∴ a n =

151

2216n n --⨯=．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）b n =3log2a n =523log 2n -=3n -15， ∴ ()()

12123153272222n n n b b n n T n n +-+-===-2

39243

228

n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当n =4或5时，T n 取得最小值，最小值为-30．……………………………12分 19

结合0C π<<，得3

C =

． …………………………………………………6分

（Ⅱ）∵ △ABC 的面积为3，即1

sin 2

ab C ab =4，①

又c =2，由（Ⅰ）知，224a b ab +-=， ∴ 2()3416a b ab +=+=，得a +b =4，②

由①②得a=b=2． ……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，

可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，

代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，

∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，

∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，

∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223

x x =-=，． 由下表：

可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=95

27

， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为

95

27

．……………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1，

由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n+1=2ta n+1-t -1， 两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ，

∴ 121

n n a t a t +=+（常数）．

∴ 数列{a n }是以1为首项，21

t

t +为公比的等比数列．………………………4分 （Ⅱ）∵ q = f (t )=21

t

t +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，

∴

111

11n n n n

b b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴

1

n

n b =．………………………………………………………………………8分 （III ）当t =

13时，由（I ）知a n =11

()2

n -，.