函数周期性的五类经典题型.doc

周期性

类型一：判断周期函数

1.求下列函数是否为周期函数

（1），满足

（2），满足

（3），满足

（4），满足

答案：

（1）令∴∴

∴T=2周期函数

（2）

∴T=4周期函数

（3）∴T=4

（4）

∴T=8

类型二：求值

1.已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为() A．－1 B．－2

C．2 D．1

解析：选A因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－f(2 013)＋f(2 014)＝－f(1)＋f(0)．又当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2 013)＋f(2 014)＝－1＋0＝－1.

2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．（对定义域的运用）

解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，

∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.

∴a＝1.

f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 答案：－1

3.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3x －

1， x ≤0，

f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________.

解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，进而f (2 016)＝f (336×6)＝f (0)＝3－1

＝1

3

. 答案：13

4.已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >1

2时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝______. （转化） 答案 2

解析 当x >1

2时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2.

5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1

5，

则f (log 220)＝________. （利用周期和奇函数改变范围）

押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性. 答案 －1

解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，

因为4

又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 24

5＝－1. 6.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，

f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为4的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)

7.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其

中a ，b ∈R .若f (12)＝f (3

2)，则a ＋3b 的值为________．

解：由题意知f (12)＝b ＋43，f (32)＝f (－12)＝－12a ＋1，从而b ＋43＝－1

2a ＋1，化简得3a ＋2b ＝－

2.又f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋2

2

，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2a ，3a ＋2b ＝－2，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝－4.

所以a ＋3b ＝－10.

类型三：求周期

1.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]的最小正周期是________． （绘画此类函数图像）

解析：如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，

再左右扩展知f (x )为周期函数． 答案：1

类型四：周期+奇偶性

1.若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) （数形结合，类似于正余弦函数图像）

A ．(1，3)

B ．(－1，1)

C ．(－1，0)∪(1，3)

D ．(－1，0)∪(0，1) 解析：选C.f (x )的图象如图．

当x ∈[－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)； 当x ∈[0，1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；

当x ∈[1，3]时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)． 故x ∈(－1，0)∪(1，3)．

2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．