2020版九年级上学期数学10月月考试卷

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天津市第二十五中学2020-2021学年九年级上学期数学10月月考试卷

天津市第二十五中学2020-2021学年九年级上学期数学10月月考试卷一、单选题（共12题；共24分）1.下列方程是一元二次方程的序号是（）①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③x2﹣=4；④x2=﹣4；⑤x2﹣3x﹣4=0A. ①②B. ①②④⑤C. ①③④D. ①④⑤2.下列哪个图形不是中心对称图形（）A. 圆B. 平行四边形C. 矩形D. 梯形3.抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)4.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A. B. C. D.5.同一平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝ax+a的图象可能是（）A. B.C. D.6.已知二次函数y=﹣x2+2x+3的图象过点M（﹣2，y1），N（﹣3，y2），K（6，y3），则y1，y2，y3的关系从小到大的是（）A. y1＜y2＜y3B. y3＜y2＜y1C. y2＜y1＜y3D. y3＜y1＜y27.若抛物线y=﹣x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（）A. ﹣16B. 16C. ±16D. 88.如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接．下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.9.如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A. B. C. D.10.二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（）A. ﹣4≤n＜5B. n≥﹣4C. ﹣4≤n＜12D. 5＜n＜1211.已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h的值为（）A. 1或﹣5B. ﹣1或5C. 1或﹣3D. 1或312.如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：① ；② ；③；④ 是关于的一元二次方程的一个根.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共6题；共7分）13.已知点A（2m，﹣3）与B（6，1﹣n）关于原点对称，则m+n=________．14.抛物线的顶点在y轴上，那么b＝________．15.二次函数向左、下各平移个单位，所得的函数解析式________．16.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x 元，每星期售出商品的利润y 元，则根据题意列函数关系式为： ________（要求：将函数解析式化成二次函数一般形式）17.如图，等腰中，，若，，，则△的面积= ________ ．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.（1）的大小为________（度）；（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点. 为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为 .当最短时，请用无刻度．．．的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________．三、解答题（共7题；共87分）19.如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）四边形CBC1B1为________四边形；（3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P坐标．20.解方程：（1）3x（x﹣4）=2（x﹣4）．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．21.（1）已知是y关于x的二次函数．求m的值；（2）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点及点①求二次函数的解析式及B的坐标②根据图象，直按写出满足的x的取值范围22.如图，二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图像与y轴交与点A，与x轴的负半轴交与点B，且△AOB 的面积为6．（1）求A，B两点的坐标；（2）求该二次函数的表达式；（3）如果点p在坐标轴上，且△ABP是等腰三角形，求p的坐标．23.如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（矩形ABCD），墙长为22m，这个矩形的长AB＝xm，菜园的面积为Sm2，且AB＞AD．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）若要围建的菜园为100m2时，求该莱园的长．（3）当该菜园的长为多少m时，菜园的面积最大？最大面积是多少m2？24.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB=________，并求AA′的长________；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．25.在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），顶点为.（1）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；（2）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；（3）无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.答案解析部分一、单选题1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】C二、填空题13.【答案】-514.【答案】015.【答案】16.【答案】y＝﹣10x2+100x+600017.【答案】18.【答案】（1）（2）三、解答题19.【答案】（1）△A1B1C1如图所示．（2）平行．（3）如图所示，满足条件的点P的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，3）．20.【答案】（1）移项，得：3x（x﹣4）－2（x﹣4）=0，原方程可变形为：，∴x－4=0或3x－2=0，解得：（2）方程3x2﹣5x﹣1＝0中a=3，b=﹣5，c=﹣1，△=（﹣5）2－4×3×（﹣1）=37，∴，∴．21.【答案】（1）由题意得：，解得：（2）①把点代入，得，解得：，∴二次函数的解析式是，当y=3时，，解得：n=0（舍去）或n=4，∴点B的坐标是（4，3）；②由图象可得：满足的x的取值范围是：．22.【答案】（1）在y=-x²+（k-1）x+4中，令x=0,y=4A（0，4）ΔAOB的面积＝=6OB＝3所以B（3，0）或（-3，0），∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，∴点B的坐标为（-3，0）（2）由B（－3，0）在二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图像上0＝－（－3）2+（k－1）（－3）+4解得k-1=- ,∴二次函数的表达式为∴所求二次函数的解析式为y=-x2- x+4；（3）因为△ABP是等腰三角形，所以：①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）③如图，3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得．解得x= ．∴点P的坐标为（，0）综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（-8，0），（，0）．23.【答案】（1）由题意可知：AD＝（30﹣x）∴S＝AB•AD＝x× （30﹣x）＝﹣x2+15x自变量x的取值范围是10＜x≤22．（2）当S＝100时，﹣x2+15x＝100解得x1＝10，x2＝20，又10＜x≤22．∴x＝20，答：该菜园的长为20m．（3）∵S＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣15）2+又10＜x≤22．∴当x＝15时，S取得最大值，最大值为112.5．答：该菜园的长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．24.【答案】（1）10；（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴B O=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH= BO′= ，O′H= BH= ，∴OH=OB+BH=3+ = ，∴O′点的坐标为（，）（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y= ﹣3，当y=0时，﹣3=0，解得x= ，则P（，0），∴OP= ，∴O′P′=OP= ，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D= O′P′= ，P′D= ，∴DH=O′H﹣O′D= ，∴P′点的坐标为（，）．25.【答案】（1）解：∵抛物线经过点，∴，解得.∴抛物线的解析式为.∵，∴顶点的坐标为.（2）解：如图1，抛物线的顶点的坐标为.由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.过点作轴于点，则.可知，即，解得，.当时，点不在第四象限，舍去.∴.∴抛物线解析式为.（3）解：如图2：由可知，当时，无论取何值，都等于4.得点的坐标为.过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.∵，，∴.∴.∵，∴.∴.∴，.可得点的坐标为或.当点的坐标为时，可得直线的解析式为.∵点在直线上，∴.解得，.当时，点与点重合，不符合题意，∴.当点的坐标为时，可得直线的解析式为.∵点在直线上，∴.解得（舍），.∴.综上，或.故抛物线解析式为或.。

广东省广州市海珠区中山大学附属中学2020—2021学年九年级上学期10月月考数学试题

广东省广州市海珠区中山大学附属中学2020—2021学年九
年级上学期10月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A ． B ． C ． D ． 2．一元二次方程(2)3x x x -=根是（）
A ．两个相等的实数根
B ．一个实数根
C ．两个不相等的实数根
D ．无实数根
3．抛物线22(2)1y x a =+++（a 是常数）的顶点在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23元，连续两次上涨a %后，售价上升到每千克60元，则下列方程中正确的是（） A ．23（1+a %）2＝60
B ．23（1﹣a %）2＝60
C ．23（1+2a %）＝60
D ．23（1+a 2%）＝60
5．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 边上，将BCE V 绕点C 顺时针
旋转90︒，得到DCG △，若EFC GFC ≌V V
，则ECF ∠的度数是（）
A ．60︒
B ．45︒
C ．40︒
D ．30︒ 6．函数2y ax a =-与()0=-≠y ax a a 在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．
D．
111
二、填空题
三、解答题
∆绕C点按顺时针方向旋17．如图，已知点A，B的坐标分别为(0,0)、(2,0)，将ABC
y。

湖北省武汉市粮道街中学 2020—2021 学年度上学期10月月考九年级数学测试卷(含答案)

武汉市粮道街中学 2020—2021 学年度上学期10月月考九年级数学试卷一、选择题（共 10小题，每小题3分，共30分）1.一元二次方程01322=--x x 的二次项系数、一次项系数是( )A. 2,3B. 2,-3C.2,1D.-3，-1 2. 一元二次方程052=-x x 的根为( )A. 0或-5B. ±5C. 0或5D. 5 3. 抛物线2)1(32+-=x y 的顶点坐标是( )A. (1，-2)B. (-1.2)C. (-1，-2)D. (1,2)4.将抛物线221x y =向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线解析式为( ) A.1)2(212++=x y B.1)2(212+-=x y C.1)2(212-+=x y D.1)2(212--=x y5. 一元二次方程0332=-+x x 的根的情况是( )A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等实数根C.没有实数根D.无法确定 6.若21x x ，，是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x +，的值是( )A. 2B. -2C.3D.-37.某校九年级学生毕业时，每个同学将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980 张相片.如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A. 1980)1(=-x xB.1980)1(=+x xC.1980)1(2=+x xD.19802)1(=-x x 8.如图，二次函数k x x y -+-=42的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D.且k >0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 的值为( )A. 1B.21C.34D.54 9. 抛物线322-+=x x y 上有三个点A(-4，y 1)、B(-2，y 2)、C(1，y 3),则321y y y ，，的大小关系为( )A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 132y y y <<D.312y y y << 10. 如图所示，已知二次函数c b 2++=x ax y 的图象与x 轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①02=+b a ; ○2b c 32<; ③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，a =22-.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题共6小題，每小題3分，共18分) 11.方程0432=--x x 的判别式的值等于 . 12.抛物线1822+-=x x y 的对称轴是直线 .13.某村的人均收入前年为12000元，今年的人均收入为14520元，设这两年该村人均收入的年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为 .14. 已知二次函数2)(2-+-=h x y ，当x ＜-3时，y 随x 的增大而增大，当x >-3时，y 随x 的增大而减小，则h 的值是 .15. 已知一元二次方程0b 2=++c x x 有两个相等的实数根，且当a x =与5+=a x 时，m c b 2=++x x ,则m 的值是 .16.我们把c b a ,,三个数的中位数记作c b a Z ,,，直线)0(21>+=k kx y 与函数1,1,12+-+-=x x x Z y 的图象有且只有2个交点，则k 的取值为 . 三、解答题（共8个小题，共72分）17. (本题8分)解下列方程：（1）0122=-+x x (2)0542=--x x18. (本题8分)某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，求每个支干长几个小分支？19.(本题8分)如图，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A(-1，0)，顶点坐标为(1，m ). （1）求该二次函数的关系式和m 值;（2）结合图象，解答下列问题：(直接写出答案)当x 取值时，该函数的图象在x 轴下方?20. (本题8分)已知关于x 的一元二次方程022)1(2=-++-k x k x . (1)求证：无论k 为何值时，该方程总有实数根. （4分） (2）若两个实数根平方和等于5，求k 的值.(4分)21.(本题8分)把抛物线：1C 322++=x x y 先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C 2.(1)直接写出抛物线C 2的函数关系式；(2分)(2)动点P(a ，-6)能否在抛物线C 2上？请说明理由；(3分）(3)若点A(m ，1y ), B(n ,2y )都在抛物线C 2上，且0<<n m .比较21y y ，的大小.(3分)22.（本题10分)如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的矩形场地上修迷两横两竖通道，其中横、竖通道的宽度比为3：2.其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的15059. (1)求横、竖通道的宽度各为多少？ (2)若修速1平方米道路需投资750元，种植花草1平方米需投资250元.求修建共需投资多少钱？23.(本题10分)我们定义:如图1，在△ABC 中，把AB 点绕点A 顺时针旋转）（︒<<︒1800αα得到'AB .把AC 绕点A 逆时针旋转β得到'AC ，连接''C B .当βα+=180°时，我们称△'''C B A 是△ABC 的“旋补三角形”，△A ''C B 边''C B 上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”. 特例感知：(1) 在图2，图3中，△A ''C B 是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”① 如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD= BC.(2分) ○2如图3.当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 长为 (2分) [猜想论证](2) 在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明.(4分) [拓展应用](3) 如图4，在四边形ABCD 内部恰好存在一点P ，使△PDC 是△PAB 的“能补三角形”，自行补图形，∠C=∠PDC=90°，BC=12，CD=32，DA=6.直接写出△PAB 的“旋补中线”长是 (2分)24.（本题12分）如图，直线x y 21-=交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线c bx x y ++-=241经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B.(1)直接写出点A ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(3分)(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(4分) （3）将线段OA 绕x 轴上的动点P )0,(m 顺时针旋转90 °得到线段''A O ，若线段''A O 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围.(5分)备用图武汉市粮道街中学2020-2021学年度上学期10月月考九年级数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）M10．解析：抛物线的对称轴为x＝1，∴2a＋b＝0，①正确；3b－2c＝b＋2b－2c＝－2a＋2b－2c＝－2(a－b＋c)＜0，∴②错误；当AB＝AC和AB＝BC时，a有两个不同的值，∴③正确；当a＝－1时，∠BDC＝90°，∴④错误．二、填空题（本题共6小題，每小題3分，共18分）X11．412．x＝213．12000(1＋x)2＝1452014．315．25416．12＜k≤1或k＝54三、解答题（共8个小题，共72分）Y17．解：(1)x＝－；(2)x1＝－1，x2＝5．18．解：7．19．解：(1)y＝－x2＋2x＋3；(2)x＞3或x＜－1．20．解：(1)略；(2)x1＋x2＝k＋1，x1x2＝2k－2，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(k＋1)2－4k＋4＝k2－2k＋5＝5，解得k1＝0，k2＝2．21．解：(1)y＝(x－3)2－3；(2)不在，a不存在；(3)y1＞y2．22．解：(1)横3m，竖2m；(2)268000元．23．解：(1)①12；②4；(2)延长AD到M，使得AD＝DM，连接E’M，’CM∵B’D＝DC’，AD＝DM∴四边形AC’MB’是平行四边形∴AC’＝B’M＝AC ∵∠BAC＋∠B’AC’＝180°,∠B’AC’＋∠AB’M＝180°∴∠BAC＝∠MB’A∵AB＝AB’∴△BAC≌△AB’M∴BC＝AM ∴AD＝12 BC；24．解：(1)A（0，2），C（4，0），y＝14-x2＋12x＋2；(2)设M（m，14-m2＋12m＋2），则F（m，12-m＋2）∴MF＝14-m2＋12m∴S四边形ABCM＝S△ABC＋S△AMC＝12×6×2＋12(14-m2＋m)×4＝12-(m－2)2＋8∵0＜m＜4∴当m＝2时，四边形ABCM的面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为（2，2）；(3)过程太复杂了，给个答案，－3－m＜－4或－3m≤2．。

山西省实验中学2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题

山西省实验中学2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．x 2+2y ＝1B ．x 3﹣2x ＝3C ．x 2+21x ＝5D ．x 2＝02．把一元二次方程x (x +1)＝3x +2化为一般形式，正确的是( )A ．x 2+4x +3＝0B ．x 2﹣2x +2＝0C ．x 2﹣3x ﹣1＝0D ．x 2﹣2x ﹣2＝0 3．下列说法中不正确的是（）A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线垂直的平行四边形是菱形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．菱形的邻边相等4．一元二次方程2x 2+x ﹣3=0的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x 米，则下列方程正确的为（）A ．()58200x x -=B ．()29200x x -=C ．()292200x x -= D ．()582200x x -=6．下列说法中，正确的有（）个.①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形。

A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（）A ．24B ．3.6C ．4.8D ．58．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ,请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF ；小何：四边形DFBE 是正方形；小夏：S 四边形AFED =S 四边形FBCE ；小雨：∠ACE=∠CAF,这四位同学写出的结论中不正确的是（）A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨9．某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛( )A ．10个B ．6个C ．5个D ．4个10．若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为（）A ．8B ．7C ．8或7D ．9或8二、填空题11．已知关于x 的方程x 2﹣2x +2k ＝0的一个根是1，则k ＝_____．12．分解因式：3223363a b a b ab -+=________.13．把方程x 2﹣4x +1＝0化成（x ﹣m ）2＝n 的形式，m ，n 均为常数，则mn 的值为_____． 14．如果关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围为______.15．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA ＝OD ；②AD ⊥EF ；③当∠A ＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE +DF＝AF +DE ．其中正确的是_________（填序号）．三、解答题16．解方程（按要求方法解方程，否则不得分，没有要求的请用适当的方法解方程）（1）()229x -=（直接开方法）（2）2660x x -+=（配方法）（3）23125x x -=+（公式法）（4）()()3222x x x -=-（因式分解法）（5）()()215140x x ---+= （6）22122x x x-=--17．先化简，后求值2211121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1a =. 18．如图，在四边形ABCD 中，//, 2,90AD BC BC AD BAC ︒=∠=,点E 为BC 的中点.(1)求证:四边形AECD 是菱形;(2)联结BD ,如果BD 平分,2ABC AD ∠=，求BD 的长.19．阳光小区附近有一块长100m ，宽80m 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为()a m ，求步道的宽.20．已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE AC ，AE BD .（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若2AB =，1DE =，求四边形AODE 的面积.21．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22．在平面直角坐标系xOy 中，四边形OADC 为正方形，点D 的坐标为()4,4，动点E 沿边AO 从A 向O 以每秒1cm 的速度运动，同时动点F 沿边OC 从O 向C 以同样的速度运动，连接AF 、DE 交于点G .（1）试探索线段AF 、DE 的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF 、DF ，分别取AE 、EF 、FD 、DA 的中点H 、I 、J 、K ，则四边形HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由.（3）如图②当点E 运动到AO 中点时，点M 是直线EC 上任意一点，点N 是平面内任意一点，是否存在点N 使以O 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．D【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、x 2+2y ＝1是二元二次方程，故A 错误；B 、x 3﹣2x ＝3是一元三次方程，故B 错误；C 、x 2+21x ＝5是分式方程，故C 错误； D 、x 2＝0是一元二次方程，故D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握其定义是解题的关键.2．D【分析】方程移项变形即可得到结果.【详解】一元二次方程的一般形式为20ax bx c ++=x (x +1)＝3x +2x 2+x ﹣3x ﹣2＝0，x 2﹣2x ﹣2＝0故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.3．C【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选C．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．4．B【解析】试题分析：在方程2x2+x﹣3=0中，△=12﹣4×2×（﹣3）=25＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B．考点：根的判别式5．D【分析】根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽列式.【详解】解：∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为（58-2x）m．根据题意得：x（58-2x）=200，故选D．【点睛】利用矩形的性质，正确理解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．6．B【解析】【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法对五个小项逐一进行分析，即可得到答案．【详解】①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故①错误；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，此②正确；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，故③错误；④对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故④错误；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，故⑤正确.故答案为：B【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定．熟悉正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法是解题的关键.7．C【解析】【分析】连接PC，先证明四边形ECFP是矩形，从而得EF=PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【详解】连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴PC的最小值为：AC BCAB=4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故选C．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．8．B【分析】根据平行四边形的性质可得OA=OC ，CD ∥AB ，从而得∠ACE=∠CAF ，可判断出小雨的结论正确，证明△EOC ≌△FOA ，可得OE=OF ，判断出小青的结论正确，由△EOC ≌△FOA 继而可得出S 四边形AFED =S 四边形FBCE ，判断出小夏的结论正确，由△EOC ≌△FOA 可得EC=AF ，继而可得出四边形DFBE 是平行四边形，从而可判断出四边形DFBE 是菱形，无法判断是正方形，判断出故小何的结论错误即可.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，CD ∥AB ，∴∠ACE=∠CAF ，（故小雨的结论正确），在△EOC 和FOA 中，EOC AOF ECO OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EOC ≌△FOA ，∴OE=OF （故小青的结论正确），∴S △EOC=S △AOF ，∴S 四边形AFED =S △ADC =12S 平行四边形ABCD ， ∴S 四边形AFED =S 四边形FBCE ，（故小夏的结论正确），∵△EOC ≌△FOA ，∴EC=AF ，∵CD=AB ，∴DE=FB ，DE ∥FB ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵OD=OB ，EO ⊥DB ，∴ED=EB ，∴四边形DFBE 是菱形，无法判断是正方形，（故小何的结论错误），故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等，综合性较强，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.9．C【分析】每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x 个足球队，比赛场次共有()x x 1-场，再根据共有20场比赛活动来列出方程，从而求解．【详解】解：设有x 个足球队参加，依题意，()x x 120-=，整理，得2x x 200--=，()()x 5x 40-+=，解得：1x 5=，2x 4(=-舍去)；即：共有5个足球队参加比赛．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．10．C【分析】由等腰三角形的性质可知“a ＝b ，或a 、b 中有一个数为4”，当a ＝b 时，由根的判别式b 2﹣4ac ＝0即可得出关于k 的一元一次方程，解方程可求出此时n 的值；a 、b 中有一个数为4时，将x ＝4代入到原方程可得出关于n 的一元一次方程，解方程即可求出此时的n 值，结合三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：∵等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，∴a ＝b ，或a 、b 中有一个数为4．当a ＝b 时，有b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得：n ＝8；当a 、b 中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，解得：n ＝7，故选C ．【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及三角形三边关系，解题的关键是分两种情况考虑k 值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出关于未知数k 的方程是关键．11．12【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x 的方程，列出关于k 的一元一次方程，通过解该方程，即可求得k 的值．【详解】根据题意，得x=1满足关于x 的方程x 2-2x+2k=0，则1-2+2k=0，解得，k=12；故答案是：12． 12．23()ab a b -.【分析】首先提取公因式3ab ，再运用完全平方公式继续进行因式分解．【详解】解：3223363a b a b ab -+=223(2)ab a ab b -+=23()ab a b - 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式．掌握完全平方公式的特点：两个平方项，中间一项是两个底数的积的2倍，难点在于要进行二次因式分解． 13．6【分析】方程配方得到结果，确定出m 与n 的值，即可求出mn 的值．【详解】解：方程x 2﹣4x +1＝0，变形得：x 2﹣4x ＝﹣1，配方得：x 2﹣4x +4＝3，即（x ﹣2）2＝3，∴m ＝2，n ＝3，则mn ＝6，故答案为6【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14．3m <且2m ≠【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（m ﹣2）＞0，∴m ＜3．∵m ﹣2≠0，∴m ≠2．故答案为m ＜3且m ≠2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．15．②③④．【解析】【分析】①如果OA=OD ，则四边形AEDF 是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确；②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED ≌△AFD ，AE=AF ，DE=DF ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO ，即可判断出AD ⊥EF ；③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF 的四个角都是直角，四边形AEDF 是矩形，然后根据DE=DF ，判断出四边形AEDF 是正方形即可；④根据△AED ≌△AFD ，判断出AE=AF ，DE=DF ，即可判断出AE+DF=AF+DE 成立．【详解】如果OA=OD ，则四边形AEDF 是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①错误； ∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD=∠FAD ，在△AED 和△AFD 中，90EAD FAD AED AFD AD AD ∠∠∠∠︒⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝＝∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE=AF ，DE=DF ，∴AE+DF=AF+DE ，故④正确；∵在△AEO 和△AFO 中，AE AF EAO FAO AO AO ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△AEO ≌△AFO （SAS ），∴EO=FO ，又∵AE=AF ，∴AO 是EF 的中垂线，∴AD ⊥EF ，故②正确；∵当∠A=90°时，四边形AEDF 的四个角都是直角，∴四边形AEDF 是矩形，又∵DE=DF ，∴四边形AEDF 是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故答案为②③④．【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．16．（1）15=x ，21x =-；（2）13x =23x =（3）113x +=，213x = （4）12x =，223x =-；（5）12x =，25x =；（6）4x =-【分析】（1）用直接开平方法解答即可；（2）用配方法解答即可；（3）化为一般形式，用公式法解答即可；（4）移项后用因式分解法解答即可；（5）用因式分解法解答即可；（6）去分母化为整式方程，求解即可．【详解】（1）x -2=±3，∴x =2±3，∴15=x ，21x =-；（2）266x x -=-，26969x x -+=-+，2(3)3x -=，∴3x -=∴13x =23x =（3）整理得：23260x x --=，a =3，b =－2，c =－6，∴△=2(2)43(6)--⨯⨯-=76＞0，∴x =1x =，2x =；（4）()()32220x x x ---=，()()32220x x x -+-=，∴（3x +2）（x －2）=0，∴12x =，223x =-；（5）(11)(14)0x x ----=，(2)(5)0x x --=，∴12x =，25x =；（6）两边同乘以（x -2）得：2x +2=x －2，移项得：2x －x =－2－2，合并同类项得：x =－4．经检验：x =－4是原方程的解．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法以及解分式方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．17【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可.【详解】原式()()211111(1)a a a a a a a +-+⎛⎫=-÷ ⎪+++⎝⎭ 1111a a a +=⋅+- 11a =-.当1a =时，原式===【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.18．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可.（2）此题有两种解决方法，方法一：证明四边形ABCD 是等腰梯形，方法二：证明∠BDC 为直角.【详解】（1）证明:90BAC ︒∠=，点E 为BC 的中点，12AE EC BC ∴== 12, , 2BC AD AD BC AD EC =∴=∴=，又//,AD BC ∴四边形AECD 是平行四边形AE EC ∴=,∴四边形AECD 是菱形（2）解:方法一//,AD BC AD BC <∴四边形ABCD 是梯形. BD 平分1,2ABD ABD DBC ABC ∠∴∠=∠=∠ //,,AD BC ADB DBC ∴∠=∠,ABD ADB AB AD ∴∠=∠∴=四边形AECD 是菱形，2AD DC ∴==.2AB DC ∴==∴四边形ABCD 是等腰梯形，AC BD ∴=24,BC AD ∴==BD AC ∴====方法二：BD 平分1,2ABD ABD DBC ABC ∠∴∠=∠=∠ //,,AD BC ADB DBC ∴∠=∠,ABD ADB AB AD ∴∠=∠∴=224,30BC AD AB ACB ∴===∴∠=18060ABC ACB ∴∠=-∠=，即1302DBC ABC ∠=∠=，四边形AECD 是菱形，2,AD DC DAC DCA ∴==∴∠=∠//,AD BC DAC ACB ∴∠=∠，即30DCA DAC ACB ∠=∠=∠=，18090BDC DBC DCA ACB ∴∠=-∠-∠-∠=BD ∴===【点睛】此题考查菱形的判定与性质，解题关键在于结结合题意运用菱形的判定与性质即可. 19．3.6【分析】根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程，求解即可．【详解】由题意，得：()22100807a a a a +-=化简，得：2 3.6a a =．∵0a >，∴ 3.6a =．答：步道的宽为3.6m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-几何问题，解题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．20．（1）详见解析；（2.【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得四边形AODE 为平行四边形，再根据菱形的性质得出AC ⊥BD ，由矩形的判定定理得出四边形AODE 是矩形；（2）由矩形的性质，得出OA =DE =1．在Rt △AOB 中，由勾股定理得出OB 的长，由菱形的性质得出OD 的长，即可求出四边形AODE 的面积．【详解】（1）∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOD =90°，∴四边形AODE 是矩形；（2）∵四边形AODE 是矩形，∴AO =DE =1．∵AB =2，AC ⊥BD ，∴OB =∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB =AODE 的面积=OA •OD =【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．21．（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600．化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 22．（1）AF =DE ，AF ⊥DE ，理由详见解析；（2）四边形HIJK 为正方形，理由详见解析；（3）N 的坐标为（2，－1），（5-，5），（5，5-），（85，165）．【分析】（1）用SAS 证明△DAE ≌△AOF ，根据全等三角形的性质得到DE =AF ，∠ADE =∠OAF ．根据等式的性质得到∠AGD =90°，从而得到AF ⊥DE ．（2）根据三角形中位线定理得到IH =KJ =12AF ，IH ∥KJ ，得到四边形HIJK 为平行四边形，同理IJ =12DE ，IJ ∥DE ，从而得到IJ =IH ，IJ ⊥IH ，即可证明HIJK 为正方形．（3）要求O 、C 、M 、N 四点构成菱形，OC 为唯一已知线段，对OC 的角色进行讨论：OC 为对角线或OC 为边．当OC 为对角线时，此时MN 也为对角线，MN 垂直平分OC ，则M 为OC 中垂线与直线EC 交点，可得M 1的坐标，由对称可得此时N 1的坐标．当OC 为边时，考虑M 的位置，M 与O 相邻或者与C 相邻．Ⅰ．若M 与C 相邻，CM =CO =4，此时以C 为圆心，OC 长为半径作圆与直线EC 交点即为M 2和M 3，过M 2作M 2P ⊥OC 于点P ，得到OE ∥PM 2，即有△OEC ∽△PM 2C ．根据相似三角形的对应边成比例，即可求出PM 2，PC 的长，进而得到OP 的长．由N 2M 2∥OC ，N 2M 2=OC ，即可得到N 2的坐标，由N 3和N 2关于原点对称，可得N 3的坐标；Ⅱ．若M 与O 相邻，OM =OC =4此时以O 为圆心，OC 长为半径作圆与直线EC 交点即为M 4．求出直线EC 的解析式，则可得出M 4的坐标，由OM 4=4，解方程即可得出M 4的坐标，从而得出N 4的坐标．【详解】（1）AF =DE ，AF ⊥DE ．理由如下：∵E 、F 速度相等，∴AE =OF ．∵OADC 是正方形，∴AD =OA ，∠DAE =∠AOF =90°，∴△DAE ≌△AOF （SAS ），∴DE =AF ，∠ADE =∠OAF ．∵∠OAF +∠DAF =90°，∴∠ADE +∠DAF =90°，∴∠AGD =90°，∴AF ⊥DE ，∴AF =DE ，AF ⊥DE ．（2）四边形HIJK 为正方形．理由如下：由（1）知：AF =DE ，AF ⊥DE ．∵HI 是△AEF 的中位线、JK 是△AFD 的中位线，∴IH =12AF ，IH ∥AF ，KJ =12AF ，KJ ∥AF ，∴IH =KJ ，IH ∥KJ ，∴四边形HIJK 为平行四边形，同理IJ =12DE ，IJ ∥DE ． ∵AF =DE ，AF ⊥DE ，∴IJ =IH ，IJ ⊥IH ，∴四边形HIJK 为正方形．（3）N 的坐标为（2，－1），（），，），（85，165）．要求O 、C 、M 、N 四点构成菱形，OC 为唯一已知线段，对OC 的角色进行讨论：OC 为对角线或OC 为边．当OC 为对角线时，此时MN 也为对角线，MN 垂直平分OC ，则M 为OC 中垂线与直线EC 交点，可得M 1（2，1）由对称可得此时N 1（2，－1）．②当OC 为边时，考虑M 的位置，M 与O 相邻或者与C 相邻．Ⅰ．若M 与C 相邻，CM =CO =4，此时以C 为圆心，OC 长为半径作圆与直线EC 交点即为M 2和M 3，过M 2作M 2P ⊥OC 于点P ，∴OE ∥PM 2，∴△OEC ∽△PM 2C ．∵OE =2，OC =4，∴EC=∵△OEC ∽△PM 2C ，∴22OE EC OC PM M C PC ==，∴224PM PC ==，解得：PM 2，PC，∴OP =OC －PC=4． ∵N 2M 2∥OC ，N 2M 2=OC ，∴N 2（5-，5），易证N 3和N 2关于原点对称，∴N 3（5，5-）． Ⅱ．若M 与O 相邻，OM =OC =4此时以O 为圆心，OC 长为半径作圆与直线EC 交点即为M 4．设直线EC 为y =kx +b ，∴240b k b =⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线EC 为122y x =-+．设M 4（x ，122x -+），则222241242OM x x ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭，解得：10x =，2125x =-，∴M 4（125-，165），∴N 4（85，165）．综上所述：N 的坐标为（2，－1），（），，），（85，165）．【点睛】本题是四边形综合题．考查了正方形的判定与性质、菱形的判定和三角形中位线定理．第（3）问难度比较大．关键是准确找出M、N的位置．。

九年级上学期月考数学试卷(10月份)附答案

九年级上学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题4分，40分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．y=x2﹣（x﹣1）2C．D．2．把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=03．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A．y=x2+2x﹣2 B．y=x2+2x+1 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=x2﹣2x+14．将一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正确的是（）A．（x﹣）2=16 B．2（x﹣）2=C．（x﹣）2=D．以上都不对5．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17 C．17或19 D．196．已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（）A．一，二，三象限B．一，二，四象限C．一，三，四象限D．一，二，三，四象限7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=10008．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）A．a c+1=b B．a b+1=c C．b c+1=a D．以上都不是9．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜2，y随x的增大而减小；⑤当x=0时，y最小值为1．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣1二、填空题（每空4分，20分）11．使分式的值等于零的x的值是．12．已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y=2x2+4x﹣3上的两个不同点，则a+b=．13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于．14．若关于x的方程a（x+m）2+b=0的两个根﹣1和4（a．m．b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣3）2+b=0是．15．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，某学霸从下面五条信息中：（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．准确找到了其中错误的信息，它们分别是（只填序号）三、解答题16．（16分）解方程①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）②x2+2x=7．17．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（﹣2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数解析式．18．若﹣3+是方程x2+kx+4=0的一个根，求另一根和k的值．19．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？21．如图，线段AB的长为2，C为线段AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．（1）设DE的长为y，AC的长为x，求出y与x的函数关系式；（2）求出DE的最小值．22．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面高度为3.05m．（1）建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2）若该运动员身高1.8m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？23．如图所示，矩形ABCD的边AB=3，AD=2，将此矩形置入直角坐标系中，使AB在x轴上，点C 在直线y=x﹣2上．（1）求矩形各顶点坐标；（2）若直线y=x﹣2与y轴交于点E，抛物线过E、A、B三点，求抛物线的关系式；（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部，并说明理由．一、选择题（每题4分，40分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．y=x2﹣（x﹣1）2C．D．考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义逐一进行判断．解答：解：A、等式的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；B、原式化简后可得，y=2x﹣1，故本选项错误；C、符合二次函数的定义，故本选项正确；D、分母中含有未知数，不是整式方程，因而不是一元二次方程，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了二次函数的定义，要知道：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2．2．把方程（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．5x2﹣4x﹣4=0 B．x2﹣5=0 C．5x2﹣2x+1=0 D．5x2﹣4x+6=0考点：一元二次方程的一般形式．分析：先把（x﹣）（x+）转化为x2﹣2=x2﹣5；然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x2﹣4x+1．再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．解答：解：（x﹣）（x+）+（2x﹣1）2=0即x2﹣2+4x2﹣4x+1=0移项合并同类项得：5x2﹣4x﹣4=0故选：A．点评：本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化简成为一元二次方程的一般形式．3．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）A．y=x2+2x﹣2 B．y=x2+2x+1 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=x2﹣2x+1考点：二次函数图象与几何变换．分析：由于抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则x'=x﹣2，y'=y﹣1，代入原抛物线方程即可得平移后的方程．解答：解：由题意得：，代入原抛物线方程得：y'+1=（x'+2）2，变形得：y=x2+2x+1．故选B．点评：本题考查了二次函数图象的几何变换，重点是找出平移变换的关系．4．将一元二次方程2x2﹣3x+1=0配方，下列配方正确的是（）A．（x﹣）2=16 B．2（x﹣）2=C．（x﹣）2=D．以上都不对考点：解一元二次方程-配方法．分析：方程移项后，方程两边除以2变形得到结果，即可判定．解答：解：方程移项得：2x2﹣3x=﹣1，方程两边除以2得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，故选C．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17 C．17或19 D．19考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．解答：解：解方程x2﹣14x+48=0得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．故选D．点评：求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．6．已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（）A．一，二，三象限B．一，二，四象限C．一，三，四象限D．一，二，三，四象限考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由a＞0可以得到开口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出对称轴x=﹣＞0，由c=0可以得到此函数过原点，由此即可确定可知它的图象经过的象限．解答：解：∵a＞0，∴开口方向向上，∵b＜0，a＞0，∴对称轴x=﹣＞0，∵c=0，∴此函数过原点．∴它的图象经过一，二，四象限．故选B．点评：此题主要考查二次函数的以下性质．7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．解答：解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．故选：D．点评：考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．8．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）A．a c+1=b B．a b+1=c C．b c+1=a D．以上都不是考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由OA=OC可以得到点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），把点A的坐标代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，c（ac﹣b+1）=0，然后即可推出ac+1=b．解答：解：∵OA=OC，∴点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），∴把点A的坐标代入y=ax2+bx+c得，ac2﹣bc+c=0，∴c（ac﹣b+1）=0，∵c≠0∴ac﹣b+1=0，∴ac+1=b．故选A．点评：此题考查了点与函数的关系，解题的关键是灵活应用数形结合思想．9．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜2，y随x的增大而减小；⑤当x=0时，y最小值为1．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．解答：解：∵a=2＞，∴抛物线开口向上，所以①正确；∵y=2（x﹣3）2+1，∴抛物线的对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，1），所以②③错误；当x＜3时，y随x的增大而减小，所以④错误；当x=3时，y有最小值1，所以⑤错误．故选A．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣1考点：根的判别式．分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．解答：解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，则整数a的最大值为0．故选C．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．二、填空题（每空4分，20分）11．使分式的值等于零的x的值是6．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值为零：分子为0，分母不为0．解答：解：根据题意，得x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，且x+1≠0，解得，x=6．故答案是：6．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y=2x2+4x﹣3上的两个不同点，则a+b=﹣2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题．分析：由于P、Q两点的纵坐标相等，故这两点是抛物线上关于对称轴对称的两点；而抛物线y=2x2+4x ﹣3的对称轴为x=﹣1，根据对称轴x=，可求a+b的值．解答：解：已知点P（a，m）和Q（b，m）是抛物线y=2x2+4x﹣3上的两个不同点，因为点P（a，m）和Q（b，m）点的纵坐标相等，所以，它们关于其对称轴对称，而抛物线y=2x2+4x﹣3的对称轴为x=﹣1；故有a+b=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于y轴对称的点坐标之间的关系．13．一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先判断x2﹣x+3=0没有实数解，则两个方程的所有实数根的和就是2x2﹣3x﹣1=0的两根之和，然后根据根与系数的关系求解．解答：解：方程2x2﹣3x﹣1=0的两根之和为∵x2﹣x+3=0没有实数解，∴方程2x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于．故答案为．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．若关于x的方程a（x+m）2+b=0的两个根﹣1和4（a．m．b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣3）2+b=0x1=2，x2=7．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：先利用直接开平方法得方程a（x+m）2+b=0的解为x=﹣m±，则﹣m+，=1，﹣m ﹣，=﹣2，再解方程a（x+m﹣2）2+b=0得x=3﹣m±，然后利用整体代入的方法得到方程a （x+m﹣3）2+b=0的根．解答：解：解：解方程a（x+m）2+b=0得x=﹣m±，∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均为常数，a≠0）的根是x1=﹣1，x2=4，∴﹣m+，=﹣1，﹣m﹣，=4，∵解方程a（x+m﹣3）2+b=0得x=3﹣m±，∴x1=3﹣1=2，x2=3+4=7．故答案为x1=2，x2=7．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．15．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，某学霸从下面五条信息中：（1）a＜0；（2）b2﹣4ac＞0；（3）c＞1；（4）2a﹣b＞0；（5）a+b+c＜0．准确找到了其中错误的信息，它们分别是（1）（2）（5）（只填序号）考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系；根据抛物线与x轴交点个数判断b2﹣4ac与0的关系；由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系；根据对称轴在x=﹣1的左边判断2a﹣b与0的关系；把x=1，y=0代入y=ax2+bx+c，可判断a+b+c＜0是否成立．解答：解：（1）∵抛物线的开口向下，∴a＜0，故本信息正确；（2）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，故△=b2﹣4ac＞0；故本信息正确；（3）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，所以c＜1，故本信息错误；（4）由图示，知对称轴x=﹣＞﹣1；又∵a＜0，∴﹣b＜﹣2a，即2a﹣b＜0，故本信息错误；（5）根据图示可知，当x=1，即y=a+b+c＜0，所以a+b+c＜0，故本信息正确；故答案为（1）（2）（5）．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答题16．（16分）解方程①（5x﹣1）2=3（5x﹣1）②x2+2x=7．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．分析：①先移项，再把等号左边因式分解，最后分别解方程即可；②先在等号左右两边加上一次项系数的一半的平方，再进行配方，然后开方即可得出答案．解答：解：①（5x﹣1）2=3（5x﹣1），（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，（5x﹣1）（5x﹣4）=0，x1=，x2=；②x2+2x=7，x2+2x+1=8，（x+1）2=8，x+1=±2，x1=﹣1+2，x2=﹣1﹣2．点评：本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（﹣2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x+2）2+1得，a=﹣，函数解析式为y=﹣（x+2）2+1，展开得y=﹣x2﹣x+．所以该抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+．点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．18．若﹣3+是方程x2+kx+4=0的一个根，求另一根和k的值．考点：根与系数的关系．分析：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到两根的积等于4，两根的和等于﹣k，即可求解．解答：解：设方程的另一个根是m，根据韦达定理，可以得到：（﹣3+）•m=4，且﹣3++m=﹣k，解得：m=﹣3﹣，k=6．即方程的另一根为﹣3﹣，k=6．点评：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．19．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可．如果设C点是原点，那么A的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B的坐标是（2，﹣4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=﹣1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈﹣1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．解答：解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y=kx2．将A的坐标代入，得y=﹣1.1x2，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴将x=1.2代入函数式，得y≈﹣1.6，∴GH=CH﹣CG=4.4﹣1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．点评：本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是解题的关键．20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．解答：解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．根据题意得（45﹣x）=2100，解得x1=10，x2=30．因尽快减少库存，故x=30．答：每件衬衫应降价30元．点评：需要注意的是：（1）盈利下降，销售量就提高，每件盈利减，销售量就加；（2）在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降价越多，卖的也越多，所以取降价多的那一种．21．如图，线段AB的长为2，C为线段AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．（1）设DE的长为y，AC的长为x，求出y与x的函数关系式；（2）求出DE的最小值．考点：二次函数的应用．分析：（1）设AC=x，则BC=2﹣x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式；（2）利用函数的性质进行解答即可．解答：解：如图，设AC=x，则BC=2﹣x，∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=x，CE=（2﹣x），∴∠DCE=90°，故DE2=DC2+CE2=x2+（2﹣x）2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴y=．（2）y=当x=1时，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．点评：此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值．22．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面高度为3.05m．（1）建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；（2）若该运动员身高1.8m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？考点：二次函数的应用．分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵蓝球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，∴a=﹣，∴y=﹣x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h=0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．点评：本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．23．如图所示，矩形ABCD的边AB=3，AD=2，将此矩形置入直角坐标系中，使AB在x轴上，点C 在直线y=x﹣2上．（1）求矩形各顶点坐标；（2）若直线y=x﹣2与y轴交于点E，抛物线过E、A、B三点，求抛物线的关系式；（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部，并说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由于AD=2，即C点的纵坐标为2，将其代入已知的直线解析式中，即可求得C点的横坐标，进而由AB的长，求得A、D的横坐标，由此可确定矩形的四顶点的坐标．（2）根据直线y=x﹣2可求得E点的坐标，进而可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．（3）根据（2）所得抛物线的解析式，即可由配方法或公式法求得其顶点坐标，进而根据矩形的四顶点坐标，来判断此顶点是否在矩形的内部．解答：解：（1）如答图所示．∵y=x﹣2，AD=BC=2，设C点坐标为（m，2），把C（m，2）代入y=x﹣2，即2=m﹣2，∴m=4，∴C（4，2），∴OB=4，AB=3，∴OA=4﹣3=1，∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．（2）∵y=x﹣2，∴令x=0，得y=﹣2，∴E（0，﹣2）．设经过E（0，﹣2），A（1，0），B（4，0）三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c，∴，解得；∴y=．（3）抛物线顶点在矩形ABCD内部．∵y=，∴顶点为，∵，∴顶点在矩形ABCD内部．点评：此题主要考查了函数图象上点的坐标意义、矩形的性质、二次函数解析式的确定等知识，难度不大，细心求解即可．。

北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级上学期数学10月月考试卷

北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级上学期数学10月月考试卷一、单选题（共8题；共16分）1.如图，点P是反比例函数图像上的一个点，过作轴，轴，则矩形的面积是（）A. 2B.C. 4D.2.如图，在中，为边上一点，交于点，若，，则的长为（）A. 6B. 9C. 15D. 183.已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A. B. C. D.4.如图，为的切线，切点为，交于点为上一点，若则的度数为（）A. B. C. D.5.已知点在反比例函数的的图像上，当时，的取值范围是（）A. B. 或 C. D. 或6.在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存．．在．“同号点”的是（）A. y=-x+1B.C.D.7.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A. B. C. D.8.如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E.用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（共8题；共9分）9.若反比例函数的图象经过点（3，－1），则该反比例函数的表达式为________．10.在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为________．11.函数图象上两点，则的大小关系为：________ ．12.若，则=________13.如图，是的直径，点是延长线上一点，切于点，若，则等于________．14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是是的外接圆，则圆心的坐标为________，的半径为________．15.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于、两点，过点作轴的垂线，交函数的图像于点，连接，则的面积为________．16.小明使用电脑软件探究函数的图象，他输入了一组的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的的值满足________ ，________ ，________ ．(请填写“ ”或“ ”或“ ”）三、解答题（共8题；共72分）17.解方程：18.如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．19.在中，求证：．20.如图，一次函数与反比例函数，（其中）图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求的面积．21.如图，为的直径，是上的点，是外一点，于点平分．（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径．22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a-4ax与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C(2，1)，P(1，- a)，点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．23.如图，是等腰直角三角形，是直角三角形，，点为边中点将绕点顺时针旋转，旋转角记为，点为边的中点．（1）如图，求初始状态时的大小；（2）如图，在旋转过程中，若点构成平行四边形，请直接写出此时的值；（3）在旋转过程中，若点和点重合，请在图中画出并连接，判断此时是否有?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．24.在平面直角坐标系中，动点为函数图像上的任意一点，点和点的坐标分别为．现给出如下定义：以线段为直径的圆称为点的“反比例伴随圆”，（1）在图中，点坐标为，请画出点的“反比例伴随圆” ，并写出与轴的交点坐标；（2）在点运动过程中，直接写出其“反比例伴随圆”半径的取值范围；（3）点由运动到的过程中，直接写出其对应的“反比例伴随圆”扫过的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】D二、填空题9.【答案】10.【答案】60°11.【答案】＜12.【答案】13.【答案】14.【答案】（3,3）；15.【答案】316.【答案】；；三、解答题17.【答案】解：方程可化为：因式分解得：所以或解得：，．18.【答案】解：∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC．19.【答案】证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B．又∵DF∥AC，∴∠A＝∠BDF．∴△ADE∽△DBF．20.【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数图象交于两点，根据反比例函数图象的对称性可知，，∴，解得，故一次函数的解析式为，又知点在反比例函数的图象上，故，故反比例函数的解析式为；（2）解：设直线与轴交于点，令，则，∴，∴．21.【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝∠DAE．∴OD∥AE．∵AC⊥PD，∴∠AEP＝90°．∴∠ODP＝∠AEP＝90°．∴OD⊥PE．∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．（2）解：如图，连接BD，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAE＝30°．∵AC⊥PE，DE＝，∴AD＝2DE＝．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AB＝2BD．设BD＝x，则AB＝2x，∵AD2＋BD2＝AB2，∴x2＋（）2＝（2x）2，解得x＝即BD＝，AB＝，∴AO＝，∴⊙O的半径为．22.【答案】（1）解：令y=0，则a -4ax=0. 解得∴ A(0,0)，B(4,0)（2）解：①设直线PC的解析式为将点P(1,- a)，C(2,1)代入上式，解得∴y=(1+ a)x-1-3a.∵点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4，∴Q点的纵坐标为3+3a②当a＞0时，如图1，不合题意；图1当a＜0时，由图2，图3可知，3+3a≥0.图2 图3∴a≥-1．∴正确的a的取值范围是-1≤a＜0．23.【答案】（1）解：∵∠BED＝30°，△BDE是直角三角形，∴∠EBD＝90°－∠BED＝60°．又∵D是BC的中点，∴DE是BC的垂直平分线．∵BE＝CE ，∠BEC＝60°，∴△BCE是等边三角形．∴BC＝BE．∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝90°，∴AB＝BC．∴BE＝AB．∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED＝30°．∴∠BAE＝∠BEA＝(180°－∠ABE)＝75°．∴∠AEC＝∠BAE＋∠BEC＝135°．（2）解：∵四边形BDFB＇是平行四边形，∠FB＇D＝60°∴B＇F ∥BD，∴∠B D B＇＝∠FB＇D＝60°即＝60°．（3）解：△B＇DE如图所示，AE⊥DE不成立，理由如下：DE与AB相交于点G，假设AE⊥DE，则△AEG∽△DBG，设BG＝a，∠BDG＝30°，∴DG＝2a，BD＝a，AB＝2 BD＝a．∴AG＝AB－BG＝（－1）a，B＇D＝BD＝a．∴DE＝＝3a ．∴GE＝DE－DG＝3a－2a＝a．∴，．∴与假设矛盾．∴AE⊥DE不成立．24.【答案】（1）解：如图所示：与x轴交于点D，E∵A（2，）即a=2，b=∴B（0，），C（0，-2）∴直径BC= -（-2）=∴r=∴= ，= -2=∴OD= =3∴D（3，0）E（-3，0）∴与x轴交于点的坐标为（3，0）（-3，0）（2）解：直径=BC= =∴r=∵A（a，b）在上∴即∵=6∴r min=∴r≥3（3）解：∵，∴，∴= ∴S=S圆+ =18π+72。

武汉市九年级上学期数学10月月考试卷

武汉市九年级上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·阿城模拟) 由抛物线得到抛物线是经过怎样平移的（）A . 右移1个单位上移2个单位B . 右移1个单位下移2个单位C . 左移1个单位下移2个单位D . 左移1个单位上移2个单位2. （2分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（）A . y=xB . y=2x﹣1C . y=D . y=x23. （2分）(2017·双桥模拟) 如图，爸爸从家（点O）出发，沿着等腰三角形AOB的边OA→AB→BO的路径去匀速散步，其中OA=OB．设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·七里河模拟) 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A . y=﹣2x2B . y=2x2C . y=﹣0.5x2D . y=0.5x25. （2分）已知二次函数y=mx2-7x-7的图象和x轴有交点，则m的取值范围是（）A . m>-B . m>-且m≠0C . m≥-D . m≥-且m≠06. （2分）根据等式的性质，下列变形正确的是（）A . 若2x=a，则x=2aB . 若=1，则3x+2x=1C . 若ab=bc，则a=cD . 若，则a=b7. （2分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2013的值是（）A . ﹣2012B . ﹣2013C . 2012D . 20138. （2分）已知一次函数的图象经过点A(0，3)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则这个一次函数的表达式为（）A . y＝1.5x＋3B . y＝－1.5x＋3C . y＝1.5x＋3或y＝－1.5x＋3D . 无法确定9. （2分）(2017·槐荫模拟) 方程 = 的解为（）A . x=2B . x=6C . x=﹣6D . 无解10. （2分） (2017九上·云梦期中) 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）已知二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1的图象顶点在x轴上，则a=________．12. （1分） (2018九上·于洪期末) 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下如图如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流如图，水流喷出的高度米与水平距离米之间的关系式是，那么圆形水池的半径至少为________米时，才能使喷出的水流不至于落在池外.13. （1分） (2018九上·宁都期中) 将抛物线，绕着点旋转后，所得到的新抛物线的解析式是________．14. （1分）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0 ， b0 ，c0 ，记为G0=（a0 ， b0 ， c0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为Gn=（an ， bn ， cn）．小明发现：若G0=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G2015= ________三、解答题 (共9题；共107分)15. （10分）(2018·镇江模拟) 如果过抛物线与y的交点作y轴的垂线与该抛物线有另一个交点，并且这两点与该抛物线的顶点构成正三角形，那么我们称这个抛物线为正三角抛物线．（1）抛物线 ________正三角抛物线；（填“是”或“不是”）（2）如图，已知二次函数（m > 0）的图像是正三角抛物线，它与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点E在y轴上，当∠AEB=2∠ABE时，求出点E的坐标．16. （10分）如图,已知点A(-4,2),B(-1,-2),▱ABCD的对角线交于坐标原点O.（1）请直接写出点C,D的坐标;（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程;（3）直接写出▱ABCD的面积.17. （7分）(2020·重庆模拟) 根据学习函数的经验，探究函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的图象和性质：（1）下表给出了部分x，y的取值；由上表可知，a＝________，b＝________；（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．18. （15分） (2017八下·丰台期中) 如图，直线与轴轴分别交于点、，点的坐标为，点的坐标为．（1）求的值．（2）若点是第二象限内的直线上的一个动点，在点的运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．19. （10分）(2013·贺州) 直线y= x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？20. （10分）我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy。

上海市浦东新区2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题(教师版)

2020学年度第一学期10月教学质量自主调研九年级数学(考试时间：100分钟，满分：150分，范图：24.1-24.5)一、选择题：(本大题有6小题，每题4分，满分24分）1. 已知ax by=，且所有字母均表示正实数，则下列各式不成立的是（）A. a xb y= B.a by x= C.y ax b= D.x yb a=【答案】A【解析】【分析】四个选项分别十字相乘验证即可．【详解】解：四个选项分别十字相乘，只有A选项是ay=bx不满足题意．故选：A．【点睛】本题考查的是比例式，我们可以从乘式来写比例，也可以从比例式十字相乘来验证乘式．2. 在一幅比例尺为1:500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（）A. 125kmB. 12.5kmC. 1.25kmD. 1250km【答案】A【解析】【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离,列比例式即可求解.【详解】设实际距离是xcm,则,1:500000=25：x,解得：x=12500000.12500000cm=125km,故选A【点睛】本题考查了比例尺的定义,属于简单题,单位换算是解题关键.3. 下列说法中不正确的是（）A. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似B. 如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等C. 如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似D. 如果两个三角形相似，那么它们一定能互相重合【答案】D【解析】【分析】根据全等是相似的特殊情况，即相似比为1，和相似三角形的判定及性质逐一判断即可．【详解】解：A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似，故正确；B ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等，故正确；C ．如果两个三角形都与另一个三角形相似，可利用相似三角形的对应角相等和有两个对应角相等的两个三角形相似，得到这两个三角形相似，故正确；D ．如果两个三角形相似，那么它们不一定能互相重合（全等才能重合），故错误．故选D ．【点睛】此题考查的是相似与全等的关系、相似三角形的判定及性质，掌握全等是相似的特殊情况，即相似比为1是解题关键．4. 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式错误的是( )A. AD AE AB AC =B. CE EA CF FB =C. DE AD BC BD =D. EF CF AB CB= 【答案】C【解析】试题解析：A.∵DE ∥BC , AD AE AB AC ∴=，所以A 选项的比例式正确； B. //,,CE CF EF AB AE BF ∴=即CE AE CF BF =，所以B 选项的比例式正确； C.//,AD DE DE BC AB BC ∴=，所以C 选项的比例式错误； D. //,,EF CF EF AB AB CB ∴=即CE AE CF BF=，所以D 选项的比例式错误. 故选C.5. 如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD =2OA =6，AD ：A B =3：1，则点C 的坐标是（）A. （2，7）B. （3，7）C. （3，8）D. （4，8）【答案】A【解析】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，∴CE DE CD OD OA AD==，∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，∴OA=3，CD：AD=13，∴CE=13OD=2，DE=13OA=1，∴OE=7，∴C（2，7），故选A．6. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）55 C. 5 D. 6【答案】C【解析】试题分析：连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用”AAS或ASA”易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=45，且tan ∠BAC=12BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=25 ，tan ∠BAC=12EM AM =可得EM=5；在Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C ．考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知23a b =，则2a b a +的值为________．【答案】54 【解析】【分析】设a=2k(k 为不等于0的实数)，则b=3k ，代入式子计算化简即可．【详解】解：设a=2k(k 为不等于0的实数)，则b=3k ，235522244++∴===⨯a b k k k a k k ．故答案为：54．【点睛】本题考查的是比例的性质和代数式的值，解题的关键是正确理解比例的性质．8. 如果Rt ABC Rt DEF ∽，∠C=∠F=90°，AB=5，BC=3，DE=15，则DF=________．【答案】12【解析】【分析】由相似三角形的性质求解,EF 再利用勾股定理求解DF 即可得到答案．【详解】解：如图，Rt ABC Rt DEF ∽，,AB BC DE EF∴= 53,15EF∴= 9EF ∴=，经检验：9EF =符合题意，由勾股定理可得：222215912.DF DE EF =--= 故答案为：12.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9. ABC 与DEF 是相似三角形，且A 与D ，B 与E 是对应顶点，若53A ∠=︒，61B ∠=︒，则F ∠=________．【答案】66°【解析】【分析】根据三角形的内角和是180°以及相似三角形的对应顶角的度数相等即可解答．【详解】解：在ABC 中，∵53A ∠=︒，61B ∠=︒，∴180536166∠=︒-︒-︒=︒C ，∵ABC 与DEF 是相似三角形，且A 与D ，B 与E 是对应顶点，∴66∠=∠=︒F C ．故答案为：66°．【点睛】本题考查的主要是相似三角形的对应角相等，注意掌握相似三角形的性质．10. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度80i =3米高的地方，那么物体所经过的路程为________米．【答案】27 【解析】【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：80i=AE⊥BD，AE=3米，∵80AEiBE==，∴19 AEAB=，∴AE=3米，∴AB=27（米）．故答案为：27．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．11. 有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．【答案】22【解析】【分析】根据相似三角形的三组对应边的比相等求出另两边的长，进而可得答案．【详解】设另一个三角形的另两边为x、y，∵一个三角形的三边长为2，4，5，另一个和它相似的三角形的最短边为4，∴两个三角形的相似比为24=12，∴4512 x y==，解得：x=8，y=10，∴第二个三角形的周长为4+8+10=22，故答案为：22【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例、对应角相等；熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．12. 如图，∠1=∠2，请补充一个条件：_____，使ABC ADE ．【答案】∠E=∠C(答案不唯一)【解析】【分析】由两个角分别相等的两个三角形相似，由1=2∠∠，证明,BAC DAE ∠=∠再补充一个角的对应相等即可得到两个三角形相似，从而可得答案．【详解】解：1=2∠∠，1+2,DAC DAC ∴∠∠=∠+∠,BAC DAE ∴∠=∠所以补充：E C ∠=∠，.BAC DAE ∴∽故答案为：.E C ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．13. 如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．【答案】1.5【解析】【分析】求出EC ，根据菱形的性质得出AD ∥BC ，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE=1，DC=3，∴EC=3-1=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴DF DEBC CE=，∴132DF=，∴DF=1.5，故答案为1.5．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.14. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= .【答案】22.【解析】试题分析：根据相似三角形的判定和性质，可得答案：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴2ADEABCSADAB S∆∆⎛⎫=⎪⎝⎭.∵S△ADE=S四边形BCDE，∴12ADEABCSS∆∆=，即2112222AD ADAB AB⎛⎫=⇒==⎪⎝⎭.考点：相似三角形判定和性质．15. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是__________mm．【答案】5【解析】【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．【详解】解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA＝DE：AB∴30：60＝DE：10∴DE＝5毫米∴小管口径DE的长是5毫米，故填：5．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径DE的长．16. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则CPFP=__________．【答案】3 5【解析】【分析】由CH∥AB，推出CE CHBE AB=，即253CH=，再由CH∥EF，推出2CP CH CHFP EF==，即可求解．【详解】∵正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，∴EF=CE=2，AB=BC=3，BE=2+3=5，CH∥EF，CH∥AB，由CH∥AB，∴CE CH BE AB =，即253CH =， ∴CH=65，由CH ∥EF ，∴63525CP CH FP EF ===，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键． 17. 如图，E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，BE 交DC 于点F ，若51AB =+，且AD DE >，则CF 的长为________．【答案】2【解析】【分析】先证明△ABE 和△DFE 相似，根据相似三角形对应边成比例及黄金分割点的条件求出DF AB 的值，然后求出CF AB的值，即可求出CF 的长度．【详解】解：在平行四边形ABCD 中， AB ∥CD ， ∴△ABE ∽△DFE ，∴DE DF AE AB=， ∵D 为AE 的黄金分割点，且AD DE >，∴51351DE AE --==， ∴35DF AB -= ∵AB=CD ，∴3551122CF AB --=-= ∴()515122CF -=⨯+=．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识及三角形相似的判定和性质，求出相应的比是解题的关键，难度不大．18. 如图，△ABC 中，AB =6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′=5，D ′C =4，则BC 的长为______．【答案】234+．【解析】【详解】解：由旋转可得，BE =BE '=5，BD =BD '，∵D 'C =4，∴BD '=BC ﹣4，即BD =BC ﹣4，∵DE ∥AC ，∴BD BE BA BC =，即456BC BC-=，解得BC =234+（负值已舍去），即BC 的长为234+．故答案为234+．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．三、解答题：(满分78分）19. 两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．【答案】20平方厘米【解析】【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方． 20. 如图，已知面积为240cm 的锐角ABC ∆中，10cm BC =，四边形DEFG 是ABC ∆的内接正方形（四边形的各顶点在三角形的边上），求：正方形DEFG 的边长．【答案】40cm 9【解析】【分析】先证明△∽△ADG ABC ，然后通过相似三角形的性质列出比例式即可求解．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ，交DG 于点M ．∵1402BC AH ⨯⨯=，∴110402AH ⨯⨯=，∴8AH =．设正方形DEFG 的边长为x ，∵DEFG 是正方形， ∴//DG BC∴△∽△ADG ABC∵AH BC ⊥，∴AH DG ⊥，∴AM DG AH BC= 即：8810x x -=，解得40cm 9x =． ∴正方形DEFG 的边长为40cm 9．【点睛】该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质等来分析、判断、推理或解答．21. 如图，已知ABC ，DCE ，FEG 是三个全等的等腰三角，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB =3，1BC =，联结AG ，分别交DC 、DE 、EF 于点P 、Q 、R ．（1）判断ABG 是否也是等腰三角形？并证明你的结论；（2）求RE RF的值．【答案】（1）ABG 是等腰三角形，理由见解析；（2）12RE RF = 【解析】【分析】（1）通过证明ABG CBA ∽△△，即可得到ABG 也是等腰三角形；（2）通过ABG REG ∽△△，可得到13RE GE AB GB ==，可求出RE 的值，然后由EF 的值求出RF ，即可得到答案．【详解】（1）ABG 是等腰三角形∵33AB BC ==33GB AB ==∴AB GB BC AB=，且B 为公共角，∴ABG CBA ∽△△，∵CBA △是等腰三角形，∴ABG 也是等腰三角形（2）在ABG 中，//AB ER ，∴ABG REG ∽△△， ∴13RE GE AB GB ==，133RE AB == ∵3EF AB ==，∴23RF =， ∴12RE RF = 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．22. 如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，延长BC 至F 使CF CE =，联接DF ，延长BE 交DF 于点G ．求证：2BG EG DG ⋅=．【答案】理由见解析【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=CD ，利用SAS 可证明△BCE ≌△DCF ，可得∠EBC=∠FDC ，由BE 平分DBC∠即可证明∠FDC=∠DBG ，根据∠BGD=∠DGE 即可证明BGD DGE ∽△△，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BC=DC ，∠BCE=∠FDC=90°，在BCE 和DCF 中90BC DC BCE FCD CE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE DCF △≌△，∴EBC FDC ∠=∠∵BE 平分∠DBC ，∴DBE EBC ∠=∠，∴∠DBG=∠FDC ，∵∠BGD=∠DGE ，∴BGD DGE ∽△△ ∴BG DG DG GE=， ∴2BG GE DG ⋅=．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．23. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF =∠ABE ．求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）DG DF =BD EF【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由AB=AC ，根据等边对等角，即可证得：∠ABC=∠ACB ，又由DE ∥BC ，易得∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°，则可证得：∠BDE=∠CED ，又由已知∠EDF=∠ABE ，则可根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DEF ∽△BDE ；（2）由（1）易证得DE 2=DB•EF ，又由∠BED=∠DFE 与∠GDE=∠EDF 证得：△GDE ∽△EDF ，则可得：DE 2=DG•DF ，则证得：DG•DF=DB•EF ．【详解】证明：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE ∥BC ，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°． ∴∠BDE=∠CED ，∵∠EDF=∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE ；（2）由△DEF ∽△BDE ，得DB DE DE EF =， ∴DE 2=DB•EF ，由△DEF ∽△BDE ，得∠BED=∠DFE ．∵∠GDE=∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ．∴DG DE DE DF=， ∴DE 2=DG•DF ，∴DG•DF=DB•EF ．【点睛】考查了相似三角形的性质与判定．注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用．24. 在等腰直三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，已知(1,0)A ，(0,3)B ，M 为边BC 的中点．（1）求点C 的坐标；（2）设点M 的坐标为（a ，b ），求b a的值；（3）探究：在x 轴上是否存在点P ，使以O 、P 、M 点的三角形与OBM ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请简述理由．【答案】（1）(4,1)C ；（2）1b a=；（3）存在，1(3,0)P ，28,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）如图1中，作CD ⊥x 轴于D ．证明△ABO ≌△CAD （AAS ），利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）过点M 作MH x ⊥轴，垂足为点H ．根据平行线等分线段定理证得H 是OD 中点，再求出M 坐标即可解决问题；（3）在Rt△OMH 中，2MH OH ==，得45MOH ∠=︒，证得OM 平分∠BOD，再由△OMB 与△OMP 相似，根据相似性质求出P 点坐标即可；【详解】解：（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为点D ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB CA =，90BAC ∠=︒，∴90OAB CAD ∠+∠=︒，又90OAB ABO ∠+∠=︒∴ABO CAD ∠=∠，∵AOB CDA ∠=∠，∴△ABO ≌△CAD ．∴1AO CD ==，3OB AD ==，∴(4,1)C（2）过点M 作MH x ⊥轴，垂足为点H ．∵////BO MH CD ，MB MC =．∴2a HO HD ===∴2b MH ==，∴1b a= （3）存在点P ，分两种情况：∵在Rt△OMH 中， ∵2MH OH ==，∴45MOH ∠=︒当点P 在x 轴时，∵45MOP BOM ∠=︒=∠，∴当△OMB 与△OMP 时．有OM OM OP OB =或OM OB OP OM = ∴3OP =或83OP = ∴1(3,0)P ，28,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25. 如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，DC BC ⊥，且45B ∠=，1AD DC ==．点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F ，作45FAE ∠=交射线BC 于点E 、交边DC 于点N ，联结EF ．（1）当:1:4CM CB =时，求CF 的长；（2）连接AC ，求证：2AC CE CF =⋅（3）设CM x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）22(01)x y x x-=<< 【解析】【分析】（1）作AH BC ⊥于H ，结合题意，通过证明AHCD 为平行四边形，得1AH DC ==，1CH AD ==；结合45B ∠=，推得ABH 是直角等腰三角形，1==AH BH ，再通过证明CFM DFA △∽△，利用相似比计算即可得到答案；（2）连接AC ，通过证明45ACD DAC ∠=∠=和90D DCE ∠=∠=，求得ACE ∠；利用180ACD ACF ，得到ACE ACF ∠=∠；再通过ACF 三角形内角和及45FAE ∠=，得到CAE CFA ∠=∠，从而推导得CAF CEA ∽△△，即可完成解题；（3）根据45B ∠=，且45EAM ∠=，得B EAM ∠=∠，从而得到AEM BEA ∽△△，再根据相似比以及直角AHE 中勾股定理，建立等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）作AH BC ⊥于H∴90AHB ∠=∵DC BC ⊥∴//AH DC∵//AD BC∴AHCD 为平行四边形∴1AH DC ==，1CH AD ==∵45B ∠=∴904545BAH ∠=-=∴ABH 是等腰三角形∴1==AH BH∴2BC BH CH =+=∵:1:4CM CB =∴12CM = ∵//AD BC∴CFM DFA △∽△∴CM FC DA FD= ∵1FD FC CD FC =+=+即1211CF CF =+∴1CF =；（2）连接AC ，如图：∵90D ∠=，AD CD =∴45ACD DAC ∠=∠=∵//AD BC∴90D DCE ∠=∠=∴4590135ACE ∠=+= 又∵180ACDACF∴135ACF ∠=∴ACE ACF ∠=∠∵180ACF CAF CFA ∠+∠+∠= ∴18013545CAF CFA ∠+∠=-= ∵45FAE ∠=∴45CAF CAE ∠+∠=∴CAE CFA ∠=∠∴CAF CEA ∽△△ ∴AC CF CE AC= ∴2AC CE CF =⋅（3）∵45B ∠=，且45EAM ∠= ∴B EAM ∠=∠∵AEB MEA ∠=∠∴AEM BEA ∽△△ ∴()()()()22AE EM EB CM CE BC y x y y =⋅=++=++∵()2222221(1)AE AH HE AH CH CE y =+=++=++∴21(1)()(2)y x y y ++=++∵点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F∴90DAF ∠<∴点M 在点H 和点C 之间，即01x << ∴22(01)x y x x -=<<．【点睛】本题考查了梯形、平行四边形、等腰三角形、直角三角形勾股定理、相似三角形、一元一次方程、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．。

2020-2021学年上海市浦东新区九年级上学期10月月考数学试卷(含详解)

2020学年度第一学期10月教学质量自主调研九年级数学(考试时间：100分钟，满分：150分，范图：24.1-24.5)一、选择题：(本大题有6小题，每题4分，满分24分）1.已知ax by =，且所有字母均表示正实数，则下列各式不成立的是（）A.a x b y = B.a b y x = C.y a x b = D.x y b a=2.在一幅比例尺为1:500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm ，则甲、乙两地实际距离为（）A.125kmB.12.5kmC.1.25kmD.1250km 3.下列说法中不正确的是（）A.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似B.如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等C.如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似D.如果两个三角形相似，那么它们一定能互相重合4.如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式错误的是()A.AD AE AB AC =B.CE EA CF FB =C.DE AD BC BD =D.EF CF AB CB =5.如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD =2OA =6，AD ：A B =3：1，则点C 的坐标是（）A.（2，7）B.（3，7）C.（3，8）D.（4，8）6.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A.5B.5C.5D.6二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知23a b =，则2a b a +的值为________．8.如果Rt ABC Rt DEF ∽，∠C=∠F=90°，AB=5，BC=3，DE=15，则DF=________．9.ABC 与DEF 是相似三角形，且A 与D ，B 与E 是对应顶点，若53A ∠=︒，61B ∠=︒，则F ∠=________．10.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度80i =，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为________米．11.有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．12.如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．13.如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．14.如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等.则AD AB=_______.15.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是__________mm．16.如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则CPFP=__________．17.如图，E为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，且D为AE的黄金分割点，BE交DC于点F，若51AB=，且AD DE>，则CF的长为________．18.如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．三、解答题：(满分78分）19.两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．20.如图，已知面积为240cm 的锐角ABC ∆中，10cm BC =，四边形DEFG 是ABC ∆的内接正方形（四边形的各顶点在三角形的边上），求：正方形DEFG 的边长．21.如图，已知ABC ，DCE ，FEG 是三个全等的等腰三角，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB =1BC =，联结AG ，分别交DC 、DE 、EF 于点P 、Q 、R ．（1）判断ABG 是否也是等腰三角形？并证明你的结论；（2）求RE RF 的值．22.如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，延长BC 至F 使CF CE =，联接DF ，延长BE 交DF 于点G ．求证：2BG EG DG ⋅=．23.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF =∠ABE ．求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）DG DF =BD EF24.在等腰直三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，已知(1,0)A ，(0,3)B ，M 为边BC 的中点．（1）求点C 的坐标；（2）设点M 的坐标为（a ，b ），求b a的值；（3）探究：在x 轴上是否存在点P ，使以O 、P 、M 点的三角形与OBM ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请简述理由．25.如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，DC BC ⊥，且45B ∠= ，1AD DC ==．点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F ，作45FAE ∠= 交射线BC 于点E 、交边DC 于点N ，联结EF ．（1）当:1:4CM CB =时，求CF 的长；（2）连接AC ，求证：2AC CE CF=⋅（3）设CM x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．2020学年度第一学期10月教学质量自主调研九年级数学(考试时间：100分钟，满分：150分，范图：24.1-24.5)一、选择题：(本大题有6小题，每题4分，满分24分）1.已知ax by=，且所有字母均表示正实数，则下列各式不成立的是（）A.a xb y= B.a by x= C.y ax b= D.x yb a=【答案】A【分析】四个选项分别十字相乘验证即可．【详解】解：四个选项分别十字相乘，只有A选项是ay=bx不满足题意．故选：A．【点睛】本题考查的是比例式，我们可以从乘式来写比例，也可以从比例式十字相乘来验证乘式．2.在一幅比例尺为1:500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（）A.125kmB.12.5kmC. 1.25kmD.1250km【答案】A【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离,列比例式即可求解.【详解】设实际距离是xcm,则,1:500000=25：x,解得：x=12500000.12500000cm=125km,故选A【点睛】本题考查了比例尺的定义,属于简单题,单位换算是解题关键.3.下列说法中不正确的是（）A.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似B.如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等C.如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似D.如果两个三角形相似，那么它们一定能互相重合【答案】D【分析】根据全等是相似的特殊情况，即相似比为1，和相似三角形的判定及性质逐一判断即可．【详解】解：A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似，故正确；B ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等，故正确；C ．如果两个三角形都与另一个三角形相似，可利用相似三角形的对应角相等和有两个对应角相等的两个三角形相似，得到这两个三角形相似，故正确；D ．如果两个三角形相似，那么它们不一定能互相重合（全等才能重合），故错误．故选D ．【点睛】此题考查的是相似与全等的关系、相似三角形的判定及性质，掌握全等是相似的特殊情况，即相似比为1是解题关键．4.如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式错误的是()A.AD AE AB AC =B.CE EA CF FB =C.DE AD BC BD =D.EF CF AB CB=【答案】C试卷解析：A.∵DE ∥BC ,AD AE AB AC ∴=，所以A 选项的比例式正确；B.//,,CE CF EF AB AE BF ∴= 即CE AE CF BF =，所以B 选项的比例式正确；C.//,AD DE DE BC AB BC ∴= 所以C 选项的比例式错误；D.//,,EF CF EF AB AB CB ∴= 即CE AE CF BF =所以D 选项的比例式错误.故选C.5.如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD =2OA =6，AD ：A B =3：1，则点C 的坐标是（）A.（2，7）B.（3，7）C.（3，8）D.（4，8）【答案】A过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，∴CE DE CD OD OA AD==，∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，∴OA=3，CD：AD=13，∴CE=13OD=2，DE=13OA=1，∴OE=7，∴C（2，7），故选A．6.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A.5B.5C.5D.6【答案】C试卷分析：连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用”AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=5且tan∠BAC=12BC AB =；在Rt△AME 中，AM=12AC=，tan∠BAC=12EM AM =可得EM=Rt△AME 中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C ．考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知23a b =，则2a b a +的值为________．【答案】54【分析】设a=2k(k 为不等于0的实数)，则b=3k ，代入式子计算化简即可．【详解】解：设a=2k(k 为不等于0的实数)，则b=3k ，235522244++∴===⨯a b k k k a k k ．故答案为：54．【点睛】本题考查的是比例的性质和代数式的值，解题的关键是正确理解比例的性质．8.如果Rt ABC Rt DEF ∽，∠C=∠F=90°，AB=5，BC=3，DE=15，则DF=________．【答案】12【分析】由相似三角形的性质求解,EF 再利用勾股定理求解DF 即可得到答案．【详解】解：如图，Rt ABC Rt DEF ∽，,AB BC DE EF ∴=53,15EF ∴=9EF ∴=，经检验：9EF =符合题意，由勾股定理可得：222215912.DF DE EF =-=-故答案为：12.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9.ABC 与DEF 是相似三角形，且A 与D ，B 与E 是对应顶点，若53A ∠=︒，61B ∠=︒，则F ∠=________．【答案】66°【分析】根据三角形的内角和是180°以及相似三角形的对应顶角的度数相等即可解答．【详解】解：在ABC 中，∵53A ∠=︒，61B ∠=︒，∴180536166∠=︒-︒-︒=︒C ，∵ABC 与DEF 是相似三角形，且A 与D ，B 与E 是对应顶点，∴66∠=∠=︒F C ．故答案为：66°．【点睛】本题考查的主要是相似三角形的对应角相等，注意掌握相似三角形的性质．10.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度80i =，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为________米．【答案】27【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB 的坡度：i =AE ⊥BD ，AE=3米，∵AE i BE ==，∴19AE AB =，∴AE=3米，∴AB=27（米）．故答案为：27．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．11.有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．【答案】22【分析】根据相似三角形的三组对应边的比相等求出另两边的长，进而可得答案．【详解】设另一个三角形的另两边为x 、y ，∵一个三角形的三边长为2，4，5，另一个和它相似的三角形的最短边为4，∴两个三角形的相似比为24=12，∴4512x y ==，解得：x=8，y=10，∴第二个三角形的周长为4+8+10=22，故答案为：22【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例、对应角相等；熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．12.如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【答案】解：∠D=∠B或∠AED=∠C．【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．故答案为∠D=∠B（答案不唯一）．13.如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为________．【答案】1.5【分析】求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE=1，DC=3，∴EC=3-1=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴DF DE BC CE=，∴1 32 DF=，∴DF=1.5，故答案为1.5．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.14.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB=_______.【答案】2 2.试卷分析：根据相似三角形的判定和性质，可得答案：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴2ADEABCS ADAB S∆∆⎛⎫=⎪⎝⎭.∵S△ADE=S四边形BCDE，∴12ADEABCSS∆∆=，即2122AD ADAB AB⎛⎫=⇒==⎪⎝⎭.考点：相似三角形的判定和性质．15.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是__________mm．【答案】5【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．【详解】解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA＝DE：AB∴30：60＝DE：10∴DE＝5毫米∴小管口径DE的长是5毫米，故填：5．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径DE的长．16.如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则CPFP=__________．【答案】3 5【分析】由CH∥AB，推出CE CHBE AB=，即253CH=，再由CH∥EF，推出2CP CH CHFP EF==，即可求解．【详解】∵正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，∴EF=CE=2，AB=BC=3，BE=2+3=5，CH∥EF，CH∥AB，由CH∥AB，∴CE CHBE AB=，即253CH=，∴CH=6 5，由CH∥EF，∴63525 CP CHFP EF===，故答案为：3 5．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键．17.如图，E为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，且D为AE的黄金分割点，BE交DC于点F，若1AB=，且AD DE>，则CF的长为________．【答案】2【分析】先证明△ABE 和△DFE 相似，根据相似三角形对应边成比例及黄金分割点的条件求出DF AB 的值，然后求出CF AB的值，即可求出CF 的长度．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AB∥CD ，∴△ABE∽△DFE ，∴DE DF AE AB=，∵D 为AE 的黄金分割点，且AD DE >，∴5135122DE AE --=-=，∴352DF AB =，∵AB=CD ，∴3551122CF AB -=-=∴)515122CF -=⨯+=．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识及三角形相似的判定和性质，求出相应的比是解题的关键，难度不大．18.如图，△ABC 中，AB =6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′=5，D ′C =4，则BC 的长为______．【答案】234+．【分析】【详解】解：由旋转可得，BE =BE '=5，BD =BD '，∵D 'C =4，∴BD '=BC ﹣4，即BD =BC ﹣4，∵DE ∥AC ，∴BD BE BA BC =，即456BC BC-=，解得BC =234（负值已舍去），即BC 的长为234．故答案为234+【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．三、解答题：(满分78分）19.两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．20.如图，已知面积为240cm 的锐角ABC ∆中，10cm BC =，四边形DEFG 是ABC ∆的内接正方形（四边形的各顶点在三角形的边上），求：正方形DEFG 的边长．【答案】40cm 9【分析】先证明△∽△ADG ABC ，然后通过相似三角形的性质列出比例式即可求解．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ，交DG 于点M ．∵1402BC AH ⨯⨯=，∴110402AH ⨯⨯=，∴8AH =．设正方形DEFG 的边长为x ，∵DEFG 是正方形，∴//DG BC∴△∽△ADG ABC∵AH BC ⊥，∴AH DG ⊥，∴AM DG AH BC=即：8810x x -=，解得40cm 9x =．∴正方形DEFG 的边长为40cm 9．【点睛】该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质等来分析、判断、推理或解答．21.如图，已知ABC ，DCE ，FEG 是三个全等的等腰三角，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB =1BC =，联结AG ，分别交DC 、DE 、EF 于点P 、Q 、R ．（1）判断ABG 是否也是等腰三角形？并证明你的结论；（2）求RE RF 的值．【答案】（1）ABG 是等腰三角形，理由见解析；（2）12RE RF =【分析】（1）通过证明ABG CBA ∽△△，即可得到ABG 也是等腰三角形；（2）通过ABG REG ∽△△，可得到13RE GE AB GB ==，可求出RE 的值，然后由EF 的值求出RF ，即可得到答案．【详解】（1）ABG 是等腰三角形∵1AB BC ==，GB AB =∴AB GB BC AB =，且B Ð为公共角，∴ABG CBA ∽△△，∵CBA △是等腰三角形，∴ABG 也是等腰三角形（2）在ABG 中，//AB ER ，∴ABG REG ∽△△，∴13RE GE AB GB ==，133RE AB ==∵EF AB =，∴RF =∴12RE RF =【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．22.如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，延长BC 至F 使CF CE =，联接DF ，延长BE 交DF 于点G ．求证：2BG EG DG ⋅=．【答案】理由见解析【分析】根据正方形的性质可得BC=CD ，利用SAS 可证明△BCE ≌△DCF ，可得∠EBC=∠FDC ，由BE 平分DBC ∠即可证明∠FDC=∠DBG ，根据∠BGD=∠DGE 即可证明BGD DGE ∽△△，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BC=DC ，∠BCE=∠FDC=90°，在BCE 和DCF 中90BC DC BCE FCD CE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE DCF △≌△，∴EBC FDC∠=∠∵BE 平分∠DBC ，∴DBE EBC ∠=∠，∴∠DBG=∠FDC ，∵∠BGD=∠DGE ，∴BGD DGE∽△△∴BG DG DG GE=，∴2BG GE DG ⋅=．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．23.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF =∠ABE ．求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）DG DF=BD EF【答案】(1)见解析；（2）见解析【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，即可证得：∠ABC=∠ACB，又由DE∥BC，易得∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°，则可证得：∠BDE=∠CED，又由已知∠EDF=∠ABE，则可根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DEF∽△BDE；（2）由（1）易证得DE2=DB•EF，又由∠BED=∠DFE与∠GDE=∠EDF证得：△GDE∽△EDF，则可得：DE2=DG•DF，则证得：DG•DF=DB•EF．【详解】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得DB DE DE EF=，∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴DG DE DE DF=，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．【点睛】考查了相似三角形的性质与判定．注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用．24.在等腰直三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，已知(1,0)A ，(0,3)B ，M 为边BC 的中点．（1）求点C 的坐标；（2）设点M 的坐标为（a ，b ），求b a的值；（3）探究：在x 轴上是否存在点P ，使以O 、P 、M 点的三角形与OBM ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请简述理由．【答案】（1）(4,1)C ；（2）1b a=；（3）存在，1(3,0)P ，28,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）如图1中，作CD ⊥x 轴于D ．证明△ABO ≌△CAD （AAS ），利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）过点M 作MH x ⊥轴，垂足为点H ．根据平行线等分线段定理证得H 是OD 中点，再求出M 坐标即可解决问题；（3）在Rt△OMH 中，2MH OH ==，得45MOH ∠=︒，证得OM 平分∠BOD，再由△OMB 与△OMP 相似，根据相似的性质求出P 点坐标即可；【详解】解：（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为点D ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB CA =，90BAC ∠=︒，∴90OAB CAD ∠+∠=︒，又90OAB ABO ∠+∠=︒∴ABO CAD ∠=∠，∵AOB CDA ∠=∠，∴△ABO ≌△CAD ．∴1AO CD ==，3OB AD ==，∴(4,1)C （2）过点M 作MH x ⊥轴，垂足为点H ．∵////BO MH CD ，MB MC =．∴2a HO HD ===∴2b MH ==，∴1b a=（3）存在点P ，分两种情况：∵在Rt△OMH 中，∵2MH OH ==，∴45MOH ∠=︒当点P 在x 轴时，∵45MOP BOM ∠=︒=∠，∴当△OMB 与△OMP 时．有OM OM OP OB =或OM OB OP OM=∴3OP =或83OP =∴1(3,0)P ，28,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25.如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，DC BC ⊥，且45B ∠= ，1AD DC ==．点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F ，作45FAE ∠= 交射线BC 于点E 、交边DC 于点N ，联结EF ．（1）当:1:4CM CB =时，求CF 的长；（2）连接AC ，求证：2AC CE CF=⋅（3）设CM x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）22(01)x y x x-=<<【分析】（1）作AH BC ⊥于H ，结合题意，通过证明AHCD 为平行四边形，得1AH DC ==，1CH AD ==；结合45B ∠= ，推得ABH 是直角等腰三角形，1==AH BH ，再通过证明CFM DFA △∽△，利用相似比计算即可得到答案；（2）连接AC ，通过证明45ACD DAC ∠=∠= 和90D DCE ∠=∠= ，求得ACE ∠；利用180ACD ACF Ð+Ð=，得到ACE ACF ∠=∠；再通过ACF 三角形内角和及45FAE ∠= ，得到CAE CFA ∠=∠，从而推导得CAF CEA ∽△△，即可完成解题；（3）根据45B ∠= ，且45EAM ∠= ，得B EAM ∠=∠，从而得到AEM BEA ∽△△，再根据相似比以及直角AHE 中勾股定理，建立等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）作AH BC ⊥于H∴90AHB ∠=∵DC BC⊥∴//AH DC∵//AD BC∴AHCD 为平行四边形∴1AH DC ==，1CH AD ==∵45B ∠=∴904545BAH ∠=-=∴ABH 是等腰三角形∴1==AH BH ∴2BC BH CH =+=∵:1:4CM CB =∴12CM =∵//AD BC∴CFM DFA△∽△∴CM FC DA FD=∵1FD FC CD FC =+=+即1211CFCF =+∴1CF =；（2）连接AC ，如图：∵90D ∠= ，AD CD=∴45ACD DAC ∠=∠=∵//AD BC∴90D DCE ∠=∠=∴4590135ACE ∠=+=o o o又∵180ACD ACFÐ+Ð=∴135ACF ∠=∴ACE ACF∠=∠∵180ACF CAF CFA ∠+∠+∠=∴18013545CAF CFA ∠+∠=-=∵45FAE ∠=∴45CAF CAE ∠+∠=∴CAE CFA∠=∠∴CAF CEA∽△△∴AC CF CE AC=∴2AC CE CF=⋅（3）∵45B ∠= ，且45EAM ∠=∴B EAM∠=∠∵AEB MEA∠=∠∴AEM BEA∽△△∴()()()()22AE EM EB CM CE BC y x y y =⋅=++=++∵()2222221(1)AE AH HE AH CH CE y =+=++=++∴21(1)()(2)y x y y ++=++∵点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F∴90DAF ∠<∴点M 在点H 和点C 之间，即01x <<∴22(01)x y x x -=<<．【点睛】本题考查了梯形、平行四边形、等腰三角形、直角三角形勾股定理、相似三角形、一元一次方程、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．。

济南市明湖中学2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试卷

16.学校要从小明、小红与小华三人中随机选取两人作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率是_____________.
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17.如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，若 BD:AD=3:2，则 AD = _______. CD
18.如图，ABCD 中，E 为 AD 的中点，已知△DEF 的面积为 1，则ABCD 的面积为________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 48 分) 19.(6 分)如图，点 D，E 分别在△ABC 的边 AB，AC 上，DE∥BC，AD=8cm，AB=12cm，BC=9cm，求 DE 长.
24.(10 分)已知，矩形 ABCD，点 E 是 AD 上一点，将矩形沿 BE 折叠，点 A 恰好落在 BD 上点 F 处. (1)如图 1，若 AB=3，AD=4，求 AE 的长； (2)如图 2，若点 F 恰好是 BD 的中点，点 M 是 BD 上一点，过点 M 作 MN∥BE 交 AD 于点 N，连接 EM，若 MN 平分∠EMD，求证：DN×DE=DM×BM.
△FCB'与△B'DG 的面积之比为( )
A.9:4
B.3:2
C.4:3
D.16:9
二、填空题(本大题共 6 小题.每小题 4 分，共 24 分，把答案填写在题中横线上)
13.已知 x = 4 ，则 x - y = _______________.
y3
y
14.在一幅比例尺是 1:600000 的图纸上，量得两地的图上距离是 2 厘米，则两地的实际距离是________千米. 15.如图，点 P 是 AB 的黄金分割点.设 AB=8cm，则 AP=________cm.
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河南省郑州市郑州外国语中学2019-2020学年年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)

河南省郑州市郑州外国语中学2019-2020学年年九年级上学期10月月考数学试题一．选择题（每小题3分，共24分）1.下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A. 对角线互相垂直且相等的四边形B. 对角线互相垂直的四边形C. 对角线相等的平行四边形D. 对角线互相平分且垂直的四边形【答案】D【解析】【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【详解】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．2.把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是()A. x2+4x+3＝0B. x2﹣2x+2＝0C. x2﹣3x﹣1＝0D. x2﹣2x﹣2＝0【答案】D【解析】【分析】方程移项变形即可得到结果.【详解】一元二次方程的一般形式为20++=ax bx cx(x+1)＝3x+2x2+x﹣3x﹣2＝0，x2﹣2x﹣2＝0故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.3.若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（）A. 8B. 7C. 8或7D. 9或8【答案】C【解析】【分析】由等腰三角形的性质可知“a＝b，或a、b中有一个数为4”，当a＝b时，由根的判别式b2﹣4ac＝0即可得出关于k的一元一次方程，解方程可求出此时n的值；a、b中有一个数为4时，将x＝4代入到原方程可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出此时的n值，结合三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴a＝b，或a、b中有一个数为4．当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得：n＝8；当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，解得：n＝7，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及三角形三边关系，解题的关键是分两种情况考虑k 值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出关于未知数k的方程是关键．4.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A. 15B.25C.35D.45【答案】C【解析】【分析】根据树状图首先计算出总数，再计算出小球标号之和大于5的数，利用概率的计算公式可得摸出的小球标号之和大于5的概率.【详解】解：根据题意可得树状图为：一共有25种结果，其中15种结果是大于5的因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为153 255故选C.【点睛】本题主要考查概率的计算的树状图，关键在于画树状图，根据树状图计算即可.5.为执行“均衡教育”政策，某县2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A. 2500（1+x）2=1.2B. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=1.2C. 2500（1+x）2=12000D. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=12000【答案】D【解析】【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2014年投入教育经费+2014年投入教育经费×（1+增长率）+2014年投入教育经费×（1+增长率）2=1.2亿元，据此列方程．【详解】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=12000．故选D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．6.下列数中，能与6，9，10组成比例的数是（）A. 1B. 74C. 5.4D. 1.5【答案】C【解析】【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积判定即可．【详解】解：A、10×1≠6×9，1不能与6，9，10组成比例，故错误；B、6×74≠9×10，74不能与6，9，10组成比例，故错误；C、5.4×10＝6×9，5.4能与6，9，10组成比例；故正确；D、1.5×10≠6×9，1.5不能与6，9，10组成比例，故错误．故选：C．【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键．7.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（）A. 2.5B. 3.5C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质可得OB ＝OD ，AO ⊥BO ，从而可判断OH 是△DAB 的中位线，在Rt △AOB 中求出AB ，继而可得出OE 的长度．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，菱形ABCD 的面积为24， ∴菱形ABCD 11S =AC BD=6BD=2422⨯⨯，解得：BD ＝8，∴AO ＝OC ＝3，OB ＝OD ＝4，AO ⊥BO ，又∵点E 是AB 中点，∴OE 是△DAB 的中线，在Rt △AOD 中，AB =22OA DO +＝5，则OE ＝12AD ＝2.5．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．8.如图，将矩形ABCD 的一个角翻折，使得点D 恰好落在BC 边上的点G 处，折痕为EF ，若EB 为∠AEG的平分线，EF 和BC 的延长线交于点H ．下列结论中：①∠BEF ＝90°；②DE ＝CH ；③BE ＝EF ；④△BEG和△HEG 的面积相等；⑤若2AD CD =，则56BG BC =．以上命题，正确的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH；③无法证明BE＝EF；④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和△HEG的面积相等；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K，在RT△EKG中利用勾股定理可做出判断.【详解】解：①由折叠的性质可知∠DEF＝∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB＝∠GEB，∵∠AED ＝180°，∴∠BEF＝90°，故正确；②根据矩形的性质可得∠D=∠FCH,∠DFE=∠CFH（对顶角相等）所以△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③无法证明BE＝EF，故错误；④∵ABCD是矩形，∴∠AEB=∠EBC（内错角相等）又∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠BEG,∴∠BEG=∠EBC，∴△GEB是等腰三角形，∵ABCD是矩形，∴∠DEF=∠CHF（内错角相等），又∵折叠的性质得到∠DEF=∠FEG, ∴∠FEG=∠CHF，∴△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K.设BK=x，CD=y，由2AD CD 可得AD=2y∵EB平分∠AEG，∴∠AEB=∠BEG，又∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠EBG ，∴∠BEG=∠EBG ，∴BG=EG在RT △EKG 中，EK BK x ==，EG ED AD AE 2y x ==-=-，KG BG BK EG BK 2y x x 2y 2x =-=-=--=-，由勾股定理有222EK KG EG +=，即222(2)(22)+-=-x y x y x ，解得121,y 3==x y x ，当x y =时，KG 2y 2x 0=-=，K 、G 重合，不符合题意，舍去。

湖北省襄阳市襄阳阳光学校2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题

B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．D
(3)点M是抛物线对称轴上一动点,点N是抛物线上一动点（不与点A，B重合），试问：是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
（1）ac>0；
（2）方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3；
（3）2a－b＝0；
（4）当x>1时，y随x的增大而减小；
（5）3a＋2b＋c>0
则以上结论中不正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．
（1）m=，n=；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
24．如图,已知抛物线上最高点坐标为（-1,4）,且抛物线经过点B（1,0）
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线与X轴另一个交点为A，交Y轴于点C，请在抛物线的对称轴上找一点P，使△PBC周长最小，并求出点P的坐标；
15．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．

广东省深圳市深圳亚迪学校2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题

亚迪学校2020-2021学年第一学期九年级10月月考数学试卷一．选择题（每题3分，共36分）1．若34y x =，则x y x +的值为（） A ．1 B ．47C ．54D ．742．如图所示的几何体的主视图是（）A. B. C. D.3．若关于x 的方程2320ax x --=是一元二次方程，则（）A ．1a >B ．0a ≠C ．1a =D ．0a ≥4．书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取1本恰好是小说的概率是（）A ．310B ．625C ．925D ．355．顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形6．对一元二次方程2330x x ++=的根的情况叙述正确的是（）A ．方程有一个实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程有两个相等的实数根D ．方程没有实数根 7．如图，在ABC △中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE BC ∥，若:3:4AD AB =，6AE =，则AC等于（）A ．3B ．4 C.6 D.88．某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为（）A ．100(12)90x x -=B ．100(12)90x +=C ．2100(1)90x -=D ．2100(1)90x += 9．如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判定~ABC ADE ∆∆的是（）A ．AB BC AD DE= B ．AB AC AD AE= C ．B D ∠=∠ D ．C AED ∠=∠ 10．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米 11．如图，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒12．如图，已知45ADB CDB BAC ∠=∠=∠=︒，结论：①90ABC ∠=︒；②AB BC =；③2222AD DC AB +=；④AD DC +=．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（每题3分，共12分）13．若两个相似三角形的周长比为2:3，则它们的面积比是_______．14．已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数式2m m -的值等于_______．15．如图，在A 时测得某树的影长为4米，B 时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_______米．16．如图，在ABD ∆中，60ADB ∠=︒，6AD =，10BD =，以AB 为边向外作等边ABC ∆，则CD 的长为_______．三．解答题（共52分）17．解方程：（1）2280x x +-=；（2）2(21)2(21)0x x ---=． 18．某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次共抽取_______名学生进行调查，扇形统计图中的x =_______；（2）请补全统计图；（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是_______度；（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有_______名．19．如图，在ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点F 在边CD 上，DF BE =，连接AF ，BF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若3CF =，4BF =，5DF =，求证：AF 平分DAB ∠．20．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为BC 边上一点连接DE ，点F 为线段DE 上一点，且AFE B ∠=∠．（1）求证：~ADF DEC ∆∆；（2）若8AB =，AD =AF =DE 的长．21．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？22．如图，正方形ABCD 的边长为4．点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且45ECF ∠=︒，CF 的延长线交BA 的延长线于点G ，CE 的延长线交DA 的延长线于点H ，连接AC ，EF ，GH ．备用图（1）填空：AHC ∠_______ACG ∠；（填“>”或“<”或“=”）（2）设AE m =，①AGH ∆的面积S 有变化吗？如果变化，请求出S 与m 的函数关系式；如果不变化，请求出定值； ②请直接写出使CGH ∆是等腰三角形的m 值．23．在平面直角坐标系中，已知点O 为坐标原点，点(0,4)A ．AOB ∆是等边三角形，点B 在第一象限．图① 图②（1）如图①，求点B 的坐标；（2）点P 是x 轴上的一个动点，连接AP ，以点A 为旋转中心，把AOP ∆逆时针旋转，使边AO 与AB 重合，得ABD ∆．①如图②，当点P 运动到点)时，求此时点D 的坐标；②求在点P 运动过程中，使OPD ∆的点P 的坐标（直接写出结果即可）．参考答案与试题解析一．选择题1．D 【解答】解：34y x =，43744x y x ++∴==．故选：D ． 2．A 【解答】解：从前面看可得到左边有2个正方形，右边有1个正方形，所以选A ． 3．B 【解答】解：关于x 的方程2320ax x --=是一元二次方程，0a ∴≠，故选：B ． 4．D 【解答】解：书架上有3本小说、2本散文，共有5本书，∴从中随机抽取1本恰好是小说的概率是35；故选：D ．5．B 【解答】解：如图，四边形ABCD 是菱形，且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，则EH FG BD ∥∥，12EF FG BD ==；EF HG AC ∥∥，12EF HG AC ==，AC BD ⊥．故四边形EFGH 是平行四边形，又AC BD ⊥，EH EF ∴⊥，90HEF ∠=︒∴边形EFGH 是矩形．故选：B ．6．D 【解答】解：1a =，3b =，3c =，224341330b ac ∴∆=-=-⨯⨯=-<，∴方程没有实数根．故选：D ． 7．D 【解答】解：DE BC ∥，~ADE ABC ∴∆∆ ::AD AB AE AC ∴=，而:3:4AD AB =，6AE =，3:46:AC ∴=，8AC ∴=．故选：D ．8．C 【解答】解：根据题意得：2100(1)90x -=．故答案为：2100(1)90x -=．9．A 【解答】解：12∠=∠，BAC DAE ∴∠=∠A 、C AED ∠=∠，~ABC ADE ∴∆∆，故本选项错误；B 、AB AC AD AE=，~ABC ADE ∴∆∆，故本选项错误； C 、B D ∠=∠，~ABC ADE ∴∆∆，故本选项错误；D 、AB BC AD DE =，B ∠与D ∠的大小无法判定，∴无法判定~ABC ADE ∆∆，故本选项正确．故选：A ．10．B 【解答】解：如图，GC BC ⊥，AB BC ⊥，GC AB ∴∥，~GCD ABD ∴∆∆（两个角对应相等的两个三角形相似）， DC GC DB AB ∴=，设BC x =，则1 1.51x AB =+，同理，得2 1.55x AB =+，1215x x ∴=++，3x ∴=， 1 1.531AB∴=+，6AB ∴=．故选：B ． 11．D 【解答】解：延长PF 交AB 的延长线于点G ．在BGF ∆与CPF ∆中，GBF PCF BF CF BFG CFP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BGF CPF ASA ∴∆≅∆，GF PF ∴=， F ∴为PG 中点．又由题可知，90BEP ∠=︒，12EF PG ∴=（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 12PF PG =（中点定义），EF PF ∴=，FEP EPF ∴∠=∠， 90BEP EPC ∠=∠=︒，BEP FEP EPC EPF ∴∠-∠=∠-∠，即BEF FPC ∠=∠，四边形ABCD 为菱形，AB BC ∴=，18070ABC A ∠=︒-∠=︒，E ，F 分别为AB ，BC 的中点， BE BF ∴=，()118070552BEF BFE ∠=∠=︒-︒=︒，易证FE FG =，55FGE FEG ∴∠=∠=︒，AG CD ∥，55FPC EGF ∴∠=∠=︒故选：D ．12．D 【解答】解：如图，作BM DA ⊥交DA 的延长线于M ，BN CD ⊥于N ，AC 交BD 于点O ．OAB ODC ∠=∠，AOB DOC ∠=∠，~AOB DOC ∴∆∆，OA OB OD OC ∴=，OA OD OB OC∴=，AOD BOC ∠=∠， ~AOD BOC ∴∆∆，45BCO ADO ∴∠=∠=︒，45BAC BCA ∴∠=∠=︒，90ABC ∴∠=︒，BA BC =，故①②正确，2222222AD CD AC AB BC AB ∴+==+=，故③正确，90M BND MDN ∠=∠=∠=︒，∴四边形BMDN 是矩形， BD 平分ADC ∠，BM AD ⊥，BN DC ⊥，BM BN ∴=，∴四边形BMDN 是正方形，DM DN ∴=，AB BC =，BM BN =，()Rt BMA Rt BNC HL ∴∆≅∆AM AN ∴=，2AD DC DM AM DN CN DM ∴+=-+-==，故④正确，故选：D ．二．填空题13．4:9 【解答】解：两个相似三角形的周长比为2:3，∴这两个相似三角形的相似比为2:3，∴它们的面积比是4:9．故答案为：4:9．14．1．【解答】解：把x m =代入方程210x x -+=可得：210m m --=，即21m m -=，故答案为：1．15．6【解答】解：根据题意，作EFC ∆；树高为CD ，且90ECF ∠=︒，4ED =，9FD =；易得：~Rt EDC Rt FDC ∆∆，ED DC DC FD∴=；即2DC ED FD =⋅，代入数据可得236DC =，6DC =；故答案为6．16．14【解答】解：将线段DA 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，连接DE ，BE ．作EM BD ⊥交BD 的延长线于点M ．ABC ∆是等边三角形，60BAC DAE ∴∠=∠=︒，AB AC -，DAC EAB ∴∠=∠，AD AE =，AC AB =，()DAC EAB SAS ∴∆≅∆，DC BE ∴=，AD AE =，60EDA ∠=︒，DAE ∴∆是等边三角形，60ADB ADE ∴∠=∠=︒，120BDE ∴∠=︒，60EDM ∴∠=︒，EM BM ⊥，90EMB ∴∠=︒，6DE =，30DEM ∠=︒，132DM DE ∴==，EM ==，在Rt BEM ∆中，14BE ===，14CD BE ∴==，故答案为14．三．解答题17．【解答】解：（1）2280x x +-=，(4)(2)0x x ∴+-=，则40x +=或20x -=，解得14x =-，22x =；（2）令21x a -=，则220a a -=，(2)0a a ∴-=，0a ∴=或20a -=，解得0a =或2a =，当0a =时，210x -=，解得0.5x =；当2a =时，212a -=，解得 1.5x =；综上，10.5x =，2 1.5x =．18．【解答】解：（1）8040%200÷=，30100%15%200x =⨯=，故答案为：200；15%；（2）喜欢二胡的学生数为2008030201060----=，补全统计图如图所示，（3）扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是：2036036200︒⨯=︒，故答案为：36；（4）603000900200⨯=（名），答：该校喜爱“二胡”的学生约有900名．故答案为：900． 19．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥． BE DF ∥，BE DF =，∴四边形BFDE 是平行四边形．DE AB ⊥，90DEB ∴∠=︒，∴四边形BFDE 是矩形；（2）四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴∥，DFA FAB ∴∠=∠．在Rt BCF ∆中，由勾股定理，得5BC ===，5AD BC DF ∴===，DAF DFA ∴∠=∠，DAF FAB ∴∠=∠，即AF 平分DAB ∠．20．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，180C B ∴∠+∠=︒，ADF DEC ∠=∠． 180AFD AFE ∠+∠=︒，AFE B ∠=∠，AFD C ∴∠=∠，~ADF DEC ∴∆∆；（2）四边形ABCD 是平行四边形，8CD AB ∴==，~ADF DEC ∆∆，AD DE AF DC ∴=，12AD CD DE AF ⋅∴===． 21．【解答】解：（1）(6040)[100(6050)2]1600-⨯--⨯=（元）．答：每天的销售利润为1600元．（2）设每件工艺品售价为x 元，则每天的销售量是[1002(50)]x --件，依题意，得：(40)[1002(50)]1350x x ---=，整理，得：214046750x x -+=，解得：155x =，285x =（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为55元．22．【解答】解：（1）四边形ABCD 是正方形，4AB CB CD DA ∴====，90D DAB ∠=∠=︒，45DAC BAC ∠=∠=︒，AC ∴=， 45DAC AHC ACH ∠=∠+∠=︒，45ACH ACG ECF ∠+∠=∠=︒，AHC ACG ∴∠=∠．故答案为：=．（2）①AGH ∆的面积S 没有变化，理由：AHC ACG ∠=∠，135CAH CAG ∠=∠=︒，~AHC ACG ∴∆∆，AH AC AC AG∴=，232AC AG AH ∴=⋅=． AGH ∴∆的面积1162S AG AH =⋅=；（3）如图1中，当GC GH =时，易证AHG BGC ∆≅∆，图1GC GH =，45GCH GHC ∴∠=∠=︒，90CGH ∴∠=︒，90BGC BGH ∴∠+∠=︒，且90BGC BCG ∠+∠=︒BGH BCG ∴∠=∠，且GBC GAH ∠=∠，GC GH =，()BCG AGH AAS ∴∆≅∆，4AG BC ∴==，8AH BG ==，BC AH ∥，12BC BE AH AE ∴==， 2833AE AB ∴==；如图2中，当CH HG =时，图2HC GH =，45GCH CGH ∴∠=∠=︒，90CHG ∴∠=︒，90CHD AHG ∴∠+∠=︒，且90CHD DCH ∠+∠=︒，AHG DCH ∴∠=∠，且CDH GAH ∠=∠，CH GH =，()DHC AGH AAS ∴∆≅∆，4AH CD ∴==，BC AH ∥，1BC BE AH AE∴== 2AE BE ∴==．如图3中，当CG CH =时，图3AHC ACG ∠=∠，ACH AGC ∠=∠，且CG CH =，()ACH AGC ASA ∴∆≅∆，AC AH ∴==AG AC =，BC AH ∥，BC BE AH AE ∴==，AE ∴=，4BE AE AB +==，4BE ∴=，8AE ∴=-综上所述，满足条件的m 的值为83或2或8-． 23．【解答】解：（I ）如图①，过点B 作BE y ⊥轴于点E ，作BF x ⊥轴于点F ，AOB ∆是等边三角形，4OA =，2BF OE ∴==．在Rt OBF ∆中，由勾股定理，得OF =∴点B 的坐标为2)．（II ）①如图②，过点B 作BE y ⊥轴于点E ，作BF x ⊥轴于点F ，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，延长EB 交DH 于点G ．则BG DH ⊥．ABD ∆由AOP ∆旋转得到，ABD AOP ∴∆≅∆．90ABD AOP ∴∠=∠=︒，BD OP ==AOB ∆是等边三角形，60ABO ∴∠=︒．BE OA ⊥，30ABE ∴∠=︒，60DBG ∴∠=︒，30BDG ∠=︒．在Rt DBG ∆中，1122BG DB OP ===sin 60DG DB︒=，3sin 602DG DB ∴=⋅︒==．OH ∴==37222DH =+=∴点D 的坐标为72⎫⎪⎭．②点P 的坐标分别为,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(0)、3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.假设存在点P ，在它运动过程中，使OPD ∆的面积等于4．设OP x =，下面分三种情况讨论．第一种情况：当点P 在x 轴正半轴上时，如图③，BD OP x ==，在Rt DBG ∆中，60DBG ∠=︒，sin 60DG BD x ∴=⋅︒=．2DH x ∴=+．OPD ∆，12224x x ⎛⎫∴⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭240x +=．解得：13x -=，23x -=（舍去）．∴点1P 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭．第二种情况：当点P 在x 轴的负半轴上，且OP <时，此时点D 在第一象限，如图④，在Rt DBG ∆中，30DBG ∠=︒，cos30BG BD x =⋅︒=．22DH GH x ∴==-．OPD ∆的面积等于4，122x x ⎛⎫∴⋅= ⎪ ⎪⎝⎭240x -=．解得：1x =2x =．∴点2P 的坐标为3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．点3P 的坐标为()．第三种情况：当点P 在x 轴的负半轴上，且3OP ≥时，此时点D 在x 轴上或第四象限，如图⑤，在Rt DBG ∆中，60DBG ∠=︒，sin 602DG BD x ∴=⋅︒=．OPD ∆，122x x ⎫∴⋅-=⎪⎪⎝⎭240x -=．解得：1x =2x =． ∴点4P的坐标为,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．综上所述，点P的坐标为：1P ⎫⎪⎪⎝⎭、2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3(P、4P ⎫⎪⎪⎝⎭．图① 图②图③ 图④ 图⑤。