基本初等函数(整理)

1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数

1函数 （μ 是常数） 叫做幂函数。

2幂函数的定义域，要看μ 是什么数而定。

但不论μ 取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-551015

4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数； 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.

②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方.

1.1.2 指数函数与对数函数

1．指数函数

1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。

2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方，

且通过点(0,1)。

若a>1，指数函数是单调增加的。若0

是单调减少的。

a ＞1

0＜a ＜1

图 象

性 质

(1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过点(0，1) (4)在R 上增函数

(4)在R 上减函数

有理指数幂的意义、幂的运算法则：

①m

n

m n

a a a

+⋅=；②()m n mn

a a

=；③()n n n

ab a b =（这时m,n 是有理数）

分数指数幂：n

m

n m

n n

n m n

m n

n

a

a a

a

a a a a 1

,1,,1====

-

-。

2．对数函数

由此可知 ，今后常用关系式 ，

如：

指数函数的反函数，记作 （a 是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。

它的定义域是区间(0,+∞ )。

对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x 对称（图1-22）。

的图形总在y 轴上方，且通过点(1,0)。

若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )

内函数值为正。

若0

内函数值为负。[如图]

对数函数的图象和性质

a >1

0

图

象

1

1

1

1

性 质

定义域：（0，+∞） 值域：R

过点（1，0），即当x ＝1时，y ＝0 x ∈（0，1）时y ＜0 x ∈（1，＋∞）时y ＞0 x ∈（0，1）时y ＞0 x ∈（1，＋∞）时y ＜0

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵log a 1＝0，log a a ＝1

⑶对数恒等式N a

N

a =log

(4) log a a b ＝b 运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；

(2)log a M

N ＝log a M －log a N ；

(3)1

log log ;log log n

n a a a a M n M M M n

==

对数换底公式：

log a N ＝log m N

log m a (a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0)

1.1.3 三角函数与反三角函数 1．三角函数

，奇函数、有界函数、周期函数 ；

，偶函数、有界函数、周期函数 ；

，

的一切实数，奇函数、

周期函数

，

的一切实数，奇函数、

周期函数

；

，

；；

正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞ )，值域都是必区间[-1,1]。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。[如图]

；。

双曲函数与反双曲函数

双曲正弦：，奇函数，单调增函数；

双曲余弦：，偶函数，时，单调减，时，单调增；

双曲正切：，奇函数，单调增函数。

函数的图形见书P27~P28。

下面公式成立

，

，

，

。

反双曲正弦

反双曲余弦，

反双曲正切

函数图形的变换

平移

①由的图形，作的图形。图形右移，，图形左移。如：由图形作的图形。由的图形作的图形。

②由的图形作的图形。，图形上移，，图形下移。如：由的图形作的图形。

翻转

①由图形作的图形。（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。

②由图形作的图形。（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。

迭加与放缩（略）