2012年11月2013级绵阳一诊数学(文)试题及答案

绵阳市高2013级第一次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
CCBAD BAADD AB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．-4 14．2 15．k >-3 16．①③
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1x )
x+ cos2x =2sin(2x+
6
π
)，………………………………………6分
∴ 最小正周期22
T π
π==． 令2x+
6
π
=2k π
π+
，k ∈Z ，解得x=
26
k ππ
+，k ∈Z ， 即f (x )的对称轴方程为x=26
k ππ
+，k ∈Z ．…………………………………8分 （Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6
π
≤76π，
∴ 当2x+
6
π
=
2π
，即x=
6π
时，f (x )取得最大值f (
6
π
)=2；
当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2
π)=-1．
即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设公比为q ，由已知a 6=2，a 3=
41
，得5211124
a q a q ==，， 两式相除得q 3=8，解得q =2，a 1=116
， ∴ a n =
151
2216n n --⨯=．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）b n =3log2a n =523log 2n -=3n -15， ∴ ()()
12123153272222n n n b b n n T n n +-+-===-2
39243
228
n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当n =4或5时，T n 取得最小值，最小值为-30．……………………………12分 19
结合0C π<<，得3
C =
． …………………………………………………6分
（Ⅱ）∵ △ABC 的面积为3，即1
sin 2
ab C ab =4，①
又c =2，由（Ⅰ）知，224a b ab +-=， ∴ 2()3416a b ab +=+=，得a +b =4，②
由①②得a=b=2． ……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，
可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，
代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，
∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，
∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，
∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223
x x =-=，． 由下表：
可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=95
27
， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为
95
27
．……………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1，
由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n+1=2ta n+1-t -1， 两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ，
∴ 121
n n a t a t +=+（常数）．
∴ 数列{a n }是以1为首项，21
t
t +为公比的等比数列．………………………4分 （Ⅱ）∵ q = f (t )=21
t
t +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，
∴
111
11n n n n
b b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴
1
n
n b =．………………………………………………………………………8分 （III ）当t =
13时，由（I ）知a n =11
()2
n -，.
于是数列{c n }为：1，-1，
12，2，2，21
()2
，-3，-3，-3，31()2，… 设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ，
当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)
2
k k +， ∴ m 9=
910
452
⨯=． 设S n 表示数列{c n }的前n 项和， 则S 45=[1+
12+21()2+…+81
()2
]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8]． 显然 1+12+21()2+…+81()2=9
8
11()1221212
-=--， ∵ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8
=-1+22-32+42-52+62-72+82
=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7) =3+7+11+15 =36． ∴ S 45=8122-
+36=38-8
12． ∴ S 50=S 45+(c 46+c 47+c 48+c 49+c 50)
=38-812+5×(-1)9×9 =17256
-．
即数列{c n }的前50项之和为1
7256
-．………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由已知：1
()f x a x
'=
-， ∴由题知11
(2)22f a '=
-=-，解得a =1． 于是11()1x
f x x x
-'=-=，
当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，
即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）∀x ∈(0，+∞)，f (x )≤g (x )，即ln x -(k +1)x ≤0恒成立，
设()ln (1)h x x k x =-+，有11(1)()(1)k x
h x k x x
-+'=
-+=
． ①当k +1≤0，即k ≤-1时，()0h x '>，
此时(1)ln1(1)h k =-+≥0与()h x ≤0矛盾． ②当k +1>0，即k >-1时，令()h x '=0，解得1
1
x k =
+， 101x k ⎛
⎫∈ ⎪+⎝⎭
，，()h x '>0，h (x )为增函数，
11x k ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭
，，()h x '<0，h (x )为减函数， ∴ max 11
()()ln 111
h x h k k ==-++≤0，
即()ln 1k +≥-1，解得k ≥1
1e
-．
综合k >-1，知k ≥1
1e
-．
∴ 综上所述，k 的取值范围为11e ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
，．………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数， ∴ f (x )≤f (1)=0， ∴ ln x ≤x -1．
当n =1时，b 1=ln(1+1)=ln2， 当n ≥2时，有ln(n +1)<n ，
∵ ()3
ln 1n n b n +=321111
(1)1n n n n n n n
<=<=---， ∴ 12111111
12123131n b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++-
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1ln 2(1)n
=+-
<1+ln2．……………………………………………………14分。