命题公式及分类(离散数学)PPT

1.2 命题公式及分类
一般的，在复合命题中， p,q,r即可代表命题常项 ，又可代表将命题变项，由命题常项、命题变项用 联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号 串称为合式公式或命题公式。
1
一、命题公式的定义
定义1.6 （合式公式） (1)单个命题常项或变项是合式公式。 (2)若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。 (3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，
(e) A＝BC，其中B,C的层次及n同(b)。 例如：(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)
分别为3层和4层公式
4
二、命题公式的解释（赋值）
在命题公式中，由于有命题变项的出现，因而真值是不确定 的。当将公式中出现的全部命题变项都解释成具体的命题之 后，公式就成了真值确定的命题了。
上述αi取值为0或1，i＝1,2,…,n。
6
赋值举例
在公式(┐p1∧┐p2∧┐p3)∨(p1∧p2)中， 000(p1＝0，p2＝0，p3＝0)， 110(p1＝1，p2＝1，p3＝0)都是成真赋值， 001(p1＝0，p2＝0，p3＝1)， 011(p1＝0，p2＝1，p3＝1)都是成假赋值。
(1)若公式A是单个的命题变项，则称A为0层合式。 (2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
(a) A＝┐B，B是n层公式； (b) A＝B∧C，其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i,j)； (c) A＝B∨C，其中B,C的层次及n同(b)； (d) A＝B→C，其中B,C的层次及n同(b)；
练习
P32： 1.6：（3）（4） 1.7：（7-10）
19
在(p∧┐q)→r中， 011(p1＝0，p2＝1，p3＝1)为成真赋值， 100(p1＝1，p2＝0，p3＝0)为成假赋值。
重要结论： 含n(n≥1)个命题变项的公式共有2n个不同的赋值。
7
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称作A的真值表。
构造真值表的具体步骤如下： (1)找出公式中所含的全体命题变项p1,p2,…,pn (若无下角标 就按字典顺序排列)，列出2n个赋值。本书规定，赋值从 00…0开始，然后按二进制加法依次写出各赋值，直到11…1 为止。 (2)按从低到高的顺序写出公式的各个层次。 (3)对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出公式 的真值。
pq
F8( 2)
F9( 2)
F (2) 10
F (2) 11
F (2) 12
F (2) 13
F (2) 14
F (2) 15
00
1
1
1
1
11
11
01
0
0
0
0
11
11
01
0来自百度文库
0
1
1
00
11
11
0
1
0
1
01
01
17
17
小结
一、命题公式的定义 二、命题公式的解释（赋值） 三、命题公式的分类 四、真值函数
18
例如：pq, pq, (pq)((pq)q) 等都对应
表中的
F (2) 13
16
16
2元真值函数对应的真值表
pq
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7(2)
00
00
0
0
00
00
01
00
0
0
11
11
01
00
1
1
00
11
11
01
0
1
01
01
真值表可用来判断公式的类型: –若真值表最后一列全为1，则公式为重言式。 –若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式。 –若真值表最后一列中至少有一个1，则公式为可满足式。
11
例题2 下列各公式均含两个命题变项p与q，它们中哪
些具有相同的真值表?
(1) p→q
(4) (p→q)∧(q→p)
(2) pq
(p∨q)→r
若p：2是素数，q：3是偶数，r：π是无理数，则p与r被解释 成真命题，q被解释成假命题，此时公式(p∨q)→r被解释成 ：若2是素数或3是偶数，则π是无理数。（真命题）
r被解释为：π是有理数，则(p∨q)→r被解释成：若2是素数 或3是偶数，则π是有理数。（假命题）
将命题变项p解释成真命题，相当于指定p的真值为1，解释 成假命题，相当于指定p的真值为0。
说 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后 明 一列是否对应相同，而8 不考虑构造真值表的中间过程。
例1 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1) ┐ (p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3)┐(p→q)∧q∧r
9
三、命题公式的分类 定义1.9（重言式、永真式、可满足式）
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0，
F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
15
命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都 存在惟一的一个n元真值函数F与A的真值表相同.
下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个 含2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找 到.
(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才
是合式公式。 合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称 为公式。
2
关于合式公式的说明
合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式。
定义中引进了A,B等符号，用它们表示任意的合式公式，而不 是某个具体的公式，这与p, p∧q, (p∧q)→r等具体的公式是有 所不同的。
(┐A)、(A∧B)等公式单独出现时，外层括号可以省去，写成 ┐A、A∧B等。
公式中不影响运算次序的括号可以省去， 如公式(p∨q)∨(┐r)可以写成p∨q∨┐r。
合式公式的例子：
(p→q)∧(q r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)
不是合式公式的例子 pq→r，(p→(r→q)
3
定义1.7（公式层次）
(5) ┐q∨p
(3) ┐(p∧┐q)
12
例3 下列公式中,哪些具有相同的真值表? (1)p→q (2)┐q∨r (3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4)(q→r)∧(p→p)
13
习题：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。
p q r q∧r p→(q∧r) ┐(p→(q∧r))
00 0 0
设A为任一命题公式 (1)若A在它的各种赋值下取值均为真,则称A是重言式或
永真式。 (2)若A在它的各种赋值下取值均为假,则称A是矛盾式或
永假式。 (3)若A不是矛盾式（至少存在一组赋值是成真赋值）,则
称A是可满足式。
10
说明
重言式一定是可满足式，但反之不真。因而，若公式A是可 满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式的 可满足式。
1
0
00 1 0
1
0
01 0 0
1
0
01 1 1
1
0
10 0 0
0
1
10 1 0
0
1
11 0 0
0
1
11 1 1
1
0
14
四、真值函数
问题：含n个命题变项的所有公式共产生多少个互 不相同的真值表？ 定义 1.10 称定义域为{00…0, 00…1, …, 11…1}，值域 为{0,1}的函数是n元真值函数，定义域中的元素是 长为n的0,1串. 常用F:{0,1}n{0,1} 表示F是n元真值 函数. 共有 22n 个n元真值函数.
5
定义1.8（赋值或解释）
设p1,p2,…,pn是出现在公式A中的全部命题变项，给p1,p2,…,pn 各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组 值使A的真值为1，则称这组值为A的成真赋值；若使A的真值 为0，则称这组值为A的成假赋值。
对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定： (1)若A中出现的命题符号为p1,p2,…,pn，给定A的赋值 α1,α2…,αn 是指p1＝α1，p2＝α2,…，pn＝αn。 (2)若A中出现的命题符号为p，q，r...,给定A的赋值α1,α2,…,αn 是指p＝α1，q＝α2,…，最后一个字母赋值αn。