高中数学新教材必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》全套课件PPT

新课引入
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
新课引入
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
正方形和直角三角形
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
新课引入
D
a2 b2
2
4
当且仅当 x=y 时上式等号成立,于是当 x=y 时，xy 有最大值 s2 4
归纳总结
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
利用基本不等式求最值时，要注意
适用范围：a>0,b>0
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
典型例题
【例 1】 求函数 y＝x2＋x7＋x＋1 10(x>－1)的最小值．
AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
新课引入
4、右图是限速40km/h的路标，指
示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度v不超过40km/h ，写成
不等式是：___0__<__v_≤_ 40
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂 肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′
问：那么它们有相等的情况吗？
学习新知
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
解：因为 x>0,y>0，所以 x y xy 2
(1)当积 xy=P 为定值时， x y p 所以 x+y≥2 p
2
当且仅当 x=y 时上式等号成立,于是当 x=y 时，x+y 有最小值 2 p
(2) 当积 x+y=S 为定值时， xy S 所以 xy≤ s2
x
因此所求的最小值为 2
变式1：把 x 0 改为 x 0 成立吗？ 不成立
变式2：把 x 0 改为 x 2 成立吗？不成立
典型例题
均值不等式的运用
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
解: ∵ x＞-1, ∴x+1>x0.
∴ x+
1 x+1
=(x
+1)+
1 x+1
-1≥2
(x+1)∙
1 x+1
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 取最小值是 1.
提高练习
1. 若 0<x<
1 2
,
求
x(1-2x) 的最大值.
解:
∵0<x<
1 2
变式练习
1．求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值．
解：设 t＝ x＋2≥0，从而 x＝t2－2.
∴y＝2t2＋t 1(t≥0)．
当 t＝0 时，y＝0. 当 t>0 时，y＝2t＋1 1t ≤2
1
＝ 1
2 4.
2t·t
当且仅当 2t＝1t ，即 t＝ 22，x＝－32时，y
有最大值
ymax＝
2 4.
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负。
例题讲评
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时 满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
学习新知
填表比较：
a2 b2≥2ab
适用范围
a,b∈R
a b≥ ab 2
,
∴1-2x>0.
∴ x(1-2x)=12 ∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[ 2x+(21-2x)
]2
=
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即
x=
1 4
时,
取“=”号.
∴当 x
=
1 4
时,
函数
x(1-2x) 的最大值是
18.
2
已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值．
32 2
3.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y 的最小值是_1_8_.
高中数学新教材必修一第二章 《一元二次函数、方程和不等
式》
全套课件
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。
新课引入
现实世界和日常生活中，既有相等关系， 又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为 7℃，明天白天的最高温度为13℃；
7℃≤t≤13℃
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
分析：销售量减少了0.2n万本，单价为 (2.5+0.1n)元，则可得到销售的总以收入为不 低于20万元的不等式可表示为： (2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20
例题讲评 例2、某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm和600mm的两种规格。 按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能 超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述 所有不等关系的不等式呢？
不少于2.3%，用不等式可以表示为：( B,C )
A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B.f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
f 2.5% p 2.3%
新课引入
练习：用不等式表示下面的不等关系：
1、a与b的和是非负数；
a+b≥0
2、某公路立交桥对通过车辆的 高度h“限高4m”
H≤4
想一想,你还能举出哪 些相似的例子?
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
学习新知
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2
当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0 所以a2 b2≥2ab.
学习新知
典型例题 例2如图，用一段长为24m 的篱笆围一 个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？zxxk
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
①各项皆为正数； 一“正” ②和或积为定值； 二“定” ③注意等号成立的条件. 三“相等”
巩固练习
1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
并说明此时x,y的值当．x=6,y=4时wk.baidu.com最小值为48
2.已知x<0，求 x 2 的最大值. 2 2
3. 求x＞ -1时，x 1
x
的最小值.
学习新知
不等式的定义： 用不等号连接两个解析式所得的式子， 叫做不等式．
说明：1 不等号的种类：＞、＜、 、 、 ． 2 解析式是指：代数式和超越式
包括指数式、对数式和三角式等
3 不等式研究的范围是实数集R．
例题讲评 二、用不等式来解决生活中的不等关系问题：
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：∵x>－1，∴x＋1>0. ∴y＝x2＋x7＋x＋1 10＝x＋12＋x＋5x1＋1＋4
＝(x＋1)＋x＋4 1＋5≥2 x＋1x＋4 1＋5＝9.
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时，等号成 立．
∴当 x＝1 时，函数 y＝x2＋x7＋x＋ 1 10(x>－1)取 得最小值为 9.
方法点评：形如 f(x)＝axm2＋x＋bxn＋c(m≠0，a≠0) 或者 g(x)＝axm2＋x＋bxn＋c(m≠0，a≠0)的函数，可以把 mx＋n 看成一个整体，设 mx＋n＝t，那么 f(x)与 g(x) 都可以转化为关于 t 的函数．
即： a b≥2 ab
即： a b≥ ab (a 0,b 0)
2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
学习新知 证明不等式：a b≥ ab (a 0,b 0)
2
证明：要证 a b≥ ab
分 析
只要证 2 a b≥_2___a_b__
法
①
要证①，只要证 a b 2___a_b_≥0
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
学习新知
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？ 替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
500x 600y 4000
x3x0y
完成课本第39页第1题
y 0 x,y∈N
考虑到实际问题
的意义，还应有
x,y∈N
学习新知
不等式
a-b>0
<=> a > b
基本原 a - b = 0 <=> a = b
理 a - b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
归纳逻辑过程： 作差 变形 判断符号
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
“=”成立条件
a=b
a=b
注意从不同角度认识基本不等式
典型例题
均值不等式的运用
例１．已知x>0 ，求 x 1 的最小值和此时
x的取值．
x
解：因为 x>0，所以 x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当 x 1 ，即 x2 1, x 1 时等号成立
例题讲评 例3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
练习：
已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上题中,如果没有x 0这个条件, 那么两式的大小关系如何 ?
练习巩固
练习已知 a,b, m都是正数，且a<b,求证：a m a .
bm b
课堂小结
1. 重要不等式 (1)a,b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
2. 基本不等式
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
3. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
②
(a 0,b 0, a ( a)2,b ( b)2)
要证②，只要证 (__a_ __b_)2≥0
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
学习新知
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本 因此，销售总收入为： 0.1
(8 x 2.5 0.2)x万元 用不等式表示为：
0.1
(8 x 2.5 0.2)x 20
0.1
例题讲评
变式：如果设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N*)， 如何用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？你能计算出n在哪个范围内 变化吗?
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
新课引入
若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a ..学..科..网. b (a 0, b 0) 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.