随机过程-习题-第4章-01-精选.
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
随机过程第四章
pii
(n)
1
i
0
证：(1)如i为零常返则i
，由lim n
pii nd
d
i
0
而当n不能被周期d整除时n 0modd ,
必然有pii
(n)
0，故
lim
n
pii
n
0
反之，若lim n
pii
(n)
0,
而i是正常返，
则由lim n
pii (nd )
d
i
0矛盾.
(2) 如i为遍历，即d 1，由上面定理得
即 Tij minn：X m i, X mn j，n 1
而称：
fij (n) P Tij n
P{X mv j，1 v n 1，X mn j / X m i}，n 1 为自状态i出发，经n步首次到达状态j的概率， 简称首达概率。
注：由齐次马氏链性质知，首达概率与出发时刻
p3
① q1 q2
p1
③ q3 ②
p2
求从状态1出发经n步转移首次到达各个状态的概率。
f12
(n)qq11p3 p3源自q m1 1m p1,
q3
,
n 2m, n 2m 1,
m 1 m0
同理：
f13 (n)
p1q2 p1q2
p m1 1
m q1,
p2
,
n 2m, n 2m 1,
m 1 m0
互通关系的状态是同一类型.
定理：如果i j， 则
(1) i与j同为常返或非常返，如为常返，则它们
同为正常返或零常返；
(2) i与j有相同的周期。
1证：因为i j，故存在正整数k与m，使
pij (m) 0, p ji (k ) 0
《随机过程》第四章作业解答
20. 解：由例 4.8 中的结果可知甲最终赢的概率为：
(1)
P (甲最终赢)
=
(
1−p p
)a
−
1
(
1−p p
)a+b
−
1
=
(
2 3
)16
(
2 3
)36
− −
1 ;
1
(2)
P (甲最终赢)
=
(
1−p p
)a
−
1
(
1−p p
)a+b
−
1
=
(
2 3
)4
−
1
(
2 3
)24
−
1
21. 解：(1) 状态空间可以分为三个等价类：{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}。其中 {1, 2} 与 {3, 4} 是常 返的，{5, 6} 是瞬时的，而且状态 {1, 2, 3, 4} 是非周期的。从而由推论 4.1 可知：
不妨记 p11 ≥ p12 ≥ · · · ≥ pn1 ≥ 0，若 p11 > p12 严格成立，从而有：
n
n
p11 = p1ipi1 < p11 p1i = p11
i=1
i=1
得到矛盾，从而有 p11 = p12。类似可证：对 ∀j ≤ n，p11 = p1j 均成立。从而类似可证：
对 ∀i, j ≤ n, p1j = pjj。
19.
解：结合概率转移矩阵画出有向图，可以得到： f1(1n) = a,
n=1 ， 从而状态{1}是
0, n > 1
如有疏漏，欢迎指正
4
《随机过程》第四章作业解答
随机过程课后题答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
应用随机过程第4章随机模拟
4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种 子的原理，是 要产生多少个 随机数种子， 就按一定步长 递增多少次， 然后得到一个 随机数作为种 子。 这个宏有个缺 点，就是当步 长*随机数种子 数量>2**31-1 时，可能得不 到要求得到的 随机数种子数 量。
4.2 随机数的抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数 序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数 种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的 随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定 能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– SAS随机数函数
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 › 利用SAS生成标准分布随机数一般有两种方法 – 由随机数函数产生随机数序列 其语法为：var = name(seed,<arg>) – CALL子程序产生随机数序列 其语法为：call name(seed,<arg>,var)。 ｰ 两种方法的主要区别在于： ｰ 随机数函数产生随机数序列时，其序列的值只由 第一个随机数种子的值决定，而用CALL子程序时， 每一次调用随机函数，都会重新产生新的随机数 种子。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 在SAS系统中， – 常数a=397,204,094 – m = 2^31-1=2,147,483,647（是一个素数） – c=0 – 种子R(0)必须是一个整数并且其值介于1到m-1之 间。 – 这里c=0的数据生成器被称为multiplicative congruential generator，被广泛地应用。
随机过程第四章作业及参考答案
第四章 马尔科夫过程P2271. 将一颗骰子扔很多次。
记n X 为第n 次扔正面出现的点数，问(){}12X n n = ，，，是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
又记n Y 为前n 次扔正面出现点数的总和，问(){}12Y n n = ，，，是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率。
解： （1）由于(){}12X n n = ，，，的取值只能是{}123456，，，，，，故状态空间为{}123456E =，，，，，。
由于()X n 的取值的概率与()1X n -以前的()X i 的取值完全无关，所以是()X n 是马尔科夫链。
故()(){}116ij p P X n j X n i ==-==. 它的一步转移概率矩阵为：111111666666111111666666111111666666111111666666111111666666111111666666P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）由于前n 次扔正面出现点数的总和()Y n =前1n -次扔正面出现点数的总和+第n 次扔正面出现的点数，而前1n -次扔正面出现点数的总和与第n 次扔正面出现的点数相互独立，因此()Y n 具有无后效性，是马尔科夫链。
它的一步转移概率为：()112616078ij j i i i p n n j i i i j i ⎧=+++⎪+=⎨⎪=++<⎩ ，，，，，，，，，，或 其中16i n n n =+ ，，，；()1261j n n n =+++ ，，，。
2. 一个质点在直线上作随机游动，一步向右的概率为p （01p <<），一步向左的概率为q ，1q p =-。
在0x =和x a =处放置吸收壁。
记()X n 为第n 步质点的位置，它的可能值是(){}012X n n = ，，，，。
试写出一步转移概率矩阵。
解：状态空间为{}012E a = ，，，，。
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第四章作业
为独立增量过程 Y (n )
∴ Y (n ) 为马氏链
Y (0 ) = 0
Pij (m , k ) = P { Y (m + k ) = j Y (m ) = i } = P{ Y (m + k ) − Y (m ) = j − i Y (m ) − Y (0 ) = i } m+k = P ∑ X (i ) = j − i i= m +1
16 8 ) λ (17 41 , 41 , 41 放在 A 处好
1 1
1 1
习题十三
1 1 2 3 4 5 . . ∞
1 2
习题十四
2
1 1 2 2
3 0
1 1 2 2
4 0 0
1 1 2 2
5 0 0 0
1 1 2 2
6 0 0 0 0
1 2
7 ........
∞
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
1
=
1
2
p
a −1
+
p
a +1
p (a + b ) − p (a + b − 1 ) = p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) = p (a + b − 2 ) − p (a + b − 3 . p (a . p( 1 ) − p (0
0 0 0
+ + +
0 0 0 0 0 0
1 1 1
3 3 3
× 60 × 10 × 10
7 7 7 30 30 30
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题四答案
第四章 习题41、对泊松过程{},0t N t ≥（1）证明：当s t <时，{}1,0,1,,kn ks t n s s P N k N n k n k t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）当2λ=时，试求：()()()112112;1,3;21P N P N N P N N ≤==≥≥（3）设顾客到达某商店是泊松事件，平均每小时以30人的速度到达。
求下列事件的概率：相继到达的两顾客的时间间隔为大于2分钟、小于2分钟、在1分钟到3分钟之间。
答：（1）证明：{}()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,!!!!!!!1!!s t s t s s t s s t t t t n kkt s sk n kn k nk n ktn kk n kk nP N k N n P N k N n k P N k P N n k P N k N n P N n P N n P N n t s s e ek n k s t s n k n k t t t e n n s t s n s s k t k n k t t λλλλλλλλλλ------------====-==-========-⎡⎤⎣⎦--==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()()()()()()()11110121112222201211120!1!2!225P N P N N N e e e e e e e λλλλλλλ-------≤==+=+==++-=++=()()()()12121224111,31,3112224P N N P N N P N P N ee e----=====-=====()()()()()()()()()()111111121112112,122111121011311101P N N P N P N N P N P N P N P N P N e P N P N e --≥≥≥≥≥==≥≥-<-=-=-===-<-=-（3） 解法一：顾客到达事件间隔服从参数为λ的指数分布：()()()30,03030,0x x Z Z f t e x f t e x λλλ--=≥=⇒=≥①()30301111303023030106030x x P Z e dx e e e ∞∞----⎧⎫>===--=⎨⎬-⎩⎭⎰②()11303011303000230301116030x x P Z e dx e e e ----⎧⎫<===--=-⎨⎬-⎩⎭⎰ ③1131133030202022221160601330301606030x x P Z e dx e e e e e ------⎛⎫⎧⎫<<===--=-⎨⎬ ⎪-⎩⎭⎝⎭⎰解法二：()3030==0.560λ∴平均每小时有人到达人/分钟根据齐次Poisson 过程的到达时间间隔{},1,2,n X n =是独立同分布于均值为1λ的指数分布的，故可有： 相继到达的顾客的时间间隔大于2分钟的概率为：()12t n P X e e λ-->== 相继到达的顾客的时间间隔小于2分钟的概率为：()1211t n P X e e λ--<=-=-相继到达的顾客的时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率为：()()()()1.50.50.5 1.5133111n n n P X P X P X e e e e ----<<=<-<=---=-2、{},0t N t ≥是强度为λ的泊松过程。
随机过程及应用习题课四
1. 设{(),0,1,2,}X n n =为马氏链，证明12312{(1)|(2),(3),,()}{(1)|(2)}n P X x X x X x X n x P X x X x =======即马氏链的逆序也构成一个马氏链. 2. 如果马氏链的转移概率矩阵为0110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明：此马氏链不是遍历的马氏链，但具有平稳分布.3. 一个开关有两种状态：开或关，设它现在开着时，经过单位时间(s )后，它仍然开着的概率为12，关上的概率为12；当它现在关着时，经过单位时间(s )后它仍然关着的概率为34，它打开的概率为14. 假设开关的状态转移只在0,1,2,3,…(s )时进行. 设0t =时，开关开着. 求3t =时，开关关着和开关开着的概率.4. 甲乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为r ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分. 当两人中有一个获得2分时，结束比赛. 以()X n 表示比赛至第n 局时，甲获得的分数. {(),0,1,2,}X n n =是一个齐次马氏链.（1）写出此马氏链的状态空间； （2）写出状态转移矩阵； （3）计算2步转移矩阵；（4）问在甲获得1分的情况下，再赛2局就结束比赛的概率为多少？5. A 、B 、C 三家公司决定在某一时间推销一新产品. 当时它们各拥有13的市场，然而一年后，情况发生了如下的变化：（1）A 保住40%的顾客，而失去30%给B ，失去30%给C ； （2）B 保住30%的顾客，而失去60%给A ，失去10%给C ； （3）C 保住30%的顾客，而失去60%给A ，失去10%给B .如果这种趋势继续下去，试问第2年底各公司拥有多少份额的市场？（从长远来看，情况又如何？）6. 一质点沿圆周游动，圆周上按顺时针等距排列五个点0，1，2，3，4，把圆周分成五格。
随机过程 第4章 Markov过程
（C－K 方程）
证明：由全概率公式，有：
( m+r ) pij (n) = P{ X n + m + r = j X n = i}
= ∑ P{ X n + m + r = j, X n + m = k X n = i} = ∑ P{ X n + m + r = j X n + m = k , X n = i} ⋅P{ X n + m = k X n = i} = ∑ P{ X n + m + r = j X n + m = k}P{ X n + m = k X n = i}
为齐次马氏链的 m 步转移（概率）矩阵。 显然有：
(m) pij (n) ≥ 0, i , j ∈ I
∑p
j∈I
(m) ij
( n) = 1 , i ∈ I
m = 1 时，即为一步转移矩阵。
规定：
⎧1, (0) pij (n) = δ ij = ⎨ ⎩0,
二、切普曼－柯尔莫哥洛夫（C－K）方程
i= j i≠ j
由01nll相互独立111100nnnnpxixixixi??l111100111100nnnnnnpxixixixipxixixi????ll第四章markov过程611121100011211000?nnnnnnnnnpiiiiiiipiiiii?????????l??l1nnnpii??11??nnnnixixp故210lnxn满足markov性且1100nnijnnkkkkppxjxipji??10nnkknji?pji?ipji?q?二随机游动1无限制的随机游动
性质 5 设{ X n , n ≥ 0 }为马氏链， 其状态空间为 I， 则对任意给定的 n 个整数，
随机过程-习题-第4章-01
4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求：（1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。
问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先，{}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ======根据泊松过程的独立增量性质可知{}{})(1212121211221212!)()]([)()()(t t k k ek k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是，{}21122!)(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----===(2) 解：该过程的均值为[]()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑+∞=--+∞=-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >)[]()[])]([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-=其中，)()]()([1212t t t N t N E -=-λ121212)]([t t t N E λλ+=于是，12t t >时的相关函数为[]12121212121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-=同理可得21t t >时的相关函数为[]221221)()(t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程的相关函数为[]{}2121221,min )()(t t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程过程不是平稳过程。
随机过程习题四
1. (),1,2,X n n =，是相互独立同分布随机变量序列，令1()(),1,2,nk Y n X k n ===∑分别证明下述情形，{(),0,1,2,}Y n n =是齐次马尔科夫过程.（1）()X n 是伯努利随机变量序列，其中{()0}P X n q ==，{()1}P X n p ==，(01,1),1,2,p p q n <<+==（2）2()~(,),1,2,X n N n μσ=2. 设(),1,2,,X n n =是相互独立取非负整数的随机变量序列，令2()[(1)(2)()],1,2,Y n X X X n n =+++=证明：{(),1,2,}Y n n =是马氏链.3. 设{},1n n ε≥是独立同分布随机变量序列，并且()10,,1,k k k P k p k N p ε∞===∈=∑令(){}12min ,,,,n X n εεε=证明(){},1X n n ≥是齐次马氏链，并求其一步转移概率矩阵P 。
4. 设{(),0,1,2,}X n n =为马氏链，证明12312{(1)|(2),(3),,()}{(1)|(2)}n P X x X x X x X n x P X x X x =======即马氏链的逆序也构成一个马氏链.5. 在天气预报问题中，若今日是否下雨依赖于前两天的天气状况，并规定：昨日、今日都下雨，明日有雨的概率为0.7；昨日无雨,今日有雨，明日有雨的概率为0.5；昨日有雨、今日无雨，明日有雨的概率为0.4；昨日、今日均无雨，明日有雨的概率为0.2。
该问题是否可以用一马尔可夫链表示。
若可以，求在星期一、星期二均下雨条件下，星期四下雨的概率。
6. √考虑Bernoulli 过程的移动平均()112n n n Y X X -=+ 其中{}1,2,n X n =是p =1/2的独立Bernoulli 序列。
试证明{}1,2,n Y n =不是一个Markov 过程。
《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。
解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n m m m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
随机过程第四章习题解答
第四章习题解答4.1Y1,Y2,···是来自总体Y的随机变量，与X0独立，h(x,y)是实函数.对于n 1，取X n=h(X n−1,Y n).设{X n}的状态空间为I，验证{X n}是马氏链，给出转移概率p ij.解：由题知，Y k与X1,···,X k−1独立,k 1,∀n,i,j,i1,...,i n−1∈I有，P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1, (X0)i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i)=P(h(i,Y)=j)=P(h(i,Y1)=j|X0=i)=P(X1=j|X0=i).∴X n是马氏链，P ij=P(h(i,Y)=j).4.2设{X i,i 0}是取非负整数值的独立同分布的随机变量序列，V ar(X0)>0.验证以下随机序列是马氏链：(a){X n,n 0};(b){S n,n 0}，其中S n=∑ni=0X i;(c){ξn,n 0}，其中ξn=∑ni=0(1+X i).解：∀n,i,j,i0,···,i n−1∈N+,(a).P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j)= P(X n+1=j|X n=i)=P(X1=j)=P(X1=j|X0=i).1第四章离散时间马尔可夫链第四章离散时间马尔可夫链(b).P(S n+1=j|S n=i,S n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i|X n=i−i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i)=P(X n+1=j−i,S n=i|S n=i)=P(S n+1=j|S n=i)=P(X1=j−i)=P(X1=j−i|X0=i)=P(S1=j|S0=i).(c).P(ξn+1=j|ξn=i,ξn−1=i n−1,···,ξ0=i0)=P(X n+1=ji −1)=P(X n+1=ji−1|ξn=i)=P(ξn+1=j|ξn=i)=P(X1=ji −1)=P(X1=ji−1|X0=i)=P(ξ1=j|ξ0=i).4.3马氏链的状态空间是I=(1,2,3,4,5)，转移概率矩阵P=0.20.80000.50.5000000.50.500.20.3000.500001界定马氏链的状态。
(解答)《随机过程》第四章习题
（2）如果 X ~ N (0,1) ，问过程 (t) 是否均方可微？说明理由。
解：计算随机过程 (t) 的相关函数：
R (s,t) E{ (s) (t)} E{( X cos 2s Y sin 2s)(X cos 2t Y sin 2t)} cos 2s cos 2tE{X 2} sin 2s sin 2tE{Y 2} [cos 2s sin 2t sin 2s cos 2t]E{XY}
4、 设有随机过程 X (t) 2Z sin(t ) ， t ，其中 Z 、 是相互独立的随机 变量，Z ~ N (0,1) ，P( / 4) P( / 4) 1/ 2 。问过程 X (t) 是否均方可积
过程？说明理由。
解：由 Z 、 的相互独立性，计算随机过程 X (t) 的均值函数和相关函数： E{X (t)} E{2Z sin(t )} 2E{Z}E{sin(t )} 0
Y (t) 2X (t) 1， t 0 。试求过程{Y (t), t 0} 的相关函数 RY (s,t) 。
解：由相关函数的定义，有：
RY (s,t) E{Y (s)Y (t)} E{(2X (s) 1)(2X (t) 1)} 4E{X (s) X (t)} 2E{X (s)} 2E{X (t)} 1 4E{X (s) X (t)} 4 1
0
T 2 T T E{X (s) X (u)}dsdu m2 00
T 2
T 0
T 0
R
X
(
s
u
)dsdu
m
2
T 2
T 0
T 0
[C
《随机过程答案》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？（2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2t N t X σμ。
令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。
试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。
4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。
问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。
5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分布。
（1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由；（2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。
6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足：{}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2；令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。
随机信号分析基础第四章习题
A2RX ( ) B2RY ( ) ABRXY ( ) ABRYX ( )
由维纳辛钦定理可得： GW () A2GX () B2GY () ABGXY () ABGYX ()
4.5 功率谱估值的经典方法 1. 平滑法
将全部数据用来计算出—个周期图，然后在频域将其平滑
G (i )
1 2L 1
iL
Gˆ N
j i L
(
j)
窗口根据实际情况选择
4.5 功率谱估值的经典方法
谱估值的一些实际问题
1.数据采样率 2.每段数据的长度L 3.数据总长度 4.数据预处理 a.把无用的直流分量和周期分量(比如市电干扰)去掉 b.处理前还应去掉信号中的“趋势项”，比如电生理记录
rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
2
( )2
2
4.3 功率谱密度的性质
性质1： 非负性， Gx(ω)≥0 性质2： GX(ω)是实函数
性质3： Gx(ω)是偶函数，即 GX () GX ()
性质4： GX ' ( ) 2GX ( )
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换
(t)
1
c os0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。
设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。
设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。
设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。
设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中0为常数，求常数A 、B 的值。
设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。
已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。
求Y 的概率密度分布函数。
设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere-⎧<=⎨⎩ 求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。
设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为Y的正态分布，求X 的概率密度分布。
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4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求：（1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。
问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先，{}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ======根据泊松过程的独立增量性质可知{}{})(1212121211221212!)()]([)()()(t t k k ek k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是，{}21122!)(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----===(2) 解：该过程的均值为[]()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑+∞=--+∞=-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >)[]()[])]([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-=其中，)()]()([1212t t t N t N E -=-λ121212)]([t t t N E λλ+=于是，12t t >时的相关函数为[]12121212121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-=同理可得21t t >时的相关函数为[]221221)()(t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程的相关函数为[]{}2121221,min )()(t t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程过程不是平稳过程。
4.2 设有一个最一般概念的随机电报信号{)(t ξ}，它的定义如下：（1） )0(ξ是正态分布的随机变量),0(2σN ； （2） 时间τ内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即λτλττ-=e k k P k !)(},{ (k =1,2,…)（3） 不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0,2σ)，这个脉冲幅度延伸到下一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。
（4） 不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。
它的样本函数如图4-2。
图4-2(1) 试求它的二元概率密度。
(2) 试问该过程是否平稳？(1) 解：设t 1<t 2，t 1和t 2时刻的脉冲幅度之间的关系有两种情况：① t 1和t 2 处于同一脉冲内；② t 1，和t 2不处于同一脉冲内。
对于情况②，由于不同脉冲内的幅度取值是相互统计独立的，因此两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为)()(2)(1)(21x f x f t t ξξ其中，)(1)(1x f t ξ和)(2)(2x f t ξ分别是)(t ξ在t 1和t 2时刻的概率密度函数。
发生情况②的概率就是t 1和t 2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率，即21121,1!)(}Pr{t t e e k t t k k -=-==-∞=-∑τλτλτλτ处于不同脉冲内和显然，t 1和t 2 处于同一脉冲内的概率为λτ-e 。
在这种情况下，两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为)()(121)(1x x x f t -δξ因此，t 1和t 2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为)(2exp 212exp 21]1[),(12221)(222212)(21)()(121221x x x e x x ex x f t t t t t t -⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=----δσπσσπσλλξξ (2). 由此可见该过程是平稳过程，并且可以推导其多维PDF 也是只与各时刻间的间隔有关，因此是严平稳过程。
4.3 设1ξ、2ξ为独立同分布随机变量，且均匀分布于(0，1)上，又设有随机过程)(sin )(21t t ξξη=求 (1) )(t η均值； (2) )(t η的相关函数 (1) 解：由于1ξ、2ξ是独立的，因此)]([sin ][)](sin [)]([2121t E E t E t E ξξξξη==1ξ、2ξ都均匀分布于(0，1)上，所以21][1=ξE ttt t E cos 1d )(sin )]([sin 10222-==⎰ξξξ 于是，ttt E 2cos 1)]([-=η (2) 相关函数为)](sin )([sin ][)]()([22122121t t E E t t E ξξξηη=其中31][21=ξE 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---=+--=⎰21212121122122122212)sin()sin(21d )]}(cos[)]({cos[21)](sin )([sin t t t t t t t t t t t t t t E ξξξξξ 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---=2121212121)sin()sin(61)]()([t t t t t t t t t t E ηη4.4 设)(t ξ是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为0。
如定义⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=|)()(|)()(121)(τξξτξξηt t t t t 试证明[])(cos 1)}({1τπηξk t E -=-其中，2/)()(ξξξσττC k =，)(τξC 代表)(t ξ的协方差函数，)0(2ξξσC =代表)(t ξ的方差。
证明：由给出的)(t η定义式可知它有两种可能的取值，即⎪⎩⎪⎨⎧<+>+=0)()(,00)()(,1)(τξξτξξηt t t t t因为)(t ξ是实正态平稳随机过程，且均值为0，所以联合正态分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+---=+)1(22exp 121),(222222)()(r y rxy x r y x f t t σπστξξ 其中，)(/)(2τστξξξk C r ==参考《概率随机变量和随机过程》（西安电子科技大学译本）之第226至229页可以得πατξξ+=>+21}0)()({t t P πατξξ-=<+21}0)()({t t P 其中，r arcsin =α因此，)(t η的均值为)]([cos 1)arccos(121}0)()({0}0)()({1)}({1τππαππτξξτξξηξk r t t P t t P t E -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>+⨯+>+⨯=- 4.5 设有随机过程)(sin )(θξ+=t z t ，)(+∞<<-∞t 。
其中，θ,z 是相互独立的随机变量，21}4{==πθP ，21}4{=-=πθP ，Z 均匀分布于（-1，1）之间。
试证明)(t ξ是宽平稳随机过程，但)(t ξ不满足严平稳的条件（不满足一级严平稳的条件）。
证明：由Z 均匀分布于（-1，1）之间得31][,0][2==z E z E 并且z 和θ相互独立。
所以，)(t ξ的均值为0)]([sin ][)]([=+=θξt E z E t E)(t ξ的相关函数为)(cos 61)(cos )2(cos 21)2(cos 2161)(cos )2(cos 2131)](sin )([sin ][)]()(R[21122121122121221t t t t t t t t t t t t E t t E z E t t -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++⨯=++=πππθθξξ由此可见，)(t ξ的均值为常数，相关函数只与时间差12t t -有关。
因此，随机过程)(t ξ是宽平稳随机过程。
证明严平稳可以用特征函数，)(t ξ的一维特征函数为)4sin()]4sin(sin[)4sin()]4sin(sin[d 2121d 2121][21][21][11)4sin(11)4sin()4sin()4sin()sin(ππππππππθ--+++=+=+=⎰⎰---+-++t ju t u t ju t u z e z e eE eE e E t juz t juz t juz Z t juz Z t juz 与时间t 有关(如下图所示)，因此)(t ξ不是严平稳。
4.6 设z 为随机变量，θ为另一随机变量，z 与θ相互统计独立，θ均匀分布于)2,0(π间；又设有随机过程)()sin()(+∞<<-∞+=t t z t θωξ其中ω为常数，0>ω，试利用特征函数证明)(t ξ是一严平稳随机过程。
证明：因为特征函数能唯一地确定概率密度函数，若能证明)(t ξ的k 阶特征函数具有时移不变性，即),,,;,,,(),,,;,,,(21212121εεεφφξξ+++=k k k k t t t u u u t t t u u u ΛΛΛΛ则其k 维概率密度函数是时移不变的。
如果对于任意k 都成立，则该过程是严平稳的。
该随机过程中包含z 和θ两个随机变量，且z 与θ相互统计独立。
因此，其特征函数可以分两步求解。
首先，令a z =，对θ求均值，然后再对z 求均值。
由于θ均匀分布于)2,0(π间，即πθθ21)(=f ，于是θπθωεωεξπθd t a u j a z t u j E i ki i i ki i 21)]sin(exp[})]({exp[2011⎰∑∑++==+== 令βθωε=+。
则βπβωεξπωεωεθd t a u j a z t u j E i ki i i ki i 21)]sin(exp[})]({exp[211⎰∑∑+==+==+ 上式中的被积函数是β的周期函数，周期为π2。
因此，})]({exp[21)]sin(exp[})]({exp[12011a z t u j E d t a u j a z t u j E i ki i i ki i i ki i ==+==+∑⎰∑∑===ξβπβωεξθπθ 所以，}})]({exp[{}})]({exp[{11z t u j E E z t u j E E i ki i Z i k i i Z ξεξθθ∑∑===+即)]}({exp[)]}({exp[11i ki i i k i i t u j E t u j E ξεξ∑∑===+由此可见，)(t ξ的k 阶特征函数具有时移不变性，即)(t ξ为严平稳随机过程。