十字相乘法在化学计算中的应用

十字相乘法概念

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积

a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接

写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

a1a2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即

a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 就是比较两个分数的大小

例;a/b与c/d

则=ad与cb

就是两个分子分母互相乘

来比较乘积的大小

先看一则例子

例：将质量分数分别为30%和5%的盐酸按一定比例混合后得到质量分数为10%的盐酸，计算需加入的30%和5%盐酸的质量比是多少？

分析：可用十字交叉法进行计算

[解]设：30%和质量5%的盐酸的质量为x和y，有

x 30%\ /10%-5% 5% 1

— = 10% ———= —= —

y 5%/ \30%-10% 20% 4

答：需要的30%和5%的盐酸的质量为1：4

什么是十字交叉法？

即根据质量分数不同（如a，b，且a>b）的两份溶液按比例混合后得到另一质量分数的溶液（如c），则混合前溶液的质量（如x和y）比例可用以下公式进行计算：

（说明：混合前a>b，混合后的质量分数大小必为a

x a\ /c-b <----大的数a在上面，c和b的延长线为c-b，通常叫“中数减小数”

—= c ——<----中的数c在中间

y b/ \a-c <----小的数b在下面，a和c的延长线为a-c，通常叫“大数减中数”

由于造型像个交叉的十字，所以叫十字交叉法……

十字交叉法的原理：

如上，设两份质量分数分别为a和b且a>b的溶液混合后得到质量分数为c的溶液，设a和b溶液的质量分别为x和y，则：

ax+by

——— = c

x+y

=> ax+by = c(x+y)

=> ax+by = cx+cy

=> ax-cx = cy-by

=> (a-c)x = (c-b)y

x c-b

=> — = ——

y a-c

十字交叉法的应用：

常应用于不同浓度的溶液的混合，含同一元素的不同化合物混合后元素的质量分数等，凡涉及到不同质量分数混合大都可用此法

例题：

1、实验室准备用30%和5%的盐酸混合配制质量分数为20%的盐酸1000g，需要30%和5%的盐酸各多少克？

[解]设：需要30%和5%的盐酸的质量分别为x，y

x 30%\ /20%-5% 15% 3

—= 20% ———= ——= —

y 5%/ \30%-20% 10% 2

x=1000g*[3/(3+2)]=600g

y=1000g-x=1000g-600g=400g

答：需要600g 30%和400g 5%的盐酸

2、若想将100g质量分数为10%的氯化钠溶液的质量分数提高一倍，需加入多少克氯化钠固体？[解]可将氯化钠固体看成质量分数为100%的溶液，设其质量为x，则

x 100%\ /20%-10% 10% 1

——= 20% ———— = —— = —

100g 10%/ \100%-20% 80% 8

则：x/100g=1/8

x=100g/8=12.5g

答：需加入12.5g氯化钠固体

3、若想将100g质量分数为20%的氯化钠溶液的质量分数变为2%，需要加入水的质量是？[解]可将水看成质量分数为0%的溶液，设其质量为x，则

100g 20%\ /2%-0% 2% 1

——= 2% ———= —— = —

x 0%/ \20%-2% 18% 9

则：100g/x=1/9

x=100g*9=900g

答：需加入900g水

同理，有关物质的量浓度的“十字交叉法”道理也是一样，这里就不多说了。