第十八章勾股定理总复习

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为C ,那么a2+ b2=c2 2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：

1

方法一：

4 S A +S正方形EFGH =S：E方形ABCD, 4x-ab +(b-a) =c

2

方法二:

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

1 2 2

S=4X-ab +c =2ab +c

2

大正方形面积为S =(a +b)2 =a2+2ab +b2

1 1 1

S弟形=2(a +b) (a +b) , S弟形=2S 丛DE+S心BE =2 ，化简得证

勾股定理总复习

，化简可证.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

所以a2+b2 2

=c

方法三:

b

a

3. 勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形

4. 勾股定理的应用

① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在 朋BC 中，N C =90。，贝y C = J a

2

+b 2 , b= J c 2 —a 2

, a =

J c 2 -b 2

② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题

5. 勾股定理的逆定理

如果三角形三边长

a ,

b ,

c 满足a 2

+ b 2

=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中

c 为斜边

6 .勾股数

① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 时，称a , b , c 为一组勾股数

② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等

③ 用含字母的代数式表示

n 组勾股数：

2 2

n -1,2n,n +1 （n >2, n 为正整数）;

2 2

2n +1,2n +2n,2n +2n +1 （ n 为正整数） 2 2 2 _____________________________________

-n ,2mn, m +n （ m:>n, m , n 为正整数）

过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题 的解决. 常见图形：

a 2

+b 2

=c 2

中，a , b , c 为正整数

m 2

7. 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什 么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） 用勾股定理进行求解.

8. 勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，

勾股定理的应用

，构造直角三角形，以便正确使

是密不可分的一个整体.通常既要通

A

人教版八年级下册勾股定理全章

类题总结

类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ ABC 中，/ ACB=9O 0

, AC=7 , BC=24 , CD 丄AB 于 D 。 (1 )求AB 的长； (2 )求

面积问题

如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

2

7cm,则正方形A , B, C, D 的面积之和为 __________ c m 。

BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A 、B 两镇供水，铺

设水管的费用为每千米 3万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M 使铺设水管的 费用最节省，并求出总费用是多少?

【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm,高

AB 为4cm, BC 是上底面的直径. 只蚂蚁从点

A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.

CD 的长。

类型二:

【例题】 边和长为

【练习1】如上右图，每个小方格都是边 长为

1的正方形，

(1) 求图中格点四边形 长。

(2) 求/ ADC 的度数。

ABCD 的面积和周

【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE 丄 BE

且 AE =3，BE =4

，阴

影部分的面积是

【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是 (

)A. 12 B. 13 C. 144 D. 194

类型三：距离最短问题

【例题】 如图，A B 两个小集镇在河流 CD 的同侧,

n

分别到河的距离为 AC=10千米,

类型四：判断三角形的形状

【例题】如果△ ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c判断△ ABC 的形状。

【练习1】已知△ ABC的三边分别为m —n2,2mn,

m+n2（m,n为正整数,且m>n）,判断△ ABC是否为直角三角形.

【练习2】若^ ABC的三边a、b、c满足条件

a2+b2+ c2+ 338= 10a + 24b + 26c，试判断^ ABC的形状.

【练习3】.已知a, b, c为^ ABC三边，且满足

（a2—b2）（a 2+b2—c2）= 0,则它的形状为（）三角形

A.直角

B.等腰

C.等腰直角

D.等腰或直角

2 2

+2ab,则这个三角形是（）三角形

【练习4】三角形的三边长为（a+b） =c

（A）等边（B）钝角（C）直角（D）锐角

类型五：直接考查勾股定理

【例题】在Rt△ ABC中，/ C=90°

（1）已知a=6, c=10，求b; （2）已知a=40, b=9，求c；（3）已知c=25, b=15，求a.。