柯西积分公式及其推论
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柯西积分公式及其推广论文
柯西积分公式及其推广论文柯西积分公式及其推广摘要:学复变以来,一直比较困惑于柯西积分定理、柯西积分公式及留数定理等三个问题的界线,同时也对于积分何时为零何时不为零的条件很模糊。
本文主要是归纳了有关这三个问题之间的一些关系及推导过程。
同时也得柯西积分公式进行了推导,并举例其应用。
关键词:柯西积分定理,柯西积分公式,留数定理,柯西积分公式的推广目录论文封面1摘要2对柯西积分的认识4一柯西积分定理与柯西积分公式5二留数定理及其与柯西积分公式的关系71.留数定理72.留数的求法83.留数定理与柯西积分公式的关系9三柯西积分公式的推广101.高阶导数102.处的柯西积分公式103.复连通区域中的柯西公式114.z在积分路径C上的柯西积分公式11四柯西积分公式的计算应用12五参考文献16对柯西积分公式的认识柯西积分公式是一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,也可以说是解析函数的积分表达式,柯西积分定理和柯西积分公式复变函数的基本定理和基本公式,因而成为了研究解析函数各种局部性质的重要工具。
首先,柯西积分定理与复交函数的积分有着密切的联系,为了能更好的对柯西积分公式应用和推广,通过留数定理与复变函数的积分之间的关系,有以下的结论:柯西积分定理实际上是被积函数在积分区域内为解析函数的留数定理;柯西积分公式实际上是被积函数在积分区域内有一阶极点的留数定理;高阶导数公式实际上是被积函数在积分区域内有n+l阶点的留数定理。
本文归简单给出柯西积分定理与柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理之间的推导关系。
其次,从复积分求解出发,柯西积分定理只回答了解析函数沿闭域内任意一周线的积分值为零的问题,并由此导出了著名的柯西积分公式,即解析函数在C所围的区域内任一点z的函数值均可由在C上的积分值完全确定,这也只给出了求解光滑周线域内有一个或有限个奇点的复积分方法,而复积分的范围很大,有很多问题都超出了柯西积分定理的条件,因此本文对柯西积分的推广作了一个归纳。
柯西积分公式
2! f (z) 可得 f ( z0 ) 3 dz . C 2i ( z z0 )
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
柯西积分公式及其推论
( K )
而 f ( ) d f ( ) d
C z
K z
f (z) d K z
K
f ( ) f (z) d z
z
D
K
C
2if (z) f ( ) f (z) d
K z
故
f ( ) d C z
2if (z)
K
f ( ) f (z) d z
f ( ) f (z)
z 2 z 1
z1
2i sin1
例2
计算积分
z
i
1
z
(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
a i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式 2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
z(z i) dz zi 1 z i
f
(z0 )
1
2 i
f ( ) d C z0
1
2 i
2 0
f
(z0 R ei Rei
)
Riei d
1 2π
2π 0
f
( z0
R ei )d.
例3 设f (z)在闭圆 z R上解析, 如果存在a 0, 使当 z R时
f (z) a
而且
f (0) a
试证,在圆 z R内, f (z)至少有一个零点.
设z h D 是D内另一点。
只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0
f (z h)
3.3柯西积分公式
Γ
f ( z0 ) dz , z z0 f (z) Γ z z0 dz ,
f (z) 1 C z z0 dz 2πi
| f ( z ) f ( z0 ) | | 右边 左边 | 1 ds , 2π Γ | z z0 |
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，
d
证明 (略) 理解 如图，函数 f ( z ) 在解析区域 D 内任意一点 z0 的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有
D
z0 G
d
z0
G
d
z0 G
点的函数值的平均值， 因此， | f ( z0 ) | 不可能达到最大，
除非 f ( z ) 为常数。
三、最大模原理
推论 1 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值，
a T (t ) dt .
(返回)
b
C2
cos z dz z
cos z (函数 在 | z 2 | 1 上解析) z
0.
(柯西积分定理)
例 计算 I
C
2z 1 dz , 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2z 1 2z 1 解 令 f (z) 2 , , 则 f (z) z( z 1) z z
T (tk ) .
T (t )
1 t ba , 记 t , 即 n ba n
1 ~ 平均气温 T lim n n
k 0
T (tk )
1 T (tk ) t b a k 0
n
n
a t0
t k t k 1
tn
b
3.2.[1]-柯西积分公式
![3.2.[1]-柯西积分公式](https://img.taocdn.com/s3/m/538cf329cfc789eb172dc895.png)
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 δ 的正向圆周 z − z0 = δ ,
由 f ( z ) 的连续性 ,
在 C 上函数 f ( z ) 的值将随着 δ 的缩小而逐渐 接近于它在圆心 z0 处的值 ,
∫C
f (z) f ( z0 ) dz 将接近于 ∫ dz . (δ 缩小) C z− z z − z0 0
这就是柯西积分公式. 证明
对∀z ∈ D
f (ζ ) 设F (ζ ) = ζ −z
C
z.
D
则F (ζ )在D内除z外解析, 以 z为心, 充分小的ρ为半径 作圆周K ρ : ζ − z = ρ
使K ρ 及其内部全含于D内,
− 对复周线Γ = C + K ρ ,由定理有
zρ K ⋅
C
ρ
D
f (ζ ) f (ζ ) ∫C ζ − z dζ = ∫Kρ ζ − z dζ
∫
z +1 =
π sin z 4 dz + z2 − 1 1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 dz z2 − 1 1
2
2 2 = πi + πi = 2πi . 2 2
π cosθ ez 例6 求积分 ∫ dz , 并证明 ∫ e cos(sinθ )dθ = π . 0 z z =1
解
根据柯西积分公式知, 根据柯西积分公式知
− −
π
e iθ
π
= 2i ∫0 e
π
cosθ
cos(sinθ )dθ − ∫ e −π
−
π
cosθ
sin(sinθ )dθ
ez dz = 2π i , 因为 ∫ z z =1
-柯西积分公式
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
第二章 柯西定理公式
第二章 复变函数的积分
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
课件：柯西积分公式及推论
证 设z为 D 内任一点, 先证 n 1 的情况,
根据导数的定义,要证明
lim
z0
f
z
z
z
f
z
1
2 i
C
f z2
d
从柯西积分公式得
f
(z)
1
2
i
C
f
( )
z
d
,
f
(z
z)
1
2 i
C
f ( )
z z
d ,
f
z
z
z
f
z
1
2 i
C
f z2
d
1
2
i
C
[
f z z
z
f z
z0
dz
2
if
(z0
).
2. 柯西积分公式
定理3.9 (柯西积分公式)
设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界 区域, 设f (z)在D及C所组成的闭区域D上解析， 那么在D内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
f
( )
z
d
C是D的正向边界，我们称它为柯西积分公式。
证明： 设z D,显然函数F ( ) f ( ) 在满足 z
f
(n) (z0 )
n!
2 i
f (z) C (z z0 )n1 dz
ez
z 1 zn dz
2 i (e z )(n1)
(n 1)!
z0
2 i .
(n 1)!
（柯西不等式）若函数 f z在 z为0 心R为半径
的圆周CR 及其内区域上解析，如果
f z M ,z CR
柯西积分公式的基本内容
()()c f d i z ξξξ-⎰
内解析，在区域D 的边界()c f d i z ξξξ-⎰
柯西积分公式对于无界区域也成立：如果无界区域是有限条简单闭曲线C ，函数在内除了点外连续，同时当z 趋于∞时存在()c f d i z ξξξ--⎰ 柯西积分公式说明：如果一个函数在简单闭合曲线内部的值完全可由C 上的值而定。
1()()n c f d i z ξξξ+-⎰ 的导数仍为解析函数, 1()()n c f d i z ξξξ+-⎰
由定理可知，由函数在区域且也推出其各阶导数在D 内存在且连续。
这便是解析函数所具有的极好的性质，我们有()0c f z dz =⎰
内解析。
他刻画了解析函数的又一种定义。
函数()f z 在以C 为边界的有界区域()()c f d i z ξξξ-⎰ z 对于复变函数的研究颇具意义。
3.3柯西积分公式和推论
对C内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
(z D)
其中，沿曲线C的积分是按逆时针方向取 的，我们称它为柯西积分公式.
几个注意之点：
f
(z)
1
2 i
Cf( )ຫໍສະໝຸດ zd(z D)
1. 某些有界闭区域上的解析函数，它
在区域内任一点所取的值可以用它在边界
上的值表示出来. 2. 柯西公式是解析函数的最基本的
它在圆即周函上数的f (值z)的在平圆均心值z0.的值等于
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
0， 0 ( r0 )，
使得当0 r , z Cr时，
| f (z) f (z0 ) | .
因此 f (z) f (z0) dz | f (z) f (z0)| ds
Cr z z0
Cr | z z0 |
2 r 2
r
又
f (z) dz C z z0
f (z0)
1
2
i
f (z) dz.
C z z0
事实上，当r趋近于0时，有
f (z) dz f (z) f (z0 ) f (z0 ) dz
C z z0
Cr
f (z0)
z
1
z0
dz
Cr z z0
§3 柯西积分公式及其推广
§3. 柯西积分公式及其推广【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 36-42】 柯西积分公式定理：设区域的边界是围线，D l ()f z 在D （D l =+）上解析，则 ()()12l f z f dz i z απα=−∫ ()D α∈ 柯西积分公式 证明：对于任意固定的D α∈，由前面的例子知1112l dz i z πα=−∫，两边乘以()f α，得()()12l f f dz i z ααπα=−∫ 因此，只要证得()()0lf z f z αα−=−∫ ，即()()()2l l f z f dz dz if z z απααα==−−∫∫ ， 这就证得柯西积分公式。
()()f z f z αα−−作为的函数在内除z D z α=点外均解析。
以z α=为圆心，很小的ε为半径，作圆周c ε。
由前面的柯西定理的复连通区域推广，得()()()()lc f z f f z f dz dz z z εαααα−−=−−∫∫ ，上式并表明右边的积分是与c ε的半径ε无关的，所以()()()()0lim cc f z f f z f dz dz z z εεεαααα→−−=−−∫∫ 而由以前学过的不等式，()()()()max 2c cf z f f z f dz z z εεααπεαα−−≤−−∫()()max 2c c f z f z εεαπεα−=−()()()()max 22max cc f z f f z f εεαπεπαε−==−当0ε→时，c εα→（z α→），由于()f z 是连续的，则 ()()0lim max 0c f z f εεα→−=， ()()()()00limlim 2max 0c c f z f dz f z f z εεεεαπαα→→−∴≤−−∫=，而()()0lim 0c f z f dz z εεαα→−≥−∫，()()()()0lim0lim 0cc f z f f z f dz dz z z εεεεαααα→→−−∴=⇒=−−∫∫ 。
§2.4 柯西公式
j
举例
sin z (1) ∫= 4 z dz 2π i z 1 1 2 (2) ∫ ( + ) dz z +1 z − 3 z =4
解 : (1) sin z 在 z = 4 的内部及 z = 4 上解析 , 由定理 1 2π i sin z 1 ∫= 4 z dz = 2π i ⋅ 2π i sin z z
∂ nψ ∂t n
n! = 2π i
x
z x ∫ l ( z − x )n+1 x z 2 dz e z
−( z − x ) n +1
n! =e 2π i
d dz = e x n e− x ) n ( ∫ l ( z − x )n+1 dx e z
x
−z
n
n
=x −z
2
2
（2）证明：以 证明：
∂ψ ∂t n
n x2
t = x−zex来自 − z 2代入上式t =0
n! = 2π i
n! ∫ l ( x − z )n+1 d ( − z ) = 2π i
n − z2
∫ ( −1) ( z − x )
l n
e ⋅e
x2
− z2
n +1
dz
n! =e 2π i
z − x t = , z
t=0
并借以证明
∂ψ n ∂t
n
n
t=0
d =e x ne− x ) n ( dx
x
n
解：（1） ：（1
∂ψ n! = n ∂t 2π i
∫
e
l
− ξ x (1− ξ )
(ξ
− t)
(1 − ξ )
举例
sin z (1) ∫= 4 z dz 2π i z 1 1 2 (2) ∫ ( + ) dz z +1 z − 3 z =4
解 : (1) sin z 在 z = 4 的内部及 z = 4 上解析 , 由定理 1 2π i sin z 1 ∫= 4 z dz = 2π i ⋅ 2π i sin z z
∂ nψ ∂t n
n! = 2π i
x
z x ∫ l ( z − x )n+1 x z 2 dz e z
−( z − x ) n +1
n! =e 2π i
d dz = e x n e− x ) n ( ∫ l ( z − x )n+1 dx e z
x
−z
n
n
=x −z
2
2
（2）证明：以 证明：
∂ψ ∂t n
n x2
t = x−zex来自 − z 2代入上式t =0
n! = 2π i
n! ∫ l ( x − z )n+1 d ( − z ) = 2π i
n − z2
∫ ( −1) ( z − x )
l n
e ⋅e
x2
− z2
n +1
dz
n! =e 2π i
z − x t = , z
t=0
并借以证明
∂ψ n ∂t
n
n
t=0
d =e x ne− x ) n ( dx
x
n
解：（1） ：（1
∂ψ n! = n ∂t 2π i
∫
e
l
− ξ x (1− ξ )
(ξ
− t)
(1 − ξ )
-柯西积分公式
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
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n
(3.19)
这是一个用解析函数f ( z )的边界值表示其各阶导函数内 部值的积分公式.
注：
(1)
如果被积函数含有多个奇 点，就不能直接用公式 和 公式(3.19)可以改写成： (3.19)和(3.19)’
f (ξ ) 2πi ( n ) ∫C (ξ − z ) n+1 dξ = n! f ( z )
3. 柯西不等式与刘维尔定理 柯西不等式 : 含于D, 则有 设函数f ( z )在区域D内解析, a为D内 内一点,以a为圆心作圆周γ :| ξ − a |= R, 只要γ及其内部K均
柯西不等式是对解析函数各 阶导数模的估计式,说明解析 n! M ( R) (n) | f (a函数在解析点a的各阶导数 ) |≤ Rn 的估计与它的解析区域的大 其中M ( R ) = max | f ( z ) |, n = 1,2,L. 小密切相关. | z − a| = R
( z ∈ D, n = 1,2, L) (3.19)'
此公式可以计算一些周线积分。
cos z 例3.12 计算积分 ∫ dz, 其中C是绕i一周的周线. C ( z − i)3
应用上述定理得到： 应用上述定理得到：解析函数的无穷可微性
定理3.14 设函数f ( z )在z平面上的区域D内解析, 则 f ( z )在D内具有各阶导数, 并且它们在D内也解析.
(4) 由(3.15)得
f (ξ ) ∫C ξ − z dz = 2πif ( z ).
(5) 柯西积分公式的主要用途：用(4)计算某些周线 柯西积分公式的主要用途： 计算某些周线 积分。 积分。
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
例3.10 设C是圆周 | ξ |= 2, 计算积分
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
2. 解析函数的无穷可微性
定理3.13 在定理3.11的条件下,函数f ( z )在区域D内 有各阶导数, 并且有 n! f (ξ ) f ( z) = ∫C (ξ − z ) n+1 dξ ( z ∈ D) 2πi
在整个复平面上解析的函数称为整函数. 例如 : e x , cos x, sin x, 常数, 多项式都是整函数.
刘维尔定理 : 有界整函数必为常数.
这是一个非局部性命题,也是模有界定理 其逆也真. 也是模有界定理. 注: 这是一个非局部性命题 也是模有界定理 其逆也真
代数学基本定理 : 在z平面上, n次多项式 p ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + L + an 至少有一个零点. ( a0 ≠ 0)
注：
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)Βιβλιοθήκη (1).(3.15)即柯西积分公式. (2).(3.15)是用边界值表示解析函数内部值的积分公式, 是研究 各种解析函数的重要工具. 1 f (ξ ) (3). ∫C ξ − z dz 2πi (z ∉ C) 称为柯西积分.
∫
C
f ( z )dz = 0.
定理2.5 (解析的充要条件 解析的充要条件) 定理 解析的充要条件 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的 充要条件是:
(1).二元函数u x , u y , v x , v y 在区域D内连续; (2).u ( x, y ), v( x, y )在区域D内满足C. − R.方程.
∫
ξ
(9 − ξ )(ξ + i )
2
C
dξ
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
计算某些周线积分,被积函数在 注：用(4)计算某些周线积分 被积函数在 的内部 计算某些周线积分 被积函数在C的内部 只含有一个奇点,若有两个奇点 若有两个奇点， 只含有一个奇点 若有两个奇点，则不能直接用 柯西积分公式。 柯西积分公式。
4. 摩勒拉 摩勒拉(Morera)定理 定理
定理3.16( Morera定理) 若函数f ( z )在单连通区域D内 连续, 且对D内任一周线C , 有
∫
则f ( z )在D内解析.
C
f ( z )dz = 0,
注. 此即柯西积分定理的逆命题.
定理3.17 设函数f ( z )在区域G内解析的充要条件是 : (i ) f ( z )在G内连续; (ii ) C为G内任一条周线, 则
第三节 柯西积分公式
1.柯西积分公式 定理3.11 设区域D的边界是周线(或复周线)C , 函数f ( z ) 在D内解析, 在 D = D + C上连续, 则有 1 f (ξ ) f ( z0 ) = ∫C ξ − z0 dξ 2πi ( z0 ∈ D). (3.15)
由于z0的任意性，柯西积分公式： f ( z) = 1 f (ξ ) ∫C ξ − z dξ 2πi ( z ∈ D). (3.15)
例2.计算积分 4 dz ( j = 1,2,3) ∫C j z 2 − 1 1 1 (1)C1 :| z + 1 |= ; (2)C2 :| z − 1 |= ; (3)C3 :| z |= 2; 2 2 sin
π
z
特别的 : 有解析函数平均值定理 定理3.12 如果函数f ( z )在 | ξ − z0 |< R内解析, 在闭圆 | ξ − z0 |≤ R上连续, 则 1 2π f ( z0 ) = f ( z0 + Re iφ )dφ , 2π ∫0 即f ( z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的算术平均数.
(3.19)
这是一个用解析函数f ( z )的边界值表示其各阶导函数内 部值的积分公式.
注：
(1)
如果被积函数含有多个奇 点，就不能直接用公式 和 公式(3.19)可以改写成： (3.19)和(3.19)’
f (ξ ) 2πi ( n ) ∫C (ξ − z ) n+1 dξ = n! f ( z )
3. 柯西不等式与刘维尔定理 柯西不等式 : 含于D, 则有 设函数f ( z )在区域D内解析, a为D内 内一点,以a为圆心作圆周γ :| ξ − a |= R, 只要γ及其内部K均
柯西不等式是对解析函数各 阶导数模的估计式,说明解析 n! M ( R) (n) | f (a函数在解析点a的各阶导数 ) |≤ Rn 的估计与它的解析区域的大 其中M ( R ) = max | f ( z ) |, n = 1,2,L. 小密切相关. | z − a| = R
( z ∈ D, n = 1,2, L) (3.19)'
此公式可以计算一些周线积分。
cos z 例3.12 计算积分 ∫ dz, 其中C是绕i一周的周线. C ( z − i)3
应用上述定理得到： 应用上述定理得到：解析函数的无穷可微性
定理3.14 设函数f ( z )在z平面上的区域D内解析, 则 f ( z )在D内具有各阶导数, 并且它们在D内也解析.
(4) 由(3.15)得
f (ξ ) ∫C ξ − z dz = 2πif ( z ).
(5) 柯西积分公式的主要用途：用(4)计算某些周线 柯西积分公式的主要用途： 计算某些周线 积分。 积分。
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
例3.10 设C是圆周 | ξ |= 2, 计算积分
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
2. 解析函数的无穷可微性
定理3.13 在定理3.11的条件下,函数f ( z )在区域D内 有各阶导数, 并且有 n! f (ξ ) f ( z) = ∫C (ξ − z ) n+1 dξ ( z ∈ D) 2πi
在整个复平面上解析的函数称为整函数. 例如 : e x , cos x, sin x, 常数, 多项式都是整函数.
刘维尔定理 : 有界整函数必为常数.
这是一个非局部性命题,也是模有界定理 其逆也真. 也是模有界定理. 注: 这是一个非局部性命题 也是模有界定理 其逆也真
代数学基本定理 : 在z平面上, n次多项式 p ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + L + an 至少有一个零点. ( a0 ≠ 0)
注：
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)Βιβλιοθήκη (1).(3.15)即柯西积分公式. (2).(3.15)是用边界值表示解析函数内部值的积分公式, 是研究 各种解析函数的重要工具. 1 f (ξ ) (3). ∫C ξ − z dz 2πi (z ∉ C) 称为柯西积分.
∫
C
f ( z )dz = 0.
定理2.5 (解析的充要条件 解析的充要条件) 定理 解析的充要条件 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的 充要条件是:
(1).二元函数u x , u y , v x , v y 在区域D内连续; (2).u ( x, y ), v( x, y )在区域D内满足C. − R.方程.
∫
ξ
(9 − ξ )(ξ + i )
2
C
dξ
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
计算某些周线积分,被积函数在 注：用(4)计算某些周线积分 被积函数在 的内部 计算某些周线积分 被积函数在C的内部 只含有一个奇点,若有两个奇点 若有两个奇点， 只含有一个奇点 若有两个奇点，则不能直接用 柯西积分公式。 柯西积分公式。
4. 摩勒拉 摩勒拉(Morera)定理 定理
定理3.16( Morera定理) 若函数f ( z )在单连通区域D内 连续, 且对D内任一周线C , 有
∫
则f ( z )在D内解析.
C
f ( z )dz = 0,
注. 此即柯西积分定理的逆命题.
定理3.17 设函数f ( z )在区域G内解析的充要条件是 : (i ) f ( z )在G内连续; (ii ) C为G内任一条周线, 则
第三节 柯西积分公式
1.柯西积分公式 定理3.11 设区域D的边界是周线(或复周线)C , 函数f ( z ) 在D内解析, 在 D = D + C上连续, 则有 1 f (ξ ) f ( z0 ) = ∫C ξ − z0 dξ 2πi ( z0 ∈ D). (3.15)
由于z0的任意性，柯西积分公式： f ( z) = 1 f (ξ ) ∫C ξ − z dξ 2πi ( z ∈ D). (3.15)
例2.计算积分 4 dz ( j = 1,2,3) ∫C j z 2 − 1 1 1 (1)C1 :| z + 1 |= ; (2)C2 :| z − 1 |= ; (3)C3 :| z |= 2; 2 2 sin
π
z
特别的 : 有解析函数平均值定理 定理3.12 如果函数f ( z )在 | ξ − z0 |< R内解析, 在闭圆 | ξ − z0 |≤ R上连续, 则 1 2π f ( z0 ) = f ( z0 + Re iφ )dφ , 2π ∫0 即f ( z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的算术平均数.