二项式定理与二项式系数的性质应用
二项式定理应用常见类型及其解题方法
二项式定理应用常见类型及其解题方法一、知识点回顾： 1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意准确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，按降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，按升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意准确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数，包含符号）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理及二项式系数的性质应用习题课
(2)求(1+x)10的展开式中,系数最大的项;
(3)求(1-2x)7的展开式中,系数最大的项;
小
1.二项式定理:
2.二项展开式的通项: 3.二项定理的应用: (1)通项的应用; (2)系数的相关计算;
结
(3)利用展开式证明相关问题;
0 99 100
（C 7 C ） 1 7
余数是1， 所以是星期六
探究：
例2、若将
8
100 除以9，则得到的余数是多少？
100
C 9
8
100
0 100 100
1） （9
C 9 C 9
1 99 100
99 1 100 100 0 100
m 100 m 100
(5)求 | a1 | | a2
| | a3 | | a100 |
典型例题
2.求和:
S 3C 7C 11C (4n 3)C
0 n 1 n 2 n
n n
4.求和:
S 1 C
2 100
C
4 100
C
6 100
C
100 100
拓展延伸
1 1 2 1.如果 9n1 C1 1 9n C2 1 9n Cn 1 9 Cn 1 9 n n n n
求 a0+ a2+a4+a6的值
典型例题
1.设 (2 (1)求a0; (2)求 a1 (3)求 a1
3x)
100
a0 a1 x a2 x a100 x
2
100
a2 a3 a100
;
a3 a5 a99 ; 2 2 (4)求 (a0 a2 a4 a100 ) (a1 a3 a5 a99 )
二项式定理及其应用
赋值法求解.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37
②
(1)∵a0=
C
0 7
=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7=
1 37 2
=-1 094.
(3)(①+②)÷2,得
点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集 项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性 和简捷性. 3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数 及项数的整数性.
4.性质1是组合数公式Crn Cnnr 的再现，性质2是从 函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是 利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的 和.
基础自测
1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则
它的第三项的二项式系数为
A.24
B.18 C.16
（ D） D.6
解析 T2= C1n an1(2b)1 C1n 2an1b,
所以2n=8，n=4,所以
C
2 n
=
C
2 4
=6.
2.（2009·浙江理，4）在二项式 (x2 1的)5展开式中， x
1
2
∴8 2n·（n2n-=11）+，81 n（n-1），
解得n=8或n=1（不合题意，舍去），
Tk1
C8k
x
8k 2
高中数学复习 二项式系数的性质及二项式定理的应用
所有奇数次项的系数和为
10.求 的展开式的：（1）各项的系数和 （2）各项的二项式系数和 （3）偶数项的系数和 （4）各项系数的绝对值之和 （5）奇数项的系数之和
11.求证 能被64整除，其中ｎ为非负整数
12设 为等差数列， 为前ｎ＋１项的和
求证：
4 8 9 16
2.设 ，则 等于（ ）
3.如果 的展开式中， 的系数是56，则 实数值是
4.设 为奇数，则 被9除所得的余数是（ ）
7 6 2 0
5.已知 ，则 等于（ ）
1 －243 242 243
6在 的展开式中 的系数是（ ）
160 240 360 800
7.问 （ｎ是偶数）除以3的余数是
8.把 展开式中含 的系数是姓名源自班级学号时间
课题
二项式系数的性质及二项式定理的应用
设计
一、方法点拨：（1）会应用二项式系数的性质求多项式的系数和一些组合数的和．
（2）能区分二项式系数和项的系数的区别
（3）会用二项式定理求近似值，证明整除问题和不等式．
二知能达标：
1.若 的展开式的二项式系数和等于 展开式的二项式系数和的2倍，则 的值为 （ ）
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
高中数学第3章排列组合与二项式定理3.3二项式定理与杨辉三角第2课时二项式系数的性质杨辉三角及二项式
数最大的项．
[跟踪训练3] 已知二项式12＋2xn 的展开式中前三项的二项式系数和
解
(2)证明：(C0n)2＋(Cn1)2＋…＋(Cnn)2＝
n！ n！n！ ；
[解] (2)证明：∵ n！nn！！＝Cn2n，
n！ ∴要证(Cn0)2＋(C1n)2＋…＋(Cnn)2＝ n！n！ ，
即证(Cn0)2＋(Cn1)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.
构造等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，则 C2nn表示二项式(1＋x)2n 展开式中 xn 的系数．
[解] (3)从第二行到第五行，每一行数字组成的数(如第三行为 121)都 是上一行的数与 11 的积．
解
(4)由此你可以写出 115＝________； [解] (4)115＝161051.
解
(5)由第________行可写出 118＝________. [ 解 ] (5) ∵ 118 ＝ (10 ＋ 1)8 ＝ 108 ＋ 8×107×1 ＋ 28×106×12 ＋ 56×105×13 ＋ 70×104×14 ＋ 56×103×15 ＋28×102×16 ＋ 8×10×17 ＋ 18 ＝214358881， ∴由第 9 行可写出 118＝214358881.
又(1＋x)n(1＋x)n＝(C0n＋C1nx＋…＋Cnnxn)(C0n＋Cn1x＋…＋Cnnxn)，
解
得各项系数绝对值之和．
[跟踪训练1] 设(2－ 3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列
高中数学 第7章 计数原理 7.4 二项式定理讲义(含解析)湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数
第一课时 二项式定理及应用[读教材·填要点]1．杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和．2．二项式定理对于正整数n ，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n.3．二项展开式的通项公式 我们称C r n an －r b r是二项展开式的第r ＋1项，其中C r n 称作第r ＋1项的二项式系数．把T r＋1＝C r n an －r b r(其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)叫做二项展开式的通项公式．[小问题·大思维]1．二项展开式中的字母a ，b 能交换位置吗？提示：二项展开式中的字母a ，b 是不能交换的，即虽然(a ＋b )n 与(b ＋a )n结果相同，但(a ＋b )n 与(b ＋a )n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(a ＋b )3的展开式中第2项是3a 2b ，而(b ＋a )3的展开式中第2项是3ab 2，两者是不同的．2．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．二项式定理的应用[例1] (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋x 4的展开式；(2)化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2[]C 043x4＋C 143x3＋C 243x2＋C 343x1＋C 443x＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.(1)记准、记熟二项式(a ＋b )n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷．(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数．1．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25的展开式； (2)化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 解：(1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25 ＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x2＋C 25(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 24－C 55·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x10.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x22x 3－15＝－1x10(1－2x 3)5＝－1x10[1－C 15(2x 3)＋C 25(2x 3)2－C 35(2x 3)3＋C 45(2x 3)4－C 55(2x 3)5]＝－1x10＋10x 7－40x 4＋80x－80x2＋32x 5.(2)原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝(2x ＋1－1)5＝(2x )5＝32x 5.二项式系数与项的系数问题[例2] (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．[解] (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝26－r C r6·(－1)r·x3－3r 2，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， 令9－2r ＝3，得r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．解：由通项T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·26－r·x 3－32r ， 知第四项的二项式系数为C 36＝20， 第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160.求某项的二项式系数或展开式中含x r的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．2．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n 的值；(2)求展开式中x 2的系数．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n －2r 3 .又第6项为常数项， 所以当r ＝5时，n －2r3＝0，即n ＝2r ＝10.(2)由(1)，得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 10x 10－2r3 ，令10－2r3＝2，得r ＝2， 所以展开式中x 2的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.与展开式中的特定项有关的问题[例3] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54C ．－1516D.1516(2)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1D ．2[解析] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x12－3r， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.(2)依题意，注意到⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2.[答案] (1)D (2)D求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．3．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n 的值；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项为T r ＋1＝C r n x n －r 3 (－3)r x －r 3＝C r n (－3)r x n －2r3 .因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r3＝2，得r ＝12(n －6)＝2.所以所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)根据通项，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N ，所以r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2， 即405x 2，－61 236,295 245x －2.解题高手妙解题30122330123[尝试][巧思] 因为展开式为x ＋2的多项式，因此可考虑将2x ＋3变形为2x ＋3＝2(x ＋2)－1，然后利用二项式定理展开即可．[妙解] 由(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝C 03[2(x ＋2)]3(－1)0＋C 13[2(x ＋2)]2(－1)1＋C 23[2(x ＋2)]1(－1)2＋C 33[2(x ＋2)]0(－1)3＝8(x ＋2)3－12(x ＋2)2＋6(x ＋2)－1 ＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3. 则a 0＝－1，a 1＝6，a 2＝－12，a 3＝8. 则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝5.1．(2x －1)5的展开式中第3项的系数为( ) A ．－20 2 B ．20 C ．－20D ．20 2解析：选D ∵T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r，∴T 2＋1＝C 25(2x )3(－1)2＝(2)3C 25x 3＝202x 3， ∴第3项的系数为20 2.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．(－1)nD ．3n解析：选C 逆用公式，将1看作公式中的a ，－2看作公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9展开式中的第四项是( ) A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4解析：选B 由通项公式有T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3＝84x 3.4.⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 9的展开式中，常数项为________．解析：T r ＋1＝C r 9(2x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·29－r ·C r9·x 9－32r ，令9－32r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 69×23＝672. 答案：6725．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10x 10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.答案：126．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．解：由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·－24C 2n ·－22＝101， 解得n ＝8(n ＝－3舍去)． 所以通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 8(－2)r ·x 8－5r2 .令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x32的项为T 2＝－16x32.一、选择题1．(x －2)10展开式中x 6的系数是( ) A ．－8C 410 B ．8C 410 C ．－4C 410D ．4C 410解析：选D T r ＋1＝C r 10x 10－r(－2)r，令10－r ＝6，∴r ＝4，T 5＝(－2)4C 410x 6＝4C 410x 6，系数为4C 410.2．若(1－2x )5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－110 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－110，0C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，110D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0解析：选B T 1＝C 05＝1，T 2＝C 15·(－2x )＝－10x ，T 3＝C 25·(－2x )2＝40x 2.根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧T 2<T 1，T 2≥T 3，即⎩⎪⎨⎪⎧－10x <1，－10x ≥40x 2，解得－110＜x ≤0.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 由通项公式T r ＋1＝C rn (x 2)n －r(－1)r x －r＝(－1)r C r n x2n －3r.令2n －3r ＝0，得(－1)r C rn ＝15，由r ＝23n ，r ∈N ＋，排除选项B 、C ，再将选项B 、D 代入验证n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154C ．－38D.38解析：选C 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r (－2)r，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.二、填空题5.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的一共有________项．解析：因为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r x5－32r ，由5－32r ∈N ＋知r ＝0或r ＝2，所以展开式中含x 的正整数指数幂的一共有2项．答案：26．若(1＋2)4＝a ＋b 2，则a －b ＝________.解析：∵(1＋2)4＝C 04(2)0＋C 14(2)1＋C 24(2)2＋C 34(2)3＋C 44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a ＋b 2，∴a ＝17，b ＝12，故a －b ＝17－12＝5. 答案：57.⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________________(用数字作答)．解析：∵T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x30－7r2 (r ＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r2＝8，得r ＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52.答案：528．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中，T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，T 4＝C 36(－1)3＝－C 36，令6－2r ＝－1，得r ＝72(舍去)，令6－2r ＝－2，得r ＝4，T 5＝C 46(－1)4x －2，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－C 36)＋C 46＝－20＋15＝－5.答案：－5 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n x n －202 ， T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102 由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T r ＋1＝C r 10(x )10－r 2r x －2r ＝2r C r 10x 10－5r2 ， 令5－5r2＝0，解得r ＝2，∴展开式中常数项为C 21022＝180.10．已知(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值；(2)写出它展开式中的所有有理项．解：(1)(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C 8n ，C 9n ，C 10n .依题意得n ！8！n －8！＋n ！10！n －10！＝2·n ！9！n －9！，化简得90＋(n －9)(n －8)＝20(n －8)， 即n 2－37n ＋322＝0， 解得n ＝14或n ＝23， 因为n <15，所以n ＝14. (2)展开式的通项T r ＋1＝C r 14x 14－r 2 ·x r 3 ＝C r 14·x 42－r6 ， 展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数， 0≤r ≤14，所以展开式中的有理项共3项是：r ＝0，T 1＝C 014x 7＝x 7； r ＝6，T 7＝C 614x 6＝3 003x 6； r ＝12，T 13＝C 1214x 5＝91x 5.第二课时 二项式系数的性质及应用[读教材·填要点]二项式系数的有关性质 (1)二项展开式一共有n ＋1项．(2)第一个字母a 按降幂排列，第二个字母b 按升幂排列． (3)a 的幂加b 的幂等于n .(4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn . (5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数C -12n n ，C +12n n 相等，且同时取得最大值．(6)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝1得到． (7)C 0n －C 1n ＋C 2n ＋…＋(－1)n C nn ＝0，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝－1得到．[小问题·大思维]1．若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n ＝8.2．(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的取值有关系吗？提示：(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的值无关，其和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n.求展开式的系数和[例1] 若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解] (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.(4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n, (ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设f (x )＝(x 2＋x －1)9(2x ＋1)6，试求f (x )的展开式中： (1)所有项的系数和；(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 解：(1)所有项的系数和为f (1)＝36＝729. (2)所有偶次项的系数和为f 1＋f －12＝36＋－12＝364，所有奇次项的系数和为f 1－f －12＝36＋12＝365.求展开式中系数或二项式系数最大的项[例2] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 28的展开式中，(1)系数绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项． [解]T r ＋1＝C r8·(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝(－1)r ·C r 8·2r·x4－5r 2.(1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .⇒5≤r ≤6，又∵r ∈N ＋， ∴r ＝5或r ＝6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝C 48·24·x4－202＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，而7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为T 6＝－C 58·25x－172＝－1 792x－172.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的X 围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．已知⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 2n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n， ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x23)2(3x 2)3＝270x223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k5(x23)5－k(3x 2)k ＝3k C k5x10＋4k3，得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x23)(3x 2)4＝405x263.解题高手妙解题如果C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，求(1＋x )2n的展开式中系数最大的项．[尝试][巧思] 由于2n 是偶数，且(1＋x )2n展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最大的项应为第n ＋1项，因此只需确定n 的值即可．等式可变形为(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)·C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C n n ＝31，而(n ＋1)C 0n ＝C 1n ＋1，12(n ＋1)C 1n ＝C 2n ＋1，13(n ＋1)C 2n ＝C 3n ＋1，….故利用二项式系数的性质即可解决．[妙解] 由C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，得(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C nn ＝31，∴C 1n ＋1＋C 2n ＋1＋C 3n ＋1＋…＋C n n ＋1＋C n ＋1n ＋1＝31， 即2n ＋1－1＝31，∴2n ＋1＝32，∴n ＋1＝5，即n ＝4.1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析：选C 该式展开共2n ＋2项，中间有两项；第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．2．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B 由2n＝64，得n ＝6， ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r (0≤r ≤6，r ∈N ＋)． 由6－2r ＝0，得r ＝3，∴T 4＝C 36＝20. 3．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2 018(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，得a 0x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.4．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.答案：55．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得 310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.答案：1－31026．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知，C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n n －12＝121，解之得n ＝15或n ＝－16(舍去)．∴(1＋3x )15的展开式中二项式系数的最大项为第8项和第9项，且T 8＝C 715(3x )7，T 9＝C 815(3x )8.一、选择题1．已知(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|等于( ) A．29B．49C．39D．1解析：选B x的奇数次方的系数都是负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9.∴已知条件中只需赋值x＝－1即可．2．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．29B．210C．211D．212解析：选A 由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.4．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C m2m＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C m2m＋1＝C m＋12m＋1＝b，因此13C m2m ＝7C m2m＋1，所以13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！，所以m ＝6. 二、填空题5．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7等于________．解析：令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25，∴－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25－1＝31. ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝－31. 答案：－316．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．解析：二项式(1－x )20的展开式的通项是T r ＋1＝C r 20·120－r ·(－x )r ＝C r 20·(－1)r·x 12r .因此，(1－x )20的展开式中，x 的系数与x 9的系数之差等于C 220·(－1)2－C 1820·(－1)18＝C 220－C 220＝0.答案：07．若对任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为________． 解析：设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，原等式可化为(t ＋2)3＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3，所以a 2＝C 13·2＝6.答案：68．在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2项的系数是________．(用数字作答)解析：由题意知C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 34＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 35＋C 25＋C 26 ＝C 36＋C 26＝C 37 ＝7×6×53×2×1＝35.答案：35三、解答题9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解：(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，(*)∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝2－3100－2＋31002.(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r＋1＝(－1)r C r1002100－r(3)r x r，∴a2r－1<0(r∈N＋)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.10．已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n. 又展开式二项式系数和为C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n，由题意有4n－2n＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32. 所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53rx10＋4r3，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92. 又因为r ∈N ＋，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。
高中数学中的二项式定理及其应用
高中数学中的二项式定理及其应用在高中数学中，二项式定理是不可避免的一个重要话题。
二项式定理是指将一个二元式(a+b)的n次幂展开后，各项的系数满足一定规律。
这个定理的重要性不仅在于它本身的理论意义，更在于它的广泛应用。
本文将从二项式定理的基本概念开始，探讨它的应用。
一、二项式定理首先，我们来看一下二项式定理的公式：(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿb⁰ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ + … + C(n,r)aⁿ⁻ʳbr + … +C(n,n)a⁰bⁿ其中，C(n,r)是组合数，它表示从n个元素中取r个元素的方案数，也可以用以下公式表示：C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)例如，C(4,2) = 4!/(2!2!) = 6，表示从{1,2,3,4}这4个元素中取出2个元素的所有方案数为6个。
二项式定理告诉我们，将二元式(a+b)的n次幂展开后，每一项的系数都可以用组合数来表示。
这个规律具有很强的普适性，不论a、b是什么数，n是什么值，都能套用这个定理。
二、二项式系数的性质在实际应用中，二项式系数的性质也是我们需要掌握的。
这里列举几个常见的性质：1.对称性：C(n,r) = C(n,n-r)即从n个元素中取出r个元素的方案数等于从n个元素中取出n-r个元素的方案数。
这个性质的证明比较简单，可以通过对组合公式的变形来完成。
2.递推关系：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)即从n个元素中取出r个元素的方案数等于从n-1个元素中取出r-1个元素的方案数加上从n-1个元素中取出r个元素的方案数。
这个递推关系非常有用，可以应用于组合恒等式的证明，也可以结合递归算法来解决一些实际问题。
3.二项式系数的对数性质：∑C(n,r) = 2ⁿ即二项式系数C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n)的和等于2的n次幂。
这个性质的证明也比较简单，可以利用二项式定理将(a+b)ⁿ展开来证明。
二项式系数是什么
直接计算法及其应用
二项式系数的直接计算法
• 对于较小的二项式系数，可以直接计算
• 例如：C(5, 3) = 5! / (3!2!) = 10
二项式系数的直接计算法在求解组合数问题中的应用
• 可以利用直接计算法求解组合数的问题
• 例如：C(10, 5) = 10! / (5!5!) = 252
代数法在二项式系数计算中的应用
• 可以通过二项式定理研究组合数学的其他问题
• 例如：二项式定理与排列组合、二项式定理与概率论等
03
二项式系数的性质与定理
二项式系数的性质及其证明
二项式系数的对称性
• C(n, k) = C(n, n-k)
• 可以通过数学归纳法进行证明
二项式系数的加法公式
• C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
• 描述了从n个不同元素中选取k个元素的组合数
二项式系数的定义与组合数的关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
• 组合数的计算可以通过二项式系数进行递归求解
二项式系数的表示方法
二项式系数的组合数表示法
• C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 其中n!表示n的阶乘，k!表示k的阶乘
二项式系数的性质在求解二项式定理问题中的应用
• 可以利用二项式系数的性质简化计算过程
• 例如：(a+b)^5 = Σ C(5, k) * a^(5-k) * b^k
04
二项式系数与其他数学概念的联系
二项式系数与多项式的关系
二项式系数与多项式的系数关系
二项式系数与多项式的运算关系
人教课标版高中数学选修2-3《二项式定理(第2课时)》教案-新版
1.3 二项式定理第二课时一、教学目标1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想增强了学生的逻辑推理能力.2．学习目标二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用.3．学习重点二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用.4．学习难点二项式定理和二项式系数性质的应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习自测1.错误！未找到引用源。
的展开式中，常数项为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
解：D2.错误！未找到引用源。
的展开式中常数项为．（用数字作答）解：-423.若错误！未找到引用源。
的二项展开式中错误！未找到引用源。
的系数为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
．解：2（二）课堂设计1．知识回顾1．二项式定理及其特例：（1）错误！未找到引用源。
，（2）错误！未找到引用源。
2．二项展开式的通项公式：错误！未找到引用源。
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对错误！未找到引用源。
的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性2．问题探究问题探究一●活动一认知杨辉三角在n(+展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？a)b()1ba+()2ba+()3ba+()4ba+()5ba+()6ba+仔细观察，你能发现什么规律？“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？二项式系数表（杨辉三角）错误！未找到引用源。
展开式的二项式系数，当错误！未找到引用源。
依次取错误！未找到引用源。
…时，二项式系数表，表中每行两端都是错误！未找到引用源。
，除错误！未找到引用源。
以外的每一个数都等于它肩上两个数的和●活动二函数观点认知二项式系数设函数()r n Crf=的函数图象，观察f=，这个函数的定义域是怎样的？试以n＝6为例作出()r n Cr函数图像，你能说出它的哪些性质？错误！未找到引用源。
二项式系数奇数项与偶数项和公式推导
一、概述二项式系数的奇数项与偶数项和公式是数学中重要的内容之一，其推导方法广泛应用于组合数学、代数学及概率统计等领域。
我们将从二项式定理开始，推导出二项式系数的奇数项与偶数项和公式，探讨其数学性质及应用。
二、二项式定理与二项式系数二项式定理是代数学中的基本定理之一，表述为：$ (a + b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + ... + C_n^kb^{n-k} + ... + C_n^nb^n$其中，$C_n^k$表示n阶二项式系数，其计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$这里，n为非负整数，k为整数，并且满足0≤k≤n。
三、奇数项与偶数项性质1. 奇数项与偶数项性质我们可以观察到，当k为奇数时，二项式系数$C_n^k$的值为奇数；当k为偶数时，二项式系数$C_n^k$的值为偶数。
2. 证明假设n阶二项式系数$C_n^k$的k为奇数，我们可以对二项式系数进行分解：$(1 + 1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n$由于$(1 + 1)^n = 2^n$，且2^n为偶数，所以n阶二项式系数奇数项和$\sum_{k=0}^{n}C_n^k$为偶数。
同理，当k为偶数时，$\sum_{k=0}^{n}C_n^k$为奇数。
四、奇数项与偶数项和公式推导1. 奇数项和公式的推导我们可以将$(a + b)^n$展开为两部分：$(a + b)^n = (a - b)^n + 2C_n^1a^{n-1}b + 2C_n^3a^{n-3}b^3 + ... + 2C_n^{n-2}a^2b^{n-2} + 2C_n^nb^n$由于$(a - b)^n = C_n^0a^n - C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 - ... + (-1)^nC_n^nb^n$将两式相加得到：$2\sum_{i=0}^{n/2}(-1)^iC_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}$由此我们可以得到n阶二项式系数奇数项和公式：$\frac{(a + b)^n - (a - b)^n}{2} = \sum_{i=0}^{n/2}(-1)^iC_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}$2. 偶数项和公式的推导同理，我们可以将$(a + b)^n$展开为两部分：$(a + b)^n = (a - b)^n + 2C_n^1a^{n-1}b + 2C_n^3a^{n-3}b^3 + ... + 2C_n^{n-2}a^2b^{n-2} + 2C_n^nb^n$由于$(a - b)^n = C_n^0a^n - C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 - ... + (-1)^nC_n^nb^n$将两式相减得到：$2\sum_{i=0}^{n/2}C_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}$由此我们可以得到n阶二项式系数偶数项和公式：$\frac{(a + b)^n + (a - b)^n}{2} =\sum_{i=0}^{n/2}C_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}$五、简单案例分析我们以具体的n值进行分析，假定$a = 1$，$b = 1$：1. 当n为偶数时，$(1 + 1)^n = \sum_{i=0}^{n/2}C_n^{2i}1^{n-2i}1^{2i} = \frac{(1 + 1)^n + (1 - 1)^n}{2}$= $\frac{2^n + 2^0}{2} = 2^{n-1} + 1$2. 当n为奇数时，$(1 + 1)^n = \sum_{i=0}^{(n-1)/2}(-1)^iC_n^{2i}1^{n-2i}1^{2i} = \frac{(1 + 1)^n - (1 - 1)^n}{2}$= $\frac{2^n - 2^0}{2} = 2^{n-1}$六、结论通过以上推导与分析，我们得到了n阶二项式系数奇数项与偶数项和的公式，分别为：$\frac{(a + b)^n - (a - b)^n}{2} = \sum_{i=0}^{n/2}(-1)^iC_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}（奇数项和公式）$$\frac{(a + b)^n + (a - b)^n}{2} =\sum_{i=0}^{n/2}C_n^{2i}a^{n-2i}b^{2i}（偶数项和公式）$这两个公式在组合数学、代数学以及概率统计等领域有广泛的应用，对于理解二项式系数的性质和计算具有重要意义。
二项式定理考点与题型归纳
二项式定理考点与题型归纳一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)❶；(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40.(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06 ·(－1)0·C 24＋C 16 ·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3.(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k .令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240.2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________.解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x .(2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.答案：－3或13.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n－2n ＋C n－1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.答案：C715(3x)7和C815(3x)8考点三二项展开式的应用[典例精析]设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解析]由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C02 018522 018－C12 018522 017＋…－C2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a，又0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12.[答案]D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1[课时跟踪检测]A 级1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( )A.－32B.32C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34. 3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7 ·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7 ·(－2)r ·x 14－3r .令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3B.－3C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2. (3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r 82－(r －1)C r －18＝9－r 2r≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r ≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.iB.－iC.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1. 5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：15。
备战2020年高考理数一轮复习第二节 二项式定理
突破点一 二项式的通项公式及应用[基本知识]1．二项式定理2.二项式系数与项的系数[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项．() (2)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．() (3)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1.⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 2的系数等于________． 答案：452．在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为________． 答案：2403.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．答案：3[全析考法]考法一 形如(a ＋b )n 的展开式问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．80(2)(2019·陕西黄陵中学月考)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式中常数项为( ) A.52 B ．160 C ．－52D ．－160[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以展开式中的常数项是T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 36＝52，选A. [答案] (1)C (2)A [方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．考法二 形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题[例2] (1)(2018·广东一模)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5的展开式中，x 3的系数为( ) A ．120 B ．160 C ．100D ．80(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x (1＋2x )5＝x (1＋2x )5＋1x (1＋2x )5，∵x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为x ·C 25(2x )2＝40x 3， 1x (1＋2x )5的展开式中含x 3的项为1x·C 45(2x )4＝80x 3，∴x 3的系数为40＋80＝120.故选A. (2)根据(1＋x )8和(1＋y )4的展开式的通项公式可得，x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.故选D.[答案] (1)A (2)D [方法技巧]求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2. (3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．考法三 形如(a ＋b ＋c )n 的展开式问题[例3] (1)(2019·枣阳模拟)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60(2)(2019·太原模拟)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是________． [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r， 令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k ， 令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.(2)由⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15＝⎝⎛⎭⎫－1＋2x ＋1x 5，则其通项公式为(－1)5－r C r 5⎝⎛⎭⎫2x ＋1x r (0≤r ≤5)，其中⎝⎛⎭⎫2x ＋1x r 的通项公式为2r －t C t r x r－2t(0≤t ≤r )．令r －2t ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0，t ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2，t ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，t ＝2，所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －15的展开式中的常数项为(－1)5C 05＋(－1)3C 25×2C 12＋(－1)1C 45×22C 24＝ －161. [答案] (1)C (2)－161 [方法技巧]三项展开式问题的破解技巧破解(a ＋b ＋c )n 的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单； 若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．[集训冲关]1.[考法一](2＋33)100的展开式中，无理数项的个数是( ) A ．84 B ．85 C ．86D ．87解析：选A (2＋33)100展开式的通项为T r ＋1＝C r 100(2)100－r·(33)r ＝C r 100250－r 2×3r3，r ＝0,1,2， (100)所以当r 是6的倍数时，T r ＋1为有理项， 所以r ＝0,6,12，…，96，共17项，因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A.2.[考法二](x 2－2)⎝⎛⎭⎫1＋2x 5的展开式中x －1的系数为( ) A ．60 B ．50 C ．40D ．20解析：选A 由通项公式得展开式中x－1的系数为23C 35－22C 15＝60.3.[考法二](x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选D (2x －y )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－y )r ，当r ＝2时，T 3＝240x 4y 2，当r ＝3时， T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D. 4.[考法三]在⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中，含x 5项的系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24D ．－24解析：选B 由⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16＝C 06⎝⎛⎭⎫x ＋1x 6－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5＋C 26⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4＋…－C 56⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋C 66，可知只有－C 16⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5的展开式中含有x 5，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x －16的展开式中含x 5项的系数为－C 05C 16＝－6，故选B. 突破点二 二项式系数性质及应用[基本知识]二项式系数的性质[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (2)在(1－x )9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．( )(3)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为________．答案：842．已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________. 答案：33．若(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 答案：2[全析考法]考法一 二项展开式中系数和的问题赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1 即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[例1] (1)(2019·郑州一中月考)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27 (2)(2019·襄阳四中月考)设(x 2＋1)(2x ＋1)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10的值为________．[解析] (1)依题意得2n ＝8，解得n ＝3，取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A. (2)在所给的多项式中，令x ＝－1可得(1＋1)×(－2＋1)8＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝2. [答案] (1)A (2)2 [易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．考法二 二项式系数或展开式系数的最值问题求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．[例2] (1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中，x 3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20(2)(2019·福州高三期末)设n 为正整数，⎝⎛⎭⎫x －2x 3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 5x 5－2r，令5－2r ＝3，则r ＝1，所以－a ×5＝－5，即a ＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C 25＝10，选B.(2)依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.[答案] (1)B (2)112[方法技巧] 求展开式系数最值的2个思路1.[考法一、二]设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( ) A ．15x 3 B ．20x 3 C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中， 令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ； 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2.[考法一](a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3. 答案：33.[考法二]设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：依题意得，M ＝4n ＝(2n )2，N ＝2n ， 于是有(2n )2－2n ＝240，(2n ＋15)(2n －16)＝0， ∴2n ＝16＝24，解得n ＝4.要使二项式系数C k 4最大，只有k ＝2， 故展开式中二项式系数最大的项为T 3＝C 24(5x )2·(－x )2＝150x 3. 答案：150x 3[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5D ．20解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.2．二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45D ．360解析：选A ⎝⎛⎭⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k ⎝⎛⎭⎫2x 2k ＝2k C k10x 5－52k ， 令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180. 3．在(1＋x )n (x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C 二项式中仅x 5项系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.4．(2019·东北三校联考)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0 B ．1 C ．32D ．－1解析：选A 由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝C r 5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0.则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.故选A.5．(2019·广西阳朔中学月考)(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( ) A ．－30 B ．120 C ．240D ．420解析：选B [(x ＋2y )＋z ]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y )4z 2，(x ＋2y )4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120，故选B.6．(2019·太原模拟)在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为________．解析：因为二项式(1＋2x )6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y )5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 35＝120.答案：120[B 级 保分题——准做快做达标]1．若二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( ) A ．6 B ．10 C ．12D ．15解析：选C 由二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x )n －4⎝⎛⎭⎫－2x 4＝16C 4n x n2－6是常数项，可得n 2－6＝0， 解得n ＝12.2．(2019·新乡模拟)(1－3x )7的展开式的第4项的系数为( ) A ．－27C 37 B ．－81C 47 C ．27C 37D ．81C 47解析：选A (1－3x )7的展开式的第4项为T 3＋1＝C 37×17－3×(－3x )3＝－27C 37x 3，其系数为－27C 37，选A.3．(2019·益阳、湘潭高三调考)若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( ) A ．22 018－1 B ．82 018－1 C ．22 018D ．82 018解析：选B 由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝82 018－a 0＝82 018－1，故选B.4．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18解析：选B 在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，即A ＝4n ，二项展开式中的二项式系数之和为2n ，即B ＝2n .∵A ＋B ＝72，∴4n ＋2n ＝72，解得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r3x 33－r2，令3－3r2＝0，得r ＝1，故展开式中的常数项为T 2＝3×C 13＝9，故选B. 5．(2019·山西五校联考)⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25D ．25解析：选C ⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＝x 2⎝⎛⎭⎫1－1x 5－3x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5，⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r⎝⎛⎭⎫1x r ，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝⎛⎭⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2·⎝⎛⎭⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C.6．(2019·武昌调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1 024，则该展开式中的常数项为( ) A ．－270 B ．270 C ．－90 D ．90解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n ＝1 024，∴n ＝5.则⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫3x 5－r·(－3x )r ＝C r 5·35－r ·(－1)r ·x -+523r r，令r －52＋r3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·32·(－1)3＝－90，故选C. 7．(2018·四川双流中学月考)在(x －2)6展开式中，二项式系数的最大值为m ，含x 5项的系数为n ，则nm ＝( ) A.53 B ．－53C.35D ．－35解析：选D 因为n ＝6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为m ＝C 36＝20，含x 5项的系数为n ＝(－1)C 16×2＝－12，则n m ＝－1220＝ －35.故选D. 8．(2019·河南师范大学附属中学月考)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( ) A ．39 B ．310 C ．311D ．312解析：选D 由题意得，因为(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，两边同时求导，可得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋9a 9＝310，令x ＝ －1，得a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…＋9a 9＝9，又(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＋8a 8＋9a 9)·(a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＋9a 9)＝310×9＝312.9．(2019·衡水调研)若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S 为( ) A.152 B ．154C ．120D ．240解析：选B 由题意知，S ＝C 06＋C 16＋…＋C 66＝26＝64， P ＝C 46(－2)4＝15×16＝240，故P S ＝24064＝154.故选B.10．(2019·达州期末)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，设(3x －1)n 展开式的二项式系数和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n ∈N *)，S n 与T n 的大小关系是( ) A ．S n ＞T n B ．S n ＜T nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ，n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n解析：选C S n ＝2n ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，令x ＝0，得a 0＝(－1)n ，所以T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝S n －a 0＝S n －(－1)n ，所以当n 为偶数时，T n ＝S n －1＜S n ，当n 为奇数时，T n ＝S n ＋1＞S n ，故选C. 11．(2019·成都检测)在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________.解析：⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2.答案：－212．(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________． 解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x ＝1，得(1－a )×1＝2，解得a ＝ －1.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，展开式中含x 3项的系数为T 2＝(－1)×24C 15＝－80，令5－2r ＝5，得r ＝0，展开式中含x 5项的系数为T 1＝25C 05＝32，所以⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48. 答案：－4813．(2019·贵阳调研)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________． 解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，所以a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0. 答案：014．(2019·天水一中一模)已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．解析：因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14·a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3. 答案：3。
2021_2022学年新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3.3第2课时二项式系数的性质杨辉三角
是( )
A．第 8 项
B．第 7 项
C．第 9 项
D．第 10 项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数
相等．]
3．(对接教材 P32 尝试与发现)观察图中的数所成的规律， 则 a 所表示的数是________．
1 121 1331 14a41 1 5 10 10 5 1
6 [由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以 4＋a＝10， 得 a＝6．]
[跟进训练] 3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行 中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 2∶3．
34 [由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 2∶3，它 等于二项展开式的第 14 项和第 15 项的二项式系数的比，所以 C1n3∶Cn14 ＝2∶3，即n－1413＝23，解得 n＝34，所以在第 34 行中，从左至右第 14 个数与第 15 个数的比是 2∶3．]
＋…＋C66×0.0026．
第 三 项 T3 ＝ 15×0.0022 ＝ 0.000 06<0.001 ， 以 后 各 项 更 小 ， 所 以
0.9986≈1－0.012＝0.988．
2．你能用二项式定理证明1＋1nn＞2，(n∈N＋，且n≥2)吗？
[提示] ∵1＋1nn＝1＋C1n1n＋C2n1n2＋…＋Cnn1nn＝2＋Cn22n＋…＋n1n， 又 n≥2 且 n∈N＋，∴Cn22n＋Cn33n＋…＋n1n＞0． ∴1＋1nn＞2(n∈N＋，且 n≥2)．
3 n 3 x 的展开式中，各项系数的和与各二项式
系数的和的比值为 64，则 n 等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
二项式系数
二项式系数第二节二项式定理1、二项式定理：(1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn。
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr (r＝0,1,2,…,n)为展开式第r+1项。
(3)展开式的特点：共有n＋1项；第r＋1项的二项式系数为C；2、二项式系数的性质:(1)C＝C。
(2)若n为偶数,中间一项＋1的二项式系数最大；若n奇数,中间两项、＋1的二项式系数相等并且最大．(3)C＋C＋C＋…＋C＝2n。
(4)C＋C＋C。
＝C＋C＋C＋。
＝2n－1、3、二项式中的最值问题求(a＋b)n展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1设第r＋1项系数最大，则4、二项式定理的主要应用(1)赋值求值；(2)证明一些整除问题或求余数；(3)证明有关等式与不等式；(4)进行近似计算。
例1、(1)求的值。
(2)求展开式中含项的系数为？(3)求展开式中所有有理项。
练习1:(1＋3)(＋)6展开式中的常数项为_____．例2、已知(+)n(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1、(1)求展开式中各项系数和及二项式系数和；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．例3、已知(3－1)7＝a07＋a16＋…＋a6＋a7。
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a7的值；(2)求，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，的值；(3)求a1＋a3＋a5＋a7的值．解析(1)令＝1，得a0＋a1…＋a7＝(31－1)7＝27＝128。
(2)易知a1，a3，a5，a7为负值，，a0，＋，a1，＋，a2，＋…＋，a7，＝a0－a1＋a2－…－a7＝－(－a0＋a1－a2＋…＋a7)－[3(－1)－1]7＝47。
(3)令f()＝(3－1)7，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7，f(－1)＝－a0＋a1－a2＋…＋a7。
∴2(a1＋a3＋a5＋a7)＝f(1)＋f(－1)＝27－47。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求 a0+ a2+a4+a6的值
作业:
书P180 练习 2，3 习题7 P182 4，12
例若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 特殊值法
发散1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 发散2、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7
例4、求(2+x)6的展开式中 : (1)、二项式系数最大的项 ； (2)、系数最大的项。
例5、(1-x)11的展开式中含x的奇次项系数之和。 例6.一个有10个元素的集合的子集共有多少个？
C C C C C 2
0 10 1 10 2 10 3 10 10 10
10
b
2 2 m m n n （1 x)n 1 C1 x C x C x C n n n nx
二项式系数的4个性质
1）每一行两端都是1，其余每个数都是它“肩上” 两个数的和。 2）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 3）n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；
8
100
（7 1）
C 7
0 100 100
100
1 99 100 m 100 m 100
C 7 C 7
99 1 100 100 100 99 100
C 7 C
0 99 100
（ 7 C 7 C ） 1
余数是1， 所以是星期六
探究：
例2、若将
8
100 除以9，则得到的余数是多少？
100
C 9
8
100
0 100 100
（9 1）
C 9 C 9
1 99 100
99 1 100 100 0 100
m 100 m 100
（ 1 ）
m
C 9 C 9 所以余数是1. 思 考 ： 若将 8101除以9，则得
到的余数还是1吗？
例3、求(1-x)5 (1+3x)4的展开式中 按x的升幂排列的前3项。
0 1 2 m n 4） C n Cn C n ... Cn ... Cn 2n
n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。
C C C C ＝ 2 n 1
0 n
2 n
1 n
3 n
思考、1、化简：
5
二项式定理的逆用
4 3 2
① x 1 5 x 1 10 x 1 10 x 1 5 x 1 1 ②
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
问 题 :
(1)今天是星期五，那么7天后
的这一天是星期几呢? （星期五）
（星期六） (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期一） (3)如果是24天后的这一天呢？
(4)如果是 8
100
天后的这一天呢？
问题探究:
例1、今天是星期五，那么 8
100
的这一天是星期几？
天后
1024
例7.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, 赋值法 特殊值法 4 2 3 4 例8.若(x+ 1) =a0＋ a1x + a2x + a3x + a4x ， 求 a1+a2+a3+ a4 15 思考：求(x+2y)(2x+y)2(x+y)3展开式中各项系数和. 求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值 310
x
3
99
5
1 2C 4C 2 C 2 C
1 n 2 n m m n n
n n
n
2、若 p C 3C 3 C 3 C 3 C
0 99 1 99 2 2 99 3 3 99
99 99
则 p 被4除所得余数为…………………( A )
二项式定理、
二项式系数性质的应用
复习提问 :
二项式定理的内容是什么？ n m n m m 1 n 1 n n * 0 n (a b) C n a C n a b Cn a b Cn b (n N )
叫做二项式系数
通项公式
Tm1 C a
m n m m n