第7章 同步发电机的基本方程
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式中： 关于ωt的周期函数
7.1.2 电压方程及磁链方程
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ M bQ M cQ M fQ M DQ LQQ
L ff L f
LDD LD
LQQ LQ
4）转子各绕组间的互感系数 同上述原因，它们也都是常数，而且纵轴绕组 于横轴绕组相互垂直，它们的互感为零，即：
M fD M Df mr M fQ M Qf 0
M DQ M QD 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
7.1.2 电压方程及磁链方程
7.2.3
同步电机派克方程式的标么制
转子侧基准值
标么值形式的同步发电机的电压方程：
d q u d rS i d q d u q rS i q 0 u 0 rS io u f rf i f f D 0 rD i D Q 0 rQ iQ
结合相量图，对同步发电机的稳态运行进 行了分析。
7.1 同步发电机的原始方程
7.1.1 前提条件 7.1.2 电压方程及磁链方程
7.1.1
理想同步发电机的假定
前提条件
电机铁芯部分的导磁系数为常数。
对直轴和交轴而言，电机转子的结构完全对称。
定子三相绕组结构完全相同，彼此互差 120度 电角度，在气隙中产生正弦分布的磁动势。 电机空载，转子恒旋转时，其磁通势在定子绕 组中感应的空载电势是时间的正弦函数。
0 rD 0
0 i f 0 i D iQ rQ
为交链到转子绕组的磁链
阻尼绕组为短路回路，u D 0 , uQ 0
各绕组的磁链方程：
a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa
-q轴
d轴 0
+q轴
•由于凸极电机为集中激磁
绕组，其磁动势分布为矩形 波，所以凸极机气隙长度不 能均匀，为此，气隙长度按 正弦规律变化，以保证气隙
2
α
磁通按正弦规律变化，进而
保证电枢绕组相电动势按正 弦规律变化
0
d
q
0 2 cos 2
•a、b、c 绕组相自感
a Laa b M ba c M ca f M fa M D Da Q M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
d dt
ra rb rc r
交链到每相绕组的磁链，由定子 电流和转子电流的合成磁势产生
7.1.2 电压方程及磁链方程
励磁绕组及直轴和交轴阻尼绕组电压平衡方程：
f r f u f D 0 u D u Q 0 Q
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M aD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
maD 0 id 0 maQ iq 0 0 i0 mr 0 if LD 0 iD 0 LQ iQ
7.2.2
d、q、0坐标系统的发电机基本方程
电压方程的派克变换形式
d q u d rs i d q d u q rS i q o u o rS io f u f rf i f D 0 u D rD i D Q 0 u Q rQ iQ
第二篇
第7 章
本章提示
同步发电机的基本方程
7.1 同步发电机的原始方程
7.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
7.3 同步电机的稳态运行
小结
本章提示
在一定前提条件下，提出同步发电机的原 始方程； 通过派克变换，实现从a、b、c系统到 d、q、 0坐标系统的转换，得到发电机的基本方程 及其标么制形式；
abc三相数学模型分析的困难
变系数微分方程 分析困难
7.2 d、q、0坐标系统的发电机 基本方程
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐
转子绕组的 自感
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
7.1.2 电压方程及磁链方程
各绕组的磁链方程：
绕组的自感系数以及绕组间的互感系数，大部分是随角度的
变化而周期性变化，求解发电机的运行状态十分不便。
7.1.2 电压方程及磁链方程
绕组的自感、互感系数
a相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d轴与a相绕组轴线的夹 角 有关 —— a 相轴线与直轴 d 轴的夹角
经过派克变换后，在d、q、0坐标系统中，发电机 的磁链方程组转化为线性代数方程组； 电压方程变为线性微分方程组，求解将大为简化。
7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
定子侧基准值
发电机原始方程是针对三相电压、电流、磁链的瞬 时值列写的。 通常分别选取定子额定相电压、定子额定相电流的
幅值作为电压与电流瞬时值的基准值
虚构的电势 E Q
U jI x E Q q
I I I d q
E Q
的方向与q轴同方向
小 结
同步发电机各绕组的电压方程为一组变系数的微 分方程；磁链方程则为感应系数随角度变化的代 数方程。
磁链方程的派克变换形式
d Ld 0 q 0 0 3 f 2 maf D 3 2 maD Q 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0 Lq 0 0 0 3 2 maQ
0 0 L0 0 0 0
maf 0 0 Lf mr 0
Eq xad i f
U d jI q xq U q Eq jI d xd
发电机端电压为
U U E jI x jI x U d q q d d q q
对于隐极机，由于 xd xq
Eq jxd I
7.3
同步电机的稳态运行
U Ud Uq Eq jId xd jIq xq Eq jxd (Id Iq )
内功率 因数角
rs 0
ψo
功率角
E q jI xd U
7.3 同步电机的稳态运行
对于凸极机: jI d xdjI x j ( xd qE U jq I x E xq E q U jI d x q q q EQQ j ( xd q )Id d
标变换的方法。 派克变换就是将a、b、c三相电流、电压及磁链经
过某种变换（变换的方法不唯一）转换成另外三组 量，即d轴、q轴、零轴分量，完成了从a、b、c坐 标系到d、q、0坐标系的变换。 采用abc坐标系统或dq0坐标系统表示的电量是交直 流互换的，因此为分析发电机运行带来了方便。
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
Laa L0 L2 cos 2
•L0 傅里叶级数常数项 •L2 二次谐波幅值
Lbb L0 L2 cos 2( 120 ) Lcc L0 L2 cos 2( 120 )
Laa L0 L2 cos 2
凸极同步发电机双反应理论
Fa
Faq Fad
1）定子绕组的自感系数
90或
0
0 ＝ 270 时，自感为最小值；
＝00 或
Laa
0 ＝ 180 时，自感为最大值； l0 l2 cos2
Lbb l0 l2 cos2( 1200 )
Lcc l0 l2 cos2( 1200 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化，
U B 2U N I B 2I N
三相功率基准值为
S B 3U N I N 3 UB IB 3 UBIB 2 2 2
7.2.3
同步电机派克方程式的标么制
定子侧基准值
发电机阻抗、角速度、自感与互感、磁链以及时间的
基准值分别为：
ZB UB IB
B 2f N N LB M B Z B B B LB I B U B B tB 1 B
假设定子与转子具用光滑的表面，其槽与通风 沟等不影响定子及转子的电感。
t x
7.1.1 前 提 条 件
正方向的选取：
定子电流的正方向取为由发电机侧指向负荷侧
励磁绕组
阻 尼 绕 组
同步发电机各绕组电路图
7.1.2
电压方程及磁链方程
三相定子绕组电压平衡方程
a r 0 0 ia u a u 0 r 0 i b b b c u c 0 0 r i c
7.2.3
同步电机派克方程式的标么制
标么值形式的磁链方程为：
稳定运行时，定子三相电量均为正弦量
令 q轴为虚轴、d轴为实轴，并忽略定子绕组电阻，
ud rS id q rS id xqiq
uq rS iq q d rS iq xd id xad i f
5）定子与转子间的互感系数 定子与励磁绕组、直轴阻尼绕组间
900或＝2700时，互感为零； 00 时，互感为正最大 ＝ 1800 时，互感为负最大
定字与交轴阻尼绕组间 转子q轴超前d轴90º
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转子旋转以 同步频率周期性变化
7.1.2 电压方程及磁链方程
＝600 或 ＝2400 时， 互感为最小值；
磁路 磁阻 最小
磁路 磁阻 最大
M ab [m0 m2 cos2( 300 )]
凸极机时定子绕组间的互感系数随转子旋转以二倍频周期性变化
3）转子绕组的自感系数
7.1.2 电压方程及磁链方程
转子上各绕组是随着转子一起转动的，无论是凸极机还是 隠极机，转子绕组的磁路中总是不变的，即转子各绕组的 自感系数为常数，令他们表示为：
ia i b ic if iD iQ
常数 对角元素L为各绕组的自感系数， 非对角元素M为两绕组间的互感系数， M ab M ba , M af M fa 有等可逆关系。
对磁链方程的分析：
定子绕组的 自感 定子绕组间的互感
N π
S
d轴
q轴
d轴 d轴
Lbb L0 L2 cos 2( 120 ) Lcc L0 L2 cos 2( 120 )
Laa L0 L2 cos 2
2）定子绕组间的互感系数
7.1.2 电压方程及磁链方程
300 或 1500 时， 互感为最大值；
7.1.2 电压方程及磁链方程
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ M bQ M cQ M fQ M DQ LQQ
L ff L f
LDD LD
LQQ LQ
4）转子各绕组间的互感系数 同上述原因，它们也都是常数，而且纵轴绕组 于横轴绕组相互垂直，它们的互感为零，即：
M fD M Df mr M fQ M Qf 0
M DQ M QD 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
7.1.2 电压方程及磁链方程
7.2.3
同步电机派克方程式的标么制
转子侧基准值
标么值形式的同步发电机的电压方程：
d q u d rS i d q d u q rS i q 0 u 0 rS io u f rf i f f D 0 rD i D Q 0 rQ iQ
结合相量图，对同步发电机的稳态运行进 行了分析。
7.1 同步发电机的原始方程
7.1.1 前提条件 7.1.2 电压方程及磁链方程
7.1.1
理想同步发电机的假定
前提条件
电机铁芯部分的导磁系数为常数。
对直轴和交轴而言，电机转子的结构完全对称。
定子三相绕组结构完全相同，彼此互差 120度 电角度，在气隙中产生正弦分布的磁动势。 电机空载，转子恒旋转时，其磁通势在定子绕 组中感应的空载电势是时间的正弦函数。
0 rD 0
0 i f 0 i D iQ rQ
为交链到转子绕组的磁链
阻尼绕组为短路回路，u D 0 , uQ 0
各绕组的磁链方程：
a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa
-q轴
d轴 0
+q轴
•由于凸极电机为集中激磁
绕组，其磁动势分布为矩形 波，所以凸极机气隙长度不 能均匀，为此，气隙长度按 正弦规律变化，以保证气隙
2
α
磁通按正弦规律变化，进而
保证电枢绕组相电动势按正 弦规律变化
0
d
q
0 2 cos 2
•a、b、c 绕组相自感
a Laa b M ba c M ca f M fa M D Da Q M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
d dt
ra rb rc r
交链到每相绕组的磁链，由定子 电流和转子电流的合成磁势产生
7.1.2 电压方程及磁链方程
励磁绕组及直轴和交轴阻尼绕组电压平衡方程：
f r f u f D 0 u D u Q 0 Q
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M aD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
maD 0 id 0 maQ iq 0 0 i0 mr 0 if LD 0 iD 0 LQ iQ
7.2.2
d、q、0坐标系统的发电机基本方程
电压方程的派克变换形式
d q u d rs i d q d u q rS i q o u o rS io f u f rf i f D 0 u D rD i D Q 0 u Q rQ iQ
第二篇
第7 章
本章提示
同步发电机的基本方程
7.1 同步发电机的原始方程
7.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
7.3 同步电机的稳态运行
小结
本章提示
在一定前提条件下，提出同步发电机的原 始方程； 通过派克变换，实现从a、b、c系统到 d、q、 0坐标系统的转换，得到发电机的基本方程 及其标么制形式；
abc三相数学模型分析的困难
变系数微分方程 分析困难
7.2 d、q、0坐标系统的发电机 基本方程
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐
转子绕组的 自感
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
7.1.2 电压方程及磁链方程
各绕组的磁链方程：
绕组的自感系数以及绕组间的互感系数，大部分是随角度的
变化而周期性变化，求解发电机的运行状态十分不便。
7.1.2 电压方程及磁链方程
绕组的自感、互感系数
a相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d轴与a相绕组轴线的夹 角 有关 —— a 相轴线与直轴 d 轴的夹角
经过派克变换后，在d、q、0坐标系统中，发电机 的磁链方程组转化为线性代数方程组； 电压方程变为线性微分方程组，求解将大为简化。
7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
定子侧基准值
发电机原始方程是针对三相电压、电流、磁链的瞬 时值列写的。 通常分别选取定子额定相电压、定子额定相电流的
幅值作为电压与电流瞬时值的基准值
虚构的电势 E Q
U jI x E Q q
I I I d q
E Q
的方向与q轴同方向
小 结
同步发电机各绕组的电压方程为一组变系数的微 分方程；磁链方程则为感应系数随角度变化的代 数方程。
磁链方程的派克变换形式
d Ld 0 q 0 0 3 f 2 maf D 3 2 maD Q 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0 Lq 0 0 0 3 2 maQ
0 0 L0 0 0 0
maf 0 0 Lf mr 0
Eq xad i f
U d jI q xq U q Eq jI d xd
发电机端电压为
U U E jI x jI x U d q q d d q q
对于隐极机，由于 xd xq
Eq jxd I
7.3
同步电机的稳态运行
U Ud Uq Eq jId xd jIq xq Eq jxd (Id Iq )
内功率 因数角
rs 0
ψo
功率角
E q jI xd U
7.3 同步电机的稳态运行
对于凸极机: jI d xdjI x j ( xd qE U jq I x E xq E q U jI d x q q q EQQ j ( xd q )Id d
标变换的方法。 派克变换就是将a、b、c三相电流、电压及磁链经
过某种变换（变换的方法不唯一）转换成另外三组 量，即d轴、q轴、零轴分量，完成了从a、b、c坐 标系到d、q、0坐标系的变换。 采用abc坐标系统或dq0坐标系统表示的电量是交直 流互换的，因此为分析发电机运行带来了方便。
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
Laa L0 L2 cos 2
•L0 傅里叶级数常数项 •L2 二次谐波幅值
Lbb L0 L2 cos 2( 120 ) Lcc L0 L2 cos 2( 120 )
Laa L0 L2 cos 2
凸极同步发电机双反应理论
Fa
Faq Fad
1）定子绕组的自感系数
90或
0
0 ＝ 270 时，自感为最小值；
＝00 或
Laa
0 ＝ 180 时，自感为最大值； l0 l2 cos2
Lbb l0 l2 cos2( 1200 )
Lcc l0 l2 cos2( 1200 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化，
U B 2U N I B 2I N
三相功率基准值为
S B 3U N I N 3 UB IB 3 UBIB 2 2 2
7.2.3
同步电机派克方程式的标么制
定子侧基准值
发电机阻抗、角速度、自感与互感、磁链以及时间的
基准值分别为：
ZB UB IB
B 2f N N LB M B Z B B B LB I B U B B tB 1 B
假设定子与转子具用光滑的表面，其槽与通风 沟等不影响定子及转子的电感。
t x
7.1.1 前 提 条 件
正方向的选取：
定子电流的正方向取为由发电机侧指向负荷侧
励磁绕组
阻 尼 绕 组
同步发电机各绕组电路图
7.1.2
电压方程及磁链方程
三相定子绕组电压平衡方程
a r 0 0 ia u a u 0 r 0 i b b b c u c 0 0 r i c
7.2.3
同步电机派克方程式的标么制
标么值形式的磁链方程为：
稳定运行时，定子三相电量均为正弦量
令 q轴为虚轴、d轴为实轴，并忽略定子绕组电阻，
ud rS id q rS id xqiq
uq rS iq q d rS iq xd id xad i f
5）定子与转子间的互感系数 定子与励磁绕组、直轴阻尼绕组间
900或＝2700时，互感为零； 00 时，互感为正最大 ＝ 1800 时，互感为负最大
定字与交轴阻尼绕组间 转子q轴超前d轴90º
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转子旋转以 同步频率周期性变化
7.1.2 电压方程及磁链方程
＝600 或 ＝2400 时， 互感为最小值；
磁路 磁阻 最小
磁路 磁阻 最大
M ab [m0 m2 cos2( 300 )]
凸极机时定子绕组间的互感系数随转子旋转以二倍频周期性变化
3）转子绕组的自感系数
7.1.2 电压方程及磁链方程
转子上各绕组是随着转子一起转动的，无论是凸极机还是 隠极机，转子绕组的磁路中总是不变的，即转子各绕组的 自感系数为常数，令他们表示为：
ia i b ic if iD iQ
常数 对角元素L为各绕组的自感系数， 非对角元素M为两绕组间的互感系数， M ab M ba , M af M fa 有等可逆关系。
对磁链方程的分析：
定子绕组的 自感 定子绕组间的互感
N π
S
d轴
q轴
d轴 d轴
Lbb L0 L2 cos 2( 120 ) Lcc L0 L2 cos 2( 120 )
Laa L0 L2 cos 2
2）定子绕组间的互感系数
7.1.2 电压方程及磁链方程
300 或 1500 时， 互感为最大值；