第四章杆件的变形简单超静定问题

第四章 杆件的变形 简单超静定问题一 、基本要求1．熟练掌握拉（压）杆变形计算2．熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件 3．掌握积分法求梁的弯曲变形4．熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5．理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法 6．了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算二、 内容提要1．拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为l ∆,l l l -=∆1,式中l 、1l 分别为变形前、后杆的长度。

当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即EAlF l N ⋅=∆ （4.1）图 4.1式中，EA 称为杆件的抗拉（压）刚度。

显然，轴力F N 为正时，△l 为正，即伸长变形；轴力F N 为负时，△l 为负，即缩短变形。

公式（4.1）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围，即p σσ≤；（2） 在长度l 内，F N ，E ，A 均为应力常量。

当以上参数沿杆轴线分段变化时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。

即∑==∆ni ii i N A E l F l i 1（4.2）当F N ，A 沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为()()⎰=∆lN x EA dxx F l 0 （4.3）2．拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。

这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。

超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。

解题步骤：（1） 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数； （2） 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程； （3） 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程； （4） 联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。

超静定结构的特点：（1） 各杆的内力按其刚度分配；（2） 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。

3．圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题 1， 变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。

相距为l 的两个横截面的相对扭转角为dx GI TlP⎰=0ϕ (rad) (4.4) 若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为PGI Tl=ϕ (rad) (4.5) 式中P GI 称为圆轴的抗扭刚度。

显然，ϕ的正负号与扭矩正负号相同。

公式（4.4）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即P ττ≤；（2） 在长度l 内，T 、G 、P I 均为常量。

当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。

即∑==ni P i ii iI G l T 1ϕ (rad) (4.6) 当T 、P I 沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算ϕ。

2， 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角max 'ϕ不得超过许可的单位长度扭转角[]'ϕ,即[]''maxmax ϕϕ≤=PGI T (rad/m) (4.7) 或 []'180'max max ϕπϕ≤⨯=︒P GI T （m /︒） （4.8）根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。

3，扭转超静定问题定义 当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定，这类问题称为扭转超静定问题。

扭转超静定问题的解法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得全部未知力偶。

4．梁的变形 挠曲线近似微分方程及其积分 1，挠曲线 挠度与转角 在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。

在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线，其方程为()x f =ω梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，用ω表示。

梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度，称为截面转角，用θ表示。

小变形时，有 图4.3()x f ''tan ==≈ωθθ在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负。

2，挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系EIM =ρ1对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得()()EIx M x =ρ1 利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即()EIx M =''ω （4.9） 将上式积分一次得转角方程为()C dx EIx M +==⎰'ωθ （4.10） 再积分得挠曲线方程()D Cx dx dx EI x M ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰ω （4.11） 式中，C,D 为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。

当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。

挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。

挠曲线是一条连续光滑的曲线，在其上任意一点，有唯一确定的挠度与转角，称为连续性边界条件。

3，梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即[]ωω≤max ，[]θθ≤max （4.12）5．用叠加法求弯曲变形叠加原理 在小变形和线弹性范围内，梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角，分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。

应用叠加原理的条件 小变形与材料在线弹性范围。

6．简单超静定梁梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目，仅由平衡方程不能确定全部未知力，这类梁称为超静定梁。

超静定梁的解法与前述拉（压）杆、扭转超静定相同。

具体步骤如下：1，首先判断超静定梁的次数。

解除多余约束代之以多余约束力，得到原超静定梁的相当系统。

注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。

2，根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同，建立变形协调方程。

3，将变形与力之间的物理关系代入上述变形协调方程，得补充方程。

由补充方程解出多余约束力。

4，由平衡方程求梁上其余的约束反力。

然后就可以进行梁的强度与刚度的计算。

7.杆件的应变能1）应变能 弹性体在外力作用下，因发生弹性变形而储存在弹性体内的能量，称为应变能或变形能。

用εV 或r V 表示。

2）弹性体的功能原理 在弹性体变形过程中，储存在弹性体内的应变能εV （或r V ）在数值上等于外力所做的功W ，即W V =ε （4.13） 3）轴向拉伸或压缩杆件的应变能 在线弹性范围内，由功能原理得l F W V ∆==21ε 当杆件的横截面面积A 、轴力F N 为常量时，由胡克定律EAlF l N =∆，可得 EAlF V N 22=ε （4.14）杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用εV 表示。

线弹性范围内，得σεε21=V （4.15） 4）圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内，由功能原理得ϕe r M W V 21==将T M e =与PGI Tl=ϕ代入上式得 Pr GI lT V 22= （4.16） 图4.5根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度r V ：r V r τ21= （4.17）5）梁的弯曲应变能在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得θεe M W V 21==将M M e =与EIMl=θ代入上式得EIlM V 22=ε （4.18）图4.6横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能εV ，即()⎰=lEIdxx M V 22ε三、典型例题分析例2-1 设横梁ABCD 为76.36mm 2＝20kN ，试求钢索内的应力和C 移。

设钢索的E =177GPa 。

解法一解：1.求钢索内的应力以横梁ABCD 为为研究对象，列平衡方程,0=∑A M02.16.160sin 8.060sin N N =⨯-⨯︒+⨯︒F F F解得 kN 56.11N =F 钢索的应力 MPa 151N==AF σ 2.求C 点的垂直位移C δ作结构的变形位移图如图c 所示。

因ABCD 为刚体，故发生位移后，A 、B 、C 、D 仍为一直线。

小变形条件下。

可以“以切线代替圆弧”画变形图。

由B 1向钢索作垂线得B '点，设1l B B ∆='。

同理由D 1向钢索作垂线得D '点，设2l D D ∆='。

则钢索的伸长为21l l l ∆+∆=∆。

由胡克定律m m 368.1m 10368.11036.76101776.11056.113693N =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==∆--EA l F l 由图C ，得C 点的垂直位移C δ为()mm 79.060sin 260sin 260sin 60sin 21212121111=︒∆=︒∆+∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒∆+︒∆=+==ll l l l DD BB CC C δ解法二 用能量法求解C 点的垂直位移解：1.求钢索内的应力与解法一相同，得kN 56.11N =FMPa 151N==AF σ 2.求C 点的垂直位移C δ 由弹性体的功能原理W V =ε，即C F EA l F δ2122N = m 1079.010201036.76101776.1)1056.11(3369232N --⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==EAF l F C δ,0=∑x F 030cos N2N1=-︒F F （1）作结构的变形位移图如图c 所示。

图中t l ∆为温度引起的变形，1l ∆为N1F 引起的变形，2l ∆为N2F 引起的变形。

小变形条件下，以切线代替圆弧。

变形后B 点位移至B 1点，即两杆在B 1点铰接。

由图c 得变形协调方程1230cos l l l t ∆-∆=︒∆ （2）物理方程为EAlF l EA l F l l T l l t 2N 21N 1,30cos ,30cos =∆︒=∆︒⋅∆⋅=∆α （3）式中T ∆为温度改变量。

将式（3）代入式（2），得补充方程︒-︒⋅∆⋅=︒30cos 30cos 30cos 1N 2N EA lF l T EA l F l α （4） 联立求解式（1）与式（4），得,130cos 31N +︒⋅∆=EAT F l α ︒=30cos 1N 2N F F杆1 （拉应力）MPa 3.30130cos 31N 1=+︒∆==TEA F l ασ 杆2 （压应力）MPa 2.2630cos 12N 2=︒==σσAFm,.N 42729549m,.N 2848954931e 22e ====nP M n P M 2）作轴的扭矩图，如图b 所示。