高中数学竞赛专题一 函数与方程思想
高考数学函数与方程思想
【回顾反思】
以函数的零点为载体考查等比中项或等差中项，
其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比 数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一 的，故可以利用中项进行讨论与分析．
【方法运用】
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝13，S3 ) B．6 D．8
＝S11，当 Sn 最大时，n 的值是( A．5 C．7
【解析】 法一：由 S3＝S11，得 a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数 列的性质， 可得 a7＋a8＝0， 根据首项 a1＝13 可推知数列{an}递减， 从而得到 a7＞0，a8＜0，故 n＝7 时，Sn 最大．故选 C. 法二： 设{an}的公差为 d， 由 S3＝S11， 可得 3a1＋3d＝11a1＋55d， 把 a1＝13 代入，得 d＝－2，故 Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根 据二次函数的性质，知当 n＝7 时，Sn 最大．故选 C.
【解题过程】
a＋b＝p＞0， 由题意可得 ab＝q＞0，
则 a＞0，b＞0.
假定
2b＝a－2， a＞b＞0，则有 2 ab＝－2 ，
可得 q＝ab＝4，(数列代数化)
把 a＝2b＋2 代入 ab＝4，整理可得 b2＋b－2＝0，解得 b＝1(负值 舍去)，(函数应用) 则有 a＝4，那么 p＝a＋b＝5，可得 p＋q＝9，故填 9.(得出结论)
向量 b 满足|b|＝2，b· e1＝1，b· e2＝1，则对于任意 x，y∈R，|b－ (xe1＋ye2)|的最小值为________．
【解析】
2 |b － (xe1 ＋ ye2)|2 ＝ b2 ＋ x2e 1 ＋ y2e 2 e1 － 2yb· e2 ＋ 2 － 2xb·
高中数学竞赛专题一函数与方程思想
高中数学竞赛专题一函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容。
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。
一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。
高考数考点解读命题热点突破专题函数与方程思想数形结合思想文
专题22 函数与方程思想、数形结合思想【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.【命题热点突破一】函数与方程思想 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y ＝f (x )，当y ＞0时，就转化为不等式f (x )＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.例1、(1)设m ，n 是正整数，多项式(1－2x)m＋(1－5x)n中含x 项的系数为－16，则含x 2项的系数是( ) A ．－13 B ．6 C ．79 D ．37(2)已知函数f(x)＝(x ＋m)ln(x ＋m)在x ＝1处的切线斜率为1. ①若对∀x>0，恒有f(x)≥－x 2＋ax －2，求实数a 的最大值； ②证明：对∀x ∈(0，1]和任意正整数n 都有f(x)>xne x －1.【答案】(1)D(2)解：f′(x)＝ln(x ＋m)＋1，则f′(1)＝ln(1＋m)＋1＝1，得m ＝0，即f(x)＝xln x.①f(x )≥－x 2＋ax ＋2，即xln x≥－x 2＋ax －2，又x>0，所以a≤ln x＋x ＋2x .令h(x)＝ln x ＋x ＋2x，所以要使原不等式恒成立，则a≤h(x)min .h′(x)＝1x ＋1－2x 2＝x 2＋x －2x 2＝（x ＋2）（x －1）x2. 当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，h′(1)＝0，故x ＝1时，h(x)取得极小值，即最小值，所以h(x)min ＝h(1)＝3，所以a≤3，所以a 的最大值为3.【特别提醒】方程思想的本质是根据已知得出方程(组)，通过解方程(组)解决问题；函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题)，构造函数解题是函数思想的一种主要体现．【变式探究】(1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)．若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3(2)已知函数f(x)＝x 2ln x .①求f(x)的单调区间；②证明：当x>1时，x ＋(x －3)e x2ln x>0.【答案】(1) D【解析】AB →＝OB →－OA →＝(3，1)．因为AB →∥OC →，所以2m 3＝m ＋11，解得m ＝－3.(2)解：①f(x)＝x2ln x的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝x （2ln x －1）（ln x ）2. 由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(e ，＋∞)； 由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(0，1)，(1，e)． ②证明：由①知，当x>1时，f(x)的最小值为f(e)＝e ln e＝2e.令g(x)＝(－x 2＋3x)e x 2，x ∈(1，＋∞)，则g′(x)＝(－12x 2－12x ＋3)e x 2＝－12(x －2)(x ＋3)e x 2.当x>1时，由g′(x)>0得函数g(x)在区间(1，2)上单调递增；由g′(x) <0得函数g(x)在区间(2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝(－x 2＋3x)e x 2≤g(2)＝2e ，所以当x>1时，f(x)＝x 2ln x >g(x)＝(－x 2＋3x)e x 2，整理得x ＋(x －3)e x 2ln x>0.【命题热点突破二】数形结合思想例2、(1) 设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是( )A ．[－32e ，1)B ．[－32e ，34)C ．[32e ，34)D ．[32e，1)(2)向量a ＝(2，0)，b ＝(x ，y)，若b 与b －a 的夹角为π6，则|b |的最大值为( )A ．4B ．2 3C ．2 D.4 33【答案】 (1)D (2)A直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.结合函数图像可知，存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a)在点(x 0，g(x 0))的上方，则x 0只能是0，故实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a≥0，－1＋a<0，e≥0，解得32e≤a<1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1.【特别提醒】数形结合思想主要是根据函数图像(或者其他几何图形)，找到解决问题的思路，帮助建立数的运算或者推理(以形助数)的一种方法．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解 (或函数零点)的个数.【变式探究】(1)函数y ＝f(x)为定义在R 上的减函数，函数y ＝f(x －1)的图像关于点(1，0)对称，x ，y 满足不等式f(x 2－2x)＋f(2y －y 2)≤0，M(1，2)，N(x ，y)，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，OM →·ON →的取值范围为( )A ．[12，＋∞)B ．[0，3]C ．[3，12]D ．[0，12](2)已知向量α，β，γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一确定的β，|γ|的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意β，m －n 的最小值是( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2 【答案】(1)D (2)A(2)平移向量α，β，γ，使它们的起点位于点O 处，终点分别记作A ，B ，C ，如图所示，根据|α－β|＝|β|可知点B 在OA 的垂直平分线上．根据(α－γ)·(β－γ)＝0知点C 在以AB 为直径的圆上，故m －n 等于圆的直径AB.又OB ＝AB ，所以要使AB 最小，则只要OB 最小即可，由图易知，当点B 为线段OA 的中点时，m －n 取得最小值12.【高考真题解读】1．[2015·全国卷Ⅱ改编] 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝________． 【答案】42【解析】由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.2．[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 【答案】12【解析】因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t(a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.3．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编] 设m 为正整数，(x ＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________． 【答案】6【解析】(x ＋y)2m展开式的二项式系数的最大值是C m2m ，即a ＝C m2m ；(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值是C m 2m ＋1，即b ＝C m 2m ＋1，因为13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，所以13（2m ）！m ！·m！＝7（2m ＋1）！（m ＋1）！·m！，解得m ＝6.4．[2015·全国卷Ⅱ改编] 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R )的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(0，1)5．[2014·辽宁卷改编] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－6，－2]【解析】当－2≤x<0时，不等式转化为a≤x 2－4x －3x 3， 令f(x)＝x 2－4x －3x3(－2≤x<0)， 则f′(x)＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，不等式恒成立．当0<x≤1时，a≥x 2－4x －3x 3，令g(x)＝x 2－4x －3x 3(0<x≤1)， 则g′(x)＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4， 故g(x)在(0，1]上单调递增，此时有a≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a≤－2.6．[2013·山东卷] 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 【答案】2 2【解析】设弦与圆的交点为A ，B ，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝2 2.7．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x>0.若函数y ＝f(x)－a|x|恰好有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】(1，2)。
完整word版,高中数学常用的数学思想之函数与方程
4.三、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型〔方程、不等式、或方程与不等式的混合组〕，然后通过解方程〔组〕或不等式〔组〕来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，到达解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充满着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y 0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它表达了“联系和变化〞的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比拟深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定适宜的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
高中数学思想方法之“函数与方程思想”
高中数学思想方法之“函数与方程思想”（2012.8.6）一、知识整合：一、知识整合：函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点．1．函数的思想．函数的思想函数的思想，函数的思想，是用运动和变化的观点，是用运动和变化的观点，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，分析和研究数学中的数量关系，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．分析和解决问题．分析和解决问题．经常经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．2．方程的思想．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．研究运动中的等量关系．3．函数思想与方程思想的联系．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．4．函数与方程思想解决的相关问题．函数与方程思想解决的相关问题(1)函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．性质，达到化难为易，化繁为简的目的．(2)方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；④构造方程或不等式求解问题．④构造方程或不等式求解问题．此外，运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，最典型的例子上三个“二次”之前的关系。
高中数学 函数与方程思想
g(1)＝1，又
g(1e)＝e13＋3，g(e)＝e3－3，
且 g(1)<g(e)， e
故函数 g(x)＝x3－3lnx 在 x∈[1，e]上的最大值为 g(e)＝e3－3，故函数 g(x)＝x3－3lnx 在 e
区间[1，e]上的值域为[1，e3－3]． e
则有 1≤a＋1≤e3－3，则有 0≤a≤e3－4，
2
66
4
∵f(π)＝π－cosπ＝π， 2 4 24
∴在区间(－π，7π)上有且只有一个实数 x＝π满足 f(x)＝π.
66
2
4
当 x≤－π时，有 1x≤－ π ，－cosx≤1，
6
2 12
∴x≤－π时，f(x)＝1x－cosx≤－ π ＋1<π，
6
2
12 4
由此可得当 x≤π时，f(x)＝π没有实数根．
所以有 x≤－y，故选 B.
规律总结
函数与方程思想在不等式问题中的应用要点
1．在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利 用函数的最值解决问题．
2．要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函 数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
1．已知函数 f(x)＝1x－cosx，则方程 f(x)＝π所有根的和为( C )
2
4
A．0
B．π 4
C．π 2
D．3π 2
[解析] ∵f(x)＝1x－cosx，∴f ′(x)＝1＋sinx.
2
2
当 x∈(－π，7π)时， 66
∵sinx>－1，∴f ′(x)＝1＋sinx>0，
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
高中数学竞赛分模块讲解篇
来自高中数学爱好者的编辑------------模块讲解篇模块一：集合 函数 不等式一,基础知识导引 <一>,集合 1,集合的性质集合中的元素是确实的,互异的,无序的. 2,集合的表示方法(1)列举法:如{1,2,3,4} (2)描述法:如{()}S x P x =. 3,集合的元素个数有限集合A 的元素个数记作A ,我们有下面的容斥原理 (1)A B A B A B =+- ,(2)A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 4,最小数原理(1)设M 是正整数集的一个非空子集,则M 中必有最小数(2)设M 是实数集的一个有限的非空子集,则M 中必有最小数. <二>函数 1,函数的图象(1)函数的图象的平移变换与伸缩变换: 平移变换:()()y f x y b f x a =-=-向右平移a 个单位向上平移b 个单位伸缩变换:11()()y f x y f x B A==x 伸长到原来的A 倍y 伸长到原来的B 倍 (A>0,B>0)(2)函数的图象的对称变换与翻折变换对称变换:通过点对称进行研究, 翻折变换:()()y f x y f x ==保留y 轴右边的图像,去掉y 轴左边的图像再作关于y 轴对称的图像;()()y f x y f x ==保留x 轴上方的图像并将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方去1,函数的性质(1)奇偶性:定义域关于原点对称,且()()f x f x -=(偶)或()()f x f x -=-(奇)(2)单调性:1212()()x x f x f x <⇒<(增)或12()()f x f x >(减) (3)周期性:对于0T >,有()()f x T f x +=, 2,函数的最大值与最小值(1)对于定义域D 内的任意x ,存在0x D ∈,使得0()()f x f x ≤,则max 0()()f x f x =; 对于定义域D 内的任意x ,存在0x D ∈,使得0()()f x f x ≥,则min 0()()f x f x = (2)()f x 在闭区间[,]a b 内连续,则()f x 必有最大值与最小值. (3) ()()f x g x ≥恒成立min ()()man f x g x ⇔≥或min [()()]0f x g x -≥. <三>,不等式(1),均幂不等式链 设12,,,n a a a R +⋅⋅⋅∈,则12111nn a a a ++⋅⋅⋅+(调和平均)≤(几何平均)12n a a a n++⋅⋅⋅+≤(算术平均)≤平方平均)≤ (k 次方平均,2k ≥),等号成立的条件是12n a a a ==⋅⋅⋅=. (2),柯西不等式设12,,,n a a a ⋅⋅⋅与12,,,n b b b ⋅⋅⋅R ∈,则222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+等号成立的条件是1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=. (3),排序不等式设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,i i ···n i 是 1,2,···,n 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和) 1212i i a b a b ≥++···+n n i a b (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和)当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时,等号成立.二,解题思想与方法导引.1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,转化5,换元法 6,配方法 7,判别式法 8,局部调整法. 三,习题导引 <一>选择题1,设全集{(,),}I x y x y R =∈,集合3{(,)1}2y M x y x -==-,{(,)1}N x y y x =≠+, 那么I I C M C N 等于A,∅ B,{(2,3)} C,(2,3) D,{(,)1}x y y x =+ 2,函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间是A,(,1)-∞- B,(,1)-∞ C,(1,)+∞ D,(3,)+∞3,若非空集合{2135}A x a x a =+≤≤-,{333}B x x =≤≤,则能使()A A B ⊆ 成立 的所有a 的集合是A,{19}a a ≤≤ B,{69}a a ≤≤ C,{9}a a ≤ D,∅ 4,设()f x 是一个函数,使得对所有整数x 和y ,都有()()()61f x y f x f y xy +=+++ 和 ()()f x f x =-,则(3)f 等于A,26 B,27 C,52 D,53 5,函数()122x x xf x =-- A,是偶函数但不是奇函数 B,是奇函数但不是偶函数C,既是偶函数又是奇函数 D,既不是偶函数也不是奇函数 6,若对任何[0,1]x ∈,不等式11kx lx -≤≤-恒成立,则一定有 A,10,3k l ≥≥ B,0,k l ≥≤ C,11,43k l ≥≤ D,1,2k l ≥≤<二>填空题7,一次函数()f x ax b =+的图象经过点(10,13),它与x 轴的交点为(,0)p ,与y 轴的交点为(0,)q ,其中p 是质数,q 是正整数,则满足条件的所有一次函数为 .8,函数2()f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值()M a = .9,已知()f x 是定义域在(0,)+∞上的音调递增函数,且满足(6)1f =,()()()x f x f y f y-=(0,0)x y >>,则不等式1(3)()2f x f x+<+的解集是 .10,设,,,x y z t 满足1100x y z t ≤≤≤≤≤,则x zy t+的最小值为 . 11,已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}xB x a x a x x R -=+≤-++≤∈.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .12,使不等式22sin cos 1cos x a x a x ++≥+对一切x R ∈恒成立的负数a 的取值范围 是 . <三>解答题13,是否存在实数a ,使函数2()2f x x ax a =-+的定义域为[1,1]-,值域为[2,2]-. 若存在,求a 的值;若不存在,说明理由.14,设二次函数2()f x ax bx c =++(,,,0a b c R a ∈≠)满足条件: (1)当x R ∈时,(4)(2)f x f x -=-,且()f x x ≥; (2)当(0,2)x ∈时,21()()2x f x +≤; (3)()f x 在R 上的最小值为0.求最大的(1)m m >,使得存在t R ∈,只要[1,]x m ∈,就有()f x t x +≤.15,求方程11145x y z ++=的正整数解.四,解答导引1,B M 表示直线1y x =+上除去点(2,3)的部分,I C M 表示点(2,3)和除去直线1y x =+的部 分,I C N 表示直线1y x =+上的点集,所以,I I C M C N 表示的点集仅有点(2,3),即{(2,3)}. 2,A ()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞-+∞ ,而2223(1)4u x x x =--=--在(,1)-∞-上单 调递减,在(3,)+∞上单调递增,所以,()f x 在(,1)-∞-上单调递增,在(3,)+∞上单调递减.3,B 由()A A B ⊆ 知A B ⊆,所以2335223521a a a a +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥+⎩,解得69a ≤≤.4,A 令0x y ==,得(0)1f =-,令y x =-,得2()31f x x =-,所以(3)26f =. 5,A 3(1)2f =-,3(1)2f -=-.有(1)(1)f f =- 6,D由(11kx -≤,得2(1)(1)1x kx +-≤,于是222322121k x kx k x kx x -++-+≤,又[0,1]x ∈,有222(2)120k x k k x k +-+-≤,得12k ≥.1lx≤-,得221121lx l xx≤-++,有222(2)120l x l l x l+-+-≥, [0,1]x∈⇒l≤.7,()13143f x x=-+或()23f x x=-+. 由题意得1013q p pq+=,有(10)(13)130p q--=.p只能是11,23. 当p=11时,q=143; 当p=23时,q=23. 8,11,21,2a aa a⎧-≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩当当. 数形结合,分类讨论.9,{0x x<<.由1(3)()2(6)f x f fx+-<及单调性,知((3)(6))(6)f x x f f+-<,得(3)66x xx+⎧<⎪⎨⎪>⎩. 10,15. 1100x y z t≤≤≤≤≤,x zy t+要最小,则1,100x t==,y尽量大,z尽量小,于是y x=,得111005yy+≥=,这时1,10,100x x y t====.11,41a-≤≤-. 可得{13}A x x=<<,设1()2xf x a-=+,2()2(7)5g x x a x=-++要使A B⊆,只需()f x,()g x在(1,3)上的图象均在x轴的下方,则(1)0f≤,(3)0f≤,(1)0g≤,(3)0g≤,由此可解得结果.12,2a≤-. 原不等式可化为2221(1)(cos)24a ax a---≤+,由1cos1x-≤≤,10,02aa-<<知当cos1x=时,函数21(cos)2ay x-=-有最大值21(1)2a--,于是2221(1)(1)24a aa---≤+,解得2a≤-或1a≥(舍去). 13,解:22()()f x x a a a=-+-,对称轴是x a=.(1)当1a >时,()f x 在[1,1]-上是减函数, 有(1)2(1)2f f -=⎧⎨=-⎩,得a ∈∅;(2)当01a ≤≤时,有()2(1)2f a f =-⎧⎨-=⎩,得a ∈∅;(3)当10a -≤<时,有()2(1)2f a f =-⎧⎨=⎩,得1a =-;(4)当1a <-时,()f x 在[1,1]-上是增函数,有(1)2(1)2f f -=-⎧⎨=⎩,得a ∈∅.于是存在1a =-,使()f x 的定义域为[1,1]-,值域为[2,2]-.14,解:由(4)(2)f x f x -=-,x R ∈,可知二次函数()f x 的对称轴为1x =-, 又由(3)知,二次函数()f x 的开口向上,即0a >, 于是可设2()(1)f x a x =+ (0a >) 由(1)知(1)1f ≥,由(2)知211(1)()12f +≤=,所以(1)1f =, 得21(11)a =+,有14a =, 所以得21()(1)4f x x =+. 因为21()(1)4f x x =+的图象开口向上,而()y f x t =+的图象是由()y f x =的图象平移 t 个单位得到.要在区间[1,]m 上,使得()y f x t =+的图象在y x =的图象的下方,且m最大,则1和m 应当是关于x 的方程21(1)4x t x ++= ① 的两个根令1x =代入方程①,得0t =或4t =-.当0t =时,方程①的解为121x x ==,这与1m >矛盾! 当4t =-时,方程①的解为121,9x x ==,所以9m =. 又当4t =-时,对任意[1,9]x ∈,恒有 (1)(9)0x x --≤,即21(41)4x x -+≤ 也就是(4)f x x -≤,所以,m 的最大值为9.15,解:由对称性,不妨设x y z ≤≤,则111x y z≥≥, 有111145x x y z ≥++=,得154x ≤. 又x 是正整数,所以x =1或2或3. (1)若1x =,1115y z +=-无正整数解, (2)若2x =,则2114135210y y z ≥+=-=,得203y ≤, y 是正整数,且2y ≥,于是3,4,5,6y =.当3y =时,30z =-(舍去);当4y =时,20z =;当5y =时,10z =;当6y =,7.5z =(舍去).(3)若3x =,则2114175315y y z ≥+=-=,得307y ≤, y 是正整数,且3y ≥,于是3y =或4, 经检验,这时方程无正整数解,所以原方程的正整数解为(,,)(2,4,20)x y z =或(2,5,10).[参考题]:k 是实数,42421()1x kx f x x x ++=++,对任意三个实数,,,a b c 存在一个以(),(),()f a f b f c 为 三边长的三角形,求k 的取值范围.(答案:142k -<<)模块二：函数 数列 数学归纳法 整数一,基础知识导引 <一>,数列: 1,等差数列:(1),定义:12()n n n n a a d a a ++-==+n+1常量或2a .(2),通项公式:1(1)n a a n d =+-. (3),前n 项和公式:11()(1)22n n a a n n n S na d +-==+.(4),任意两项,n m a a 有()n m a a n m d =+-.(5),对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则m n k l a a a a +=+.反之不行. (6),若{},{}n n a b 均是等差数列,则{}n n ca db +也是等差数列.(,c d R ∈) 2,等比数列: (1),定义:11()n n n na a q a a ++==n+2n+1a常量或a .(2),通项公式:11n n a a q -=. (3),前n 项和公式:11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩.(4),任意两项,n m a a 有n mn m a a q -=.(5),对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则n m k l a a a a =. (6),无穷递缩等比数列所有项和公式:1lim (01)1n n a S S q q→∞==<<-. 3,一些常用递归数列的通项:(1),形如1()n n a a f n +=+的一阶递归式,其通项求法为1111111()()n n n k k k k a a a a a f k --+===+-=+∑∑.(累加法)(2),形如1()n n a f n a +=的递归式,其通项求法为3211121(1)(2)(3)(1)(2)n n n a a a a a a f f f f n n a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-≥.(累积法) (3),形如1(1)n n a pa q p +=+≠的递归式,由1n n a pa q +=+及1n n a pa q -=+,两式相减 得11()n n n n a a p a a +--=-,有1{}n n a a +-是首项为21a a -,且公比为p 的等比数列,先求 出1n n a a +-,再求出n a .(4),形如1()(1)n n a pa q n p +=+≠的递归式,两边同时除以1n p+,得111()n n n n n a a q n p p p+++=+,令n n n a b p =,得11()n n n q n b b p ++=+,求n b ,再求n a . (5),形如1qn n a pa +=(0,0n p a >>)的递归式,两边取对数有1lg lg lg n n a q a p +=+, 令lg n n b a =,则1lg n n b qb p +=+,仿(3)得n b ,再求n a .<二>数学归纳法 形式1:(i)验证0()p n 成立; (ii)假设()p k (0k n ≥)成立,那么可推出(1)p k +也成立. 形式2:(i)验证000(1),(2),,()p n p n p n r ++⋅⋅⋅+;(ii)假设()p k 成立, 那么可推出()p k r +也成立. <三>,整数: 1,整数的分类:(1),⎧⎪⎨⎪⎩负整数0正整数; (2)±⎧⎨⎩奇数:形如2n 1的数,它的平方被4,8除余1.偶数:形如2n 的数,它的平方被4整除.(3),⎧⎪⎨⎪⎩质数(素数):只有1与本身两个约数.1合数:约数个数大于2个.(4),⎧⎨⎩2完全平方数:形如m 的数,m 为整数.非完全平方数.2,不定方程的常用解法: (1),公式法:若00x x y y =⎧⎨=⎩是方程ax by c +=的一组整数解,则该方程的所有解为00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t z ∈).(2),数或式的分解法; (3),不等式法; (4),奇偶分析法; (5),换元法. 二,解题思想与方法导引1,归纳-猜想-证明; 2,数形结合; 3,整体处理; 4,换元法; 5,配方法; 6,估算法. 三,习题导引 <一>,选择题1,删去正整数数列1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003 项是A,2046 B,2047 C,2048 D,2049 2,已知数列{}n a 满足134(1)n n a a n ++=≥且19a =,其前n 项之和为n S ,则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是 A,5 B,6 C,7 D,8 3,设等差数列{}n a 满足81335a a =,且10a >,n S 为其前n 项之和,则n S 中最大的是 A,10S B,11S C,20S D,21S 4,等比数列{}n a 中,11536a =,公比12q =-,用n ∏表示它的前n 项之积,则n ∏中最大的是 A,9∏ B,11∏ C,12∏ D,13∏ 5,已知数列{}n a 满足11(2)n n n x x x n +-=-≥,12,x a x b ==,记12n n S x x x =++⋅⋅⋅+,则下列结论正确的是A, 100100,2x a S b a =-=- B,100100,2x b S b a =-=- C,100100,x b S b a =-=- D,100100,x a S b a =-=- 6,给定公比为(1)q q ≠的等比数列{}n a ,设1123b a a a =++,2456b a a a =++,⋅⋅⋅,32313n n n n b a a a --=++,则数列{}n bA,是等差数列车员 B,是公比为q 的等比数列 C,是公比为3q 的等比数列 D,既非等差数列又非等比数列 <二>填空题7,设数列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足121a a ==,32a =,且对任意自然数n ,都有12n n n a a a ++⋅⋅1≠,又123123n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅=+++,则12100a a a ++⋅⋅⋅+的值是 .8,各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的 数列至多有 项.9,设正数012,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(2)n a n -=≥,且011a a ==, 则数列{}n a 的通项n a = .10,将二顶式n 的展开式按x 的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有 个.11,正整数n 使得22005n +是完全平方数,则22(2005)n n +的个位数字是 . 12,已知数列012,,,...,,...,n a a a a 满足关系式10(3)(6)18,3n n a a a +-+==且，则1ni o ia =∑的值是_________________________。
超实用高考数学复习教学课件： 第1讲 函数与方程思想
∴8＝2px0，①
点 A(x0,2 2)在圆 x2＋y2＝r2 上，
∴x20＋8＝r2，②
点 Dp2，
5在圆 x2＋y2＝r2 上，
∴5＋p22＝r2，③ 联立①②③，解得 p＝4(负值舍去)，
即 C 的焦点到准线的距离为 p＝4．故选 B．
(2)因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，
所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，
• 函数与方程思想在不等式中的应用 • 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的 图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大
小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．
应用二 函数与方程思想在数列中的应用
典例2
(1)(2020·泰安模拟)已知函数 f(x)＝x3＋lg( x2＋1
＝
1＋2471RR22＝ 27.
• 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量 经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以 通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范 围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解 答．
做题时要善于总结。不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有 所收获，才能举一反三。
第三轮复习，即考前冲刺复习阶段
在这个阶段我们应该大量做一些练习，要做题先要选题，高考真题一定是
最好的练习题！因此建议一定要好好做一下最十年以来的高考试卷，包括全国 卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩 固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻 开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟 比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高 我们的自信心。
高中数学中函数与方程思想的研究
高中数学中函数与方程思想的研究函数与方程思想是数学学科中的两个重要思想，也是解决实际问题的重要方法。
在高中数学教学中，函数与方程思想的应用对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
本文旨在探讨函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究，以期为优化高中数学教学提供参考。
普通高中教学的主要目标是培养学生的创新精神和实践能力，为其未来的发展奠定基础。
在这个过程中，数学学科作为一门重要的基础课程，需要着重培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
函数与方程思想作为数学学科的基本思想，也是解决高中数学教学问题的关键。
在普通高中教学中，函数与方程思想的实践主要包括以下环节：教学准备：教师需要深入理解函数与方程思想的概念和特点，掌握其在解决问题中的应用方法。
同时，教师应结合具体的教学内容和教学目标，准备好相应的教案和学案。
教学目标制定：教师需要明确函数与方程思想的教学目标，包括知识目标、能力目标和情感目标。
同时，教师需要根据学生的实际情况和需求，制定相应的教学计划。
教学实施：教师在课堂上需要采用多种教学方法和手段，如案例教学、探究式教学等，引导学生理解和掌握函数与方程思想，并运用它们解决实际问题。
教学反思：教师需要及时反思自己的教学过程和效果，发现问题并及时改进，以便更好地提高教学质量和效果。
以高中数学中“函数”章节的教学为例，教师可以通过以下方式将函数与方程思想融入教学中：帮助学生理解函数的概念和性质，如定义域、值域、单调性等，为后续的应用奠定基础。
通过实例让学生了解函数在解决实际问题中的应用，如利用函数解析式解决行程问题、利润问题等。
引导学生通过方程或不等式的方式描述实际问题，然后利用函数的性质和相关算法求解。
例如，帮助学生理解以下题目：某公司为了营销一款产品，计划在三个方面进行投入（x1, x2, x3），已知产品总成本为C元。
试求C关于x1, x2, x3的函数关系式。
教师可以引导学生列出成本与投入之间的方程，然后通过调整方程的形式，使学生理解函数关系式的意义和应用。
高中数学竞赛中的函数方程问题研究
高中数学竞赛中的函数方程问题研究一、本文概述《高中数学竞赛中的函数方程问题研究》是一篇深入探讨高中数学竞赛中函数方程问题的重要文章。
本文将全面概述函数方程问题的基本概念、类型、解题策略以及在实际竞赛中的应用。
通过对函数方程问题的深入研究，旨在帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的关键技巧，提高数学竞赛的应对能力。
在本文中，我们将首先介绍函数方程问题的基本概念和分类，以便读者对这类问题有一个清晰的认识。
接着，我们将重点分析函数方程问题的解题策略和方法，通过实例讲解让读者更加直观地理解并掌握这些技巧。
本文还将对函数方程问题在数学竞赛中的应用进行探讨，帮助读者了解如何将这些策略应用到实际竞赛中。
我们将对全文进行总结，强调函数方程问题在高中数学竞赛中的重要性，并鼓励读者通过不断练习和实践，提高自己的数学竞赛水平。
通过本文的阅读和学习，相信读者将能够更好地应对高中数学竞赛中的函数方程问题，取得优异的成绩。
二、函数方程的基本概念与性质函数方程是数学竞赛中经常遇到的一类问题，它涉及函数与方程两个核心数学概念的结合。
在深入研究函数方程问题之前，我们首先需要明确函数方程的基本概念与性质。
函数方程是指既含有未知数，又含有未知函数的方程。
其中，未知函数是方程中待确定的函数关系，而未知数则是方程中待确定的常数或变量。
例如，方程f(x) + x = 0就是一个简单的函数方程，其中f(x)是未知函数，x是未知数。
函数值的存在性：对于函数方程，其解必须满足函数的定义域要求，即解集内的每一点都必须是函数的定义域内的点。
函数的唯一性：在函数方程的解集中，每一个自变量只对应一个函数值。
这意味着在求解函数方程时，我们必须确保得到的解满足函数的这一基本性质。
方程的等价性：如果两个函数方程在相同的定义域内，对于所有的自变量都有相同的函数值，则这两个方程是等价的。
这一性质在函数方程的化简和求解过程中尤为重要。
解的多样性：函数方程的解可能不唯一，即可能存在多个满足方程的函数。
高中数学竞赛辅导-函数
4.( 教程 P86 17)设 f (x) x2 2tx t, x 1,1
1 求 f ( x)max min . 4
2.［分析］这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题，
是一个四次函数的最值问题.表面上看起来很难.但借助于配方
法、换元法及二次函数极（最）值性质,可得结果.
tmin=
5 4
，tmax=29
∴y=t2+4,t∈[ 5 ,29]抛物线开口向上,对称轴 t=0∈[ 5 ,29]，
4
4
∴ymin=4
故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在［-3,3］上的最小值是 4.
练习 3.∵ f ( x) ( x 3)2 ( x2 2)2 x2 ( x2 1)2 ∴可知函数 y f (x) 的几何意义是抛物线 y x2 上的点 P( x, x2 ) 到两定点 A(3, 2), B(0,1) 的距离之差. ∴ PA PB ≤ AB 10
3.定义在实数集上的函数 f(x)，对一切实数 x 都有
f(x＋1)＝f(2－x)成立，若 f(x)＝0 仅有 101 个不同的实数
根，那么所有实数根的和为( )
(A)150 (B) 303
2
(C)152
(D) 305
2
提示：由已知，函数 f(x)的图象有对称轴 x＝ 3 2
于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.
(1 t (t ≥1)
1)
不难得到
f
( x)max
min
1 4
二.函数的性质与图象
思考 1. 函数 y = f ( x ) 对任意实数 x，总有
高考数学解题思想：函数与方程思想
高考数学解题思想：函数与方程思想高考数学复习是有规律有内部联系的复习过程，在所有题型中一直串联着数学思想在里面，而不是单独的进行题海战术，做会一道题，完全把握解题思维好于单独做100道题。
数学网高考频道整理高考数学包蕴的六大数学思想，大题无外乎就这几类，吃透规律事半功倍。
高考数学解题思想：函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。
利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
例3 若曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范畴是_____ ___。
分析：本题从方程的角度动身可直截了当作出方程y=2x+1的方程y=b 的图像，观看即可得出结论，也可将“曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点”转化为判定方程b=2x+1何时无解的问题。
解：因为函数y=2x+1的值域为(1,+∞)，因此当b≤1，即-1≤b≤1时，方程b=2x+1无解，即曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点。
例4 设函数f(x)=log2(2x+1)的反函数为y=f-1(x)，若关于x的方程f-1(x) =m+f(x)在[1,2]上有解，则实数m的取值范畴是。
分析：求出函数f(x)的反函数f-1(x)=log2(2x-1)，可将方程转化为m=l og2(2x-1)-log2(2x+1)，因此原问题转化为求函数y=log2(2x-1)-log2(2x+1)，x ∈[1,2]的值域。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
高中数学第3部分 策略1 1.函数与方程思想优秀课件
函数思想与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成
的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究
运动中的等量关系.
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• 应用1 目标函数法求最值 • 【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，点A(－1,0)，
B(2,0)，E，F是y轴上的两个动点，且|EF|＝2，那么向量 AE·BF的最小值为________．
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【对点训练 2】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的
焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两
点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16
B．14
C．12
D．10
(2)(2019·北京高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝－3，
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【练习 1】已知在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB＝120°，C 是 OB 的中点，P 为弧 AB 上任意一点，且O→P＝λO→A＋μO→C，则 λ＋μ 的 最大值为________．
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切入点：联想三角函数的定义、平面向量的坐标运算，建系求1) 3
返
首
10
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由yy＝ 2＝k4xx－，1， 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2k＋2 4，x1x2＝1， 所以|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2| ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k2· 2k2k＋2 42－4＝41＋ k2 k2.
则
23μ＝2sin
θ，
λ＝cos
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高中数学竞赛专题一函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容。
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。
一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。
要总结、归纳运用函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律。
在解题中，充分、合理地运用函数与方程的思想方法，会产生意想不到的效果方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些量．这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、经典例题剖析1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A . 0B . １C . ２D . ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t (t ≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A .2. 由函数f (x )＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g (x )＝k 可得出答案为A .3. 设t ＝|x 2－1|(t ≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f (x )＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A .答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q )列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－. (１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan 2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13， 又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案： 点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ). Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３ 解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a ≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ. 2. 看成关于a 的不等式，由f (0)≥0，且f (12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f (12)≥g (12)，即a ≥－52. 5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F (0，1)，λ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ . 所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB | |FM |. |FM |＝＝ ＝＝＝.因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2. 于是S ＝12|AB | |FM |＝12()3由≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4. 点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f (x )，g (x )分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＞０，且g (－３)＝０，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x )＝f (x )g (x )，由f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数.又当x ＜0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，所以x ＜0时，F (x )为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F (x )也为增函数.因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F (x )＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D .答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F (x )＝f (x )g (x )，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f (x )是定义在［０，１］上的增函数，满足f (x )＝２f (x 2)且f (１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f (x )的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f (０)及f (12)，f (14)的值，并归纳出f ()(i ＝１，２，……)的表达式；(２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f (x )的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k )＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k )的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f (0)＝２f (０)，得f (０)＝０.由f (１)＝２f (12)及f (１)＝１，得 f (12)＝12f (１)＝12. 同理，f (14)＝12f (12)＝14. 归纳得f ()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x ≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k )的定义域为｛k |0＜k ≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 . 解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k ，该式恒成立，则Δ′＝12(b －1)2－4［１６－(b －1)2］≤0，即－１≤b ≤３.方法２，已知椭圆与y 轴交于两点(０，－１)，(０，３). 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆恒有公共点，则(０，b )在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b ≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.07年8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为21，则a= （D ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．49．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的 （B ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件 10．2n 1(x )x -的展开式中，常数项为15，则n ＝ （D ）A ．3B ．4C ．5D ．6 12．函数2cos 2cos )(22x x x f -=的一个单调增区间是 （A ） A ．（π2π,33） B ．（2,6ππ） C ．（π0,3） D ．（－ππ,66） 15．等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{a n }的公比为 1/3 。