复数的几何表示
复数的概念及其几何意义
复数的概念及其定义复数是数学中一种特殊的数，它由实部和虚部组成。
一个复数可以用以下形式表示：z = a + bi其中，a是实部，b是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
在复平面上，我们可以将复数z = a + bi表示为一个有序对(a, b)。
其中实部a对应于 x 轴的坐标，虚部b对应于 y 轴的坐标。
这样，在复平面上，每个点都对应着唯一的一个复数。
复数的重要性和应用1. 扩展了实数域复数扩展了实数域，使得我们可以处理更多的问题。
例如，在求解方程时，有些方程在实数域中无解，但在复数域中却有解。
2. 描述振荡和周期性现象振荡和周期性现象在科学和工程领域中非常常见。
通过使用复数来描述这些现象，我们可以更方便地进行分析和计算。
3. 信号处理在信号处理领域中，复数广泛用于描述和分析信号。
例如，在频域中使用傅里叶变换将信号从时域转换为频域时，复数起到了重要的作用。
4. 电路分析在电路分析中，复数被用来描述电压和电流的相位关系。
通过使用复数，我们可以方便地进行交流电路的计算和分析。
5. 分形和动力系统复数在分形和动力系统研究中也扮演着重要角色。
通过使用复数，我们可以更好地理解这些系统的行为和性质。
复数的几何意义中的关键概念在复平面上，有几个重要的概念与复数的几何意义密切相关。
1. 模长（Magnitude）一个复数z = a + bi的模长表示为|z|，它等于实部a和虚部b的平方和的平方根。
模长表示了一个复数到原点的距离。
|z| = √(a^2 + b^2)2. 辐角（Argument）辐角是一个与复数相关的角度，在极坐标系中表示。
辐角通常用 Greek 字母θ表示。
对于一个非零复数z = a + bi，其辐角定义如下：θ = arctan(b/a)需要注意的是，在计算辐角时需要考虑a的正负和a=0的特殊情况。
3. 共轭复数（Conjugate）对于一个复数z = a + bi，其共轭复数定义为z* = a - bi。
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
1-2复数的几何表示k
z 0 时，以正实轴为始边与该向量的
夹角的弧度数θ称为z的辐角 。 (1) 复数的模 复数的模记为 注意：
y
y
(z)－复平面
z x iy
z r
2 2
P
2
z r
x y
o
x
x
x z, y z
z x y,
zz z z2
(2) 复数的辐角
Z不等于零, 复数的辐角记为: Arg z=,
N P o
x
S
y z
规定： 复平面上有一个唯一的“无穷远点”，表示复数中 唯一的“无穷大”（记为∞），它与球面上的北极N相对应。 北极N就是复数∞的几何表示，从而球面上的每 一个点都有唯 一的一个复数与它对应，称该球面为复球面。
？
为什么要引入复球面？
扩充复平面 ：包括无穷远点在内的复平面 有限平面 ： 不包括无穷远点在内的复平面 注意
几何上，由方程可直接看出它表示z平面上与点-i 的距离恒为2 的所有的点的轨迹，即以-i为中心、半径为2的圆周。
2 z 2i z 2
[解] 设z=x+iy ， 则方程变为：
y y = -x
2i x
x y 2i x 2 yi
即 或
x y 2
y tg Argz x 复数的辐角的主值记为 ： arg z
y
y
z x iy
z r
P
x
o
x
规定： -π＜arg z≤π ，
Argz=argz +2kπ(k为整数)。
注意:
(ⅰ) 辐角Argz的多值性和辐角的主值argz的单值性.
(ⅱ) 当z=0时，有模且|z|=0，而辐角没有意义.
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
复数的几何表示
辐角：表示复数在复平面上的旋转角度
复数的几何运算
03
加法运算
举例：例如z1=3+4iz2=1+2i则z1+z2=4+6i
定义：两个复数相加相当于在复平面内将它们的向量相加
规则：平行四边形法则即以实部和虚部分别为邻边作平行四边形其对角线即为相加后的复数
几何意义：表示在复平面内将z1和z2对应的点相加得到的结果对应的点就是z1+z2
复数的几何表示
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01
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复数的几何定义
03
复数的几何运算
04
复数的几何意义
05
复数的几何应用
06
复数的几何表示的扩展
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01
复数的几何定义
02
复数平面的坐标系
实轴和虚轴：复数平面的水平轴表示实数垂直轴表示虚数
点的表示：每个复数z可以表示为平面上的一点(,b)其中是实部b是虚部
模长：复数z的模长定义为√(^2 + b^2)表示点(,b)到原点的距离
幅角：复数z的幅角定义为rctn(b/)表示点(,b)与实轴正方向的夹角
复数在平面上的表示
实部为横坐标虚部为纵坐标
复数平面的表示方法有多种
复数由实部和虚部组成
复数可以用平面上的点来表示
复数的模和辐角
复数的模：表示复数在复平面上的距离
除法运算
定义：复数 + bi 与 c + di 的除法运算可以通过乘以共轭数的方式进行
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应用：在电路分析、信号处理等领域中复数的除法运算有广泛应用
第一章 第2节 复数几何表示
0
, ( 0)
0 ，
无意义
二、区域
1.区域的概念 集合中的各类点
1）集合的各类点（集）
一维空间：邻域（开区间）
（ x0
x0
） x0
二维空间：邻域（开圆）
平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径 的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1
z0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
2.单连通域与多连通域
(5)0 arg z ;
非开集
边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D 中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界.
说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些
孤立的点所组成的.
C2
z
C3
C1
(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域
z0
R
邻域: 平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆 : z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
说明
z0所对应的点P的邻域和去心邻域也可 分别记作U(P,), U (P,δ)
说明 包括无穷远点自身在内且满足 z M 的
所有点的集合, 其中实数 M 0, 称为无穷远 点的邻域.
第一章
复数的概念及几何意义
复数的概念及几何意义复数是数学中一种形式的数，包括实数和虚数。
它们一般有两个部分组成：实部和虚部。
复数的一般形式为a+bi，其中a和b分别是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1复数的几何意义可以通过将它们表示为平面上的点来理解。
实部表示复数在实轴上的位置，虚部则表示复数在虚轴上的位置。
复数a+bi可以被视为复平面上的一个点(x, y)，其中x是实部，y是虚部。
这个点与坐标原点形成的直角坐标系中的位置坐标。
复数的模是指复数与原点(0, 0)之间的距离，可以通过勾股定理计算。
给定复数a+bi，它的模记作，a+bi，定义为sqrt(a^2 + b^2)。
复数的模可以用来衡量复数的大小。
复数的幅角或辐角表示复数相对于正实轴的旋转角度。
可以使用三角函数来计算复数的幅角。
例如，对于复数a+bi，其幅角记作arg(a+bi)，可以通过求解tan(theta) = b/a来计算，其中theta是幅角。
复数的几何意义在很多数学和物理领域都有广泛应用。
以下是一些常见的应用领域：1.电路分析：复数在电路分析中起着重要的作用，特别是在交流电路的分析中。
复数可以表示电路元件的阻抗和容抗，并且可以通过复数运算来计算电路中电流和电压的相位关系。
2.信号处理：复数在信号处理领域中用于分析和处理复杂波形。
通过将信号表示为复数的幅角和频率，可以进行频域分析和滤波等操作。
3.控制理论：复数在控制系统理论中用于表示系统的频率响应和稳定性。
复数的幅角和模可以用于设计控制系统的稳定性条件。
4.波动理论：复数在波动理论中用于描述波的传播和干涉。
复数的幅角和模可以用于计算波的相位差和振幅。
5.分形几何：复数在分形几何中用于描述复杂图形的生成和变换。
复数的幅角可以用于旋转和缩放图形。
总结起来，复数是一种数学工具，它可以通过几何方法来理解和解释。
复数的几何意义涵盖了电路分析、信号处理、控制理论、波动理论和分形几何等多个领域。
通过了解复数的几何意义，可以更好地应用和理解复数的数学概念。
复数的几何表示
盐城工学院基础部应用数学课程组
复数z 的辐角：向量 OP 的方向角 . 记作 Arg z .
y
注意:
y
z x yi
2) 0的模为零，0的辐角不确定. 3)
O
x
x
复数z的幅角主值: 满足 π π 的那个幅角.
记作 arg z . 于是幅角与幅角主值的关系
例5
求下列复方程所表示的曲线:
(1) z 1 z 1 4;
(2)Re( z 2 ) 1.
x2 y2 设 z x iy, 代入复方程得 1 4 3
3i
(1)
(2)
2
1
1
2
1
1
3i
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*二、复球面
1.南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z 0 的球面, 球面上一点 S 与原点重合,
复数 z 的指数表示式为 z 4e
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5π i 6
.
习惯上取主辐角
例5
将下列复数化为三角表示式与指数表示式 :
z sin 5 i cos 5 ;
解
r z 1,
3 sin cos cos , 5 10 2 5
Arg z arg z 2 k π , k 0, 1, 2, .
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幅角主值的计算: 注意arg z ( , ]. arctan y , 若z在第一、四象限； x y arctan π, 若z在第二、三象限； x arg z π, x 0, y 0, 若 2 0或π, 若 x 0, y 0.
复几何导论-概述说明以及解释
复几何导论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容旨在介绍复几何导论的基本背景和核心概念。
复几何是研究复数与复平面上的几何关系的学科，它是数学中的一个重要分支。
复数是由实部和虚部组成的数，常用形式为a + bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i为虚数单位。
复数在几何上有着丰富的应用，它可以用来描述平面上的点、向量以及各种几何对象，如直线、圆、曲线等。
复数的几何表示形式是复平面，它将复数与平面上的点一一对应。
复平面由实轴和虚轴组成，复数a + bi 在复平面上对应于点(a, b)。
复数运算是复几何的核心内容之一，其中包括加法、减法、乘法和除法等运算。
复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，而复数的乘法和除法有着特殊的性质。
复数运算的性质有着深刻的几何意义，它们可以用来描述复平面上的平移、旋转和缩放等几何变换。
本文旨在介绍复几何导论的基础知识和理论，以及复几何在实际问题中的应用。
通过学习本文，读者将能够理解复数与复平面的概念，掌握复数运算的方法和性质，并了解复几何在几何变换、物理问题和工程应用等方面的重要性。
在接下来的2.1复数与复平面部分，我们将详细介绍复数和复平面的概念，以及它们之间的对应关系。
通过具体的例子和图示，帮助读者加深对复数和复平面的理解。
请继续阅读下一节内容。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行介绍和讨论复几何的导论部分。
第一部分是引言部分，主要包括概述、文章结构和目的。
在概述中，将简单介绍复几何的概念和重要性。
文章结构部分将给出整篇文章的目录，以便读者能够清楚地了解各个部分的内容和顺序。
目的部分将明确本文的写作目标和意图，为接下来的讨论做出补充说明。
第二部分是正文部分，分为多个小节。
首先介绍复数与复平面的基本概念和关系，包括复数的表示方式、复数在复平面上的几何表示以及复数的共轭和模。
接下来，将探讨复数的运算法则和一些重要性质，如加法、减法、乘法和除法的运算规则。
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
复数的基本概念和几何意义
复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它由一个实数部分和一个虚数部分组成。
一个复数可以用以下形式表示：a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，即i^2=-1复数的基本概念包括实数部分和虚数部分。
实数部分是复数的实际部分，它可以是任何实数。
虚数部分是复数中的虚构部分，它必须乘以虚数单位i才能表示。
实数部分和虚数部分都可以是负数。
复数的几何意义可以通过复平面理解。
复平面是一个由实数轴和虚数轴构成的平面。
实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。
复数a+bi 可以在复平面上表示为一个点，实数部分对应的是x坐标，虚数部分对应的是y坐标。
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理求得。
模的值是一个非负实数。
复数的共轭表示实数部分不变，虚数部分取相反数，即a-bi。
复数可以进行加法、乘法和求逆运算。
复数的加法和减法可以通过实数部分和虚数部分分别相加或相减得到。
复数的乘法可以通过FOIL法则展开得到。
复数的求逆可以通过取共轭复数，将实数部分除以模的平方得到。
复数的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。
复数可以进行四则运算，并满足这些性质。
复数的重要应用包括在电路分析、量子力学、工程计算等领域。
复数在这些领域中能够提供更加精确和便捷的计算手段。
总结起来，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，它可以在复平面上表示为一个点。
复数有加法、乘法和求逆等运算，满足交换律、结合律和分配律。
复数的几何意义可以帮助我们理解和应用它们。
复数在数学和实际应用中都有重要的意义。
复数的几何意义
3
4
（3）这个方程可以写成 |z-(-2)|-|z-2|=2，所以表示到 两个定点F1(-2,0)，F2(2,0)距离 差2a等于2的点的轨迹，这个轨 迹是双曲线右半支．
x y 即双曲线： 1（x>0） 1 3
2
2
例4：△ABC的三个顶点对应的 复数分别是z1,z2,z3，若复数z满 足 |z-z1|=|z-z2|=|z-z3| ， 则 z 对应的点为△ABC的（ D ） A. 内心； B．垂心； C．重心； D．外心；
例1：设z∈C，满足下列条件的点Z的集 合是什么图形？ （1）|z|=4；（2）2≤|z|≤4．
解：（1）|z|=4表示到原点距离为4的点．所 以z表示的点Z构成一个半径为4的圆． （2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点 Z到原点的距离，所以2≤|z|≤4表示到原点距 离大于等于2，小于4的点所构成的图形．
解：（1）方程可以看成 |z-(1+i)|=|z-(-2-i)|， 表示的是到两个定点A(1,1)和 B(-2,-1)距离相等的动点轨迹．所 以是线段AB的的垂直平分线。 即：直线6x+4y+3=0。
（2）方程可以看成 |z-(-i)|+|z-i|=4，表示的是到两个 定点(0,-1)和(0,1)距离和等于4的动点 轨迹．因为点Z到两个定点的距离和 是常数4，并且大于两点(0,-1)，(0,1) 间的距离2，所以满足方程的动点轨 迹是椭圆． 2 2 x y 即椭圆： 1
例 7 ：在复平面上 A 、 B 两点对应的 复数分别是 1 和 i ，复数 z 在直线 AB 上运动，求复数 z2 对应的点的轨迹。
解：设z=a+bi,(a,b∈R) 由题意，直线 AB 的方程是： x+y=1 ， ∵复数z在直线AB上运动，∴a+b=1， 再设z2对应的点为P(x,y) ∴z2=x+yi=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi =(a-b)+2abi x a b 由复数相等的条件，得： y 2 ab 2 消去b,得y=(1-x ), 所以，复数z2对应的点的轨迹 是抛物线 y=(1-x2)。
复数的几何意义与点的复平面表示
复数的几何意义与点的复平面表示复数是数学中一个重要的概念，它由实数部分和虚数部分组成。
虽然复数在数学中有着广泛的应用，但是它的几何意义和点的复平面表示是我们理解复数的关键。
一、复数的几何意义复数可以看作是在实数轴上的一个点，这个点的位置由实数部分和虚数部分共同决定。
实数部分决定了点在实数轴上的位置，而虚数部分则决定了点在虚数轴上的位置。
因此，复数可以用一个有序对 (a, b) 来表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
在复数的几何意义中，实数部分可以看作是点在实数轴上的横坐标，虚数部分可以看作是点在虚数轴上的纵坐标。
这样，我们可以将复数表示为一个点在平面上的位置。
二、点的复平面表示为了更好地理解复数的几何意义，我们引入了复平面的概念。
复平面是一个由实数轴和虚数轴组成的平面。
在复平面上，实数轴对应着横坐标轴，虚数轴对应着纵坐标轴。
在复平面上，每个复数都可以用一个点来表示。
点的位置由复数的实部和虚部决定。
例如，复数 z = a + bi 可以表示为平面上的一个点 P，其中 P 的横坐标是 a，纵坐标是 b。
通过将复数表示为点在复平面上的位置，我们可以更加直观地理解复数的性质和运算。
例如，两个复数的加法可以看作是将它们对应的点在复平面上进行平移，而复数的乘法可以看作是将一个点绕原点旋转或缩放。
三、复数的几何运算在复数的几何运算中，加法和减法可以通过将两个复数对应的点在复平面上进行平移来实现。
例如，将一个复数 z1 平移到另一个复数 z2 的位置，可以将 z1 对应的点 P1 沿着向量 z2-z1 进行平移，得到新的点 P2。
而复数的乘法可以通过将一个复数对应的点绕原点进行旋转和缩放来实现。
例如，将一个复数 z1 绕原点旋转一个角度θ，可以得到新的复数 z2，其中 z2 的模长是 z1 的模长乘以一个缩放因子，而 z2 的辐角是 z1 的辐角加上θ。
通过复数的几何运算，我们可以更加直观地理解复数的性质和运算规律。
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复习巩固
1.虚数单位i的基本特征是什么？ （1）i2＝－1； （2）i可以与实数进行四则运算，且原
有的加、乘运算律仍然成立. 虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了 复数集。
复习巩固
2.复数的一般形式是什么？复数相等 的充要条件是什么？
a＋bi（a，b∈R）； 实部和虚部分别相等.
么几何量来表示？
y
b
（a，b）
Z：a＋bi
Oa x
复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用直角 坐标系中的点Z（a，b）来表示.
形成结论
用直角坐标系来表示复数的坐标平面 叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做 虚轴.
形成结论
一般地，实轴上的点，虚轴上的点，
各象限内的点分别表示什么样的数？
y
b
Z：a＋bi
y Z1
z4＝2－i
Z2 O
Z4 x
Z3
典例讲 评
例3 设复数 z = log1 x + 4i ，
2
若|z|≥5，求x的取值范围.
x? (0,1]U[8, ? ) 8
课堂小 结
1.复数集C和复平面内所有的点所成的集 合是一一对应的，即 复数z＝a＋bi 一一对复应平面内的点 Z（a， b）
2.复数集C与复平面内的向量所成的集合 也是一一对应的，即 复数uuuzr ＝a＋bi 一一对复应平面内的向量
问题探究
6、两个实数的和仍是一个实数，两个 复数的和仍是一个复数，两个虚数的和 仍是一个虚数吗？
不一定.
问题探究
7、复数的加法法则满足交换律和结 合律吗？
z1＋z2＝z2＋z1， (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
OZ
课堂小 结
3.复数z＝a＋bi与uuur复平面内的点 Z （a，b）和向量 O是Z 一个三角对应关系， 即
复数z＝a＋bi
点 Z(a ， b)
向量
u O
uur Z
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减 运算及其几何意义
复习巩固
1.复数的代数形式是什么？在什么 条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？
uuur OZ2
＝(c，d)，
uuur uuur
OZ1+OZ2＝(a＋c，b＋d).
问题探究
4、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 复数z1＋z2等于什么？
z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.
问题探究
5、(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋ (b＋d)i就是复数的加法法则，如何 用文字语言表述这个法则的数学意 义？ 两个复数的和仍是一个复数. 两个复数的和的实部等于这两个复数的 实部之和，两个复数的和的虚部等于这 两个复数的虚部之和.
代数形式：z＝a＋bi（a，b∈R）.
当b＝0时z为实数； 当b≠0时，z为虚数； 当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
提出问题
2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应复 平面内的点Z的坐标是什么？复数z可以 用复平面内哪个向量来表示？
对应点Z（a，b）， y
用向量
u O
uur Z
表示.
O
Z(a，b) x
实轴上的点表示实数；O a x 虚轴上的点除原点外都表示纯虚数， 各象限内的点表示实部和虚部都不为零
问题探 究
1、用有向线段表示平面向量，向量的
大小和方向由什么要素所确定？
有向线段的始点和终点.
2、用坐标表示平面向量，如何根据向
量的坐标画出表示向量的有向线段？
以原点为始点，向量的 坐标对应的点为终点画 有向线段.
是什么？
y
b
Z：a＋bi
|a+bi|= a2+b2 O a x
问题探究
5、设向量a，b分别表示复数z1，z2， 若a＝b，则复数z1与z2的关系如何？ 规定：相等的向量表示同一个复数.
6、若|z|＝1，|z|＜1，则复数z对应 复平面内的点的轨迹分别是什么？
单位圆，单位圆内部.
典例讲评
例1 已知复数
复习巩固
3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如 何？ 设z＝a＋bi（a，b∈R）.
当b＝0时z为实数； 当b≠0时，z为虚数；
当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
复习巩固
4.复数集、实数集、虚数集、 纯虚数集之间的关系如何？
复数 纯虚数 实数
虚数
提出问题
5.实数与数轴上的点一一对应，从 而实数可以用数轴上的点来表示，这 是实数的几何意义，根据类比推理， 复数也应有它的几何意义.因此，探究 复数的几何意义就成为一个新的学习 内容.
问题探究
1、在什么条件下，复数z惟一确定？ 给出复数z的实部和虚部
2、设复数z＝a＋bi（a，b∈R），以 z的实部和虚部组成一个有序实数对 （a，b），那么复数z与有序实数对 （a，b）之间是一个怎样的对应关系？
一一对应
问题探究
3、有序实数对（a，b）的几何意义是什
么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什
y (a ， b)
O
x
问题探究
3、在复平面内，复数z＝a＋bi（a， b∈R）用向量如何表y 示？
b Z：a＋bi
Oa x
以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的 向量OZ .
问题探究
4、复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用向量
表示，向量Ou
uur Z
的模叫做复数z的模，记作
|z|或|a＋bi|，那么|a＋bi|的计算公式
提出问题
3.两个实数可以进行加、减运算， 两个向量也可以进行加、减运算，根 据类比推理，两个复数也可以进行加、 减运算，我们需要研究的问题是，复 数的加、减运算法则是什么？
复数代数形式的加、减 运算及其几何意义
问题探究
1、设向量m＝(a，b)，n＝(c，d),则向
量m＋n的坐标是什么？
m＋n＝(a＋c，b＋d)
问题探究
2、设向量Ou z2，那么向量
uu Z
r1O ，uuZOuur1uZu+r2 表O 分uuZu示别r2 的表复示数复应数该z1，
是什么u uburi，z2＝c＋duiu对ur
O应u uZu的r2 ，向O uuZ量ur1分+OuO u别uZuuZur1为r2＝的O(aZ坐，1 ，标Ob)Z分，2 ，别那是么什向么量？O Z 1
z = l o g 2 ( m 2 -3 m -3 ) + il o g 2 ( m -3 )
对应的点在直线x－2y＋1＝0上，求实数m 的值.
m = 15
典例讲 评
例2 若复平面内一个正方形的三个顶
点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋
i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶
点对应的复数.