第二节 欧式空间的基本概念

❖ 标准正交基的几何解释
设 e1,…, en 是 n 维欧氏空间V的一个标准正交基,
α 是V 的中任一向量, 设 α=x1e1+…+xnen , 则
α=<α, ei >e1+…+<α, en >en.
R
• 几何意义
uuur
OP uuur
=
, e1
e1
OQ uuur
=
, e2
e2
OR uuur
= ,
α1 = (1 , 1 , 1)T , α2 = (1 , 0 , -1)T , α3 = (1 , -2 , 1)T ,
是一个正交向量组 ,请将该向量组化为正交单位向量组 .
解
ao = 1 a
|| a ||
1
=
1
|| 1
||1
=
1 (1,1,1)T = ( 1 ,
3
3
1, 3
1 )T . 3
2
=
1
<α,β>=a1b1+a2b2 +…+anbn=αTβ
2、 范数的基本性质 设α,β为欧氏空间V中的任意两个向量, k为任意实数, 则向量的范数有下列基本性质： (1)非负性 ||α||0, ||α||=0 的充分必要条件是 α = 0; (2)齐次性 ||kα||=|k|||α||; (3)三角不等式 ||α+β||||α||+||β||. 证明
= , , .
综上所述=，4Cau,chy-2Sc4hwar,z不等式, 成立.0
, , ,
证毕
对欧氏空间Rn来说, Cauchy- Schwarz 不等式是：
a1b1 L anbn a12 L an2 b12 L bn2 . 其中 <α,β>=a1b1+a2b2+... +anbn=αTβ
证毕
, .
(3)三角不等式 ||α+β||||α||+||β||.
3 、向量的夹角
定义非零向量a与b的夹角φ为
= arccos a,b ,
|| a || || b ||
(0 )
规定: 零向量与任意向量成任意角.
• 若<a,b>=0, 则称向量a与b正交.
• 范数为 1 的向量称单位向量.
<kα+lβ,γ>=k<α,γ>+l<β,γ>,
这里 α,β,γ 是V 中任意向量, k和l 是任意实数.
再由内积的对称性可知：<γ,kα+lβ>=k<γ,α>+l<γ,β>.
②齐次性的推广 (2)齐次性： <kα,β>=k<α,β>;
m
n
mn
kii , l j j =
kil j i , j
0,
0,
当 i=j 时, 当 i≠j 时,
设存在一组数 k1,…, km , 使 k1α1+…+kmαm = 0,
用αi 与上式两边作内积, 由于当j≠i时有<αi,αj> =0, 故得： ki <αi ,αi > =0, 因为 <αi ,αi > > 0, 所以 ki = 0, (i=1,2, …,m) 所以 α1,…, αm 线性无关.
α 的范数(或长度), 记作 || a ||. 即
|| || = , .
由范数的定义可知, Cauchy-Schwarz 不等式可写成
, .
, , ,
对欧氏空间Rn来说, 如果向量α =(a1 ,a2 , ... ,an )T,
则 || || = , = a12 L an2
α=<α, α1>α1+…+ <α, αn>αn ; (2) <α,β> = x1y1+…+xn yn ; (3) ||α|| = x12 L xn2 ; (4) d (α,β) = ( x1 y1)2 L ( xn yn )2
证明 (1) 用 αi 与 α=x1α1+…+xnαn 两端作内积, 得 <α, αi >= <x1α1+…+xnαn ,αi > = xi<αi,αi > = xi ,
对欧氏空间C[a,b] 来说, Cauchy-Schwarz不等式是：
1
1
b f ( x)g( x)dx
b f 2( x)dx 2
b g2( x)dx 2 .
a
a
a
其中
f , g =
b
f ( x)g( x)dx
a
, , ,
二、向量的范数与夹角
1 、向量的范数
定义 在欧氏空间V中, 称非负实数 , 为向量
(3)设 γ Rn,则 <α+β,γ>= (α+β)Tγ = (αT+βT)γ = αTγ+βTγ
=<α,γ>+<β,γ>. (4) <α,α> = a12 +a22+... +an2 0,
且<α,α> =0 a1=a2=... =an=0 α = 0.
故(*)式满足内积公理. 从而Rn是一个欧氏空间. 特别地, R3是一个欧氏空间.
四、Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法
• 问题 已知 α1,…, αn 为 n 维欧氏空间 V 的一个基, 如何求 V 的一个标准正交基 ?
如果 β1,…, βn 为 n 维欧氏空间 V 的一个正交基, 我们可以把每个 βi 单位化得到n个单位向量e1,…, en ,
uuur
e3uuure3
uuur
OA = OP OQ OR
A
e3
O e1
e2
Q
P
A
例4 在欧氏空间R3中,求向量α =(2,3,1)T在标准正交基
α1=(0 , 1 , 0)T ,
2
=
4 5
, 0,
3 5
T
,
3
=
3 5
, 0,
4 5
T
下的坐标.
解
因为 <α,α1 >= 3 , <α,α2 >= -1 , <α,α3 >= 2 , 故向量α在此基下的坐标为： α = (3 , -1 , 2)T .
<α,β>=a1b1+a2b2 +... +anbn=αTβ
例1 ′ 设f(x)和g(x)是连续空间C[a,b]中任意两个函数，
定义
b
f , g = f ( x)g( x)dx
a
则C[a,b] 是一个欧氏空间.
2. 柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式 定理1 设α和β是欧氏空间V 中任意两个向量,
xi y j i , j
i =1
j=1
i=1 j=1
n
n
= xi yi i ,i = xi yi =x1 y1+…+xn yn;
i =1
i =1
当(2)成立时, (3)和 (4)是显然成立.
证毕
((23)) <||αα|,|β=>=xx112y1+L…+xxnn2 yn; α(4=)xd1α(1α+,…β)=+xn (αxn1, βy=1)y21α1L+… +( xynnαn y,n )2
解得
1
1
1 2
1 1
x1 x2 x3
=
0 0
x = (k,0,k). (k 0).
ao = 1 a || a ||
故所求的单位向量为 1 (1,0,1).
2
xo = 1 x =
1
( k , 0, k )
|| x ||
(k)2 02 k2
4 、距离 定义 对于欧氏空间V中的两个向量α和β , 称范数 ||α-β||为α与β的距离, 记作d (α, β) . 即
α = 0.
其中α,β和γ是V中任意向量, k是任意实数, 则称实数 <α,β>为α和β的内积, 称定义了内积的实线性空间V为 实内积空间或欧几里得空间, 简称为欧氏空间.
❖ 关于欧氏空间的两点说明
① 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,
其中的(2), (3)统称为内积的线性性质, 且可以写成
则有 , , , ,
其中等号成立的充要条件是向量α和β线性相关. 证明 如果向量α和β线性无关, 显然有 α 0. 且对任意实数 t, tα+β 0, 由内积的非负性可知:
t ,t = , t2 2 , t , 0,
上式为 t 的二次函数, 且恒正. 因此上式的判别式
i =1
j=1
i=1 j=1
例 1 在线性空间Rn中,对于向量α =(a1 ,a2 , ... ,an)T,
β =(b1,b2 , … ,bn)T, 验证
<α,β>=a1b1+a2b2+…+anbn=αTβ
(*)
是满足内积公理. 从而Rn是一个欧氏空间.
证明 (1()1对)<称β,性α>:=<α,ββT>α=<=β(,βαT>α;)T =αTβ =<α,β >. (2)齐次性: <kα,β>=k<α,β>; (3)(2加)设性：kR<,α则+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>; (4)非<k负α,β性>=: <α(k,αα>)Tβ 0,=等k (号αT成β)立的=k充<α分,β必>. 要条件是α = 0.
证毕
k1α1+…+kmαm =0,
i ,
j
=
||
i
||2 0,当j = i时, 0,当j i时.
3、 正交基与标准正交基 定义 在 n 维欧氏空间 V 中, 由 n 个向量组成的 正交向量组称为V 的正交基; 由n个向量组成的正交 单位向量组或称为 V 的标准正交基或规范正交基.
定理3 设 α1,…, αn 是n维欧氏空间V的一个标准 正交基, α和β是V 的中任意两个向量, 设 α=x1α1+…+xnαn , β=y1α1+…+ynαn , 则 (1) xi =<α, αi>(i=1,2, …,n) , 即
|| 2
|| 2 =
1 (1,0,1)T= ( 1 ,0,
2
2
1 )T . 2
3
=
1
|| 3
||3=
1 (1,2,1)T = ( 1 ,
6
6
2, 6
1 )T . 6
2、 正交向量组的性质
定理2 正交向量组必是线性无关向量组.
证明
设 α1,…, αm 是一个正交向量组 , 则
i ,
j
=
|| i
||2
(1)与(2)的证明板书推导. 下面证明(3).
三角不等式的证明
|| ||2 = , =|| ||2 2 , || ||2
|| ||2 2 || || || || || ||2 = (|| || || ||)2
两边同时开方可得
பைடு நூலகம்
||α+β||||α||+||β||, 故三角不等式成立.
1、 正交向量组与正交单位向量组 定义 对于欧氏空间V中的一个向量组, 如果向量组 中不含零向量, 且其中的向量两两正交 , 则称它为 一个正交向量组 . 如果一个正交向量组中的每个向量 都是单位向量, 则称它是正交单位向量组或标准正交 向量组或正交规范向量组.
例3 已知在欧氏空间 R3 中,向量组
( i=1,2, …,n ) 所以 α=<α ,α1>α1+…+<α ,αn>αn .
α=x1α1+…+xnαn , β=y1α1+…+ynαn , (1) xi =<α, αi > (i=1,2, …,n) , α=<α, αi >α1+…+<α, αn>αn ,
n
n
nn
(2) <α,β>= xii , y j j =
d (α,β)=||α-β|| 由向量的范数的基本性质可知距离有下列基本性质： (1)对称性 d (α,β)=d (β,α); (2)非负性 d (α,β) ≥ 0,且d (α,β)=0当且仅当α =β. (3)三角不等式 d (α,β) d (α,γ)+d (γ, β).
三、标准正交基及其基本性质
引言
在线性空间中,只涉及向量的线性运算和向量间的 线性关系,而几何空间中向量的长度和夹角等度量概念 没有得到反映, 故有必要在一般的线性空间中引入度量 的概念. 下面介绍欧氏空间的相关内容.
第二节 欧式空间的基本概念
一、向量的内积与欧氏空间
1 、内积和欧氏空间 定义 设 V 是一个实线性空间, 如果对于 V 中任意
两个向量 α 和 β 都指定了一个实数与之对应, 这个 实数记作 <α,β>， 且满足以下条件： (1)对称性： <α,β>=<β,α>; (2)齐次性： <kα,β>=k<α,β>; (3) 加性： <α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>; (4)非负性： <α,α> 0, 等号成立的充分必要条件是
• 非零向量a的单位化(或规范化)向量 ao = 1 a || a ||
表示与a同向(即夹角为零)的单位向量.
由非零向量
a
得到单位向量
||
1 a
||
a,
称为向量a的
单位化.
例2 求与a= (1,1,1), b=(1,2,1)同时正交的单位向量.
解
设非零向量 x=(x1, x2, x3) 与a,b同时正交, 则有
= 4 , 2 4 , , 0,
即 , 2 , , 从而有 , , , .
如果向量α和β线性相关, 则向量α和β成比例.
不妨设向量 α=kβ (kR), 故
, = k, = k ,
= k2 , , = k,k ,