2014 高等弹性理论-09-非线性弹性

B.

确定性原理
在T时刻，物质中质点的本构变量的值完全由该物 质所有质点在T时刻以前的变形历史和温度历史所 确定。
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非线性本构模型
在本构方程的原始形式中，出现在一个方程中独立 变量必然出现在所有的本构方程中 局部作用原理

复合材料非线性本构模型

C.
复合材料非线性本构模型的研究目的：

复合材料非线性的本构---应力应变关系 大变形非线性问题 由于复合材料的各向异性和不均匀性的特点，描述 材料性能所需要参数大大增加，其中许多是耦合关 系参数。 实验问题。确定参数的困难。在考虑非线性因素和 大变形条件下确定材料参数就更加困难

研究对象：刚性复合材料 特点：相对简单易用，变形较小时准确 缺点：未考虑垂直于增强帘线方向的横向变形的
非线性关系，不够准确

非线性的应力应变关系
1 2 6
27
S 11 S 12 0
S 12 S 22 0
28
1 0 2 4 S 6666 6 S 66 6 0
V JVd Vd
1
Green-Kirchhoff curve
V0 L0 w10 w20 Vd Ld w1d w2 d
50%
(1 x )(1 x ) 2 1
1 x (1 x ) 2 x (1 x )
1
10%
20%
格林应变克希荷夫应力与柯西应变－欧拉应力 实验曲线对比
dA为da在未变形时所对应的面积， dTL为da平面上的力矢量
1
应力张量的描述
•
应力张量的描述
•
Lagrange应力张量
• •
Kirchhoff应力张量
•
dA为da在未变形时所对应的面积 dTL为da平面上的力矢量
T

dA为da在未变形时所对应的面积，dTL为da平面上 的力矢量，dTk为dA平面上的虚拟力矢量
单向拉伸时格林应变为 E11 欧拉应力为
u1 1 u1 2 u 1 u 2 ( ) ( ) L0 2 L0 X 1 2 X 1
Eij
1 u j u i u k u k [ ] 2 X i X j X i X j
S lm J
X l X m ij xi x j
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非线性本构模型

非线性本构模型
A.

本构方程的研究

物理相容性原理
所有本构方程必须满足基本的物理定律，质量守 恒、动量守恒、动量矩守恒，能量守恒，熵原理 等等

一方面立足于试验观察，通过试验确定本构 方程的待定函数、常数。利用有限的实验数 据建立经验公式来描述实际工况下的材料性 质 另一方面通过对本构理论的一般原理研究， 能够对本构方程的可能形式有更深刻的理解 。
L0
实验与数据处理
KC45 ? 3 Stress (MPa) Cauchy-Euler curve 2
变泊松比问题
假定拉伸状态时材料变形前后的体积不变 J0 1 变形后试件的长宽厚分别为
l d l0 (1 x ) w1d w10 (1 x ) w2 d w20 (1 x )
D.

研究特点：

质点A处的相关本构变量不会受到远离该处的相关本构变量的 影响
E.
标架无差异原理
在观察者以不同方式运动时保持不变
F.
对称性原理，记忆性原理，本构方程等式两侧量纲 一致

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4
复合材料非线性本构模型

复合材料非线性本构模型
研究思路：
出发点：用实验所能够确定的参数来描述复合材料 的非线性力学行为（非线性的应力应变关系） 1、描述方法和应力应变定义 2、实验所能够确定的参数有那些？ 3、能否通过数学方法构造某些参数或关系？ 4、能否选用现有模型？各个模型的特点？（实用 与精确之间的矛盾） 5、模型是否需要调整？能否提高精度，怎样才能 具有新的理论价值
1 4 1 4
本构方程、几何方程都是线性的 本构方程和能量原理都是按变形前的状态列出来的 小变形问题的材料非线性问题(只是本构方程不同)
非线性效应仅由应力应变的非线性引起，位移分量仍然假定 为无限小量，仍然可以采用工程应力和工程应变描述，仅为 材料非线性问题。
Possion‘sratio、
0.46 0.44 0.42 0.4

非线性的应力应变关系处理为：

T.Hahn和S.W.Tsai剪切非线性模型

四阶的弹性余能密度函数， 构造剪切的非线性应力应变关系 主应力应变关系仍为线性
四阶的弹性余能密度函数
W* 1 1 1 1 2 2 4 S11 12 S 22 2 S12 1 2 S 66 6 S 6666 6 2 2 2 4
[( IB U I ,B )S BA )] FI 0 X A
x i S BA N A Pi K X A
•
9
非线性弹性本构关系
•
实验与数据处理
Kirchhoff应力张量表示的本构关系
S IJ W (E IJ ) E IJ
单向拉伸时数据点采集
试件 试验 点1 25, 1 15, 4 8, 2.4 11.5, 5 试验 点2 40, 2 20, 6 13, 4.4 25, 15 试验 点3 50, 3 30, 9 24, 9.4 34, 25 试验 点4 70, 5 36, 11 33, 14.4 42, 35 试验 点5 100, 9 60, 26 41.5, 19.4 49, 45 试验 点6 150, 17 75, 36 64.5, 39.4 54, 50 试验 点7 200, 27 108.5, 66 82.5. 59.4 68, 70 试验 点8 250, 36 140, 96 98, 79.4 75, 80 113.5, 99.4 81, 100 试验 点9 300, 50
•
X L dA L x i
•
Euler坐标描述，应力是作用在变形后的截面上单位 面积上的内力，随空间坐标变量变化而变化。 作用在变形构架上的实际面积 真实应力

dT L da
Fra Baidu bibliotek
体积的变化
J
dV dV 0
J
x i x i x j x k e ijk X J X 1 X 2 X 3

P.H.Petit的分段线性增量法
非线性的应力应变关系处理为
分段线性的关系， 通过迭代积分方法确定最终的本构关系。
研究对象：正交对称层合板 特点：简单易用 缺点：不能求解耦合应力，不能应用于较 复杂的结构和多应力作用下
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复合材料非线性本构模型

复合材料非线性本构模型
T.Hahn和S.W.Tsai剪切非线性模型
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Ti dT P A dA w w (1 u ) 2 1 2 L0
雅可比矩阵为
J e123
x1 x2 x3 u u 2 (1 )(1 ) X 1 X 2 X 3 L0 L0
第二类皮奥拉克希荷夫应力为
S11 J
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X 1 X 1 P 11 = u x1 x1 ) w1w2 (1
S dT K dA
dT L dA
dT L da
dT

K
F 1 dT
da JF T dA
变形前力矢量除于变 形前的作用面积
dT da
da JF T dA
T J F T
S F 1 J F T 1 1 S IJ JFIi FJj ij
本构方程的具体形式


本构方程的一般形式为

ij f ij （变形历史、温度历史）
f ij 要求是二阶对称张量
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取决于函数中独立变量的选取，这种选取往 往需要依据事实。 例如在等温过程的有限弹性理论中，假定 f ij 是变形梯度xi / a j 的分量的函数， f ij 独立变量一经选定, 它的可能形式就要 受到本构理论的一般原理的约束。
复合材料非线性本构模型

复合材料非线性本构模型
T.W.Chou模型

非线性的应力应变关系处理为：
基于Euler系统的橡胶复合材料非线性弹性本构关系（假定应变能 函数)
T.W.Chou模型 2 e1 s111 s11112 s1111 13 s122 s1666
2 3 2 e2 s222 s2222 26 s22222 s122 2s2266 3 2 e6 s666 s6666 6 2 6 2s16616 2s2266


研究对象：平面应力状态下正交各向异性的橡胶复合材料 特点：较为完备的，考虑了双轴变形，剪切轴向耦合变形 缺点：实验条件要求苛刻
S11，S22，S12和S66由线性变形确定 S1111，S2222，S6666用于确定材料的非线性性能 S111和S222由轴向和横向的双轴行为确定 S166，S2266表示主方向和剪切变形的耦合
上一讲主要内容：能量原理

高等弹性理论-09
非线性弹性问题

真实状态、可能状态 变形可能状态、可能位移、可能应变 静力可能状态、可能应力 虚位移、虚应力 变形功、可能功、虚功 弹性系统、势能、余能 可能功定理 虚功原理、虚位移原理 最小势能原理、最小余能原理 李兹法、伽辽金法、广义变分原理
•
Cauchy应力张量表示的本构关系
ij
dV 0 W F jN dV FiN
大变形
尺寸 KC15 KC30 KC45 KC90 2.44, 0.262 2.43, 0.26 2.432, 0.276 2.396, 0.276
12
2
实验与数据处理
实验与数据处理
格林应变，应力定义为第二类皮奥拉克希荷夫应力
非线性弹性问题

度量和描述
• •
度量和描述

度量问题、格林应变、PK应力
Euler描述，lagrange描述 格林应变张量
E IJ 1 x r x r ( IJ ) 2 X I X J

非线性弹性本构方程建立原则 复合材料非线性本构关系 橡胶复合材料非线性本构关系
E IJ 1 2 (U I ,J U J , I U M , I U M ,J )

材料非线性问题的特点：


大变形问题的材料非线性问题（双重非线性问题） 应变能密度函数 应力应变直接关系
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Greenstrain

应力应变关系

泊松比与格林应变的变化关系
17
18
3
非线性本构模型

非线性本构模型

材料本构关系 定义：


本构方程旨在描述质点作用力和变形历史及 温度历史的联系 力学量和运动学量之间的关系称为本构关系
30% Strain
40%
泊松比随工程应变变化的关系 随格林应变变化的泊松比
1 (1 2 E x ) (1 (1 2 E x ) 4 )
1 4 1
变泊松比问题

0.5 0.48
非线性本构模型
小变形线性的特点：


1 (1 2 E x ) (1 (1 2 E x ) )
u X1 u1 L0 u X2 u 2 L0 u u 3 L X 3 0
11 lim
A0
坐标变换公式和位移变换公式 u X1 x1 X 1 L0 u X2 x2 X 2 L0 u x3 X 3 L X 3 0
应力张量的描述

非线性问题的平衡方程
•
Kirchhoff 应力的物理意义： 可以计算得到真应力（考虑质量守恒定律） a a j kl S ij 0 i x k xl 方便确定边界条件和材料关系(定义在初始 构型上)
Euar描述Cauchy应力张量表示的平衡方程 ij , j f i 0 Lagrane描述Kirchhoff应力张量表示平衡方程
橡胶材料的应力响应
几何关系非线性
线元、面元与体元的变换
•
应力张量的描述
•
线元 dx F dX
dx i
x i dX J X J
Cauchy应力张量
•
dX F 1 dx
•
dX I
X I dx j x j
1
面元的变化
•
da JF T dA dai JFLi dA L J