5-5 定积分习题课
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高等数学 第五章 定积分 习题课
x
x
∴ ∵
∴
Q( x ) ≡ c , Q ( 0) = 0 ,
Q( x ) ≡ 0 . 证毕 .
d x f (t)(x −t)dt 0 d x∫ = f (x) (x − x) =0?
13
例 6 . 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且 f ( x ) > 0 ,
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + ∫
(1) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 ∫ f ( x ) dx = 0 ,
a
b
则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 0 .
( 2) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 f ( x ) ≡ 0 , /
则 ∫ f ( x ) dx > 0 .
由于 f ( x ) 连续 ,
2h
h
对于 ε = h , ∃δ > 0 , 当 x − c < δ 时 ,
f ( x ) − f (c ) < ε
b
c −δ
a
b
(
c
)
f (c ) − ε < f ( x ) < f (c ) + ε 成立 ,
即 h < f ( x ) < 3h .
∫a f ( x ) dx = ∫a
∫a f = ∫a f + ∫c f ∫a
b b c b b b
b
5 . 在[a , b]上
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0
⇒ ⇒
f ( x ) ≥ g( x ) ⇒
∫a f ≥ 0 b ∫a f ≤ 0 b b ∫a f ≥ ∫a g
5-定积分习题课
24
思考：若f ( x ) = x − ∫ sin xf ( x )dx, 且a ≠ −1, 为常数， lijuan
2 0
a
求： ∫ f ( x)dx
0
a
等式两边同乘 sin x
解： . 设A =
∫
a
0
sin xf ( x)dx
2
sin xf ( x) = x sin x − sin x ∫ sin xf ( x)dx
定积分 定积分
广义积分 广义积分
定定 积积 分分 的的 定定 积积 分分 的的 计计 算算 法法 计计 算算 法法
∫
牛顿 莱布尼茨公式 牛顿牛顿 牛顿莱布尼茨公式 b
a
f ( x )dx = F (b ) − F ( a )
2
x=b
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲边梯形由连续曲线
lijuan
f ( x )d x
性质4
∫
则
b a
1
⋅
d
上
x
=
，
∫
b a
d
lijuan
x
性质5 如果在区间
∫a
则
b
f ( x )d x ≥ 0
上
b a
推论： （1） 如果在区间
，
∫
b
f
(
x
) d
b
x ≤
（2）
∫a
f ( x )d x a < b) ≤ (∫ f ( x ) d a
a
8
[a , b]
性质6 设
及
o
π 4 0
= ∫ (cos x − sin x )dx + ∫ (sin x − cos x )dx
思考：若f ( x ) = x − ∫ sin xf ( x )dx, 且a ≠ −1, 为常数， lijuan
2 0
a
求： ∫ f ( x)dx
0
a
等式两边同乘 sin x
解： . 设A =
∫
a
0
sin xf ( x)dx
2
sin xf ( x) = x sin x − sin x ∫ sin xf ( x)dx
定积分 定积分
广义积分 广义积分
定定 积积 分分 的的 定定 积积 分分 的的 计计 算算 法法 计计 算算 法法
∫
牛顿 莱布尼茨公式 牛顿牛顿 牛顿莱布尼茨公式 b
a
f ( x )dx = F (b ) − F ( a )
2
x=b
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲边梯形由连续曲线
lijuan
f ( x )d x
性质4
∫
则
b a
1
⋅
d
上
x
=
，
∫
b a
d
lijuan
x
性质5 如果在区间
∫a
则
b
f ( x )d x ≥ 0
上
b a
推论： （1） 如果在区间
，
∫
b
f
(
x
) d
b
x ≤
（2）
∫a
f ( x )d x a < b) ≤ (∫ f ( x ) d a
a
8
[a , b]
性质6 设
及
o
π 4 0
= ∫ (cos x − sin x )dx + ∫ (sin x − cos x )dx
定积分习题课(带部分解答)
例17
计算 4 ln(1tanx)dx 0
例18
计算 2 0
ln sin
xdx
例19
计算
4
4
sin2 x 1 ex
dx
补7 补8
计算
2
2
e x sin4 1 ex
x
dx
计算 2
f(sint) dt
0 f(sint)f(cost)
例17
设 x t, 则 t x, dt dx ,
2
2
f (sin( x))
I
0 2
f (sin(
2 x)) f (cos(
x))
dx
2
2
2
f (cos x)
dx
0 f (cos x) f (sin x)
则: 2I 2
f (sinx)
dx 2
f (cosx)
dx
0 f (sinx) f (cosx) 0 f (cosx) f (sinx)
a
c
f (x)dx
a
b
f ( x)dx lim
c
tc
t
f (x)dx lim
a
tc
b
f (x)dx
t
b dx
a ( x a )q
当 q<1 时收敛 ; q≥1时发散.
定积分习题课
一、内容小结 二、题型练习
定积分习题课
一、内容小结 二、题型练习
二、题型练习
（一）定积分定义 （二）定积分计算
例20 计算 d b sin x2dx d b sin x2dx d b sin x2dx
dx a
db a
da a
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
《高等数学教程》第五章 定积分 习题参考答案-推荐下载
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
《定积分经典习题》课件
《定积分经典习题》PPT 课件
这个PPT课件将带您深入学习定积分的经典习题。我们将探讨定积分的定义、 基本性质以及各种应用，帮助您更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
定积分的定义和基本性质
定义
了解定积分的含义和定义。
计算
掌握理。
应用
了解定积分在实际问题中的应用场景。
利用定积分求曲线下面的面积
几何意义
了解如何利用定积分求曲线下面的面积。
曲线之间的面积
掌握如何计算两条曲线之间的面积。
极坐标系下的面积
了解如何在极坐标系中计算曲线下面的面积。
利用定积分求旋转体的体积
1
旋转体的计算原理
了解如何利用定积分求旋转体的体积。
2
绕x轴旋转
掌握绕x轴旋转时的体积计算方法。
3
绕y轴旋转
掌握绕y轴旋转时的体积计算方法。
利用定积分求平面图形的重心
平面图形的重心定义
了解平面图形重心的定义和计算方法。
三角形的重心
掌握三角形重心的计算方法。
矩形的重心
掌握矩形重心的计算方法。
圆形的重心
了解圆形重心的计算方法。
利用定积分求圆的面积和体积
1
圆的面积
了解如何利用定积分优雅地计算圆的面积。
2
球的体积
利用定积分求曲线的弧度
1 弧度定义
了解曲线的弧度的定义。
2 计算方法
掌握如何利用定积分计算曲线的弧度。
3 常用曲线的弧度
牛顿摆线、双曲线等常用曲线的弧度计算方法。
掌握如何利用定积分计算球的体积。
利用定积分求曲线的长度
弧长的定义
了解曲线的弧长的定义。
计算方法
掌握如何利用定积分计算曲线的长度。
这个PPT课件将带您深入学习定积分的经典习题。我们将探讨定积分的定义、 基本性质以及各种应用，帮助您更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
定积分的定义和基本性质
定义
了解定积分的含义和定义。
计算
掌握理。
应用
了解定积分在实际问题中的应用场景。
利用定积分求曲线下面的面积
几何意义
了解如何利用定积分求曲线下面的面积。
曲线之间的面积
掌握如何计算两条曲线之间的面积。
极坐标系下的面积
了解如何在极坐标系中计算曲线下面的面积。
利用定积分求旋转体的体积
1
旋转体的计算原理
了解如何利用定积分求旋转体的体积。
2
绕x轴旋转
掌握绕x轴旋转时的体积计算方法。
3
绕y轴旋转
掌握绕y轴旋转时的体积计算方法。
利用定积分求平面图形的重心
平面图形的重心定义
了解平面图形重心的定义和计算方法。
三角形的重心
掌握三角形重心的计算方法。
矩形的重心
掌握矩形重心的计算方法。
圆形的重心
了解圆形重心的计算方法。
利用定积分求圆的面积和体积
1
圆的面积
了解如何利用定积分优雅地计算圆的面积。
2
球的体积
利用定积分求曲线的弧度
1 弧度定义
了解曲线的弧度的定义。
2 计算方法
掌握如何利用定积分计算曲线的弧度。
3 常用曲线的弧度
牛顿摆线、双曲线等常用曲线的弧度计算方法。
掌握如何利用定积分计算球的体积。
利用定积分求曲线的长度
弧长的定义
了解曲线的弧长的定义。
计算方法
掌握如何利用定积分计算曲线的长度。
高等数学定积分习题课
19
例8
设 f ( x2)连续, f (0) 0, f (0) 0
x
求
lim x 0
解 I lim
x 0 x
f (t )dt 0
x 0
2
x 2 f ( t )dt
2 xf ( x ) lim
x 0
2 f (x ) 2 f ( t )dt xf ( x )
0 x
a
x
a
a
a
F ( x )单调减
F (b) F ( x ) F (a ) 0
b b 2 即 f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g 2 ( x )dx a a a b
18
2
定积分不等式的证明方法——辅助函数法 ①将一个积分限换成变量，移项使一端为 0 另一端即为所求作的辅助函数 F ( x ) ② 求 F ( x ) 判定单调性，与端点的值进行 比较即得证
b
m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
积分中值定理
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续， 则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ，
使 f ( x )dx f ( )(b a )
a b
(a b)
积分中值公式
b
f ( x ) g( x )dx 0 a
可取[a ,b]内任一点
b
若 g( x )dx 0, 则 g ( x )dx 0
a a
a
b
b
a
m
f ( x ) g( x )dx a g( x )dx a
(完整版)定积分典型例题精讲
从而
= ．证毕．
证法2由于 单调增加，有 ，从而
．
即
= = ．
故
．
例18计算 ．
分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
解 ＝ ＝ ＝ ．
注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数 在 处间断且在被积区间内无界.
,
故
．
例32计算 ．
分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
解
． （1）
令 ，则
．（2）
将（2）式代入（1）式中得
．
例33设 在 上具有二阶连续导数， 且 ，求 ．
分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．
解由于
．
故 ．
例34（97研）设函数 连续，
，且 （ 为常数），
．
于是可得
．
又由于
．
因此
= ．
例8设函数 在 上连续，在 内可导，且 ．证明在 内存在一点 ，使 ．
分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件 即可．
证明由题设 在 上连续，由积分中值定理，可得
，
其中 ．于是由罗尔定理，存在 ，使得 ．证毕．
例9（1）若 ，则 =___；（2）若 ，求 =___．
图5－2
= = = ， = ，于是
= = ．
例43求心形线 与圆 所围公共部分的面积．
分析心形线 与圆 的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．
解求得心形线 与圆 的交点为 = ，由图形的对称性得心形线 与圆 所围公共部分的面积为
= ．证毕．
证法2由于 单调增加，有 ，从而
．
即
= = ．
故
．
例18计算 ．
分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
解 ＝ ＝ ＝ ．
注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数 在 处间断且在被积区间内无界.
,
故
．
例32计算 ．
分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
解
． （1）
令 ，则
．（2）
将（2）式代入（1）式中得
．
例33设 在 上具有二阶连续导数， 且 ，求 ．
分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．
解由于
．
故 ．
例34（97研）设函数 连续，
，且 （ 为常数），
．
于是可得
．
又由于
．
因此
= ．
例8设函数 在 上连续，在 内可导，且 ．证明在 内存在一点 ，使 ．
分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件 即可．
证明由题设 在 上连续，由积分中值定理，可得
，
其中 ．于是由罗尔定理，存在 ，使得 ．证毕．
例9（1）若 ，则 =___；（2）若 ，求 =___．
图5－2
= = = ， = ，于是
= = ．
例43求心形线 与圆 所围公共部分的面积．
分析心形线 与圆 的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．
解求得心形线 与圆 的交点为 = ，由图形的对称性得心形线 与圆 所围公共部分的面积为
定积分(辅导班、习题课)
例 32.（07.4）设函数 f(x)具有连续的一阶导 数, 且满足
f ( x) x ( x 2 t 2 ) f (t)dt x 2 0
求 f(x)的表达公式.
15
例
33.（07.2）设
f(x)是区间[0,
4
] 上的单调、
可导函数，且满足
f (x) f 1(t)dt x t cos t sin tdt
1内至少
2
一点 ζ ，使 f (ζ ) f (ζ ) .
10
例 21.
求函数
f
(x)
x2
0
(2
t )e t dt
的最大值和最
小值。(95.3)
x t2
例 22. 已知函数 f ( x) 0 e 2 dt, x ，
求 f (x) ，并讨论 f ( x) 的单调性，奇偶性及函
数图形的凹凸性，并求 f (x) 的图形的拐点和 水平渐近线。（88.4.5）
得
7.积分中值问题
解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。
23
例 41. 设在[a, b]上 f (x)连续.且满足
f (a) f ( x) f (b).证明:c [a, b]使
ab f ( x)dx f (a)(c a) f (b)(b c)
证：令 F( x) f (a)(x a) f (b)(b x)
解法思路:
一． 变量代换公式和分部积分公式 本身就是高度普遍性的积分等 式，亦可用来推出其它积分等 式；
二． 视为变限积分函数问题，转化 为导数的应用问题。
三． 用中值定理
17
例 34.设 f ( x) 处处连续，证明：
a x3 f ( x2 )dx 1
高等数学5-习题课
性质4
b
b
1 dx dx b a
a
a
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
f ( x)dx 0
a
(a b)
推论：（1） 如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x)，
则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
(a b)
（2）
b
b
f ( x)dx f ( x)dx
(1)无穷限的广义积分
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
b a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
(2)无界函数的广义积分
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
x轴与两条直线x a 、x b所围成.
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是时
间间隔[T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程 S.
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
的量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相
应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之
和；
5-5定积分的应用
y g(x)
a
bx
S
a y g(x) b x
3、由曲线 x ( y)及直线 y c, y d 以及y轴所围成的平面图形
的面积为 y
d
S c ( y)dy
y d
A4
d
S c
x (y) x
A3
x (y)
A2
x
d
A1
S c ( y)dy
c
4、设函数( y)、 ( y) 在[c,d]上连续，且满足( y) ( y)
若 lim f (x) 即a为瑕点，则
b
b
f (x)dx lim
f (x)dx ；
xa
a
0 a
若 lim f (x) 即b为瑕点，则
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
xb
a
0 a
b
c
b
若[a,b]内有一个瑕点c，则 a
f (x)dx
a
f (x)dx
c
f (x)dx
上次课复习
1、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
b
f (x)dx lim f (x)dx ;
a
b a
b f (x)dx lim
Байду номын сангаас
b f (x)dx ；
a a
f (x)dx
c
f (x)dx f (x)dx
c
lim
c f (x)dx lim
b
f (x)dx
a a
b c
2、瑕积分 ——无界函数的广义积分
图形由上下两条曲线以及左右 两条直线围成，上减下，（积 分限由左右两条直线确定，且 都可以缩成一个点），且是关 于x的函数相减。
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x 例10 计算 sin4 2 dx
例11 计算
1
0 1
2 x x dx
2
补6 计算 x 2ax x 2 dx
0
2a
例12 计算 (1 x )50 xdx
0
1
0
x (1 x ) xdx x n (1 x )m xdx
m n 0
1
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
例13 计算 max{ x , x 2 }dx
一、内容小结 （一）定积分概念
（二）定积分性质
（三）定积分计算 （四）反常积分
一、内容小结 （一）定积分概念
（二）定积分性质
（三）定积分计算 （四）反常积分
牛-莱公式
a
b
a
f ( x )dx F ( x )a F (b) F (a )
b
换元积分法
b
f ( x )dx f ( ( t ))dt
f (2) 5
求 xf (2 x )dx
0
1
无穷限的反常积分
t t
lim
0
f ( x ) dx lim
t
t 0
f ( x ) dx
当 p >1 时收敛 ; p≤1时发散. 无界函数的反常积分
c a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx lim f ( x )dx lim t
1
2 x 2 x cos x 1 1 x
2
dx
例6 计算 2 cos x 1 cos 2 xdx
2
例7 计算 cos xdx 0
n
2
例8 计算 sin4 xdx 0
2
补4 计算 0
N
1 sin 2 xdx
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
c
b
t
b
tc
a
tc
当 q<1 时收敛 ; q≥1时发散.
定积分习题课
一、内容小结
二、题型练习
定积分习题课
一、内容小结
二、题型练习
二、题型练习
（一）定积分定义
（二）定积分计算
二、题型练习
（一）定积分定义
（二）定积分计算
用极限求定积分 用定积分求极限
b
a
xdx
n
1
0
e x dx
思路
补11 设 f ( x ) 1
x
x
sin t dt t 1 dx 4 1 t
求 f ( x )dx
0
求 x 2 f (x )dx
0
1
(2) 证明题
a a 2 dx a 2 dx 例25 证明 f ( x 2 ) f ( x ) (a 0) 1 1 x x x x 1 x 1 f (1 t ) 证明 例26 0 ln f ( x t )dt 0 ln f (t ) dt 0 ln f (t )dt a 2
2 sin x 例19 计算 4 dx x 1 e 4 x 4 e sin x 补7 计算 2 dx x 2 1 e f (sin t ) 2 dt 补8 计算 0 f (sin t ) f (cos t )
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
a
b
f ( x )dx g( x )dx (a b)
a
b
估值定理 m f ( x ) M (a x b) 积分中值定理
f ( x ) C [a , b]
m(b a ) f ( x )dx M (b a ) (a b)
a
b
b
a
f ( x )dx f ( )(b a ) (a b)
变量不必回代 特点: 换元必换限 注意积分限 不换元不换限
分部积分法
b
a
udv uv a vdu
b b a
特点: 边积边代限
一、内容小结 （一）定积分概念
（二）定积分性质
（三）定积分计算 （四）反常积分
一、内容小结 （一）定积分概念
（二）定积分性质
（三）定积分计算 （四）反常积分
b a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
lim xn
n
关键 积分限的确定 被积函数的确定 1 n 1 n i 求 lim 2 in 1 例1 求 lim 例 2 n 0 n n 0 n n i 1 i 1 k 补1 例3 求 lim
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
6．杂题
(1) 被积函数为积分上限函数的积分
例24 设 f ( x ) 0
可加性
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
不等式
f ( x ) 0 (a x b) f ( x ) g( x ) (a x b)
b
a
f ( x )dx 0 (a b)
b a
b
a
f ( x )dx f ( x ) dx (a b)
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
例17 计算 4 ln(1 tan x )dx
0
例18 计算 2 ln sin xdx 0
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
定积分的简化计算 利用几何意义 利用奇偶函数在对称区间上的积分 利用周期函数在长度为周期的整数倍的区间上的积分 例4 计算 1 sin x 1 x 2 dx 例5 计算 1 补3 计算 x 3 x dx
1 2
1
n 0 i 1 n
en n ne
2k n
1n 求 lim ( n 1)( n 2)(2n) n 0 n
n! 补2 求 lim ln n 0 n
n
二、题型练习
（一）定积分定义
（二）定积分计算
二、题型练习
（一）定积分定义
（二）定积分计算
方法 牛-莱公式 换元积分法 分部积分法 特点
一、内容小结 （一）定积分概念
（二）定积分性质
（三）定积分计算 （四）反常积分
一、内容小结 （一）定积分概念
（二）定积分性质
（三）定积分计算 （四）反常积分
线 性 b b b [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
a a a
积分限 数 分类
普通函数 分段函回代
区间特点
一个区间 多个区间 对称区间 无穷区间
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
变速直线运动的路程
积零为整
n
b a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
定积分是一个数! 区间分法 被积函数 与 ξi的取法 无关 有关， 定积分仅与 积分区间 积分变量记法 几何意义 与x轴所围图形面积的代数和 存在条件 闭区间上的连续函数 闭区间上的有界函数，且只有有限个间断点
第五讲 定积分习题课
定积分习题课
一、内容小结
二、题型练习
定积分习题课
一、内容小结
二、题型练习
一、内容小结 （一）定积分概念
（二）定积分性质
（三）定积分计算 （四）反常积分
一、内容小结 （一）定积分概念
（二）定积分性质
（三）定积分计算 （四）反常积分
背景 思想 定义 注意
曲边梯形的面积 化整为零
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
(二) 定积分的计算
1．简化计算
2．用换元法计算
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分
5．积分上限函数 6．杂题
d b d b d b 2 2 2 sin x dx sin x d x 例20 计算 sin x dx a da db a dx a x 3 dt 例21 计算 2 4 x 1+t
3．分段函数的定积分
4．某些不易求原函数的定积分