九年级数学下册第二章二次函数24二次函数的应用第一课时课件新版北师大版
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北师大版九年级数学下册二次函数的应用(课件)
随堂练习
5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元 /kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%, 运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝 售价至少定为 6元 才不会亏本; (2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销 售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价 定为 9元 时,每天获得的利润w最大.
∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值． 当销售单价为 12 元时,可以获得最大利润,最大利润 是 20000 元.
探究新知
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时， 每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金 每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑 其他因素，旅社将每间客房的日租 金提高到多少元时，客房日租金的 总收入最高？
销售额可表示为: x(70000-5000x)=70000x-5000x2 元;
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)
所获利润可表示为: ＝-5000x2+120000x-700000
元;
探究新知
y＝-5000x2+120000x-700000 =-5000(x- 12)2+20000.
随堂练习
4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖 出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售 量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为 _(_3_0_-x_)_元，每日的销售量为__(2_0_+__x)_件，则每日的利润y(元)关于 x(元)的函数关系式是y=_-_x_2+__1_0_x+__6_0_0 (不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价_5__元时，每日获得 的最大利润为_6_2_5_元．
九下数学(北师大)课件-二次函数PPT文档共17页
45、自己的饭量自己知道。——苏联
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。— 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
九下数学(北师大)课件-二次函数
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。— 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
九下数学(北师大)课件-二次函数
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
北师大版九年级下册数学第二章4.二次函数的应用(16张PPT)
3米 y 0 A
(1)求如图所示坐标系下经过原点 的这 x 条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中 的运动路线是（1）中的抛物线，且 运动员在空中调整好入水姿势时，距 池边的水平距离为3.6米，问此次跳 B 水面 水会不会失误？
跳 台 10米 支 柱 1米
5m?
池边
二次函数的图象和性质不仅 可以用来解决数学问题，还可以 用来解决一些生活实际问题，同 学们要善于观察和思考，要有意 识的提高自己应用数学知识解决 实际问题的能力，做到学数学用 数学．
C X
(板书完整解题过程)
A BC
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
Y
B
为B，水流落水与x轴交于C点。
由题意可知A（ 0，1.25）、
A
1.25
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 0 C X (a≠0), 点A坐标代入，得a= － 1 ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25 ∴水池的半径至少要2.5米。
布置作业：
1、学诊 2、第二道巩固练习（用简单的建系方法解 决问题）
谢谢！
A
1.25
0
A BC
问题１：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直 于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心， OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流 在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流 较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到 距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水 池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池 外？
联想到抛物线的生活实际问题
问题１：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直 于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心， OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流 在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流 较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到 距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水 池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池 外？
(1)求如图所示坐标系下经过原点 的这 x 条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中 的运动路线是（1）中的抛物线，且 运动员在空中调整好入水姿势时，距 池边的水平距离为3.6米，问此次跳 B 水面 水会不会失误？
跳 台 10米 支 柱 1米
5m?
池边
二次函数的图象和性质不仅 可以用来解决数学问题，还可以 用来解决一些生活实际问题，同 学们要善于观察和思考，要有意 识的提高自己应用数学知识解决 实际问题的能力，做到学数学用 数学．
C X
(板书完整解题过程)
A BC
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
Y
B
为B，水流落水与x轴交于C点。
由题意可知A（ 0，1.25）、
A
1.25
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 0 C X (a≠0), 点A坐标代入，得a= － 1 ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25 ∴水池的半径至少要2.5米。
布置作业：
1、学诊 2、第二道巩固练习（用简单的建系方法解 决问题）
谢谢！
A
1.25
0
A BC
问题１：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直 于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心， OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流 在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流 较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到 距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水 池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池 外？
联想到抛物线的生活实际问题
问题１：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直 于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心， OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流 在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流 较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到 距水面最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水 池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池 外？
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
北师大版九年级数学下册 (二次函数的应用)二次函数教学课件(第1课时)
解得
a
81 4502
1 2500
-450
O
故所求表达式为 y 1 x2 0.5(450 x 450)
2500
x
450
当堂练习
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长. 解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上， a 7∴. ﹣5.6=36a，
45
∴抛物线的表达式为
y 7 x2. 45
当堂练习
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗 户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻 窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所 在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最 多可安装几扇这样的窗户？
的面积是多少？(结果精确到0.01m2) 解：∵7x+4y+πx=15, y 15 7x x .
4
0＜x＜15，且0＜15 7x x ＜15，
4
∴0＜x＜1.48.
xx y
讲授新课
设窗户的面积是S m2, 则
S 1 x2 2xy
2
1 x2 2x 15 7x x
2
4
- 7 x2 15 x 22
∴a＞0，y最小值＝
4ac b2 4a
＝
4a(a 1) 42 4a
＝2，
整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.
∵a＞0，∴a＝4.故选C.
讲授新课
二 几何图形面积的最大面积
引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）
北师大版九年级数学下册(课件)专题课堂(四) 二次函数
2．如图，等腰直角三角形ABC以2 m/s的速度沿直线l向正方形移动，直 到AB与CD重合．设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2. (1)写出y与x的函数表达式； (2)当x＝2，3.5时，y分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
解：(1)∵三角形与正方形重叠部分是等腰直角三角形，且直角边都是 2x，∴y＝2x2 (2)当x＝2时，y＝8；当x＝3.5时，y＝24.5 (3)∵S正方 形＝102＝100.∴当y＝50时，2x2＝50.解得x1＝5，x2＝－5(舍去)．答： 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5 s
【对应训练】 4．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ ax2＋bx－75.其图象如图． (1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为 多少元？ (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解：(1)根据题中条件，售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台，
则 月 销 售 量 y( 台 ) 与 售 价 x( 元 / 台 ) 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y ＝ 200 ＋
400－x 50× 10 ＝－5x＋220
，
得
x≥300， －5x＋2200≥450，
3．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行的路线满足抛物
线 y＝－15x2＋85x，其中 y(m)是球飞行的高度，x(m)是球飞出的水平距离， 结果球离球洞的水平距离还有 2 m. (1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)请写出球飞行的最大水平距离； (3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进 洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其表达式．
2.4.1北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第一课时最大面积
+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
∵- 2152<0 ∴ 当 x = 25m 时，y 的值最大，最大面积为 300m2
如果设AB=xm,BC如何表示，最大面积是多少？ （随堂练习）
第11页，共26页。
变式练习4： 如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、 G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是多S少=-？4x2+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得 4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0 且对称轴是直线 x=3
B
C
∴当 4≤x<6 时，y 随 x 增大而减少
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式，t为何 值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63
即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
D
C
Q
2t cm
A t cm
解:(1)S=x(80-2x)= -2x2+80x
A
D
80-2x≤50
xm
xm
由题知80-2x≥40 解得 15≤x<40
北师大版九年级下册数学2.4二次函数在几何方面的应用(共17张PPT)
y 22x4
已知3点，关系式一般设为： ∴B（2,0），C（0,4），OC=4,OB=2
2x 设P 下面我们一一来解决这些问题。 X, 22x4则OD=X,BD=2-X
如图，直线
PD= 2x2x4 与x轴、y轴分别交于点A、B，经过A、B的2抛物线与x轴的另一个交点为C（1,0）
1 1 （3）在线段AB上是否存在点Q，使以A、C、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。
此题三个小题，每一小题都可单独成题。 那么，解决每一小题都需要哪些知识点？ 解决思路是什么？ 下面我们一一来解决这些问题。
求抛物线的关系式，每组选派代表讲解
1.已知二次函数 yax2bxc 与x轴交于
（1，0），（3,0），与y轴交于（0,3），
求抛物线关系式。
解：把 （1，0），（3,0），（0,3）代入
∴ Sss PDOCOD BDPD 1 2
2 2 二次函数中直角三角形、等腰三角形
x 相似三角形存在问题解题思路 2 24x4,(0x2)
s 顶点对式，列称二元方轴程组x；=1满足0<x<2,∴当x=1时， max 6
此时，P（1,4） 此题三个小题，每一小题都可单独成题。
二次函数中求面积、 线段最值问题的思路
如图,点P为第一象限内抛物线 y2x22x4
上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的
最大值 .
1.自行自考：
P
（1）解决此题你有几种方法？
（2）你的解题步骤是什么？
2. 小组讨论：二次函数中求面积、
线段最值问题的思路。
D
已知二次函数
解与x轴：交于过点P作PD⊥x轴交x轴于点D，
2020版九年级数学北师大版下册第二章二次函数2.4二次函数的应用 教学课件
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.用长40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则围成的菜园
的最大面积为 (
)
A.400 m2
B.300 m2
C.200 m2
D.100 m2
D
2.在一块长为30 m，宽为20 m的矩形地面上修建一个 正方形花台.设正方形的边长为x m，除去花台后，矩 形地面的剩余面积为y m2，则y与x之间的函数表达式是 _____________，自变量x的取值范围是____________. y有最_______值，是________ m2.
4 二次函数的应用 第1课时
【知识再现】 对于二次函数y=-2x2+4x-5，当x=______时，y有最 _______值，最_______值是_______.1
大
大
-3
【新知预习】 阅读教材P46，完成下列问题 (1)设AB=x m，则BE=_________m， ∵BC∥AD， ∴△EBC∽△EAF.∴BC=_4_0_-_x______m.
解：(1)由题意可得，y=46-2x+3=49-2x，
∵
，解得，12.5≤x<23，
即y与49x的2x函数24表达式是y=49-2x(12.5≤x<23).
2x 46
(2)设苗圃园的面积为S，S=x·(49-2x)=-2x2+49x=
， ∵∴-在22(1<x20.，4549对≤)2称x<4轴28932为时直，线S随x=x的增=1大2.而25减，小1，2.25<12.5， ∴当x=12.5时，S取得最大值49，此时S=300，
时则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是
世纪金榜导学号(
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A．x=10，y=14
B．x=14，y=10
C．x=12，y=15
D．x=15，y=12
3.用长8 m的铝合金条制成如图形状的矩形窗
框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的
最大透光面积是
8 m2 3.
4.如图线段AB=6，点C是AB上一点，点 D是 AC的中点，分别以 AD，DC，CB为边作正方 形，则AC= 4 时，三个正方形的面积之
B ．625 m2 D ．675 m2
2.用长达30 cm的一根绳子，围成一个矩形，其 面积的最大值为（ A ）
A．225 cm2 B．112.5 cm2 C．56.25 cm2 D．100 cm2
3.一小球被抛出后，距离地面的高度 h（米）
和飞行时间 t（秒）满足下面函数关系式： h=-5t2+20t-14，则小球距离地面的最大高 度是（ C ）
小．
A
P
C
B
Q
5.如图，△ ABC是一块锐角三角形材料，边
BC=6 cm，高AD=4 cm，要把它加工成一个
矩形零件，使矩形的一边在 BC上，其余两
个顶点分别在 AB、AC上，要使矩形 EGFH
的面积最大， EG的长应为 2
cm ．
A
E
M
F
B C
G DH
本节课你又学会了哪些新知识呢？
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决 最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获 得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步 感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．
例1 某建筑物的窗户如图所示 ,它的上半部是 半圆,下半部是矩形 ,制造窗框的材料总长 (图中所 有的黑线的长度和 )为15m.当x等于多少时 ,窗户通 过的光线最多 (结果精确到 0.01m)?此时,窗户的面 积是多少 ?
解 :? 4 y ? 7 x ? ? x ? 15， ? y ? 15 ? 7x ? ?x .
A．2米
B ．5米
C．6米
D ．14米
4.如图，在△ ABC中，∠B=90°，AB=12 mm， BC=24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动（不与点 B重合），动点 Q从点 B开始沿边 BC向C以4 mm/s的速度移动（不与点 C重合）．如果 P、Q分别从A、B同时出发，那 么经过 3 秒，四边形 APQC的面积最
4
xx
?0 ? x ? 15，且0 ? 15 ? 7x ? ?x ? 15.
4
y
? 0 ? x ? 1.479.
设窗户的面积是 Sm 2，则
S
?
2xy ?
?x2
?
2x??15 ?
7
x
?
?
x
? ?
?
?x2
2
? 4 ?2
? ? 7 x2 ? 15 x
22
?
?
7
? ?
x
?
15
2
?
?
?
225 .
2 ? 14 ? 56
1.小敏用一根长为 8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形 的最大面积是（ A ）
A．4 cm2 C．16 cm2
B ．8 cm2 D ．32 cm2
2.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边 角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从 这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用， 当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x，y应 分别为（ D ）
何时面积最大
?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上 . M ?(1) 设矩形的一边 AB=xm, 那么AD
边的长度如何表示？ ?(2)设矩形的面积为 ym2,当x取何值
30m D
C
时,y的值最大?最大值是多少 ?
Hale Waihona Puke ┐AB40m
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上 . M
(1)设矩形的一边 AB=xcm,那么AD
边(时2的),设y长的矩度最形如大的何值面表是积示多为？少ym? 2,当x取何值30cmbcDm┐xcm
C
N
解 : ?1?.设AD ? bcm,易得b ? ? 3 x ? 30.
A
B
40cm
4
?2?.y ? xb ? x??? 3 x ? 30?? ? ? 3 x2 ? 30x ? ? 3 ?x ? 20?2 ? 300.
?
当x
?
15 14
? 1.07时, S最大
?
225 ? 56
4.02.
即当x ? 1.07m时，S最大 ? 4.02m2， 此时窗户通过的光线最 多.
1.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污 水处理池，池底矩形的周长为 100 m，则池底的 最大面积是（ B ）
A．600 m2 C．650 m2
?4
?4
4
或用公式 :当x
?
?
b 2a
?
20时,
y最大值
?
4ac ? b2 4a
?
300.
议一议
在上面问题中，如果把矩形改为下图所示的位置，
其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎 样知道的？
MC
H
30cm D
G
B
P┐ A
N
40cm
解 : ?1?.由勾股定理得 MN ? 50cm, PH ? 24cm.
第二章
2.4 二次函数的应用
第1课时
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过 程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经 验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应 用价值． 2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之 间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识 解决实际问题中的最大 (小)值． 3.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个 人解决问题的风格．
设AB ? bcm,易得b ? ? 12 x ? 24. 25
MC
H m
30c D G
B
┐
?2?.y ? xb ? x??? 12 x ? 24?? ? ? 12 x2 ? 24x P
A
40cm
N
? 25
? 25
? ? 12 ?x ? 25?2 ? 300.
25
? 当x ? 25时, y最大 ? 300.
和最小．
A
D
C
B
B．x=14，y=10
C．x=12，y=15
D．x=15，y=12
3.用长8 m的铝合金条制成如图形状的矩形窗
框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的
最大透光面积是
8 m2 3.
4.如图线段AB=6，点C是AB上一点，点 D是 AC的中点，分别以 AD，DC，CB为边作正方 形，则AC= 4 时，三个正方形的面积之
B ．625 m2 D ．675 m2
2.用长达30 cm的一根绳子，围成一个矩形，其 面积的最大值为（ A ）
A．225 cm2 B．112.5 cm2 C．56.25 cm2 D．100 cm2
3.一小球被抛出后，距离地面的高度 h（米）
和飞行时间 t（秒）满足下面函数关系式： h=-5t2+20t-14，则小球距离地面的最大高 度是（ C ）
小．
A
P
C
B
Q
5.如图，△ ABC是一块锐角三角形材料，边
BC=6 cm，高AD=4 cm，要把它加工成一个
矩形零件，使矩形的一边在 BC上，其余两
个顶点分别在 AB、AC上，要使矩形 EGFH
的面积最大， EG的长应为 2
cm ．
A
E
M
F
B C
G DH
本节课你又学会了哪些新知识呢？
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决 最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获 得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步 感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．
例1 某建筑物的窗户如图所示 ,它的上半部是 半圆,下半部是矩形 ,制造窗框的材料总长 (图中所 有的黑线的长度和 )为15m.当x等于多少时 ,窗户通 过的光线最多 (结果精确到 0.01m)?此时,窗户的面 积是多少 ?
解 :? 4 y ? 7 x ? ? x ? 15， ? y ? 15 ? 7x ? ?x .
A．2米
B ．5米
C．6米
D ．14米
4.如图，在△ ABC中，∠B=90°，AB=12 mm， BC=24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动（不与点 B重合），动点 Q从点 B开始沿边 BC向C以4 mm/s的速度移动（不与点 C重合）．如果 P、Q分别从A、B同时出发，那 么经过 3 秒，四边形 APQC的面积最
4
xx
?0 ? x ? 15，且0 ? 15 ? 7x ? ?x ? 15.
4
y
? 0 ? x ? 1.479.
设窗户的面积是 Sm 2，则
S
?
2xy ?
?x2
?
2x??15 ?
7
x
?
?
x
? ?
?
?x2
2
? 4 ?2
? ? 7 x2 ? 15 x
22
?
?
7
? ?
x
?
15
2
?
?
?
225 .
2 ? 14 ? 56
1.小敏用一根长为 8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形 的最大面积是（ A ）
A．4 cm2 C．16 cm2
B ．8 cm2 D ．32 cm2
2.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边 角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从 这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用， 当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x，y应 分别为（ D ）
何时面积最大
?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上 . M ?(1) 设矩形的一边 AB=xm, 那么AD
边的长度如何表示？ ?(2)设矩形的面积为 ym2,当x取何值
30m D
C
时,y的值最大?最大值是多少 ?
Hale Waihona Puke ┐AB40m
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上 . M
(1)设矩形的一边 AB=xcm,那么AD
边(时2的),设y长的矩度最形如大的何值面表是积示多为？少ym? 2,当x取何值30cmbcDm┐xcm
C
N
解 : ?1?.设AD ? bcm,易得b ? ? 3 x ? 30.
A
B
40cm
4
?2?.y ? xb ? x??? 3 x ? 30?? ? ? 3 x2 ? 30x ? ? 3 ?x ? 20?2 ? 300.
?
当x
?
15 14
? 1.07时, S最大
?
225 ? 56
4.02.
即当x ? 1.07m时，S最大 ? 4.02m2， 此时窗户通过的光线最 多.
1.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污 水处理池，池底矩形的周长为 100 m，则池底的 最大面积是（ B ）
A．600 m2 C．650 m2
?4
?4
4
或用公式 :当x
?
?
b 2a
?
20时,
y最大值
?
4ac ? b2 4a
?
300.
议一议
在上面问题中，如果把矩形改为下图所示的位置，
其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎 样知道的？
MC
H
30cm D
G
B
P┐ A
N
40cm
解 : ?1?.由勾股定理得 MN ? 50cm, PH ? 24cm.
第二章
2.4 二次函数的应用
第1课时
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过 程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经 验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应 用价值． 2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之 间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识 解决实际问题中的最大 (小)值． 3.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个 人解决问题的风格．
设AB ? bcm,易得b ? ? 12 x ? 24. 25
MC
H m
30c D G
B
┐
?2?.y ? xb ? x??? 12 x ? 24?? ? ? 12 x2 ? 24x P
A
40cm
N
? 25
? 25
? ? 12 ?x ? 25?2 ? 300.
25
? 当x ? 25时, y最大 ? 300.
和最小．
A
D
C
B