人教课标版高中数学必修5拓展资料：常见的新定义数列问题

常见的新定义数列问题

近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题． 一、等和数列

【例1】 （北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同

一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为 ，且这个数列的前21项和21S 的值为 ．

【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等和数列，公和为m ，则由等和数列

的定义知，数列{}n a 的各项依次为1111a m a a m a --，，，，，即

11

n a a m a ⎧=⎨-⎩，，

1122

n n a m S mn ⎧-⎛⎫+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨

⎪⎪⎩，， 【解析】 因为12a =，公和为5m =，所以18523a =-=，21211

25522

S -=+

⨯=． 二、等积数列

【例2】 （保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数

（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列{}n a 是等积数列，且102a =，公积为6，则1592005a a a a ⋅⋅⋅⋅=（ ） A ．5022

B ．5012

C ．5023

D ．5013

【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨．

设{}n a 是等积数列，公积为m ，则由等积数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为

1111

m m a a a a ，，，，，即11

n a a m a ⎧⎪

=⎨⎪⎩，，

【解析】 由()2005114n =+-⋅可得：501n =，又因为102a =，公积为6，所以13a =，

50215920053a a a a ⋅⋅⋅

⋅=，故选C ．

n 为奇数；

n 为偶数． n 为奇数； n 为偶数． n 为奇数；

n 为偶数．

三、等方比数列

【例3】 （湖北）若数列{}n a 满足21

2n n

a p a +=，（p 为正常数，*n ∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．

甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【解析】 由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即2

211

2n n n n

a a q q a a ++=⇒=，则甲命题成立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即2

21

12n n n n

a a q q a a ++=⇒=±，即数列{}n a 公比不一定为q ，则命题乙不成立，故选B ．

四、绝对差数列

【例4】 （北京）在数列{}n a 中，若12a a ，是正整数，且12n n n a a a --=-，345n =，，，，则

称{}n a 为“绝对差数列”．

⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前10项）； ⑵若“绝对差数列”{}n a 中203a =，210a =，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，

123n =，，，，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求

出其极限值；

⑶证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

【分析】 关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义．

【解析】 ⑴13a =，21a =，32a =，41a =，51a =，60a =，71a =，81a =，90a =，101a =．（答

案不唯一）；

⑵在“绝对差数列”{}n a 中，因为203a =，210a =，所以自第20项开始，

203a =，210a =，223a =，240a =，253a =，…，即每个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n →∞

时，n a 的极限不存在，而当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n x b →∞

=．

⑶证明 根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项．证明如下：

假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-，所以对任意的n ，都有1n a ≥，从而当12n n a a -->时，()12113n n n n a a a a n ---=--≤≥，当12n n a a --<时，

()21213n

n n n a a a n ---=--≤≥，即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1；

令21212

2212n n n n

n n a a a C a a a --->⎧=⎨

<⎩，，123n =，，，，则()101234n n C C n -<<-=，

，，

由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在0k C <，这与

()0123n C n >=，，，，矛盾．

所以{}n a 必有零项．

若第一次出现的零项为第n 项，记()10n a A A -=≠，则自第n 项开始，第三个相邻的项周期地取值0，A ，A ，即30n k a +=，31n k a A ++=，32n k a A ++=，0123k =，，，，． 所以“绝对差数列”{}n a 中总含有无穷多个为零的项．

五、对称数列

【例5】 （上海）若有穷数列1a ，2a ，12n a a a ，，，（n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，…，

1n a a =，即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤）

，就称该数列为“对称数列”． ⑴已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234b b b b ，，，成等差数列，

14211b b ==，，试写出{}n b 的每一项；

⑵已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121k k k c c c +-，，，构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？

⑶对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得

211222m -，，，，成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前

2008项和2008S ．

【解析】 ⑴设{}n b 的公差为d ，则4132311b b d d =+=+=，解得3d =，

所以数列{}n b 为25811852，，，，，，． ⑵21121121k k k k k S c c c c c c --+-=++

++++

+

()1212k k k k c c c c +-=++

+-，

()2

22141341350k S k -=--+⨯-，

所以当13k =时，21k S -取得最大值．

21k S -的最大值为626．

⑶所有可能的“对称数列”是：

①22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，

；