向量内积和外积的四元数教学法
四元数法希腊哲学
四元数法希腊哲学1.为什么要用四元数可能四元数的由来大家都看过很多遍。
很久以前，一位老者坐在大桥边上，看着过往船只，突然灵光一闪，在桥边石碑上洋洋洒洒刻上几行大字，四元数诞生了！故事大家都爱听，那么为什么我们需要四元数？一种说法是解决向量乘法，我们知道向量之间乘法有内积和外积，但这两个运算均不完美，即不满足群的条件（当然四元数诞生的时候也还没有内积外积的说法）。
那向量之间是否存在这样一个非常完美的乘法，于是三维空间无法解决的问题就映射到四维空间。
这便是四元数诞生的契机。
那么问题又来了，既然四元数只是为了解决矩阵乘法，那为什么我们现在要用四元数进行旋转，甚至替代了欧拉角、轴角等形式？首先，四元数并不是生来为了解决三维旋转，而是它的性质非常有利于表达旋转信息（后面会详述），所以了解四元数的性质要先于了解四元数在旋转中的应用。
至于四元数替代欧拉角等形式，就需要牵扯到一些别的知识点，我先罗列一下四元数相比其他形式的优点：✧解决万向节死锁（Gimbal Lock）问题✧仅需存储4个浮点数，相比矩阵更加轻量✧四元数无论是求逆、串联等操作，相比矩阵更加高效所以综合考虑，现在主流游戏或动画引擎都会以缩放向量+旋转四元数+平移向量的形式进行存储角色的运动数据。
2.四元数是怎么想出来的平庸的教程会直接提出四元数的定义、运算规则等等，然后读者不知所云。
相反，较为系统的教程一般会从复数（Complex Number）进行引导，逐步提出四元数的定义，这样会让读者更容易理解，在脑中也更好形成画面。
那复数与四元数之间的关系、以及如何从复数这样一个概念扩展到四元数是我们需要理清的一个思路。
2.先说几个概念。
空间中的子空间：一般而言，空间（维度>2）都存在更低维的子空间，比如二维空间中一维子空间，也就是直线；三维空间中的一维子空间和二维子空间，也就是直线和面。
当超过三维的概念我们就很难去想象是什么样子，但四维空间一定会存在三维子空间或二维子空间。
形象解说四元数
形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。
复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。
四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。
四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。
由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。
数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。
以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则一、向量的基本概念向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。
向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。
二、向量的表示方法1. 平行四边形法则平行四边形法则是常见的向量表示法之一。
在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。
2. 分量表示法另一种常见的向量表示方法是分量表示法。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
2. 减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
3. 数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
4. 内积（点积）向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。
具体做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。
5. 外积（叉积）向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右手定则确定新向量的方向。
向量的基本运算及应用教案
向量的基本运算及应用教案引言：向量是数学中的一种重要概念，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
本教案旨在通过教授向量的基本运算和应用，让学生们深入理解向量的概念和运算法则，培养他们对向量运算的应用能力。
一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示，在平面上可以表示为带有起点和终点的有向线段。
2. 向量的表示方法向量可以使用坐标表示法和分量表示法进行表示。
3. 向量的运算法则（1）向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到新的向量。
（2）向量的减法：将两个向量的对应分量相减，得到新的向量。
（3）向量的数量乘法：将向量的每个分量都乘以一个标量，得到新的向量。
二、向量的基本运算实例1. 向量的加法实例假设有向量 A(2, 3) 和向量 B(4, -1)，则它们的向量和为：A +B = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2)2. 向量的减法实例假设有向量 A(5, 7) 和向量 B(3, 2)，则它们的向量差为：A -B = (5-3, 7-2) = (2, 5)3. 向量的数量乘法实例假设有向量 A(3, 4)，要将其乘以 2，则结果为：2A = (2*3, 2*4) = (6, 8)三、向量的应用1. 向量的平移通过向量的加法运算，可以实现对向量的平移操作。
例如，将向量A(2, 3) 平移到点 (5, 7)，可以得到平移后的向量为：A' = A + (5-2, 7-3) = (3, 4)2. 向量的线性组合向量的线性组合是指将多个向量按照一定比例相加的操作。
例如，向量 A(2, 3) 和向量 B(4, 1) 的线性组合可以表示为：cA + dB = (c*2, c*3) + (d*4, d*1) = (2c+4d, 3c+d)，其中 c 和 d 为标量。
3. 向量的内积和外积向量的内积和外积是向量运算中的两个重要概念。
（1）向量的内积：也称为点积，可以用来计算两个向量间的夹角。
向量内积和外积的四元数教学法
创新教育两个向量之间的内积和外积是高等代数和解析几何中必须要讲的内容，参见文献[1～3]。
内积在有的课本上也被称为点积，外积则常常被称为是叉积。
在教学中，我们发现学生很容易理解两个向量的内积。
这是因为内积定义为两个向量的对应坐标相乘再相加，得到的结果是一个实数，比较自然。
而两个向量的外积却不再是一个实数了，而是一个和这两个向量都垂直的向量.这样子进行教学，学生会觉得内积和外积差别很大，内积是数，而外积是向量，二者不具可比性。
而单纯从名字来看，“内”和“外”是对称的，是可对比的。
那么应该怎样去教学，才能让学生真正的理解内积和外积的这种“对称”呢？我们发现利用四元数代数来讲解内积和外积是一种很好的教学法。
我们用R表示实数集合,C表示复数集合，H表示四元数集合。
由[2]可知任何一个四元数都可以写成α=d+ai+bj+ck的形式，其中a,b,c,d都是实数。
d叫做α的实部，ai+bj+ck叫做α的虚部。
α的共轭定义为d-ai-bj-ck。
则四元数集合H=R+Ri+Rj+Rk，H中的运算法则是哈密顿给出的i2=j2=k2=ijk=-1。
从哈密顿的公式可以推出ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j。
三维空间中的一个向量都可以写成α=ai+bj+ck的形式，其中a,b,c分别是x,y,z 轴的坐标，I,j,I分别表示x,y,z轴。
我们定义两个向量α,β的内积为,α·β=-(βα+αβ)/2类似的，我们还可以定义两个向量的外积为，α×β=-(βα-αβ)/2根据定义易得α×β=-β×α我们不难通过检查坐标的方式来验证上面关于内积和外积的定义和参考文献[1]中的一致。
通过这种方式来定义内积和外积，学生可以看出内积和外积的差别只不过是βα+αβ和βα-αβ，很容易接受，也很容易理解。
下面我们来看看怎样利用四元数来证明关于内积外积的一些经典的定理，公式。
定理1:[拉格朗日公式]。
5-4内积、外积、混和积
a 2 135 例 设向量 a 的方向角分别为 60 120
求 a的坐标. 解
a1 cos a
a2 cos a a3 cos a
a1 a cos 2cos60 1
a2 a cos
2cos120 1
a3 a cos 2cos135 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
证 P P ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 1 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
(3) 两向量夹角的余弦公式
a (1, 1, 2)
例 已知向量 OA {1, 1, 2}和 OB {3, 1, 1} ,求向量 AB 的 方向余弦.
解 因为 AB 2, 2, 1 设其方向角是α,β,γ 又 AB ( 3 1)2 (1 ( 1))2 (1 2)2 3 所以
S 解 F 可以分解成水平方向分力Fx和垂直方向分力Fy , 其中只有与位移平行的分力Fx作功,而Fy不作功. 于是功 W=|F|cosθ |S|=|F| |S| cosθ 为反映这一类物理现象,引入向量的数量积.
1. 数量积的定义
定义 两个向量α与β的数量积是一个数,它等于这两个向量的模
与它们夹角余弦的乘积,记为
0 1 a 1 (a , a , a ) a1 a2 a3 a , , 1 2 3 a a a a a
(cos , cos , cos )
0 a 为与 a同方向的单位向量
空间的每一个向量都可以由它的模与方向余弦(或方向角)决定,特 别地,单位向量的方向余弦等于它的坐标.
内积外积及其计算公式
内积外积及其计算公式内积和外积是线性代数中的两种运算，常用于向量和矩阵的计算。
在本文中，我将介绍它们的概念和计算公式。
一、内积（Inner Product）内积是向量空间中两个向量的一种二元运算，也称为点积、数量积或标量积。
在几何上，内积可以用来计算两个向量的夹角和长度。
1.向量的内积对于二维向量（a,b）和（c,d），它们的内积可以通过以下公式计算：(a, b) · (c, d) = ac + bd对于三维向量（a,b,c）和（d,e,f），它们的内积可以通过以下公式计算：(a, b, c) · (d, e, f) = ad + be + cf对于n维向量（a1, a2, ..., an）和（b1, b2, ..., bn），它们的内积可以通过以下公式计算：(a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn2.向量的长度向量的长度（也称为模）可以通过内积来计算。
对于向量v，其长度可以通过以下公式计算：v，=√(v·v二、外积（Cross Product）外积是三维向量空间中两个向量的一种二元运算，也称为叉积或向量积。
在几何上，外积可以用来计算两个向量的垂直向量。
对于三维向量v=(a,b,c)和w=(d,e,f)，它们的外积可以通过以下公式计算：v × w = (bf - ce, cd - af, ae - bd)其中，bf - ce表示新向量v × w的x分量，cd - af表示y分量，ae - bd表示z分量。
外积操作后得到的向量垂直于原始两个向量，且符合右手法则。
这意味着如果将右手的四指从向量v转向向量w的方向，那么大拇指指向的方向就是新向量v×w的方向。
三、计算示例接下来，我们通过一个计算示例来说明内积和外积的计算过程。
假设有向量v=(1,2,3)和w=(4,5,6)。
内积外积及其计算公式
内积外积及其计算公式内积和外积都是向量运算中常见的概念，它们具有不同的定义和计算公式。
下面将分别介绍内积和外积及其计算公式。
一、内积（Dot Product）：内积是向量运算中最基本的运算之一，它将两个向量投影到彼此上。
内积也被称为点积、数量积或标量积。
1.定义：给定两个n维向量A=(A1,A2,⋯,AA)和A=(A1,A2,⋯,AA)，它们的内积定义为：A·A=A1A1+A2A2+⋯+AAAA2.计算公式：两个向量的内积计算公式可以写为：A·A = ，A，，A， cos A其中，A和A的模分别为，A，和，A，A是A和A之间的夹角。
3.特性：内积具有以下几个重要的特性：-交换律：A·A=A·A-分配律：A·(A+A)=A·A+A·A-数乘结合律：A(A·A)=(AA)·A=A·(AA)-长度关系：A·A=，A，^2内积在向量的投影、长度计算、角度计算等方面具有广泛的应用，如在几何学、物理学、工程等领域。
二、外积（Cross Product）：外积是三维向量运算中的一种运算，它将两个向量的法向量叉乘得到一个新的向量。
1.定义：给定两个三维向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，它们的外积定义为：A×A=(A2A3−A3A2,A3A1−A1A3,A1A2−A2A1)2.计算公式：两个向量的外积计算公式可以写为：A×A， = ，A，，A， sin A其中，A和A的模分别为，A，和，A，A是A和A之间的夹角。
3.特性：外积的一些特性包括：-非交换律：A×A=−A×A-分配律：A×(A+A)=A×A+A×A-数乘结合律：A(A×A)=(AA)×A=A×(AA)-结果垂直于原向量：A×A与A、A垂直外积在确定平面、求取面积、求取法向量等方面具有广泛的应用，如在计算机图形学、力学、电磁学等领域。
关于四元数的一些理解第二部分
距离上一部分关于四元数的理解写完已经有段不短的日子里，这次终于理解了所谓θ2的真谛。
这里我就一一道来。
首先经常看到网络中的关于四元数与旋转的关系中看到这样的描述;q=(cosθ2,℮n sinθ2)其中℮n为旋转轴的单位向量θ表示旋转的角度;有的甚至在后面描述为“四元数表达式的形式跟其旋转的角度θ以及旋转轴℮n有一定的关系”。
这种模糊不清的关系令人存疑。
笔者认为这只是大神们在解读解算程序语言时对于姿态解算中部分程序的误读造成的。
正如笔者在上一部分中提到的：若存在两个向量A,B其中B为单位向量且A,B的夹角为θ则有：B= −rcosθ+r℮n sinθ A−1=−1rr cosθ+r℮n sinθ−1−A∗=cosθ+℮n sinθ(−A∗)其中(−A∗)表的是一个方向与A相同的单位向量，而式子前段的cosθ+℮n sinθ部分，℮n很显然表示一个垂直于A，B的向量，θ角表示A，B两个向量之间的夹角。
其中℮n确实表示旋转轴且这个向量是一个单位向量，而θ的的确确是旋转的角度，这一点也能从推导过程中看出端倪。
那么问题究竟出在哪里呢？其实问题就在相乘的顺序上，通过阅读网上的博文我们注意到一般的文章中对于四元数表达的方式是这样的：存在一个单位四元数q=(cosθ2,℮n sinθ2);P是一个没有实部的单位四元数，表述为(0,v)(P的模为1);p′=qpq−1;好了，到了这里细心地读者已经发现一点问题了。
虽然这里，向量的表示换成了没有实部的四元数（例如p，p′）。
但是在这里我们发现，在变换向量的时候不但用q左乘向量p同时也用q−1右乘。
到这里笔者又要啰嗦些关于四元数的性质（尽可能详细的解读）。
如果您对这一部分有所了解同时时间有限的话可以直接略过！虽然笔者的上一篇文档提到了四元数的一部分内容，不过那只是笔者对于其本质在空间几何中的一些猜想。
在这里我就重新梳理一遍关于四元数的前世今生(大雾)。
在正式说明之前首先我希望明确一点，不论是用空间向量的方式表述还是用复数表达，他们都表达的是同一事物。
向量的内积 外积 混合积课件
AMB . 解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1)
则 cos AMB MA MB MA MB
100 1
22 2
故
AMB
3
A
B M
例3. 设均匀流速为 v 的流体流过一个面积为 A 的平
面域 , 且 v 与该平面域的单位垂直向量 n 的夹角为 ,
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为 ) .
解: P A v cos
n 为单位向量
A vn
v n
A
单位时间内流过的体积
A v cos
例
4
已知a
(1,1,4) ，b
(1,2,2)，求（1）
a ·b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.
v a r sin
v a
M
且 r v 符合右手法则 v r
lr
O
三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a, b,c
ab
为 a , b , c 的混合积 . 几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
例11. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5, 6 ),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17 ) 共面 .
解: 因 [ AB , AC , AD ]
3 45
1 2 2 0 9 14 16
A
B C
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ) , c (cx , cy , cz )
内积和外积运算规则
内积和外积运算规则内积和外积是向量运算中常用的概念和操作。
它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍内积和外积的定义、性质以及运算规则。
一、内积1. 定义内积，也称为点积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
对于两个n维向量a和b，它们的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn，其中a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn分别是向量a 和b的分量。
2. 性质内积具有以下性质：(1) 交换律：a·b = b·a，即内积的顺序不影响结果。
(2) 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c，即内积对向量的加法满足分配律。
(3) 数乘结合律：(k·a)·b = k·(a·b) = a·(k·b)，其中k是一个标量。
(4) 内积的结果是一个实数。
3. 几何意义内积具有重要的几何意义。
如果两个向量a和b的内积为0，即a·b = 0，那么它们垂直或正交。
这是因为内积的定义表示了向量a 在向量b上的投影与b的长度的乘积。
当内积为0时，投影为0，即向量a在向量b上没有分量。
二、外积1. 定义外积，也称为叉积或向量积，是两个向量之间的一种运算。
对于三维空间中的两个向量a和b，它们的外积定义为：a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
2. 性质外积具有以下性质：(1) 反交换律：a×b = -b×a，即外积的顺序颠倒后需要加负号。
(2) 分配律：a×(b + c) = a×b + a×c，即外积对向量的加法满足分配律。
(3) 数乘结合律：k×(a×b) = (k·a)×b = a×(k·b)，其中k是一个标量。
向量内积和外积点几何
向量内积和外积点几何
向量的内积和外积是向量代数中的重要概念，它们在点几何中有着重要的应用。
让我来详细解释一下。
首先，让我们来谈谈向量的内积。
向量的内积，也称为点积或数量积，是两个向量之间的一种运算。
如果有两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b。
内积的计算方法是将两个向量对应分量相乘后相加，即a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3，其中a1、a2、a3分别是向量a的三个分量，b1、b2、b3分别是向量b的三个分量。
内积有许多重要的性质和应用，比如可以用来计算向量的模长、判断向量的垂直和平行关系，以及在几何中用来计算夹角等。
其次，我们来看看向量的外积。
向量的外积，也称为叉积或矢量积，是另一种向量之间的运算。
如果有两个向量a和b，它们的外积可以表示为a×b。
外积的计算方法是通过行列式的方法得到一个新的向量，新向量的模长等于原向量的模长乘以夹角的正弦值，方向垂直于原向量所在的平面。
外积也有许多重要的性质和应用，比如可以用来计算平行四边形的面积、判断向量的垂直和平行关系等。
在点几何中，内积和外积有着广泛的应用。
比如在计算线段的长度时，可以利用内积来求解；在计算平行四边形、三角形的面积时，可以利用外积来求解。
此外，内积和外积还可以用来判断向量的垂直和平行关系，以及计算夹角等几何性质。
综上所述，向量的内积和外积在点几何中有着重要的应用，它们是解决几何问题的重要工具，能够帮助我们更好地理解和分析空间中的几何关系。
向量的内积、外积、混合积
$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) = mathbf{a} cdot (mathbf{c} times mathbf{d}) + mathbf{b} cdot (mathbf{c} times mathbf{d})$。
向量的内积、外积、混合积
目录
CONTENTS
• 向量内积 • 向量的外积 • 向量的混合积 • 向量内积、外积、混合积的应用
01
CHAPTER
向量内积
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$的数量积，记作 $mathbf{a} cdot mathbf{b}$。其计 算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
04
CHAPTER
向量内积、外积、混合积的 应用
在解析几何中的应用
计算向量的模
向量的模可以通过内积计算，即 $mathbf{u} cdot mathbf{u} = |mathbf{u}|^2$。
判断向量是否垂直
两个向量垂直当且仅当它们的内
积为0，即$mathbf{u}
cdot
mathbf{v} = 0$。
当两个向量正交时，它们的内积为0 。
向量的内积满足交换律和分配律，即 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$和 $(mathbf{a} + mathbf{c}) cdot mathbf{b} = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{c} cdot mathbf{b}$。
向量的内积与外积及其应用
向量的内积与外积及其应用向量是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
其中，向量的内积与外积是向量运算中的两个重要操作。
本文将详细介绍向量的内积与外积的定义、性质以及在物理学、工程学等领域中的应用。
一、向量的内积向量的内积是指两个向量在空间中的夹角以及长度的乘积。
设有两个向量A和B，它们的内积表示为A·B，计算方法如下：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示向量A和B之间的夹角。
向量的内积具有以下性质：1. 对称性：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k是一个实数4. 零向量的内积：0·A = 0，其中0表示零向量向量的内积在几何学中有重要的应用。
通过计算两个向量的内积，可以判断它们之间的夹角是锐角、直角还是钝角。
此外，向量的内积还可以用于求解平面上两条直线的关系以及判断点是否在一个平面内。
在物理学中，向量的内积还可以用于计算力的分解以及求解物体的功等。
二、向量的外积向量的外积是指两个向量所在平面的法向量的长度和方向。
设有两个向量A和B，它们的外积表示为A×B，计算方法如下：|A×B| = |A| |B| sinθ n其中，|A×B|表示向量A×B的长度，θ表示向量A和B之间的夹角，n为单位法向量。
向量的外积具有以下性质：1. 反对称性：A×B = -B×A2. 分配律：(A + B)×C = A×C + B×C3. 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)，其中k是一个实数4. 零向量的外积：A×0 = 0×A = 0，其中0表示零向量向量的外积在几何学中有重要的应用。
内积、外积及其计算公式
内积、外积及其计算公式是向量分析中常见的概念。
了解它们的定义和计算公式对于向量的运算及其在计算机图形学中的应用具有重要意义。
一、内积内积是向量运算中的一种，指的是两个向量相乘后的数量积，一般用符号“·”表示。
设有两个列向量a和b，它们的内积可以表示为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn分别为向量a和向量b的第1个到第n个分量。
另外，内积还有一种更通用的形式，即向量a到向量b的投影乘以向量b的模长，可以表示为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中θ为a与b之间的夹角，|a|、|b|分别为向量a和向量b的模长。
二、外积外积也是向量运算中的一种，指的是两个向量相乘后的向量积。
外积的运算结果是一个向量，其方向垂直于a、b组成的平面，大小则与a、b所夹平面的面积相等。
一般用符号“×”表示。
设有两个列向量a和b，它们的外积可以表示为：a×b = (a2b3 - a3b2)·i + (a3b1 - a1b3)·j + (a1b2 - a2b1)·k其中i、j、k分别表示坐标系的三个方向向量，其值为(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)。
三、计算公式在实际应用中，计算两个向量的内积和外积时，我们可以使用以下公式：1.计算内积：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn2.计算外积：a×b = |a|·|b|·sinθ·n其中n为a、b所夹平面上的单位法向量，θ为a、b之间的夹角。
以上是的基本概念和公式。
掌握了这些基础知识后，我们可以在向量运算中更加轻松地进行内积、外积的计算和应用。
向量内积、外积和混合积
向量内积、外积和混合积1 点乘1.1 定义点乘，也叫向量的内积、数量积。
两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为a b 、，则点乘大小为： cos ,a b a b a b =<>令cos ,a b θ<>=，则[]0,θπ∈。
1.2 坐标表示设a =（x1,y1,z1）,b =（x2,y2,z2），则：121212a b x x y y z z =++1.3 几何意义点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。
1.4 应用（1）计算两个矢量的夹角，取值范围为[]0,θπ∈。
这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量）（2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦；（3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影；（4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应 删除。
（<0）多边形在视点的正面能看到。
（5）求平面外一点到平面的距离。
从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。
（6）方向角与方向余弦。
方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。
设于x, y, z 轴的夹角分别为,,αβγ，则：222cos ,cos ,cos cos cos cos y x za a a a a a αβγαβγ===++如果是单位向量，则()0cos ,cos ,cos a αβγ=。
2 叉乘2.1 定义叉乘，也叫向量的外积、向量积。
两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为c （x3,y3,z3）。
向量c 的方向与a,b 所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向）。
四元数运算——精选推荐
四元数运算四元数运算[]四元数运算在与中有⼴泛的应⽤。
四元数可以⽤来取代张量表⽰。
有时候采⽤带有复数元素之四元数会⽐较容易，导得结果不为除法代数之形式。
然⽽亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。
此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。
其中⼀种是向量与标量的结合，另⼀形式两个创建量(constructor)与双向量(bivector；i、j与k)的结合。
定义两个四元数:其中表⽰⽮量<b, c, d>，⽽表⽰⽮量<x, y, z>.加、乘和⼀般函数[]四元数加法：p + q跟、和⼀样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来：加法遵循和的所有交换律和结合律。
四元数乘法：pq两个四元数之间的⾮可换乘积通常被称为积，这个积上⾯已经简单介绍过，它的完整型态是：由于四元数乘法的⾮可换性，pq并不等于qp。
积常⽤在描述许多其他。
qp乘积的部分是:四元数点积：p · q点积也叫做，四元数的点积等同于⼀个四维向量的。
的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。
这是四元数之间的可换积，并返回⼀个。
可以⽤积的形式表⽰:这个积对于从四元数分离出⼀个元素有⽤。
例如，i项可以从p中这样提出来：四元数外积：Outer(p,q)并不常⽤; 然⽽因为和的积形式的相似性.它们总是⼀同被提及:四元数偶积：Even(p,q)四元数偶积也不常⽤，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。
它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。
四元数叉积：p × q四元数叉积也称为奇积。
它和向量叉积等价，并且只返回⼀个向量值：四元数的逆：p−1四元数的逆通过p−1p = 1被定义。
它定义在上⾯的定义⼀节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。
其建构⽅式相同于复倒数(complexinverse)之构造：⼀个四元数的⾃⾝点积是个标量。
四元数除以⼀个标量等效于乘上此标量的倒数，⽽使四元数的每个元素皆除以此⼀除数。
四元数乘向量
四元数乘向量四元数是一种复数扩展，可以用来表示旋转和方向。
在计算机图形学和机器人学中，四元数是非常有用的工具。
在这篇文章中，我们将探讨如何用四元数来乘以向量。
首先，我们需要了解四元数的基本概念。
一个四元数由一个实数部分和三个虚数部分组成，可以表示为q = a + bi + cj + dk，其中i、j、k是虚数单位，它们满足以下关系：i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1这些关系被称为四元数的Hamilton公式。
由于四元数具有虚数单位，因此可以用它们来表示旋转或方向。
在四元数乘法中，我们将两个四元数相乘。
结果将是一个新的四元数。
乘法的规则如下：- 实部相乘，虚部相加- 虚部的乘法有一些特殊的规则，如下所示：i x i = j x j = k x k = -1i x j = k, j x i = -kj x k = i, k x j = -ik x i = j, i x k = -j现在，我们可以将四元数乘以向量。
我们将向量表示为三维实数，然后将其转换为四元数。
这样，我们可以将四元数乘以向量，然后将其转换回向量。
假设我们有一个四元数q = a + bi + cj + dk，以及一个向量v= (x, y, z)。
我们将向量转换为四元数，如下所示：v' = xi + yj + zk + 0注意，我们添加了一个零虚部，这是因为向量没有虚部。
接下来，我们将四元数和向量相乘，如下所示：q x v' = (a + bi + cj + dk) x (xi + yj + zk + 0)= axi + ayj + azk + b(xi x i) + c(yj x j) + d(zk x k)= (a + bi + cj + dk) x (xi + yj + zk)= (ax - by - cz - dz) + (ay + bx + cz - dx)i + (az - bx + cy + dx)j + (aw + bx - cy - dz)k在这里，我们用到了四元数乘法的规则。
四元数,矢量运算规矩,场论基础,...
四元数quaternions复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:k ,j ,i ,1.四元数定义dk cj bi a +++=α,其中Rd ,c ,b ,a ∈另一四元数R 'd ,'c ,'b ,'a ,k 'd j 'c i 'b 'a ∈+++=β,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为)k 'd j 'c i 'b 'a )(dk cj bi a (++++++=αβk )'cb 'bc 'da 'ad (j )'bd 'db 'ca 'ac (i )'dc 'cd 'ba 'ab ()'dd 'cc 'bb 'aa (-+++-+++-+++---=四元数的单元间的运算规则: jik ki ,i kj jk ,k ji ij ,1k j i 222=-==-==-=-===四元数加法适合结合律,交换律;,即)()(βγαγαβ=而一般βααβ≠.(βααβα=⇒∈R )对实数有效的运算规则对复数总有效,不总有效,(如上述的乘法的交换律)！！！四元数的共轭: dk cj bi a :---=α,若dk cj bi a +++=α 性质:αβαβ=四元数的迹: R a 2:)(S ∈=+=ααα 性质: )(S )(S )(S βαβα+=+四元数的模: R d c b a :)(N 2222∈+++==ααα性质: )(N )(N )(N βααβ⋅=,0)(N 0=⇔=αα证明: 0,oder ,00==⇒=βααβ00)(N 00)(N 00,und ,0=⇒⎭⎬⎫≠⇒≠=⇒=⇒≠=βααβαααβαααβ,即00,und ,0=⇒≠=βααβ,同理00,,0=⇒≠=αβαβund证明:若α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根,则α也是其根.因为,α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根0)()(2=++-⇒ααααα⇒=++-⇒0)()(2αααααα也是其根)四元数域内二次方程一般不止两个根,如最简单的方程1x 2-=就最少存在k ,j ,i ±±±6个根,实际上1x 2-=有无穷多个根,因为使1r q p 222=++成立的实数r ,q ,p 有无穷多个,而1)r q p ()rk qj pi (2222-=++-=++Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使i 在有明确意义: 4阶实方阵集H 内方阵型如⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------a b c d b a d c c d a b d c b a ,令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110011010011001011001101111K ;J ,E ,I ,则集H 内任意方阵可唯一表为dK cJ bE aI +++,即}R d ,c ,b ,a |dK cJ bE aI {H ∈+++=,H 对矩阵减法封闭;且I K J E -===222,;J KE ,E JK ,K EJ ===J EK ,E KJ ,K JE -=-=-=,矩阵乘法在H 内封闭,故H 对矩阵加,乘法构成环;H 的元素个数>1;I 是H 的单位元,又因I )d c b a ()dK cJ bE aI )(dK cJ bE aI (2222+++=---+++,且当0≠+++dK cJ bE aI 时,d ,c ,b ,a 不全为零,故02222>+++d c b a ,所以H 中非零元在H 内存在逆元,综上所述H 是非交换体,常称H 为四元数环,称H 内的元为四元数Quaterion : t+xi+yj+zk,其中t为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础.矢量运算规则两矢的内积:)b ,a cos(|b ||a |b a ∧=⋅ R V ,V → 两矢的外积: )b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯, b ,a )b a ( ⊥⨯ V)V ,V (→ 物理意义: b ,a 两矢内积是功; b ,a 两矢外积的模是以b ,a 两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换外积和内积的关系:)b ,a (sin |b ||a |))b ,a (cos 1(|b ||a |)b a (|b ||a ||b a |2222222222∧∧=-=⋅-=⨯ 即)b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯ 推论 22b a b b a a )b a ()b a (;b a )b a ()b a (-=⋅-⋅=+⋅-⨯=+⨯- 四元数和两重积间的联系:两四元数k a j a i a 321++=α,k b j b i b 321++=β;两矢量)a ,a ,a (a 321=,)b ,b ,b (b 321= 间关系βα↔↔b ,a两矢内积和四元数间的关系:两量积)Re()Re()(21)(21b a αββαβαβααββα-==+=+=⋅,即两矢内积b ,a 对应于四元数βα的实部.两矢外积和四元数间的关系:矢量内积)Im()Re()(21b a αβαβαβαβαβ=-=-=⨯ ,即两矢外积b a ⨯对应于四元数αβ的非实部.两矢内积,外积和四元数间的关系:αβ=⋅-⨯b a b a三矢内积)c b (a c )b a (:]c ,b ,a [⨯⋅≡⋅⨯=,R V ,V ,V → 物理意义: c ,b ,a 三矢的内积是以c ,b ,a 三矢为边的平行六面体的体积性质:b )c a (a )b c (c )a b (b )a c (a )c b (c )b a (⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯推论:0]q c ,p b ,r a []p c ,r b ,q a []r c ,q b ,p a [=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2]c ,b ,a []a c ,c b ,b a [ =⨯⨯⨯ 三矢外积c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯V )V ,V ,V (→c)b a (b )c a (c c c )b a b a b a (b b b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a ()c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a c b c b c b c b c b c b a a a )c b (a 321332211321332211333221133322112332211233221113322111332211233223113112211233233113312212122131132332321⋅-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++-++++-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯ 推论0)b a (c )a c (b )c b (a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯四矢内积:)c b )(d a ()d b )(c a (db c b d a c a )d c ()b a (⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⨯⋅⨯ R)V ,V ,V ,V (→)c b )(d a ()d b )(c a (a )d )c b (c )d b ((a ))d c (b ()d c ()b a (三矢外积三矢内积⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅⨯⨯=⨯⋅⨯四矢外积:a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [)d c ()b a (-=-=⨯⨯⨯ V)V ,V ,V ,V (→a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [a )b )d c ((b )a )d c (()d c ()b a (;d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [d )c )b a ((c )d )b a (()d c ()b a (三矢外积三矢外积-=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯-=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯推论c ]c ,b ,a []d ,b ,a [b ]c ,b ,a []c ,d ,a [a ]c ,b ,a []c ,b ,d [d 0]c ,b ,a [ ++=→≠ )d a )(c b ()c a )(d b ()}d c (b {a ⨯⋅-⨯⋅=⨯⨯⨯流线 等X 面/线 通量 环流量 散度 旋度 方向导数 梯度为形象描述矢量场)z ,y ,x (f 定义)z ,y ,x (f的流线f . 为形象描述标量场)z ,y ,x (ϕ定义)z ,y ,x (ϕ的等X 面/线.S d 为开/闭有向曲面S 上一面元,矢量f 在面元S d上的元通量S d f d f ⋅=Φ,面积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲面S 上的通量(标)⎰⋅=ΦS f S d f l d 为开/闭有向曲线l 上一面元,矢量f 在线元l d 上的元环量l d f d f⋅=Θ,线积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲线l 上的环量(标)⎰⋅=Θlf l d f 矢量场)z ,y ,x (f的散度(标):描述有源场源/汇强度. 正/负/零散度对应于源/汇/无源无汇闭合曲面S 包围体积V ∆,0V →∆时f 在S 上的通量与V ∆比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的散度V/S d f lim f div S 0V ∆⋅=⎰→∆矢量场)z ,y ,x (f的旋度(矢):描述有旋场旋涡强度和旋涡法矢方向. 旋度的法向分量的模的大小顺比于涡旋场旋涡程度. 闭合曲线l 包围有向曲面S ∆,0S |S |→∆=∆ 时f 在l 上的环量与S ∆的比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的旋度fr o t 沿S∆法向的分量S /l d f lim )f rot (l 0S n ∆⋅=⎰→∆ 等效于0S →∆时S )f rot (l d f ∆⋅=⋅⎰标量场)z ,y ,x (ϕ的梯度(矢):描述标量场各点空间变化率及方向.某场点的梯度的方向是标量场变化最快的方向,其模是标量场单位长度的变化率.场)z ,y ,x (ϕ沿l d 向改变ϕd ,称dl d ϕ为ϕ沿l d 向的方向导数,dl d ϕ等于ϕ的梯度的l d 向分量ld )grad (d dl d )grad (l⋅=⇔=ϕϕϕϕ积分变换公式Gauss 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅∇V V dS f n dV f(f 的散度对体积V 体积分 ←转换→ f 对V 的包面的闭面积分)Stokes 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅⨯∇SS l d f dS n )f ((f 对有向曲线S ∂的闭线积分 ←转换→ f 的旋度对以S ∂为边的有向曲面S 的面积分)Green 恒等式:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂=⋅∇=⋅∇=∇⋅∇=∇+∇⋅∇V V V VV2dS n dS n )(S d )(dV )(dV )(ψφψφψφψφψφψφ(n ∂∂:外法线方向导数)Green 定理:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂-∂∂=⋅∇-∇=⋅∇-∇=∇-∇⋅∇=∇-∇V V V V V22dS )n n (dS n )ˆˆ(S d )ˆˆ(dV )ˆˆ(ˆdV )ˆˆ(φψψφφψψφφψψφφψψφφψψφ ⎰⎰⨯∇=⨯∂V V dV A A S d (⎰⎰⎰⎰⎰⎰⨯∇⋅=⨯⋅⇔⨯∇⋅=⨯⋅∇=⨯⋅=⨯⋅∂∂∂VV V V V V dV )A (C )A S d (C dV )A (C dV )C A ()C A (S d )A S d (C) ⎰⎰∇=∂V V dV S d ψψ (⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅=⋅⇔∇⋅=⋅∇=⋅=⋅∂∂∂V V V V V V dV C )S d (C dV C dV )C (S d C )S d (C ψψψψψψ )⎰⎰∂=∇⨯SSl d S dψψ(⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂⋅=⋅∇⨯⇔⋅=⋅⨯∇=⋅⨯∇=⋅∇⨯SSSSSSl d C C )S d (l d C S d )C (S d )C (C )S d (ψψψψψψ)并矢 及其运算标量是零阶张量,矢量是一阶张量,二阶三维张量借助于直角坐标转动矩阵定义:矢量i T 在坐标架转动满足变换关系i mi m T R T =,坐标转动矩阵miR 即二阶张量.二阶张量ij T 满足变换关系ij nj mi mn T R R T =.由两矢B A ,并列放置且之间无运算则构成并矢B A,含9个分量,记为j i B A ,由于i A 和j B 分别满足:i mi m A R A =,j nj m B R B =,故并矢B A满足j i nj mi B A R R B A = ,故并矢是二阶张量的一种形式,显然三个矢量的并矢具有三阶张量的变换关系.()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡><≡⊗≡z z z z z z y y y y y y x x x x x x z y x z y x v v g f g f g f g f g f g f g f g f g f g g g f f f g f g f g f g f || ,单位并矢(单位二阶张量)ij ij kk jj ii r δ=I =++=∇=I,性质:X X X =⋅I =I ⋅;(X 为矢量或算符); 2:∇=∇∇ I ; ϕϕ∇=⋅∇)(I ; )(:T Spur T T I ii ==; g f g f I ⋅=:;并矢-矢量点乘区分左右:右点乘p g f p g f )(⋅=⋅;左点乘)(f p g f p g ⋅=⋅,这样,三矢外积可用并矢表示)()(p g g p f p g f-⋅=⨯⨯ 两二阶张量B A ,间的双点乘:ji ij B A B A = :(或))(()(:)(q f p g q p g f⋅⋅=)双点乘得到的标量是两矩阵积的迹.并矢的微分运算要注意是对那个张量进行的,一般需加括号.g f f g g f)()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇g f g f g f)()()(∇⨯-⨯∇=⨯∇f r f r r f ⋅+⋅∇=⋅∇2)(22f r f r f +⋅∇=⋅∇)()(f r r f r r f r r f++⋅∇=⋅∇)()( ⎰⎰⎰∂∂⋅I =I ⋅=I ⋅∇VV V S d dS n dV⎰⎰∂I ⨯=I ⨯∇VV dS n dV⎰⎰∂=∇V V dS f n dV f⎰⎰∂⋅=⋅∇VVS d g f dV g f)()(根据以上矢量运算定理,可把Gauss 定理⎰⎰∂=∇V V n S d dV 和Stokes 定理⎰⎰∂=∇⨯S S l d n dS的运算推广到对标量,矢量,张量的各种运算∇算符具有:矢量性和算符性.∇对矢量左/右/点/叉乘不可交换,矢量运算规则也适于∇,但需调整∇在结果中的位置,使等式左右量同型. f )g (g )f ()g f ( ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ (第一式点和叉换位,取正;第二式交换第一式中的两矢量次序,取负)f )f ()f (2 ∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ (按c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯写结果,再调整次序,使右端得矢量)ψϕϕψϕψ∇+∇=∇ )( f f )()f ( ⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕf f )()f (⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕ 2f 21f )f ()f f (f )f (f )f (∇-⋅∇=⋅∇-⋅∇=⨯⨯∇]g )f ()f (g []f )g ()g (f [)g f ( ∇⋅+⋅∇-∇⋅+⋅∇=⨯⨯∇)f (g )g (f f )g (g )f ()g f (⨯∇⨯+⨯∇⨯+∇⋅+∇⋅=⋅∇3r =⋅∇ ; I r r=⊗∇≡∇; r e r r r ==∇;0e r r =⨯∇=⨯∇; r 2e r =⋅∇ 2r 3re r r r 1 -=-=∇re dr df r ˆdr df )r (f ˆ =∇=∇⎩⎨⎧=∞≠=-=-∇=-∇=∇)0(,)0(,0)(4ˆˆ1ˆ232r r r r e r r r rπδ Coulomb 定理的微分式:Green 函数|'r r |141)'r ,r (G ),r (4re ˆ02r-==∇πεπδ 标量场的梯度场无旋0)(≡∇⨯∇ϕ无旋场必可表为一标量场的梯度ϕ∇=⇒=⨯∇f 0f 矢量场的旋度场无源0)f (≡⨯∇⋅∇涡旋场必可表为一矢量场的旋度Af 0f⨯∇=⇒=⋅∇a ,0E ,k为常矢a r )a ()r a ( =∇⋅=⋅∇r r a r a ⋅=∇⋅ r a ]e )e a (a [r 1e )a (r r r ⊥=⋅-=∇⋅ 533r r )r a (3r a r r )a ( ⋅-=∇⋅ 0a )r (r )a ()r a (=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ a 2r )a ()r (a )a (r a )r ()r a ()r a ()r a (r a=∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇5333333r r )r a (3r a a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( ⋅-=∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇0a )r r (r r )a ()r r a (333=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ 35333333ra r )r a (3r r )a (a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( -⋅=∇⋅-=∇⋅+⋅∇-∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇33r r a )r r (a r 1a ⋅-=-⋅=∇⋅ r k i 0e E E ⋅=:E k i E ⋅=⋅∇; Ek i )k i (e E )]r k i (e [E e E )e E (E r k i 0r k i 0r k i 0r k i 0⨯=⨯-=⋅∇⨯-=⨯∇-=⨯∇=⨯∇⋅⋅⋅⋅ 场量的Taylor 展开其中1:=⋅=r r r r e e I e e 故r r e e I r r I r r :'':''22==.T aylor 展开:...)(...'...''!)(...)(''!)('|'|,...,,+∂∂∂∂-++∂∂∂+∂∂-=-∑∑∑kj i k j i nk j i n ji j i j i ii i rx x x x x x n r x x x x r x x r r r 111211112 其中k j i ,...,,取1,2,3; i x 代表直角坐标系的三个分量,注意:1 上式是对'r 展开; 2 对'r 的展开和对'r的展开相差一个负号.曲线正交坐标系(Krummlinigen Koordinaten)三维空间里确定一点P 的位置需3个坐标321u ,u ,u .若P 点坐标在直角坐标系中表为)u ,u ,u (z ),u ,u ,u (y y ),u ,u ,u (x x 321321321===,则)z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u 332211===,两坐标系等价.=i u 常数)3,2,1i (=的曲面是坐标面,他们的单位法向矢量为)3,2,1i (,e i =,其指向为iu 增加的方向.当过P 点的三坐标曲面两两垂直时,三坐标面的三交线也两两垂直,称此类坐标系为正交曲线坐标系.正交条件)j i (,0)u z )(u z ()u y )(u y ()u x )(u x (h ji j i j i 2ij≠=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=.由i 31i i i 31i i i 31i i du u z dz ,du u ydy ,du u x dx ∑∑∑===∂∂=∂∂=∂∂=得2222)dz ()dy ()dx ()ds (++=232322222121j,i j i 2ij )du (h )du (h )du (h du du h ++==∑,其中2i 2i 2i 2ii 2i )u z ()u y ()u x (h h ∂∂+∂∂+∂∂==,称)3,2,1i (,h i =为Lame 系数或度量因子.正交曲线坐标系中的Nabla 算符,梯度,散度,旋度和Laplace 算符常见3Delta 函数定义)a (f )x (f )a x (=-δ⎰性质1 偶函数)x ()x (δ=-δ2 采样性)a (f )x (f )a x (=-δ⎰3 函数下的面积⎩⎨⎧∉∈=-δ⎰])b ,c [a (,])b ,c [a (,dx )a x (bc 01; ⎩⎨⎧=∞≠=-δ)a x (,)a x (,)a x (04 缩放 )x (|a |)ax (δ=δ1证明)x (|a |)ax ()a (,|a |dz )z (|a |dz )z ()a (,a dz)z (dx )ax (|a ||a |a a a a δ=δ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<δ=-δ>δ=δ⎰⎰⎰⎰∆∆-∆∆-∆∆-∆∆-1005 若)(x f 为连续函数,且∆为包含a 电的任意长度区间,则a)x (g |)]x ('g /)x (f [dx ]a )x (g [)x (f =∆=-δ⎰证明dy a y g g dx dy x g dx dx x g dy a x g y a y g x a x g y )](['1)('1)(')()()(11+=→⎪⎭⎪⎬⎫=→=→-=+=→-=--若)x (f 为单值连续函数,且有N 个过零点N ,...,,i ,x i 321=,则a x g x g x f a g g a g f dy a y g g y a y g f dx a x g x f =--∆--∆==++=-⎰⎰)(1111|)('1)()](['1)]([)](['1)()]([])([)(δδ 6 复合函数∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 证明: )x (f y =单值连续,则)x (f 在每个过零点的邻域内可逆;且)x (g 为任意品优(gutartig)函数,则dy )]y (f ['f 'x dy )x ('f 'x dy )]'y (f ['x )y (f x )x (f y 11111---=→=→=→=→= ⎰∑∑∑∑⎰⎰+∞∞---∆+∆---+∞∞--δ===δ=δi i i i i i ii x x dx )x x (|)x ('f |)x (g |)x ('f |)x (g )](f ['f )](f [g dy )]y (f ['f ]y [)]y (f [g dx )]x (f [)x (g i i1101011111 被积函数须相等,再由)x (g 的任意性,得∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [16 导数x)a x (:)a x ('∂-δ∂=-δ则)a ('f dx )a x (')x (f -=-δ⎰∆ 证明)a ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x (')x (f =-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰∆∆=+∆-∆∆∆ 07)a (f )(dx )a x ()x (f )n (n )n (1-=-δ⎰∆ 证明)a (f )(dx )x (f )a x ()(dx )x (f )a x ()(...dx )x (''f )a x ()x ('df )a x (|)]a x ()x ('f [)a x (d )x ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x ()x (f )n (n )n (n )m ()m n (m )n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n (1112202211011-=-δ-=-δ-==-δ=-δ+-δ-=-δ-=-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆⎰∆=-=-δa )x (g |]})x ('g )x (f [dx d )x ('g {dx ]a )x (g [')x (f 1 三维δ函数⎩⎨⎧=≠=-δ-δ-δ=-δ)r r (,)r r (,)z z ()y y ()x x ()r r (0000001曲线系下的三维δ函数3213020103020100h h h )u u ()u u ()u u (|)u ,x (J |)u u ()u u ()u u ()r r (i i -δ-δ-δ=-δ-δ-δ=-δ ,(其中)u ,x (J i i 为Jacobi 行列式)柱坐标系下)z z ()()()r r (00001-δϕ-ϕδρ-ρδρ=-δ球坐标系下)()()r r (sin r )r r (000201ϕ-ϕδθ-θδ-δθ=-δ注意:n 维δ函数的量纲为n m -,即n-米δ函数的逼近钟形曲线: 2201xa a lim )x (a +π=δ→Gauss 曲线;)x n exp(n lim )x (n 220π-=δ→sinc 函数:)kx (c sin k lim x kx sin lim )x (k k π=π=δ∞→∞→1sinc 函数平方: )kx (c sin k lim kx kxsin lim )x (k k 2221π=π=δ∞→∞→复指函数:⎰⎰+∞∞-+∞∞-π=±π=δdk )kx cos(dk )ikx exp()x (121盒子函数:∑+∞-∞==δn )L /inx exp(L )x (21*********************.cn。
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向量内积和外积的四元数教学法
摘要:利用四元数代数来解释内积和外积，并证明了关于内积外积的几个经典定理和等式，使学生更容易接受和理解这两个常见概念。
关键词:四元数代数内积外积
两个向量之间的内积和外积是高等代数和解析几何中必须要讲的内容，参见文献[1～3]。
内积在有的课本上也被称为点积，外积则常常被称为是叉积。
在教学中，我们发现学生很容易理解两个向量的内积。
这是因为内积定义为两个向量的对应坐标相乘再相加，得到的结果是一个实数，比较自然。
而两个向量的外积却不再是一个实数了，而是一个和这两个向量都垂直的向量.这样子进行教学，学生会觉得内积和外积差别很大，内积是数，而外积是向量，二者不具可比性。
而单纯从名字来看，“内”和“外”是对称的，是可对比的。
那么应该怎样去教学，才能让学生真正的理解内积和外积的这种“对称”呢？
我们发现利用四元数代数来讲解内积和外积是一种很好的教学法。
我们用R表示实数集合,C表示复数集合，H表示四元数集合。
由[2]可知任何一个四元数都可以写成α=d+ai+bj+ck的形式，其中a,b,c,d都是实数。
d叫做α的实部，ai+bj+ck叫做α的虚部。
α的共轭定义为d-ai-bj-ck。
则四元数集合H=R+Ri+Rj+Rk，H中的运算法则是哈密顿给出的
i2=j2=k2=ijk=-1。
从哈密顿的公式可以推出
ij=-ji=k,
jk=-kj=i,
ki=-ik=j。
三维空间中的一个向量都可以写成α=ai+bj+ck的形式，其中a,b,c 分别是x,y,z轴的坐标，I,j,I分别表示x,y,z轴。
我们定义两个向量α,β的内积为,
α·β=-(βα+αβ)/2
类似的，我们还可以定义两个向量的外积为，
α×β=-(βα-αβ)/2
根据定义易得α×β=-β×α
我们不难通过检查坐标的方式来验证上面关于内积和外积的定义和参考文献[1]中的一致。
通过这种方式来定义内积和外积，学生可以看出内积和外积的差别只不过是βα+αβ和βα-αβ，很容易接受，也很容易理解。
下面我们来看看怎样利用四元数来证明关于内积外积的一些经
典的定理，公式。
定理1:[拉格朗日公式]。
对任意的向量α,β,γ,有
α×(β×γ)=(α·γ)β-(α·β)γ
证明：注意到一个实数乘以一个向量，跟这个向量乘以这个实数是相等的,所以
右边=(β(α·γ)-γ(α·β)+(α·γ)β-(α·β)γ)/2
=-(βαγ+βγα-γαβ-γβα+αγβ+γαβ-αβγ-βαγ)/4
=-(βγα-γβα+αγβ-αβγ)/4
=(1/2)(α((1/2)(βγ-γβ))+((1/2)(βγ-γβ))α)
=左边,证毕。
这个公式在[1]中是通过分别比较等式两边的x,y,z轴的坐标来完成的。
我们这个证明的好处是不涉及坐标,非常简单。
定理2:[雅可比等式]。
α×(β×γ)+β×(γ×α)+γ×(α×β)=0
证明：这就是要证明(αβγ-αγβ-βγα+γβα)+(βγα-βαγ-γαβ+αγβ)+(γαβ-γβα-αβγ+βαγ)=0
这总共有十二项,三个向量的排列只有六种，再加上正负号，正好是十二项,所以两两抵消掉了，正好是零,证毕。
如果记[x,y]=xy-yx,则上面的雅可比等式就是
[α,[β,γ]]+[β,[γ,α]]+[γ,[α,β]]=0
这就和[4]中李代数中的雅可比等式从内容到形式完全一致了。
定理3:[混合积公式]。
α×β·γ=β×γ·α=γ×α·β
证明：验证是很容易的.我们这里只验证第一个等式。
-4(α×β·γ-β×γ·α)=αβγ-βαγ+γαβ-γβα-βγα+γβα-αβγ+αγβ
=-β(αγ+γα)+(αγ+γα)β
=0证毕
定理4:[拉格朗日恒等式]。
对任意的四个向量α,β,γ,δ,有
(α×β)·(γ×δ)=(α·γ)(β·δ)-(α·δ)(β·γ)
证明：
(α×β)·(γ×δ)=α·β×(γ×δ)(混合积公式)
=α·((β·δ)γ-(β·γ)δ)(拉格朗日公式)
=(α·γ)(β·δ)-(α·δ)(β·γ)证毕。
利用四元数来教内积和外积，最大的好处是可以让学生体会到内积和外积不是什么新的运算，而只不过是数的加减乘除的复合运算。
这和利用复数来讲解平面向量是完全一致的，学生不会觉得突兀。
参考文献
[1]丘维声.解析几何（第二版）[M].北京大学出版社,1996.
[2]代数学引论(第二版)[M].高等教育出版社,2000.
[3]北京大学数学系集合与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社，2003.
[4]James E.Humphreys.李代数和表示理论（第二版）[M].Springer-Verlag,1972.。