02-2晶体结构参数

晶体的宏观对称性是微观对称性的反应
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1. 对称性基本概念 对称性：物体相等部分有规律的重复。 观察对称性：① 在物体上可以找到相同的部分； ② 相同的部分重复出现有规律。
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2. 对称操作和对称元素
2 2 2
四方晶系： d hkl

1 h2 k 2 l a2 c
2
立方晶系： d hkl
a
h2 k 2 l 2
1 4 h 2 hk k 2 l 2 3 a c
2
六方晶系： d hkl
上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原子面的 影响。
A B
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
晶体结构 = 空间点阵 + 结构基元
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2
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2. 晶胞：晶胞是平行六面体对应的实际晶体中相应的范围 晶胞代表晶体的基本重复单位，包括大小、形状和内容。
a、b、c : 确定晶胞大小 、、 : 确定晶胞形状
对称操作：使物体相等部分重复出现的操作，如旋转、反映、 反伸及其联合动作等。 对称元素：进行对称操作时借助的几何要素,如点、线、面等。
晶体的对称性：指的是物体在经过一定的操作之后其空间构 型能够完全复原的性质。这种‚一定的操作‛称为对称操作。 点对称操作：在进行对称操作时，如果物体中至少有一个点 保持不动，那么相应的对称操作就称为点对称操作，也叫宏观 对称操作。 说明：对称操作一定与某一个几何图形相联系。换句话说， 进行对称操作都必须凭借于一定的几何要素，这些几何要素可 以是点、也可以是直线或者平面。进行对称操作所凭借的几何 要素称为对称元素。
对称轴及其垂直该轴切面的示意图
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（4）旋转反伸轴Sn（倒转轴）
● 概念：过晶体中心一假想直线，晶体绕此直线旋转一定 角度，再对对称中心反伸，可使相等部分重复出现。 ● 对称操作是旋转＋反演的复合操作。 ● 轴次只有: 1, 2, 3, 4, 6
● 各类倒转轴中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称 操作，其他 4 种倒转轴都可以表示为对称中心、对称面、旋 转轴的组合。
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1次倒转轴S1
相当于旋转360后再对中心 反演而图形不变。 1 次倒转轴也就是对称中心。
1 i
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2 次倒转轴S2
相当于旋转180后再对中心 反演而图形不变。
2 次倒转轴就是对称面
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例2：
• 晶面A：r、s、t =1、1、1，其倒数为1、1、1，则晶面指数 记为（111）； • 晶面B，r、s、t=1、2、，其倒数为1、1/2和0，化为互质 的整数比为2:1:0，则晶面指数记为（210）； • 晶面C：晶面过原点（0，0，0），沿y轴平移一个晶格参数 （平移后代表同一晶面）使其在y轴截距为-1，则r、s和t分 别为、-1和，其倒数为0、-1和0，则晶面指数记为 (0 1 0)， 其中的负号写在数字上面。
（a）
（b） （c） （d） 旋转反映轴的图解
（e）
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3. 群和群阶 晶格对称性的精确数学描述，采用群论的方法。 群的概念—— 群代表一组具有特殊运算规则的数学‚元素‛ 的集合，G {E, A ,B, C, D ……} ，这些‚元素‛被赋予一定 的‚乘法法则‛，群中元素的个数，称作群阶。群满足下列性 质： 1) 群的封闭性:集合G中任意两个元素的‚乘积‛仍为集合内的 元素
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（2）对称面
概念：一个通过晶体中心的假想平面，能将晶体平分为 互为镜象的两个相等部分，以符号m表示。
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对称面的特点： ● 垂直于对称面作任意直线，位于直线两侧等距离的两点 是性质完全相同的对应点； ● 晶体中如果存在有对称面，则必定通过晶体的几何中心 并将晶体分为互成镜像反映的两个相同部分； ● 晶体上可没有对称面，也可有一个或几个m，最多有9 个，写作9m。
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对称轴的特点： ● 旋转一周重复的次数称为轴次n， ● 重复所旋转的最小角度称为基转角α，α = 360°／n。 ● 轴次高于2的C3、C4、C6 称高次轴。 ● 一次轴C1没有意义；不存在五次轴C5和高于六次的对称轴 ● 晶体中可没有对称轴，也可有一种或几种对称轴同时存在 。书写时，三个四次轴记为3C4。
——晶体点阵在任何方向上分解为相互平行的结点平面
称为晶面。
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(3) 晶向指数的确定：
1.选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位； 2.平移晶向（棱）直线过原点（过原点O作 一直线 OP，使其平行于待定晶向）； 3.确定任一点P在X、Y、Z轴的三个截距； 4.将这三个坐标值化为最小整数比u，v，w ，加上方括号，[uvw]即为待定晶向的晶向 指数。
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A: [100] B: [111] C: [1 2 2]
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(4) 晶面指数的确定： 用（hkl）来表示一组平行晶面，称为晶面指数，数字hkl是 晶面在三个坐标轴上截距（r, s, t)倒数的互质整数比。 确定步骤： ● 按晶体定向原则进行晶体定向； ● 求待标晶面在X、Y、Z轴上的截距pa、qb、rc，得截距 系数p、q、r ； ● 取截距系数的倒数比1/p：1/q：1/r = h：k：l（为最小整 数比）； ● 写为(h k l)。
a
P1、P2为对称面，AD不是
b
立方体的九个对称面（3个+6个）
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(3)对称轴 概念：通过晶体中心的一假想直线，晶体绕此直线旋转 一定角度，可使相等部分重复出现，记为Cn 。 吊扇叶片每旋转一周就重复3次,相 应的对称轴为三次对称轴
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对称中心的特点：
通过对称中心作任意直线，在此直 线上位于对称中心两侧等距离的两点 是性质完全相同的对应点。
在晶体中，如果存在有对称中心， 则对称中心肯定位于晶体的几何中心。
对称中心图形 晶体中可没有对称中心，或仅有一 个对称中心(宏观对称性）。
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例 1： 如图晶面hkl，在X、Y、Z轴上的截距分别为2a、3b
、6c ，截距系数为2、3、6 ，其倒数比1/2：1/3：1/6 ，
化整得3：2：1 ，去掉比号并以小括号括起来，(321)即 为该晶面的所求米勒指数。
晶面符号图解
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a
b
(100)
(110)
(210) (4-10)
(130)
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晶面间距的计算
一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下 列关系： 正交晶系：
d hkl

1 h k l a b c
2m
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3 次倒转轴S3 相当于旋转120后再对中心反 演而图形不变。 该图形显然具有一个对称中心 3 次倒转轴相当于一条 3 次旋 转轴加上一个对称中心
3 3i
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4 次倒转轴S4 相当于旋转90后再对中心反 演而图形不变。 这是一个独立的对称操作。 它既没有 4 次旋转轴也没有 对称中心，不能分解成其他 基本对称要素的组合。 注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
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6 次倒转轴S6
相当于旋转60后再对中心反 演而图形不变。
该图形显然具有一个对称面 6 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋 转轴加上一个对称面
6 3 m
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(5)旋转反映轴Lsn（映转轴） ● 概念：过晶体中心的一假想直线，晶体绕此直线旋转 一定角度，再对过中心且垂直此直线的平面反 映，可使晶体相等部分重复。 ● 对称操作为旋转＋反映的复合操作。 ● 轴次也只有Ls1、Ls2、Ls3、Ls4、Ls6。 ● 没有独立的对称要素，均可用其它要素表示： Ls1=P =Li2, Ls2=C =Li1, Ls3=L3 +P =Li6, Ls4 =Li4, Ls6 =L3+C =Li3。
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晶体中的宏观对称元素和对称操作：
对称中心 对称面 旋转轴 倒转轴 (象转轴)
倒反 (反演) 反映 旋转 旋转反演
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（1）对称中心 概念：晶体中心的一个假想定点，过此点任意直线的等 距离两端，可找到晶体的相同部分，用i表示。
[100] ⊥（100）
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立方晶系中的｛100｝、｛111｝晶面族
• 立方晶系中的｛100｝、｛111｝晶族
晶面族指数：用晶面族 中某个最简便的晶面指 数填在大括号{ } 。
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(5) 晶面间距 一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点越密
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Chapter 2-02 Structure of Materials
一、晶体结构参数 二、晶体的宏观对称性
Chapter 2 Structure and property of materials
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一、晶体结构参数 1.空间点阵、空间格子 等同点：化学性质及周围环境完全相同。 空间点阵（晶体点阵）:把晶体中的质点抽象出来，用直 线把质点的中心连接起来，形成一个空间网络. 结构基元：组成晶体的离子、原子或分子。基元内的原子 数等于晶体中原子的种类数。
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例3：
？
r=1/3, s=2/3, t=1
1/r=3, 1/s=3/2, 1/t=1
截距
截距倒数
(632)
6, 3, 2
晶面指数
互质整数
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关于晶面指数和晶向指数确定的几点说明：
(1) 右手坐标系 (2) 晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在 数字上方。 (3) 若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶面的位向与旧晶面的 一样；新晶 向与旧晶向或是同向(当n > 0)，或是反向(当n < 0 )。但是，晶面距和晶向长度一般都会改变，除非 n = 1。 (4) 在立方结构中若晶面指数和晶向指数的指数和符号相同，则 该晶向与晶面必定是互相垂直。 如：[111] ⊥（111） [110] ⊥（110）
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3. 晶向指数和晶面指数 (1) 晶向（crystallographic directions） ：
——点阵可在任何方向上分解为相互平行的直线组（晶
列），晶列所指方向就是晶向。
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(2) 晶面（crystallographic planes） ：
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对称性举例说明 （1） 吊扇中的叶片以中心线为对称轴，三个叶片之间可以围 绕这个对称轴每旋转120重复一次。
对称操作：绕对称轴旋转120度 对称要素：旋转轴
（2） 左右手
对称操作：镜子的反映 (注意这是一个虚拟操作) 对称要素：镜子构成的对称面
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如：简单立方的晶面间距：
d hkl
a0 h2 k 2 l 2
d110
a 2
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二、晶体结构的对称性
（1）对称性？ （2）晶体的宏观对称性？ （3）7大晶系？ （4）14种空间格子类型？