基本初等函数(整理)
基本初等函数
基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y = c（c 为常数）（2）幂函数y = x^a（a 为非0 常数）（3）指数函数y = a^x（a＞0, a≠1）（4）对数函数y =log(a) x（a＞0, a≠1）（5）三角函数：主要有以下6 个：正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x正切函数y =tan x余切函数y =cot x正割函数y =sec x余割函数y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。
（6）反三角函数：主要有以下6 个：反正弦函数y = arcsin x反余弦函数y = arccos x反正切函数y = arctan x反余切函数y = arccot x反正割函数y = arcsec x反余割函数y = arccsc x初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数幂函数简介形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
基本初等函数16个公式
基本初等函数16个公式1.幂函数公式：a^m*a^n=a^(m+n)幂函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数。
2.幂函数公式：(a^m)^n=a^(m*n)该公式表示对一个幂函数求幂。
3.倒数公式：1/a*a=1任何数的倒数乘以它本身等于14. 对数公式：log(a^n) = n * log(a)对数函数是幂函数的逆函数，将指数与底数互换。
5. 对数公式：log(a*b) = log(a) + log(b)对数函数在乘法上的性质。
6. 对数公式：log(a/b) = log(a) - log(b)对数函数在除法上的性质。
7. 对数公式：log(1) = 0对数函数中底数为1时，其结果为0。
8.指数函数公式：a^0=1任何常数的0次方等于19.指数函数公式：a^(-n)=1/(a^n)任何常数的负指数等于其正指数的倒数。
10. 三角函数公式：sin(-x) = -sin(x)正弦函数对称的性质。
11. 三角函数公式：cos(-x) = cos(x)余弦函数对称的性质。
12. 三角函数公式：tan(x) = sin(x)/cos(x)正切函数定义。
13. 三角函数公式：sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sin(x),cot(x) = 1/tan(x)余切、正割和余割函数的定义。
14. 双曲函数公式：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲余弦函数的定义。
15. 双曲函数公式：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲正弦函数的定义。
16. 双曲函数公式：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)双曲正切函数的定义。
这些基本初等函数的公式是数学中非常重要的，它们在计算和应用中经常被使用。
通过理解并熟练掌握这些公式，我们可以更好地解决各种数学问题。
(整理)基本初等函数.
函数的概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：y =f (x )，x ∈A 。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x )”；（2）函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f 。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。
5．映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A →B ”。
映射和函数的区别：映射是两个集合之间的对应关系，集合A 所有元素在B 中有元素对应，集合B 中的元素在A 中不一定有对应的元素。
但是函数，自变量x 所有的值在因变量y 里面都有对应，而因变量y 的所有元素在自变量x 中也有对应； 6．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 7．复合函数若y =f (u)，u=g(x ),x ∈(a ，b )，u ∈(m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x )的值域。
(完整版),基本初等函数公式总结,推荐文档
( f g)dx f dx gdx kfdx k f dx
运算公式：
fg dx f dg fg g df
分部积分法计算法则
对
幂
指
三
ln x
x
ex
sin x 、 cos x
两两组合，位置排在前面的选 f ，排列在后面的选 g
dx c dx
1 dx d ln x x
凑微分公式 1 dx 2d x x
导数公式
(c) 0 (0) 0
(x) 1 (x2 ) 2x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(sin x) cos x (cos x) sin x
1 0
1 x
1 x2
(a x ) a x ln a
( f g) ( f ) (g) ( fg) ( f )g f (g) (kf ) k( f )
0 dx c
1 dx x c
x
dx
1 2
x2
c
1 x2
dx 1 c x
不定积分公式
1 x
dx 2
x c
ax dx ax c
ln a
不定积分运算法则： 加减法，数乘
x
dx
2
3
x2
c
3
xa dx 1 xa1 c
a 1
1 x
dx
ln |
x | c
ex dx ex c sin x dx cos x c cos x dx sin x c
(x a ) ax a1
( x) 1 2x
(e x ) e x
f g
(
f
)g g2
f
(g)
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
六大初等函数
六大初等函数
在数学中，初等函数是指可以用有限次基本运算与求导来表示的函数。
在高中数学中，常见的六大初等函数包括：
1. 常数函数：y = c （c为常数）
2. 幂函数：y = x^n （n为正整数）
3. 指数函数：y = a^x （a>0，且a≠1）
4. 对数函数：y = loga(x) （a>0，且a≠1）
5. 三角函数：y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x) （x为弧度）
6. 反三角函数：y = arcsin(x)、y = arccos(x)、y = arctan(x) （x为实数）
这六大初等函数在数学中应用广泛，是数学学习的基础。
其中，常数函数和幂函数是最基本的函数，指数函数和对数函数则在科学计算、物理学、化学等领域中被广泛应用，三角函数和反三角函数则在几何学、物理学、信号处理等领域中有重要作用。
了解和掌握这些初等函数的概念、性质和应用，对于进一步学习高等数学和应用数学都至关重要。
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(整理)第一课时基本初等函数
第二课时：基本初等函数 备课教师：许新新教学目标: 使学生熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数的定义，图像性质； 教学重点：二次函数根的分布和最值得求法； 教学难点：二次函数根的分布和最值得求法； 教学过程： 1.指数函数1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符表示，负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,mm nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质2对数函数2.1对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N=，其中a叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b=．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N；自然对数：ln N ，即l o g e N（其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且2.2对数函数及其性质设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 3幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．4.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x a x b x c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b2a ＞k②x 1≤x 2＜k ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b2a ＜k③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＞0k 1＜－b 2a ＜k2或⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＜0k 1＜－b 2a ＜k2⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＜0f (p 1)＜0f (p 2)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＞0f (p 1)＞0f (p 2)＜0此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） 最小值若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =-③若2bq a ->，则()m f q =b 2 0 b 2 0 a b x 2最大值若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) 最大值①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bM f a =-③若2bq a ->，则()M f q =0 O b 2 0x 0 ab x 2 0x b 20 b 2 0a 2最小值①若02b x a -≤，则()m f q = ②02bx a ->，则()m f p =．ab x20x 0 O b 2 0x。
基本初等函数定义及性质知识点归纳
基本函数图像及性质一、基本函数图像及其性质：1、一次函数：(0)y kx b k 2、正比例函数：(0)y kx k 3、反比例函数：(0)k yxx4、二次函数：2(0)y axbx c a （1）、作图五要素：2124(,0),(,0),(0,),(),(,)()224b b ac bx x c x aaa 对称轴顶点（2）、函数与方程：2=4=00bac 两个交点一个交点没有交点（3）、根与系数关系：12b x x a，12c x x a5、指数函数：(0,1)xya aa 且（1）、图像与性质：（i ）1()(0,1)xxya ya aa与且关于y 轴对称。
（ii ）1a 时，a 越大，图像越陡。
(2)、应用：（i ）比较大小：（ii ）解不等式：1、回顾：（1）()mmmab ab（2）()m mma a bb2、基本公式：（1）mnm naaa（2）m m nna aa（3）()m nm na a3、特殊:（1）1(0)aa （2）11(0)aa a（3）1(;0)nnaa n a R n a 为奇数，为偶数，（4）;0;0||nna n a a aaaa n 为奇其中，为偶例题1：（1）22232[()()]3x xyxy y xx y x y ；32235()()(5)x xy xy （2）11232170.027()(2)(21)79；20.52371037(2)0.1(2)392748（3）44(3)；1122aaa例题2：（1）化简：212212)9124()144(a aa a（2）方程016217162xx的解是。
（3）已知32121xx，计算（1）1x x ；（2）37122xxx x例题3：（1）若4812710,310yx，则yx 210= 。
（2）设,0,,,xyzR z y x 且zyx14464，则（）A.yxz111 B.yxz112 C.yxz121 D.yxz211（3）已知,123ba 则aba339= 。
高一数学第二章基本初等函数知识点整理
高一数学第二章基本初等函数知识点整理高一数学第二章基本初等函数知识点整理高中学习数学重要的是基础的掌握，以下是第二章基本初等函数知识点，请大家仔细阅读。
一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(n th root)，其中 1，且 *. 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根可以合并成?( 0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时， 2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 (1)(2) ; (3) .(二)指数函数及其性质数，记作： ( 底数，真数，对数式)说明：○1 注意底数的限制，且; ○2 ;○3 注意对数的书写格式.两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数 ;○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数 . 对数式与指数式的互化 (二)对数的运算性质如果，且，，，那么：○1 ○2 - ; ○3 .注意：换底公式( ，且 ; ，且 ; ).利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) . (二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+). 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数. ○2 对数函数对底数的限制：，且 .2、对数函数的性质： a1 0图象特征函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0，+) 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R 函数图象都过定点(1，0) 自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 (三)幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.2、幂函数性质归纳.(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1);(2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸;(3) 时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 第二章基本初等函数知识点就为大家分享到这里，希望可以帮助大家提高成绩。
五类基本初等函数
五类基本初等函数一元函数一元函数是数学里一种最基本的函数形式，它只含有一个变元。
即只有一个自变量，根据这个自变量计算出一个固定的值，例如：y=1/x，函数的定义域和值域为实数集合。
一元函数可以用来表示单纯的变换，即每一个函数值只具有一个变量的特性。
二元函数二元函数是一类常用的函数，它描述的是一个函数的定义域的双变量的关系，即每一个函数值拥有两个变量的特性。
例如，函数f（x，y）=x2+y2表示点（x，y）在直角坐标系上的变化。
二元函数也常常用来描述现实世界中物体之间的变化关系，例如，热量、动量、电势差以及力等。
三元函数三元函数是指有三个变元的函数，它和二元函数类似，但是拥有三个变量，例如，三元函数f(x,y,z)=x2+y2+z2是表示空间中某个点的到原点的距离的函数。
三元函数可以被用来描述三维物体之间的相互变化关系，常常被多学科用来描述不同物理量之间的变化，比如大气压、温度、斜率等等。
高次函数高次函数是指变元个数大于三个，并且大于三元函数的函数。
它可以是有一定定义域或ROI范围的多元函数，根据这些自变量的多维空间变量计算出固定的值，例如：函数f（x1，x2，x3，x4）= x1 + x2 + x3 + x4。
复合函数复合函数通常是将多种基本函数组合使用，以达到不同的目的。
例如，有的函数是将平方、高次函数等基本函数组合而成的。
我们常常可以看到这样的函数形式：f(x)= a*xb + y，这就是一个复合函数。
这类函数可以用来描述较复杂的现实形势，例如，它可以用来描述物理现象、生物特征及经济形势等多种情况。
综上所述，初等函数是数学中非常基础但又十分重要的概念，它们通常有一元函数、二元函数、三元函数、高次函数以及复合函数等。
它们可以用来描述各种不同的情况，被广泛应用于各个领域。
因此，弄清楚这些基本函数的正确使用方法非常有必要，不仅可以拓展人们的数学视野，而且能给我们的学习与研究带来更大的便利。
基本初等函数公式定理
基本初等函数公式定理1. 二次函数的顶点公式：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，顶点的横坐标为x = -b / 2a，纵坐标为f(-b / 2a) = -Δ / 4a，其中Δ = b^2 - 4ac为二次函数的判别式，用来判断函数的开口方向和与x轴的交点情况。
2. 二次函数的两根公式：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个根为x1,2 = (-b ± √Δ) / 2a，其中Δ为判别式。
当Δ > 0时，方程有两个不等实根；当Δ = 0时，方程有两个相等实根；当Δ < 0时，方程无实根。
3. 余弦和正弦的和差公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓sin(x)sin(y)，sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)。
这些公式用于计算给定角度的正余弦值。
4. 三角函数的周期性：sin(x + 2πn) = sin(x)，cos(x + 2πn) = cos(x)，其中n为任意整数。
这表示正弦和余弦函数在每个周期内的值是相同的。
5. 对数函数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b、c为正实数，且a、c不等于1、这个公式可以用来将一个对数的底换成任意其他的底。
6. 指数函数的幂的性质：a^m ∙ a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(mn)，(ab)^n = a^n ∙ b^n，a^m / a^n = a^(m-n)，其中a、b为正实数，m、n为任意实数。
7.二分法定理：如果一个连续函数在区间[a,b]上取得不同符号的两个值，那么在这个区间内必然存在一个根。
这个定理可以用于求解方程的近似解。
8.中值定理：如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在开区间内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
基本初等函数讲义(超级全)
一、一次函数之相礼和热创作二、二次函数（1）二次函数解析式的三种方式 ①一样平常式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一样平常式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常运用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性子①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．三、幂函数（1）幂函数的定义一样平常地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象过定点：全部的幂函数在(0,)+∞都有定义，而且图象都经过点(1,1)． 四、指数函数（1）根式的概念：假如,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．（2）分数指数幂的概念①负数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②负数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没故意义．（3）运算性子①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r=>>∈ab a b a b r R（4）指数函数五、对数函数（1）对数的定义①若(0,1)x且，则x叫做以a为底N的对数，记作=>≠a N a alog a x N =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个紧张的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）经常运用对数与自然对数经常运用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性子 假如0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a MM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈④log aNa N =⑤log log (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．假如对于y 在C 中的任何一个值，经过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有独一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=暗示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，风俗上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性子 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一样平常地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题一、求二次函数的解析式244y x x =--的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）例2．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且经过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A ．()2312y x =-- B ．()2312y x =-+C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+-例3.抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1()f x 同时满足条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为15；（3）()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式 二、二次函数在特定区间上的最值成绩例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． 例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -={}0x x >的是（）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的表示图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域； （2）判别函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 四、指数函数的运算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（）A、12C 、D 、—12例12.44等于（） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a53,83==ba，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性子 例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域： （1）442x y -=（2）||2()3x y =()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ()A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4) 例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算32a =，那么33log 82log 6-用a 暗示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM 的值为（）A 、41B 、4 C 、1 D 、4或1732log [log (log )]0x =，那么12x-等于（）A 、13B D 例21.2log 13a <，则a 的取值范围是（）A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性子例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（） A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x=D 、2log (45)y x x =-+2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（） A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称 )()lg f x x =是（奇、偶）函数.课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c,假如a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )2.对抛物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的说法不正确的是（）A ．抛物线的外形相反B ．抛物线的顶点相反C ．抛物线对称轴相反D ．抛物线的开口方向相反3. 二次函数y=221x x --+图像的顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（）5．假如抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（）A ．0B ．6C ．3D ．96.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=(ab)x 的图象可能是 （）8．若函数f(x)＝(a －1)x2＋(a2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数9．已知函数y ＝x2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2]10、使x2＞x3成立的x 的取值范围是（ ）A 、x ＜1且x≠0B 、0＜x ＜1C 、x ＞1D 、x ＜111、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A 、d ＞c ＞b ＞aB 、a ＞b ＞c ＞dC 、d ＞c ＞a ＞bD 、a ＞b ＞d ＞c12．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不克不及确定13．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不克不及成立的是A ．00a b >⎧⎨>⎩B ．00a b >⎧⎨<⎩Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩14．若函数f(x)＝log 12(x2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞)15、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是（）A 、∅B 、TC 、SD 、无限集16、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（）A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 17、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>18、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（）A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a <<19、计算lg52lg2)lg5()lg2(22•++等于（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、320、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 暗示是（）A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a --21、已知幂函数f(x)过点（2），则f(4)的值为（）A 、12B 、 1C 、2D 、8二、填空题1.抛物线y ＝8x2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.23-=x y 的定义域为___________.()()12m f x m x +=-，假如()f x 是反比例函数，则m=____ ,假如()f x 是反比例函数，则m=______,假如f(x)是幂函数，则m=____． 14(1)x --故意义，则x ∈___________．35x y <=___________．25525x x y ⋅=，则y 的最小值为___________． 7、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===.8、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是.9、2lg 25lg 2lg50(lg 2)++=.1622<-+x x 的解集是__________________________.282133x x --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是__________________________.103,104x y ==，则10x y -=__________________________.13、已知函数3x log x (x 0)1f (x),f[f ()]2(x 0)9>⎧=⎨≤⎩，则，的值为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点三、简答题2、已知幂函数f （x ）＝23221++-p p x （p ∈Z ）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）、222(3)lg 6x f x x -=-，(1)求()f x 的定义域；(2)判别()f x 的奇偶性. a R ∈，22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数. 5. 已知函数x 121f (x)log[()1]2=-，（1）求f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的增减性.。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们在数学和科学领域应用广泛，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍基本初等函数的定义、性质和应用，以帮助读者全面理解和掌握这些知识点。
一、常数函数常数函数是指函数的函数值始终保持不变的函数。
它的定义域是全体实数，通常表示为f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平的直线，平行于x轴。
无论自变量取何值，函数值始终为常数。
常数函数在数学中的应用较少，但在物理、经济学等学科中有时会用到。
二、幂函数幂函数是指自变量的指数和函数值之间的关系为幂关系的函数。
幂函数的表达式可以写作f(x) = x^a，其中a为实数。
幂函数的图像形状与指数a的正负、大小有关。
当a为正数时，函数图像是递增的曲线；当a为负数时，函数图像是递减的曲线；当a为0时，函数图像是一条常数函数的直线。
三、指数函数指数函数是自变量为指数的函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
指数函数在经济学、生物学、物理学等领域有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指自变量和函数值之间的关系为指数关系的函数。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
对数函数在科学计算、数据处理等领域被广泛运用。
五、三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
三角函数的图像是周期性曲线。
它们的性质和图像形态与角度或弧度的取值范围有关。
三角函数在物理学、几何学、信号处理等领域具有重要应用价值。
函数知识及基本初等函数知识总结
函数知识及基本初等函数知识总结
函数是数学中重要的概念，它是建立在实際对象之间的一对一的对应关系，具有某种规律的集合各分量的顺序数组，包括几何图形、代数表达式和函数图像。
一般来说，函数可以分为两种：初等函数和非初等函数。
（1）初等函数
初等函数指由乘法、连加、幂等、乘方、根号及其组合而成的函数，常见的初等函数有常数函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
（2）指数函数
指数函数是指函数中变量作为指数项的函数。
指数函数y=ax，其中a是常数，x是变量。
它是当变量为1时，函数值等于a来定义的。
指数函数y = ax 的导函数为y'= axln a。
（5）根号函数
根号函数是指上限可以达到无穷的幂函数。
函数y=x^(1/n)，其中n是常数，x是变量。
根号函数y=x^(1/n)的导数为y'= 1/nx^((1/n)-1)。
以上就是初等函数的简介，初等函数包含常数函数，指数函数，对数函数，幂函数，根号函数这五类基本函数，其中又以指数函数、对数函数和幂函数最为常用。
初等函数是由乘法、连加、幂等、乘方、根号及其组合而成的函数，它们满足变换群的性质，可以通过函数变换求解问题，是应用数学中的重要内容。
(整理)基本初等函数教案.
第二章 基本初等函数2.1指数和指数函数考点回顾：1．幂的有关概念(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n 个(2)零指数幂)0(10≠=a a(3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -*=≠∈(4)正分数指数幂)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂)10,,,1mnm naa m n Nn a-*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,rsr sa aaa r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。
(2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a nn =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a a a aa a nn②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 课堂练习: 1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数2． (2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－33． (2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1D ．b >1>a >04． (2010·辽宁，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．1005．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( ) A ．a 3＋a 7>2a 5 B ．a 3＋a 7<2a 5 C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关6． (2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,4) C ．(12，2)D ．(0,1)7. (2010·北京东城区)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x x ≤0f (x －1)－f (x －2) x >0，则f (－1)＝______，f (33)＝________.8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．9．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围．2.2对数和对数函数 1.对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2.对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3.对数的运算性质N M MN ①a a a log log log +=N M NM②a a alog log log -= M n M ③a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>04.对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且5.指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象：1、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制2、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
基本初等函数讲义(全)
一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=．三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．四、指数函数（1）根式的概念如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即l o g eN （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+C. ()2312y x =+-D.()2312y x =-+---例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件： （1）()()11f x f x +=-； （2）()f x 的最大值为15； （3）()0f x =的两根立方和等于17 求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．222x mx m -++例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（）A、12C、—12例12.等于（） A 、 B 、C 、 D 、例13.若53,83==ba ，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M ∩P （） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥4416a 8a 4a 2a例15.求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -=（2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ()A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4)例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 例20.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）A 、13B C D 例21.2log 13a<，则a 的取值范围是（） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（）A 、12log (1)y x =+B、2log y =C 、21log y x =D、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（） A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.函数)()lgf x x =是（奇、偶）函数。
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1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数
1函数 （μ 是常数） 叫做幂函数。
2幂函数的定义域，要看μ 是什么数而定。
但不论μ 取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。
3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-551015
4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数； 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.
②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方.
1.1.2 指数函数与对数函数
1．指数函数
1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。
2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方，
且通过点(0,1)。
若a>1，指数函数是单调增加的。
若0<a<1，指数函数
是单调减少的。
a ＞1
0＜a ＜1
图 象
性 质
(1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过点(0，1) (4)在R 上增函数
(4)在R 上减函数
有理指数幂的意义、幂的运算法则：
①m
n
m n
a a a
+⋅=；②()m n mn
a a
=；③()n n n
ab a b =（这时m,n 是有理数）
分数指数幂：n
m
n m
n n
n m n
m n
n
a
a a
a
a a a a 1
,1,,1====
-
-。
2．对数函数
由此可知 ，今后常用关系式 ，
如：
指数函数的反函数，记作 （a 是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。
它的定义域是区间(0,+∞ )。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x 对称（图1-22）。
的图形总在y 轴上方，且通过点(1,0)。
若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )
内函数值为正。
若0<a<1，对数函数是单调减少的，在开区间(0,1)内函数值为正，而在区间(1,+∞ )
内函数值为负。
[如图]
对数函数的图象和性质
a >1
0<a <1
图
象
1
1
1
1
性 质
定义域：（0，+∞） 值域：R
过点（1，0），即当x ＝1时，y ＝0 x ∈（0，1）时y ＜0 x ∈（1，＋∞）时y ＞0 x ∈（0，1）时y ＞0 x ∈（1，＋∞）时y ＜0
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
重要公式：
⑴负数与零没有对数； ⑵log a 1＝0，log a a ＝1
⑶对数恒等式N a
N
a =log
(4) log a a b ＝b 运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；
(2)log a M
N ＝log a M －log a N ；
(3)1
log log ;log log n
n a a a a M n M M M n
==
对数换底公式：
log a N ＝log m N
log m a (a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0)
1.1.3 三角函数与反三角函数 1．三角函数
，奇函数、有界函数、周期函数 ；
，偶函数、有界函数、周期函数 ；
，
的一切实数，奇函数、
周期函数
，
的一切实数，奇函数、
周期函数
；
，
；；
正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞ )，值域都是必区间[-1,1]。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
[如图]
；。
双曲函数与反双曲函数
双曲正弦：，奇函数，单调增函数；
双曲余弦：，偶函数，时，单调减，时，单调增；
双曲正切：，奇函数，单调增函数。
函数的图形见书P27~P28。
下面公式成立
，
，
，。
反双曲正弦
反双曲余弦，
反双曲正切
函数图形的变换
平移
①由的图形，作的图形。
图形右移，，图形左移。
如：由图形作的图形。
由的图形作的图形。
②由的图形作的图形。
，图形上移，，图形下移。
如：由的图形作的图形。
翻转
①由图形作的图形。
（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。
②由图形作的图形。
（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。
迭加与放缩（略）。