第四章杆件的变形简单超静定问题

第四章 杆件的变形 简单超静定问题

一 、基本要求

1．熟练掌握拉（压）杆变形计算

2．熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件 3．掌握积分法求梁的弯曲变形

4．熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算

5．理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法 6．了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算

二、 内容提要

1．拉（压）杆的轴向变形、胡克定律

拉（压）杆的轴向变形为l ∆,l l l -=∆1,式中l 、1l 分别为变形前、后杆的长度。

当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即

EA

l

F l N ⋅=∆ （4.1）

图 4.1

式中，EA 称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力F N 为正时，△l 为正，即伸长变形；轴力F N 为负时，△l 为负，即缩短变形。

公式（4.1）的适用条件：

（1） 材料在线弹性范围，即p σσ≤；

（2） 在长度l 内，F N ，E ，A 均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化

时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。即

∑

==∆n

i i

i i N A E l F l i 1

（4.2）

当F N ，A 沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为

()()

⎰

=∆l

N x EA dx

x F l 0 （4.3）

2．拉压超静定问题

定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。

超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。

解题步骤：

（1） 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数； （2） 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程； （3） 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程； （4） 联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。 超静定结构的特点：

（1） 各杆的内力按其刚度分配；

（2） 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。

3．圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题 1， 变形计算

圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l 的两个横截面的相对扭转角为

dx GI T

l

P

⎰

=0ϕ (rad) (4.4) 若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为

P

GI Tl

=

ϕ (rad) (4.5) 式中P GI 称为圆轴的抗扭刚度。显然，ϕ的正负号与扭矩正负号相同。

公式（4.4）的适用条件：

（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即P ττ≤；

（2） 在长度l 内，T 、G 、P I 均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，

则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即

∑

==n

i P i i

i i

I G l T 1ϕ (rad) (4.6) 当T 、P I 沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算ϕ。 2， 刚度条件

扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角max 'ϕ不得超过许可的单位长度扭转角[]'ϕ,即

[]''max

max ϕϕ≤=

P

GI T (rad/m) (4.7) 或 []'180'max max ϕπ

ϕ≤⨯=︒

P GI T （m /︒） （4.8）

根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。

3，扭转超静定问题

定义 当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定，这类问题称为扭转超静定问题。

扭转超静定问题的解法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得全部未知力偶。

4．梁的变形 挠曲线近似微分方程及其积分 1，挠曲线 挠度与转角 在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线，其方程为

()x f =ω

梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，用ω表示。梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度，称为截面转角，用θ表示。

小变形时，有 图4.3

()x f ''tan ==≈ωθθ

在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负。 2，挠曲线的近似微分方程及其积分

在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系

EI

M =

ρ

1

对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得

()()EI

x M x =ρ1 利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即

()EI

x M =''ω （4.9） 将上式积分一次得转角方程为

()C dx EI

x M +==⎰'ωθ （4.10） 再积分得挠曲线方程

()D Cx dx dx EI x M ++⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎰⎰ω （4.11） 式中，C,D 为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，

积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。 挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。挠曲线是一条连