二次函数考点归纳

二次函数

一、课标解读

二、知识清单

知识点1：二次函数定义

1、一般地，形如 （a 、b 、c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。

2、二次函数的三种形式

一般式： 顶点式： 交点式： 知识点2：二次函数的图象与性质

1、二次函数的图象是一条 。

2、二次函数的性质

（1）a >0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最小值 。

（2）a <0时，抛物线开口向 ，在对称轴 的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴右侧y 随着x 的增大而 ，抛物线有最 点，当x= 时，y 有最大值 。 （3）a 的符号与开口方向； b 和a 的符号与对称轴：b=0，对称轴是 ；b 和a 同号，对称轴在y 轴 侧；b 和a 异号，对称轴在y 轴 侧；

c 与y 轴交点：c=0，交点是 ；c>0，交点在y 轴的 半轴上；c<0，交点在y 轴

的 半轴上； ac b 42

-与x 轴交点个数：042

>-ac b ，与x 轴有 个交点；042

=-ac b ，

与x 轴有 个交点；042

<-ac b 与x 轴 交点。

（4）抛物线的平移：抛物线k h x a y +-=2

)(可以由2

ax y =经过平移得到，把抛物线

2ax y =向右或者向左平移|h|个单位，得到2)(h x a y -=，规律是 ；把抛

物线向上或者向下平移|k|个单位，得到抛物线k ax y +=2

，规律是 ；把抛

物线

2ax y =先向右或者向左平移|h|个单位再向上或者向下平移|k|个单位，得到

k h x a y +-=2)(。

知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式

已知三点坐标，选用 ；已知顶点坐标或者对称轴，选用 ；已知与x

轴的交点，选用 。

知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系

（1） 抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程0

2

=++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 与x 轴有一个交点，则一元二次方程

02=++c bx ax 有 实数根；抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则

一元二次方程02

=++c bx ax 实数根；

（2）、)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是 一元二次方程 的解。 知识点5：实际问题与二次函数

利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出解析式，然后利用函数解析式去解决问题 三、典型例题

知识点1：二次函数定义

例1（2014安徽安庆）下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A 、)0(≠+=k b kx y B 、242

++=x ax y C 、2

21x

y =

D 、2

21x y -= 知识点2：二次函数的图象与性质

例2、已知二次函数c ax y +=2

，当x 分别取)(212,1x x x x ≠时，函数值相等，则当x 取

2,1x x +时，函数值为 （ ）

A 、c a +

B 、c a -

C 、c

D 、c -

点拨：抛物线是轴对称图形，纵坐标相同的两点，横坐标互为相反数。 例3、（2014•莱芜）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示．下列结论： ①abc＞0；②2a﹣b ＜0；③4a﹣2b+c ＜0；④（a+c ）2＜b 2 其中正确的个数有（ ）

A ．

1 B ．

2 C ．

3 D ． 4

点拨：二次函数的图象与系数的关系

知识点3：用待定系数法求二次函数的解析式

例4、（2015•山东东营改编）抛物线经过A （），B （），C （）三点．

(1) 求抛物线的解析式和顶点坐标

(2) 请你写出一种平移的方法，使得平移后的抛物线顶点落在直线y=-x 上，并写出平移后

的抛物线解析式。

我的解答：

知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系

例5、（2014贵州省贵阳）二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象如

图9所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程02

=++c bx ax 的两个根．（2分）

（2）写出不等式02

>++c bx ax 的解集．（2分）

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（2分）

（4）若方程k c bx ax =++2

有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分）

我的解答：

知识点5：二次函数的应用

例6、（2015湖南邵阳）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：y =﹣10x +1200． （1）求出利润S （元）与销售单价x （元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；

（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？

我的解答：

点拨：二次函数的应用（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；

（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．

四、梯级演练

（一）基础题组

1、（2014四川成都）如图9所示的抛物线是二次函数

的图象，那么