2.5逆命题和逆定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A O C P P P A P P P B P
Bwk.baidu.com
证明: (1)当点P不在 线段AB上时， 作PC⊥AB于 点O
∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三 线合一性质） ∴PC是AB的垂直平分线。 ∴点P在线段AB的垂直平分线上 (2)当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
知识学习
两者是互逆定理！
× √ × ×
（4）真命题的逆命题是真命题。
知识回顾
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线
D P
A
O C
B
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例1 说出命题“线段垂直平分线上的点到线
段两端点的距离相等”的逆命题，并证明这个
逆命题是真命题。
证明命题： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
两者是互逆定理！
3、线段垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
4、线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上 几何语言：
∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上
A P
B
下列句子是命题的是
A.画∠AOB=45° C.连结CD B. 小于直角的角是锐角吗？ D. 飞机是会飞的交通工具
（D ）
命题的定义: 对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题 命题的结构：命题由题设、结论组成
命题有真有假：正确的命题是真命题，
错误的命题是假命题
命题
⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
逆命题
题
真或 假
原命题 ⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
假 真 真 真 真 假
圆既是中心对称，又是轴对称的图形. 在同一个三角形中，等角对等边. 会飞的交通工具是飞机.
原命题 ⑵在同一个三角形中，等边对等角.
逆命题 原命题 ⑶飞机是会飞的交通工具.
逆命题
像⑵那样， 思考：每个命题都 有逆命题吗？ 是 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么 一个命题的逆命题是真命题还是假命题？ 就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆 定理. 你还能得出类似的一些结论吗?
课内练习（课本P67课内练习）：
1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和所得的逆命题的真假：
（1）同位角相等； 逆命题：相等的角是同位角，
（2）如果|a|=|b|，那么a=b； 逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
（3）等边三角形的三个角都是60° 逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形
条件
结论
真假
真 真 真 假
两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
观察表中的各命题，从命题的条件和结论 分析，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与 命题⑷也是这种关系吗？
互逆命题的定义：
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
做一做
下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说
出逆定理：
（1）等腰三角形的两个底角相等. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
（2）同旁内角互补,两直线平行.
两直线平行,同旁内角互补.
快速判断:作业题1
下列说法哪些正确，哪些不正确？ （1）每个定理都有逆定理。 （2）每个命题都有逆命题。 （3）假命题没有逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 条件 结论 真假 真 真 真 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b 两直线平行 a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
a2＝b2
a＝b
假
写出下列命题的逆命题，并判定原命题和逆命题的真假： 命
线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
P
∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上
A
B
练习
交于一点
求证：三角形三边的垂直平分线相
1、在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论 是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做 互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一命题就叫做它的逆命题． 2、如果一个定理的逆命题被证明是真命题 （定理），那么这两个定理叫做互逆定理， 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．
Bwk.baidu.com
证明: (1)当点P不在 线段AB上时， 作PC⊥AB于 点O
∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三 线合一性质） ∴PC是AB的垂直平分线。 ∴点P在线段AB的垂直平分线上 (2)当点P在线段ＡＢ上，结论显然成立；
知识学习
两者是互逆定理！
× √ × ×
（4）真命题的逆命题是真命题。
知识回顾
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线
D P
A
O C
B
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例1 说出命题“线段垂直平分线上的点到线
段两端点的距离相等”的逆命题，并证明这个
逆命题是真命题。
证明命题： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直平分线上
两者是互逆定理！
3、线段垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
4、线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上 几何语言：
∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上
A P
B
下列句子是命题的是
A.画∠AOB=45° C.连结CD B. 小于直角的角是锐角吗？ D. 飞机是会飞的交通工具
（D ）
命题的定义: 对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题 命题的结构：命题由题设、结论组成
命题有真有假：正确的命题是真命题，
错误的命题是假命题
命题
⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
逆命题
题
真或 假
原命题 ⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
假 真 真 真 真 假
圆既是中心对称，又是轴对称的图形. 在同一个三角形中，等角对等边. 会飞的交通工具是飞机.
原命题 ⑵在同一个三角形中，等边对等角.
逆命题 原命题 ⑶飞机是会飞的交通工具.
逆命题
像⑵那样， 思考：每个命题都 有逆命题吗？ 是 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么 一个命题的逆命题是真命题还是假命题？ 就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆 定理. 你还能得出类似的一些结论吗?
课内练习（课本P67课内练习）：
1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和所得的逆命题的真假：
（1）同位角相等； 逆命题：相等的角是同位角，
（2）如果|a|=|b|，那么a=b； 逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
（3）等边三角形的三个角都是60° 逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形
条件
结论
真假
真 真 真 假
两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
观察表中的各命题，从命题的条件和结论 分析，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与 命题⑷也是这种关系吗？
互逆命题的定义：
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
做一做
下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说
出逆定理：
（1）等腰三角形的两个底角相等. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
（2）同旁内角互补,两直线平行.
两直线平行,同旁内角互补.
快速判断:作业题1
下列说法哪些正确，哪些不正确？ （1）每个定理都有逆定理。 （2）每个命题都有逆命题。 （3）假命题没有逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 条件 结论 真假 真 真 真 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b 两直线平行 a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
a2＝b2
a＝b
假
写出下列命题的逆命题，并判定原命题和逆命题的真假： 命
线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
P
∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上
A
B
练习
交于一点
求证：三角形三边的垂直平分线相
1、在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论 是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做 互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一命题就叫做它的逆命题． 2、如果一个定理的逆命题被证明是真命题 （定理），那么这两个定理叫做互逆定理， 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．