实数指数幂及其运算公开课优质获奖课件

m
an
1
n am
根式与分数 指数幂互化
3）. ab ab
例3：计算下列各式的值 15
1). 2 2 4 2 8 2 2 8
2).
2 1
4a3b 3
2
1 1
a 3b 3
3
6a
3
3).
3y
3x2
xy
5 1 2
36 y 6 x3
100 4). 2 7
0.5
0Fra Baidu bibliotek12
2 10
2
3
3
0
37
9
27
48
例4：化简下列各式
2 1
5x y3 2
1).
1
1
x1 y 2
5
1
x3
1
y6
4 6
1
24 y 6
2).
m
m1
1
2
1
m 2 m2
1
1
m2 m 2
a0 1a 0
an 1 (a 0) an
正整数指数幂 0与负整数指数幂 整数指数幂
根式
分数指数幂 有理数指数幂
1
an
n
aa 0
1）. aa a
2）. a a
m
a n n am
牛顿
牛顿是大家所熟悉的大物理学家，他在
1676年6月写给大数学家莱布尼茨的信
中说“因为数学家将 aa,aaa,aaaa 写成
a2 , a3 , a4 ,，所以可将 a, a2 , a3 , 写成
a , a , a , 1
2
3
2
2
2
，将 1 , 1 ,
1
写成 ” ,
a1, a2 , a3
a aa aaa
2).根式与分数指数幂可以等价互化； 3).分子在内，分母在外；
4).0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂没有意义.
整数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂
有理指数幂的运算性质：设 a 0, b 0，
对任意的有理数 ， ，有理指数幂运算法
则如下：
1）. aa a
2）. a a
3）. ab ab
平方根
1）.当 x2 a 时，则 x叫做 a 二次方根
x2 4, 平方根为 2
2）.当 x3 a时，则 x 叫做 a
立方根 三次方根
x3 8, 立方根为2 ，x3 8, 立方根为-2
3）.当 xn a 时，则 x叫做 a n次方根
探索新知
方根的概念：如果存在实数 x，使得 xn a
例1：计算下列各式的值
2 2 2 3 3 3 -3 5 0 5 0
4
4 3 3
5 3 5 -3 7 4 7 4
n a n a n 1, 且n N
例2：计算下列各式的值
22 2 （ 2）2 2 02 0
3 23 2 3 23 -2 3 03 0
立方根
2）.当 x3 a时，则 x 叫做 a 三次方根
3）.当 xn a 时，则 x叫做 a n次方根
探索新知
方根的概念：如果存在实数 x，使得 xn a
n a R, n
方根，求
1, n N ，则 x 叫做
a
的
n
次方根叫做把
a
a
开
的次
n 次方，
称做开方运算.
思考2：初中所学的平方根与立方根 是什么？
这是牛顿首次使用任意实数指数。
复习旧知
1、正整数指数幂：an n
N
的意义an
a aa，
a n 叫做 a 的 _n_次__幂_ , a 叫做幂的__底_n个 _数___，
n 叫做幂的_指__数_____。
2、运算性质： am an amn
am n amn
am amn m n, a 0
4 24 2 4 24 2 8（ 3）8 3
5 25 2 5 25 -2 9（ 5）9 -5
a, 当n为奇数时
n
an
a
,
当n为偶数时
根式的性质：
n a n an 1, n N
a, 当n为奇数时
n
an
a
,
当n为偶数时
1
探究：a
1 3
3
a
_a_3___3__a_
n a R, n
方根，求
1, n N ，则 x 叫做
a
的
n
次方根叫做把
a
a
开
的次
n 次方，
称做开方运算.
若
xn
a
，则x
n
a (a R), n a (a 0),
n为奇数 n为偶数
正数 a 的正n 次方根叫做 a 的n 次算术根.
当 n a 有意义时，n a 叫做根式，n叫做根指数.
当n为偶数时，a 0 当n为奇数时，a R
an
a bm am bm
思考1：若取消
am an
amn m
n,
a
0
式子中
的 m n 的条件，能得到什么结论？
规定： a0 1a 0
an 1 (a 0) an
正整数指数幂 0与负整数指数幂
整数指数幂
思考2：初中所学的平方根与立方根 是什么？
平方根
1）.当 x2 a 时，则 x叫做 a 二次方根
分母在外 分子在内
2
a3
2 3
2
a3
3
a2 _a_3___3__a_2
整数指数幂
分数指数幂
正分数指数幂：a
1 n
n
a
a 0
m
an
n
a
m
a
0,
n,
m
N
,
且
m n
为既约分数
负分数指数幂：a
m n
1
m
an
n
1 am
a
0,
n,
m
N
,
且
m n
为既约分数
注意：1).分数指数幂是根式的另一种表示；