数学协作体夏令营讲义(羊明亮)
2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析
2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析一、前言2018年协作体数学奥林匹克夏令营，作为一项具有挑战性和深度的数学活动，吸引着全国各地优秀的数学爱好者参与。
其中，o水平解析作为该夏令营的重要内容之一，具有一定的难度和复杂性。
本文将深入剖析2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析的相关内容，帮助读者更加全面、深刻和灵活地理解这一主题。
二、o水平解析的基本概念o水平解析是指在数学奥林匹克竞赛中，对o水平题目进行深入剖析，探讨解题思路和方法，以及解题过程中可能遇到的困难和技巧。
这需要对数学知识有着深厚的理解和灵活的运用，同时也需要具备较强的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在2018年协作体数学奥林匹克夏令营中，o水平解析更是成为了参与者们深入思考和探讨的热点之一。
我们将对该夏令营中的o水平解析进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解这一主题。
三、解析题目和思路在2018年协作体数学奥林匹克夏令营中，o水平解析的题目主要涉及到数论、代数、几何等多个领域。
我们先从数论领域的题目入手，逐步深入探讨其中的解题思路和方法。
1. 数论题目解析题目：已知整数序列$${a_n}$$满足$$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，且$$a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{(-1)^n}{a_n}$$，证明：对于任意的正整数$$n$$，$$a_n$$都是正整数。
解析思路：首先我们可以递归地计算出数列$$a_n$$的前几项，观察规律。
可以假设$$a_k$$是正整数，再来证明$$a_{k+1}$$也是正整数。
通过数学归纳法证明，最终得出结论。
2. 代数题目解析题目：设$$a,b,c$$是非负实数，且$$a+b+c=1$$，求证：$$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc \leq 1$$。
解析思路：这是一个典型的不等式证明题，可以通过各种方法进行证明，如洛必达法则、绝对值法、柯西不等式等。
2011协作体夏令营资料模拟题6-10
2 tan 2 4 2 8 tan 2 1 2 tan
2 y 2 3x 2 2 2 2 2 2 又由 得 x (3 2 tan ) (4 tan ) x 2 tan 2 0 y ( x 1) tan 2 3 0 得 tan 2 3 [ , ] [ , ] 4 3 3 4 4. 3,11 ；
( x1 , x2 ,, x10 ) （ x1 , x2 ,, x10 的值可以相同） ，而由这一组数值构成的集合 C ，或者 C A ，或者 C B .
模拟试题六参考答案
3
一
试
1. ； 3
解析：因 x 为锐角，则 cos x 0 ，方程两边同时除以 cos x 得
2sin x tan x tan x 2sin x 3 即 2sin x 1 tan x 1 2
3．设 k N ，定义 A1 1 ， An 1
4 ． 求 最 小 的 正 整 数 n ， 使 得 把 集 合 M {1,2,, n} 任 意 划 分 成 两 个 子 集 A, B （ A B , A B M ） ， 方 程 x1 x2 x9 x10 至 少 存 在 一 组 正 整 数 解
9
a0 1000, k 1时，a0 225
8. 29 解析：每一平行六面体被所指定的 1 个顶点和 3 个中截面所在平面唯一确定。对于给定 的 4 个点，存在 7 个到这 4 个点等距的平面。从这 7 个中任取 3 个，再排除那些平行于 某一直线的三平面组共 8.
2 3 C4 6 ,C7 6 29
又
f ( x) 2sin x 1 tan x 1 在 0, 内严格单调递增 2
2019协作体数学奥林匹克夏令营
2019协作体数学奥林匹克夏令营A/K平测试1.设〃是给定的不小于3的禁教.求最大的正实数C = C（n）,使得不等式对任意正实数01,02,*•t«n 均成立.2.如图倒31,32相交于点4B，阅31的圆心O在惻32上，过点O作直线AB的垂线，与线段AB相交于点S,延长OS与圆32相交于点P. /.ASP的平分线交惻5于点L （点A,L在直线OP 的同侧），点K在圆皿上，使得PS = PK （点A,K在直线OP的同侧）.求证：SL = KL .3. 已知{a n}^是严格递增的正整数数列.证明：存在无穷多个素数“，使得存在互不相同的正整数槌,A 满足p\di +（ij + ak .4. 设几是给定的不小于4的偶数.在平面宜角坐标系xOy中，点集A={（Z,I/）|T, 1/ € （1,2, ♦ >n}}.”2亠将/中的“2个点任意地配成对，每对两个点之间连一条直线（己有的直线不再重复作）.用r 表示这些宜线的全体，井用«（r）表示r中任意两条直线的夹角的最大偵.求a（r）的最小正位.2019协作体数学奥林匹克夏令营O水平测试1. 己知"佔是不同的实数，使得关于X的一元二次方程F + a + 3b = 0 与x2 + bx + 3〃= 0有一个公共根，则〃 +力=・2. 函数/(%) = (x + a)(|x-a| + |x- 2019|)的图像为中心对称图形.则实数a的值为・3. 己知肩，亓是两个非零向量.且同=2,|尻+ 2吊=4,则肺+亓| +间的最大值为・4. 方程4sinx + 2sin2x = 3 V5的解集是・5. 数列0｝定义如下：们=1, a n = 5外_] + 3”一\〃 = 2,3,…,则血卬除以3所得的余数是.6. 设非负实数a,b,c满足o + b + c=l.则V2«+ + V6c的最小值为.最大值为是.7. 全国高中数学联赛一试由8道填空题和3道解答题组成.其中填空题每题8分；解答题分步给分，第1道解答题16分-分4步-每步4分; 第2和第3道解答题均为20分.分四步每步5分.批阅解答题时规定-若第〃步不得分则第m步(m >n)也不得分.现知某生恰好考了10。
奥数夏令营讲义之平面几何(8)欧拉定理、欧拉线、欧拉圆
八、欧拉定理、欧拉线、欧拉圆1. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，A '，B '，C '分别是三边上的切点，证明：A B C '''△的欧拉线平分斜边AB .证明：如图，联结OA′，OB′，OC′. 直线OC 交AB 、A ′B′于N 、S ，易知四边形A 'CB′O 为正方形. 则CS ＝SO . SA′＝SB′. △A′B′C′的重心G 在中线C′S 上.设△A′B′C′的欧拉线GO 交斜边AB 于点M ， 观察△SNC′及直线MOG . 利用梅涅劳斯定理得： SO ON ·NM MC′·C′G GS ＝1 …………① 令BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c .由三角形内心性质有CO ON ＝a ＋b c ，但SO ＝12CO ，所以SO ON ＝a ＋b2c ，NC′＝AC′－AN ＝b ＋c －a 2－bca ＋b ＝(b －a )(a ＋b －c )2(a ＋b )，令MN ＝x ，代入①有a ＋b 2c ·xx ＋(b －a )(a ＋b －c )2(a ＋b )·2＝1，即(a ＋b －c )x ＝c (b －a )(a ＋b －c )2(a ＋b )所以x ＝bc －ac 2(a ＋b )，故AM ＝AN －x ＝bca ＋b －bc －ac 2(a ＋b )＝c (a ＋b )2(a ＋b )＝12c ＝12AB ，故结论成立.2. 如图，圆O 、圆I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，圆O 半径为R ，圆I 半径为r ，圆I分别切AB 、AC 、BC 于点F 、E 、D ，若M 为△DEF 的重心，试求IMOM的值(其中R ≠2r ).解：取△DEF 的垂心H ，设DH ， EH ， FH 分别交⊙I 于A '、B '、C′.则∠HA′C '＝∠DFC′＝∠DEB′＝∠DA 'B′. 同理∠HC 'A '＝∠HC 'B '. 故H 为△A 'B 'C′的内心. 注意到D 是弧B′DC′的中心，则ID ⊥B 'C '. 又ID ⊥BC ，所以B 'C '//BC .同理A 'B '//AB ， A 'C '//AC ，所以△A 'B 'C '∽△ABC .而O 、l 分别是△ABC 的外心和内心，I ， H 分别是△A 'B 'C′的外心和内心.所以OIIH ＝k ，k 为△ABC 与△A 'B 'C '的相似比.又k ＝R r ，则OI IH ＝Rr .又OI ， IH 为△ABC 与△A 'B 'C '中的对应线段.则OI 与BC 所成的角等于IH 与B 'C′所成的角，则O ，I ，H 共线. 又由欧拉定理知△DEF 中，I ，M 、H 分别为外心、重心和垂心. 所以IM MH ＝12，IM IH ＝13从而OM ＝OI ＋IM ＝R r ·IH ＋IM ＝(3·R r ＋1)·IM ， 故IM OM ＝r3R ＋r3. 如图，设为的垂心，为边的中点，为的中点. 过作的垂线交于，交的延长线于. 求证：，，，四点共圆.证明：设的外心为，连，取的中点，则为九点圆的圆心.连，则，从而. 设为的中点，连，则，由此知. 又，则.从而. 故，，，四点共圆.4. 过锐角ABC △的顶点A 、B 、C 的三条高线分别交其对边于点D 、E 、F ，过点D 平行于EF 的直线分别交AC 、AB 于点Q 、R ，EF 交BC 于点P . 证明：PQR △的外接圆过BC 的中点.证明：由题设，点的存在意味着. 由对称性，可设，则在射线上， 如图. 取的中点，我们证明，，，四点共圆 ①H ABC △L BC P AH L PL AB G AC K G B K CABC △O OH OH V V ABC △A AO AO PV ∥AO GK ⊥N AB ON ON AG ⊥AON AGL ∠=∠ACL AON ∠=∠ACL AGL ∠=∠BGL BGK KCL KCB ∠=∠=∠=∠B KC G P AB AC ≠AB AC >P BC 79-BC L Q P R L ⇔DR DQ DP DL ⋅=⋅A FEPR CBD因于，于，则，，，共圆，于是知. 又，有，则知，，，四点共圆，从而 设，，，则证①式等价于证明， 即，亦即.由九点圆定理，知，，，四点共圆，有. 注意到，，，四点共圆，有，故得，即，亦即. 故有，亦有.亦即，，，四点共圆，即的外接圆过的中点.5. 如图，在锐角△ABC 中，边BC 为最小边，点O 、G 、I 、H 分别是它的外心、重心、内心、垂心.当OG ＝GI ＝IH 时，求cos A 的值.解：由欧拉线定义知外心O 、重心G 、垂心H 三点共线，由欧拉线性质知OG ：GH ＝1：2.可知I 是GH 的中点，即点I 在欧拉线OH 上 如图，联结OB . OC ，作OM ⊥AB ，垂足为M . 易证∠BOM ＝ ∠ACB ，则有∠OBM ＝∠CBH .但BI 平分∠ABC ，故BI 平分∠OBH ，同理，CI 平分∠OCH因为OB HB ＝OI IH ＝OCHC ，则有HB ＝HC ，于是，∠BCH ＝∠HBC ，进而，90°-∠ABC ＝90°-∠ACB ，即∠ABC ＝∠ACB ， 所以，AC ＝AB 故△ABC 是等腰二角形，BC 为底边由于△OBH ≌OCH ，所以，OH 平分∠BOC . 从而，OH ⊥BC 于D ， 易证Rt △BOM ∽Rt △BHDBE AC ⊥E CF AB ⊥F B C E F CEP ABC ∠=∠EF QR ∥CEP CQD ∠=∠B Q C R DR DQ DB DC ⋅=⋅BL CL a ==CP c =DL b =DB DC DP DL ⋅=⋅()()()a b a b a c b b +⋅-=+-⋅()2a b a c =+D E F L PE PF PD PL ⋅=⋅B C E F PE PF PC PB ⋅=⋅PC PB PD PL ⋅=⋅()()()2c a c a c b b a +=+-⋅+()2a b a c =+DB DC DP DL ⋅=⋅DR DQ DP DL ⋅=⋅Q P R L PQR △BC则BM BD ＝OB HB ＝OI IH ＝2，所以AB AC ＝BM BD＝2 故AB ∶AC ∶BC ＝2∶2 ∶1， 由余弦定理：cos A ＝78.6. 试证：的垂心与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分.证明：如图，过垂心作外接圆的两条弦，，连，.设，，，分别为，，，的中点，则 ，. 又，则.故，，，四点共圆，由，的任意性，得与外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，由于这个圆过，，的中点，故这个圆就是的九点圆，从而命题获证.ABC △H73-H ABC △DE FG DF EG E图7-3STG DAM HCN F BM N S T HD HE HF HG FDH SMH ∠=∠EGH NTH ∠=∠FDH EGH ∠=∠SMH NTH ∠=∠M S T N DE FG H ABC △HA HB HC ABC △7. 如图，在中，是边上的高，，分别是，两边的中点，设直线通过点，且在上的射影为，连与交于点. 求证：，，，四点共圆，且其圆心与点均在的九点圆上.证明：，，，. 在中，为斜边的中点，令，则.同理，，. 令，则. 于是，， 故.由此，知，，，四点共圆.而的外接圆即为的九点圆，即点在的九点圆上. 由，，，四点共圆，连，则知. 同理，. 于是，， 故，，，四点共圆.由题设，的圆心为，连，，则. 由于，，，四点共圆且以为其圆心，则知. 于是，有，，，，，四点共圆.在上，即在的九点圆上，故命题获证.ABC △AD BC M N CA AB l A BC l B C ''B N 'C M 'P B 'C 'D P O P ABC △CBB 'CC 'ND MD Rt AB B '△N AB 1BAB '∠=∠1NB A '∠=∠P O NMDBAC '21l 图7-6B'CNAD NDA ∠=∠ MAD MDA ∠=∠2CAC '∠=∠2MC A '∠=∠12NB A MC A ''∠+∠=∠+∠180A =︒-∠()180MPN NB A MC A ''∠=︒-∠+∠180(180)A A =︒-︒-∠=∠NAD DAM NDA ADM MDN =∠+∠=∠+∠=∠D M N P MND △ABC △P ABC △A B 'B D B D '901B DA B BA ''∠=∠=︒-∠902C DA C CA ''∠=∠=︒-∠18012B DC B DA C DA A MPN B PC ''''''∠=∠+∠=︒-∠-∠-∠=∠=∠B 'C 'D P B C DP ''O DO PO 2DOP DB P '∠=∠A B 'B D N NB ND '=2DNP DB P '∠=∠DOP DNP ∴∠=∠D ∴O P N O ∴DPN O ABC △8. 已知O 、I 分别是ABC △的外接圆和内切圆. 证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF △的外接圆和内切圆.证明：过D 点作圆I 的两条切线与圆Ｏ相交于Ｅ，Ｆ，下面只需证明EF 与圆Ｉ相切，即证I 是△DEF 的内心，也只需证MI =ME 即可. 由Euler-Chapple 公式及圆幂定理知，，则.9. 在△ABC 中，BC 中点M ，外心O ，垂心H ，HB 、HC 分别交OA 于E 、F ，△HEF 的外心为T .求证：A ，T ，M 三点共线.证明：易知△HEF ∽△ABC ，且AH 为△HEF 外接圆的切线 作△ABC 外接圆的切线AP ，则∠EAT =∠BPO . (相似三角形对应边所夹角相等，其中AH 和AP 是对应边)222sin rRr R OI DI IM IM IDE=-=⋅=⋅∠2sin IM R IDE ME =∠=B又O ，M ，P ，A 四点共圆，则∠BPO =∠EAM ⇒∠EAT =∠EAM ，故A ，T ，M 三点共线.10. 锐角△ABC ，高AD 、BE 、CF ，EF 交AD 于G ，EF 中点M . 求证：B ，C ，G ，M 四点共圆.证明：设FE 交BC 与点P . 取BC 的中点.由E ，F ，B ，C 四点共圆，得;由E ，F ，N ，D 四点共圆（△ABC 的Euler 圆），得； 由N ，M ，E ，D 四点共圆，得; 因此，，即B ，C ，G ，M 四点共圆.PC PB PE PF ⋅=⋅PE PF PD PN ⋅=⋅PE PF PG PM ⋅=⋅PC PB PD PN ⋅=⋅。
超级数学竞赛讲义专题5-8
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第五讲 平面几何解题方法介绍
湖南师范大学附属中学 羊明亮
知识与方法
数学竞赛中常用的著名定理有：梅涅劳斯定理及其逆定理、塞瓦定理及其逆定理、 托勒密定理（不等式）、西姆松定理及其逆定理、欧拉定理，另外，还用到斯特瓦尔定理、 蝴蝶定理等.
除了上述定理外,我们还应掌握有关根轴、完全四边形、调和四边形、调和线束（点 列）等相关内容和灵活运用 ;此外,也要掌握一些非纯平面几何解题方法:
于是 sin(x y) sin( ) sin( ) 2cos sin ,
即 sin cos(x y) cos sin(x y) 2cos sin . (1)
由对称性,同理可得
sin cos( y x) cos sin( y x) 2cos sin . (2)
(1) sin (2) sin , 可 得 s i n sxiny ( , )而 s0in 0 , 所 以
s i nx ( y ),从而0 x y .代入(1)中, sin 2cos sin ,于是 cos 1 ,则 600 . 2
所以 A 1800 2( ) 60 .
⑦ S 2R2 sin Asin B sin C;
⑧ S p( p a) tan A p( p b) tan B p( p c) tan C , P 1 (a b c).
2
2
22
范例选讲
例 1 设 P 为 ABC 的一个内点, PA, PB, PC 分别交边 BC,CA, AB 于 D, E, F .
GH SOGH OG OH sin GOH . FH SOFH OF OH sin FOH 上两式相乘,即得 EF GH sin EFO sin HOG .
又 由 A P P C, AQ QD 及 O 为 AF 的 中 点 , 知 O 为 APQ 的 外 心 , 从 而
2014年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营讲义(教师版含答案)
2014年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营讲义（一）平面解析几何讲义一、平面几何背景下的解析几何问题 （一）解法思想：充分利用平面几何中的几何性质,合理而恰当地把几何特征表示为代数形式,以几何直观为导向,运用代数工具和相应的方法进行推理或论证,达到解题目的．（二）例题选讲：例1．在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cos C 有最小值为257. （I ）建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.（II ）过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点,求||||BN BM ⋅的最小值.解析（I ）设||,||CA m CB n ==,则222236()236()36cos 1222m n m n mn m n C mn mn mn+-+--+-===-．设定值m n d +=,则222222363627272cos 111122()2d d d C m n mn d d ---=-≥-=-=-+,所以2727125d -=,解得10d =． 把,A B 两点放在x 轴上（点A 在左）,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系．则据椭圆定义可得顶点C 的轨迹方程为2212516x y +=． （II ）设点,M N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则22121212||||()()()BM BN a ex a ex a c x x e x x ⋅=--=-++．当直线MN 的斜率不存在时,12x x c ==-,此时22221156||||225BM BN a c c e ⋅=++=； 当直线MN 的斜率存在时,设其方程为()y k x c =+,代入椭圆方程中得 22222222222()20b a k x ca k x a k c a b +++-=可得222222212122222222,ca k a k c a b x x x x b a k b a k-+=-=++,所以 22224222222422222222222()||||c a k k c c b k a c b BM BN a b a k b a k b a k -++⋅=++=+++令222b a k t +=,则2222222242()()||||a c t b a c a b BM BN a t+-++⋅= 222222222222()()34167562525a c b a b a c a a t t+-+=+⋅=-⋅．因为2222162516t b a k k =+=+≥,所以2341675640016252525t -⋅≥=,即得||||BN BM ⋅的最小值为16,此时0k =．例2．设F 是椭圆2212516x y +=的一个焦点,A 是椭圆上距离点F 最远的一个顶点,在椭圆的短轴BC 上取互异的2013个点(1,2,,2013)i P i =,设直线i FP 交线段或于点M ,直线AP 交线段或于点i N ．试问：直线(1,2,,2013)i i M N i =解析：如图示,设点m P 的坐标为(0,)m y ,||||||1||||||m m m m BP AM OF P O FA M B ⋅⋅=,可得||8||3(4)m mm m AM y M B y =-,坐标为15(4)32(,)512512m mm m y y y y -++．同理可得点m N 的坐标为15(4)32(,)320320m m m m y y y y --++,所以直线m M m N 的斜率为815(4)mm y y -+,可得其直线方程为32815(4)()32015(4)320m m m m m m y y y y x y y y ---=++++．令0y =,则4530015(320)15320320m m m m y y x y y ++===++,这说明直线m M m N 经过定点(15,0),而定点(15,0)在椭圆外部,可见任意两条直线(1,2,,2013)i i M N i =都相交,且交点均为(15,0),说明这2013条直线任两条直线在椭圆内部均不可能相交,于是它们把椭圆可分成2014块．例3．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于,A B 两点（如图所示）,且)2,23(P 在直线l 的上方．（I ）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（II ）若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解析（I ）分析：易计算出以点P 为切点的椭圆的切线的斜率为13-,由此可知以点P 关于x 轴的对称点为切点的椭圆的切线的斜率为13．可见斜率为13的直线l 在平移过程中与椭圆相切时恰好是上面的切线,由此可猜想直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数,下面给予验证：设直线l 的方程为13y x b =+,点,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把直线方程代入椭圆方程中可得22269360x bx b++-=,即得212129363,2bx x b x x-+=-=．因为PAk=PBk=两式相加=因为11221133y x b y x b=+=+,所以12121((3y x x b x-=+-12121(3x x b x b=+-,21211((3y x x b x-=+-12211(3x x b x b=+-,于是122112122((()3y x y x x x b x x b-+--=+-+-23123(0b b b b=----=．所以0PA PBk k+=．于是PAB∆的内切圆的圆心一定在直线x=（II）因为︒=∠60APB,所以直线PA,可得直线PA的方程为y x=-+代入椭圆方程中得2142340x x-+-=,由韦达定理可得点A．故由弦长公式可得|||1477PA-+=-==．同理可求得1)||7PB=．所以,△PAB的面积为111826||||sin602249PA PB⋅⋅︒=⋅=例4．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>,12,A A分别为椭圆的左、右顶点,12,F F分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11221122,,,QA PA QA PA RF PF RF PF ⊥⊥⊥⊥,试确定线段QR 的长度与b 的大小关系,并给予证明．解析：如右图示,据题意可知12,,,P A Q A 四点共圆,又原点O 为该圆的弦12A A 的中点,则据圆的性质可得该圆的圆心在y 轴上；又PQ 为该圆的直径,所以线段PQ 的中点在y 轴上．同理,线段PR 的中点也在y 轴上．所以,点,Q R 的横坐标相等,且为点P 的横坐标的相反数．设点P 的坐标为00(,)x y ,则可设点,Q R 的坐标分别为01(,)x y -和02(,)x y -,且12||||QR y y =-． 据题设,1212tan tan A PA AQA ∠=-∠,则据直线的到角公式有001100000011000011y y y yx a x a x a x ay y y y x a x a x a x a---+-+=+⋅+⋅-+-+,即012222220001y y x y a x y a =+-+-,整理得22010x a y y -=．同理可推得22020x c y y -=．于是222220021000||||||x c x a b y y y y y ---=-=．由于00||y b <≤,所以20||b b y ≥,即得线段QR 的长度不小于b ．又解：设点P 的坐标为00(,)x y ,则可得直线1A Q 的方程为00()x ay x a y +=-+；同理可得直线2A Q 的方程为00()x a y x a y -=--,两方程联立可得点Q 的坐标为22000(,)x a x y --． 同理可得点R 的坐标为22000(,)x c x y --．于是得20||||b QR y =． 因为00||y b <≤,所以20||||b QR b y =≥,可得线段QR 的长度不小于b ．二、向量条件下的曲线的弦问题 （一）题型特点及解法思想：当直线与曲线相交但不相切,此时将产生曲线的一条弦,围绕着这条线弦展开的问题,我们把它称为曲线的“弦问题”．解决这类问题的基本思想是联立方程组,运用二次方程的有关知识加以解决．在曲线的“弦问题”中,时常把题中的条件通过向量的形式给出,或以向量为背景来设置问题．解决这种问题时,可以从两个方面来考虑向量知识的运用,一是运用向量的坐标表示形式解题,这与解析法一脉相承；二是运用向量的几何意义解题,即通过向量来揭示所研几何图像的几何性质,再运用数形结合的思想解题．（二）例题选讲：例5．点A 在直线y kx =上,点B 在直线y kx =-上(0)k >,且A 、B 两点在y 轴同侧,并满足2||||1OA OB k ⋅=+．（I ）求AB 中点M 的轨迹C ；（II ）若曲线C 与抛物线22(0)x py p =>相切于两点,求证这两个切点分别在定直线上,并求切线方程． 解（I ）设点A 的坐标为11(,)t kt ,点B 的坐标为22(,)t kt -,则1||||OA t →=2||||OB t →=所以有12||1t t =,由于A 、B 两点在y 轴同侧,所以121t t =．设AB 的中点M 的坐标为(,)x y ,则12122()2t t x k t t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,整理得22122y x t t k -=,即得2221y x k -=．所以点M 的轨迹C 的方程为2221y x k-=,可知轨迹C 是以直线y kx =和y kx =-为渐近线的双曲线．（II ）联立22x py =与2221y x k -=,得2221y py k-=,即22220y pk y k -+=,可知该关于y 的二次方程有两个相同的正根,即得242440p k k -=,即221p k =,即得1pk =．此时切点的纵坐标为2pk ,可得两切点坐标为2(,)pk ,即()k．由此可知两个切点分别在定直线x =x =当切点坐标为)k 时,切线的斜率为p,切线方程为y k x p -=,10py --=；当切点坐标为()k 时,切线的斜率为p -,切线方程为(y k x p-=-+,10py ++=． 例6．设直线:l y kx m =+（其中,k m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点,A B ,与双曲线221412x y -=交于不同两点,C D ,问是否存在直线l ,使得向量0AC BD +=,若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由．解析 设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,,C D 两点的坐标分别为33(,)x y 和44(,)x y ,则由0AC BD +=可得1234x x x x +=+．把直线l 的方程代入椭圆方程中可得222(34)84480k x kmx m +++-=,于是122834kmx x k+=-+,且2212160k m +->． 把直线l 的方程代入双曲线方程中可得222(3)2120k x kmx m ----=．因为k 为整数,所以230k -≠,于是34223km x x k+=-,且221240m k +->． 由1234x x x x +=+可得2282343km kmk k -=+-,于是当0k =时,需2120m ->且2120m +>,即m -<<,这样的有序整数对(,)k m 共有7个,此时,共有7条满足题设的直线；当0m =,0k ≠时,需212160k +>,且21240k ->,即k <<这样的直线共有2条；当0m ≠且0k ≠时,2282343km kmk k -=+-即123-=,不能成立,此时没有满足题设的直线．综上,存在直线l ,这样的直线有9条．例7．已知椭圆1222=+y x ,过定点(1,0)C 两条互相垂直的动直线分别交椭圆于Q P ,两点．21,F F 分别为左右焦点,O 为坐标原点．（I ）求||21PF PF +的最小值；（II ）当向量21PF PF +与21QF QF +互相垂直时,求Q P ,两点所在直线的斜率．解析（I ）因为122PF PF PO +=,所以只需求||PO 的最小值．显然min ||1PO b ==,所以||21PF PF +的最小值为2．（II ）由21PF PF +与21QF QF +互相垂直可知OP OQ ⊥．又CP CQ ⊥,所以PQ 是两个直角三角形POQ 和PCQ 的公共斜边,即得线段PQ 的中点到,O C 两点的距离相等,即线段PQ 中点的横坐标为12． 法1：设Q P ,两点所在直线的斜率k ,线段PQ 的中点坐标为01(,)2y ,则有2020014b x k a y y =-=-．故可设直线PQ 的方程为01()2y y k x -=-,即11()42y k x k +=-,代入椭圆方程中可得2212()2024k x kx k+---=,即2222213(12)(21)()0282k k x k x k +-+++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则42122241218(12)k k x x k k -+=+,而121x x +=,所以424221212122211412114()()()24248(12)16k k k k k y y k x x k x x k k k k-+-=-++++=++ 4222284116(12)k k k k -++=+． 因为12120x x y y +=,所以424222224121284108(12)16(12)k k k k k k k k -+-+++=++,可得42202030k k --+=,即得2510k -+=,即k =法2：设直线PQ 的方程为y kx b =+,代入椭圆方程中得222(12)4220k x kbx b +++-=． 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122412kb x x k+=-+．而121x x +=,所以2124k kb +=-——（1） 另一方面,21222212b x x k -=+,于是222222121212222()12k b k y y k x x kb x x b kb b k -=+++=+++． 因为12120x x y y +=,所以2222222222201212b k b k kb b k k--+++=++,即得 22322422320k b k b k b kb +-++-=——（2）由（1）（2）消去b 可得42202030k k --+=,于是k =法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+,代入椭圆方程中得222(12)4220k x kbx b +++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122412kbx x k+=-+,21222212b x x k -=+． 一方面,由12120x x y y +=,因222212121222()12k b y y k x x kb x x b k -+=+++=+,故得2222222201212b k b k k--++=++即223220b k --=——（1） 另一方面,由1122(1,)(1,)0x y x y -⋅-=可得121212()10x x x x y y -+++=,因此有222222224210121212b kb k b k k k--++++=+++即23410b kb +-=——（2）由（1）（2）消去b 可得42202030k k --+=,于是k =法4：设||,||OP m OQ n ==,则有2222111132m n a b +=+=,即得222232m n m n +=,可知原点O 到直线PO 的距离为3．故设直线PQ 的方程为cos sin 3x y θθ+=,代入椭圆方程可得22224(sin 2cos )cos 2sin 03x θθθθ++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122243sin 2cos x x θθθ+=⋅+,而121x x +=,所以223sin 2cos θθθ=+,即23cos 30θθ-+=,解得cos θ=,于是得cot =,即斜率为k =三、曲线的切线问题（一）题型特点及解法思想：这里的曲线通常是二次曲线,其切线是指与曲线有两个相同的交点的直线,解题的基本思路是联立方程组,运用判别式等于0来体现切线特点．当然,还可以从导数的角度来分析切线,并运用导数工具研究切线．（二）例题选讲：例8．过直线l ：57700x y --=上点P 作椭圆221259x y +=的切线PM 、PN ,切点分别为M 、N ,联结MN ．（I ）当点P 在直线l 上运动时,证明：直线MN 经过定点Q ； （II ）当//MN l 时,证明：定点Q 平分线段MN ．解析（I ）设点P 的坐标为00(,)x y ,切点M 、N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则两条切线的方程分别为111259x x y y +=和221259x x y y +=．因为点P 在这两条切线上,所以有 10101259x x y y +=且20201259x x y y+=． 这说明过切点M 、N 的切点弦所在直线MN 的方程为001259x x y y+=．因为0057700x y --=,即007145x y =+,所以直线MN 的方程为0147()1x y x y ++=． 令709125y x +=,则14125x =,解得2514x =,所以,直线MN 经过定点Q ,其坐标为25(,14（II ）若//MN l ,则直线MN 的方程为y 要证明此时定点Q 平分线段MN ,弦所在直线的方程就是9525()10714y x +=-此时可设,M N 两点的坐标分别为11(,x y 得1212121211()()()()0259x x x x y y y y -++-+=,因为1212,75x x y y +=+=-,所以 121211()()075x x y y ---=,即121257y y x x -=-,所以,此时直线MN 的斜率为57,其方程就是9525()10714y x +=-,这就是说,定点Q 平分线段MN ． 例9．过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,,过Q P ,作椭圆的切线,两切线的交点为M ．（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）设O 为坐标原点,当四边形POQM 的面积为4时,求直线l 的方程．解析（I ）设直线l 的方程为sin (2)cos (3)x y θθ-=-,即sin cos 3cos 2sin 0x y θθθθ-+-=．设交点M 的坐标为00(,)x y ,则直线PQ 的方程为0014x xy y +=,即00440x x y y +-=． 于是有0044sin cos 3cos 2sin x y θθθθ-==--,即得动点M 的参数方程为（II 2(14)k +2sin α=．所以,四边形POQM 的面积为1||||sin 2S PQ OM α=⋅ 22|23|14k k =-+=． 所以,4|23|k =-,解得1k =或11k =,得直线l 的方程为10x y -+=或114100x y --=．例10．已知111222(,),(,),A x y A x y 在的直线与抛物线22(0)x qy q =>证明：对不同的{},1,2,3i j ∈,i y y 证 如图,不妨设边13A A 和23A A相切,切点分别为1T 和2T ．那么切点弦1T 2T 所在直线方程为33()x x q y y =+．设切点1T 和2T 的坐标分别为211(,)2t t q 和222(,)2t t q ,则切线13A A 的斜率为1t q ,于是有31131y y t x x q -=-,即1312t py y q=+．把切点1T 的坐标代入直线方程33()x x q y y =+中,可得21313()2t x t q y q =+,整理即223113()22y t t q y p q=+,再把1312t py y q=+中的1t 代入该式,可得22332313122[]2()y pq p q q y p y y y y ⋅=+++,即2233231312()y p q y y y y y =+++, 即213231312()y y p q y y y y -=++,即得21313()2y y y y p q +=-． 同理,利用切点2T 可以推得22323()2y y y y p q +=-．上面两式相减可得123y y y +=-；上面两式相加可得2222312312()()4y y y y y y p q +++=-,即得 232312123[()2]4y y y y y y p q +--=-,即23233123(2)4y y y y y p q --=-,即得21232y y y p q =． 所以21212123()2y y y y y y y p q +=-=-．综上,对不同的{},1,2,3i j ∈,()i j i j y y y y +为定值,定值为22p q -．四、焦点问题（一）题型特点及解法思想：此类题目总是围绕圆锥曲线的焦点展开,它紧扣圆锥曲线的定义,能更直接地揭示圆锥曲线的本质．解决这类问题时,一要抓住圆锥曲线的定义,包括椭圆、双曲线的第一、第二定义；二要抓住焦点与对应准线之间的关系；三要用好焦半径．（二）例题选讲：例11．如图,MN 为过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F 的弦,,A B 分别为椭圆的左、右顶点,直线AM 与BN 交于点P ,求点P 的横坐标.解析 如图,设点,M N 的坐标分别为(cos ,sin )a b αα和(cos ,sin )a b ββ,设点P 的坐标为00(,)x y ,则一方面有00sin sin cos cos 1y b b x a a a a αααα==⋅+++, 00sin sin cos cos 1y b b x a a a a ββββ==⋅---, 两式相除可得00sin cos 1sin cos 1x a x a αββα--=⋅++ ————（1） 另一方面,有sin sin cos cos b b a c a c αβαβ=--,即sin sin cos cos e eαβαβ=-- ————（2）由（1）得0[sin()sin sin ][sin()sin sin ]x a βααββαβα-++=++- ————（3） 由（2）得sin()(sin sin )e αβαβ-=- ————（4） 又（3）式左边为00[sin()sin sin ]2cos(sinsin)222x x βαβααββααβ--+-++=+04cossincos222x βαβα-=．（3）式右边为[sin()sin sin ]2cos(sinsin)222a a αβαββαβαβα++-++-=+4cossincos222a αββα+=．所以有0cos2cos2a x βαβα+=- ————（5）由（4）式可得2sin cos 2cos sin 2222e αβαβαβαβ--+-=,即cos cos22e αβαβ-+=,即cos12cos2e αβαβ+=-,代入（5）式中可得20a x c =．所以,点P 的横坐标为2a c ．例12．如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆的左、右焦点分别为,．已知和都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率．（I ）求椭圆的方程；（II ）设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P ． 求证：是定值．解析（I ）易求得椭圆方程为2212x y +=； （II ）设12||,||AF m BF n ==,则2||||m AP PF n =,1||||nBP PF m=． 因为1212||||||||2AF AF BF BF a +=+=,所以21(1)||(1)||2m nm PF n PF a n m ++=++=, 即得2122||,||an mn am mn PF PF m n m n --==++,于是212||||2mnPF PF a m n+=-+． 设12AF F θ∠=,则2BF x θ∠=,于是,1cos 1cos ep epm n e e θθ==+-,所以 2222222,1cos 1cos e p epmn m n e e θθ=+=--, 可得222mn c b b ep m n a c a==⋅=+．所以221||||22b PF PF a a +=-==,可见是定值． 例13．已知椭圆Γ的方程为),0(12222>>=+b a b y a x 离心率12e =,1F 是椭圆Γ的左焦点,直线l 过点M（)0,2a -交椭圆Γ于A 、B 两点,且,121||1||111=+BF AF 当△1ABF 的面积最大时,求直线l 的方程． 22221(0)x y a b a b+=>>1(0)F c -，2(0)F c ，(1)e，e ⎛ ⎝⎭,A B x 1AF 2BF 2AF 1BF 12PF PF +12PF PF +解析 如图,因为12e =,所以12c a =,可得2a c =．于是,2222a a a c a==,可知直线2x a =-是该椭圆的左准线,即得点M 落在左准线上．假设,A B 两点在x 轴的上方,并设它们的坐标分别为11221212(,),(,)(,)x y x y x x y y <<． 则1212113(2)()()22ABF S a c y y c y y ∆=--=-． 设直线AB 的方程为4x my c =-,代入椭圆方程2222434120c x c y c +-=中可得222(34)24360m y cmy c +-+=．所以21y y -==． 令234m t +=,则21348m t ==≤+,于是212y y -≤,可知124ABF S c ∆≤,且当23432m +=即2283m =时等号成立． 另一方面,分别过,A B 作左准线的垂线,垂线段长分别为12,d d ,则111211||,||22AF d BF d ==,而1122,y m d y m d ==,可得1212()y y m d d +=+． 因为1222434cmy y m +=+,所以21222434cm d d m +=+．所以211122112||||()234cm AF BF d d m +=+=+． 又因为21223634c y y m =+,即222121223634c m d d m y y m ==+,即221129||||34c m AF BF m =+．而条件有11111||||12AF BF +=,即111112(||||)||||AF BF AF BF +=,即得22222129123434cm c m m m ⋅=++,解得16c =,所以264a =．可得直线l的方程为64)14y x =±+． 例14．在双曲线C ：22145x y -=中,12,F F 分别为双曲线C 的左右两个焦点,P 为双曲线上且在第一象限内的点,12PF F ∆的重心为G ,内心为（I ）是否存在一点P ,使得IG //（II ）已知A 为双曲线C 的左顶点,足1212k k +=-,求直线l 的方程． 解析（I ）设点P 的坐标为00(,)(x y 面积为03y 001(6)2ex a ex a r ++-+,即0(ex +0(2)32x r +,即得00(2)332x ry +=,因为IG //12F F ,所以013r y =,可求得0y =．综上,存在一点P ,其坐标为,使得IG //12F F ．（II ）可设直线l 的方程为3x my =+,设,M N 两点的坐标为分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把直线方程代入双曲线方程中,得22(54)30250m y my -++=．于是有1223045m y y m +=-,1222545y y m=-- ————（1） 另一方面,因为121212,22y y k k x x ==++,而1212k k +=-,所以有12121222y y x x +=-++, 即得12121552y y my my +=-++,整理得21212(4)(105)()250m m y y m y y +++++=——（2）由（1）,（2）可得：2222530(4)(105)2504545m m m m m m -+⋅++⋅+=--,解得12m =-． 所以,直线l 的方程为132x y =-+,即26y x =-+． 五、曲线组问题 （一）题型特点：这是一类典型的曲线性质探究问题,其曲线背景是由两条以上曲线组合而成,它使得问题更为复杂,体现出的综合性更强,更能突出曲线之间的自然联系．求解时,图形复杂,变量多,联系多,式子多,能很好地考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力,更能考查思维素质．（二）例题选讲：例15．如图,曲线C 由上半椭圆1C ：22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥和部分抛物线2C ：21(0)y x y =-+≤连接而成,12,C C 的公共点为,A B ,其中1C 的离心率为32． （I ）求,a b 的值；（II ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ）,若AP AQ ⊥,求直线l 的方程．解析（I ）易知曲线12,C C 的结合点,A B 的坐标分别为(1,0)-和(1,0),于是可得1b =,再由1C 的离心率为32可得2a =． 所以,2a =,1b =．（II ）显然直线l 的斜率存在,故设其方程为(1)y k x =-,将其代入曲线2C 的方程中可得210x kx k +--=,知该方程的一个根为1,由韦达定理可得点Q 的横坐标为1k --,于是点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----；把直线l 的方程代入曲线1C 的方程中,可得2222(4)240k x k x k +-+-=,知该方程的一个根为1,由韦达定理可得点P 的横坐标为2244k k -+,于是点P 的坐标为22248(,)44k k k k --++． 由AP AQ ⊥可得：4(2)1k k -⋅+=-,解得83k =-． 所以,直线l 的方程为8(1)3y x =--,即8380x y +-=．例16．如图,设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点．过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线,交直线l ：3y =-于,A B 两点．（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离．（Ⅱ）是否存在点P ,使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分,若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．解析（Ⅰ）抛物线1C 的准线方程为14y =-,所以2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离114． （Ⅱ）设点P 的坐标为200(,)x x ,切线方程可设为200()y x k x x -=-,则有2002|3|11kx x k--=+,即2234200000(1)(26)680x k x x k x x--++++=．于是3420000121222002668,11x x x xk k k kx x++++==--————（1）同时可得,A B两点的坐标分别为213(,3)xxk+--和223(,3)xxk+--,那么线段AB的中点坐标为22001233(,3)22x xxk k++---．以点P为切点的抛物线的切线方程为20002()y x x x x-=-,即2002y x x x=-,所以22200000123332()22x xx x xk k++-=---,整理得2120012(3)(1)0k kx xk k++-=,即1212k kxk k=+————（2）由（1）可得420012312006826x xk kk k x x++=++,代入到（2）中可得48x=,解得x=,此时点P的坐标为(,关于k的方程为21)3)160k k±++=,其判别式为23)1)(4640∆=-+=+>,可见这样的切线是存在的．综上,存在点P,其坐标为(．例17．设m R∈,在平面直角坐标系中,(,1)a mx y→=+,(,1)b x y→=-,a b→→⊥,动点(,)M x y的轨迹为E．（I）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示的曲线的形状；（II）已知14m=,证明：存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA OB⊥（O为坐标原点）,并求该圆的方程；（III）已知14m=．设直线l与圆C：222(12)x y R R+=<<相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时,|A1B1|取得最大值？并求最大值．解析（I）由a b→→⊥得221mx y+=,即为轨迹E的方程．当0m<时,方程表示焦点在y轴上的双曲线；当0m=时,方程表示两条互相平行的直线；当01m<<时,方程表示焦点在x轴上的椭圆；当1m=时,方程表示圆心在原点的单位圆；当1m>时,方程表示焦点在y轴上的椭圆．（II）此时方程为2214xy+=,如图．设|OA| = m,|OB| = n,则可设点A、B的坐标分别为(cos ,sin )m m θθ和(cos(),sin())22m m ππθθ++,代入椭圆方程中得 22222222cos sin 14sin cos 14m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即 222222cos 1sin 4sin 1cos 4m n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相加可得221115144n m +=+=．（注：形成公式22221111n m a b+=+）=O 到直线AB 的距离为d ,则据面积法有mn =所以d =．这说明存在圆2245x y +=,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥（O 为坐标原点）． （III ）设点11,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．由于直线l 与圆O 和椭圆E 均相切,所以直线l 的方程既是211x x y y R +=,也是2214x xy y +=,所以有 211224x y R x y ==,即2212124,x R x y R y == ————（※） 因为222111||||A B OB R =-,而222122||OB x y =+,又 222214x y +=,22211x y R +=,结合（※）有222222116R x R y +=, 可得222216(1)3R x R -=,222243R y R -=．所以2222122216(1)454||33R R R OB R R R---=+=, 得 22221122544||5()1R A B R R R R-=-=-+≤,且当R = 所以,当R =,|A 1B 1|取得最大值,最大值为1．五、综合问题例18．给定整数(2)n ≥,设000(,)M x y 是抛物线21y nx =-与直线y x =的一个交点,试证明：对于任意整数m ,必存在整数2k ≥,使得点00(,)m mx y 为抛物线21y kx =-与直线y x =的一个交点．解析 据题设,有2001x nx =-,2001m mx kx =-,整理得001n x x =+,001mm k x x =+．注意到211000000211000000111111()()()()()m m m m m m m m m m x x x x n x x x x x x x x +++++++=++-+=+-+． 当1m =时,001k x n x =+=显然是存在的；当2m =时,22001()222k x n x =+-=->显然也是存在的；假设,1()m s m s s N +==+∈时,k 存在,即001m mx x +和1101m m x x +++均为不小于2的整数,那么当2m s =+时,101011()()m mm m k n x x x x ++=+-+,其显然也是一个整数,又202012m m k x x ++=+≥,所以此时的k 为不小于2的整数．综上,对任意正整数m ,都存在不小于2的整数k ．若0m =,则2k =,显然存在；若m 为负整数,可令m p =-,那么001,pp k x p N x +=+∈,由上面证明可知依然存在不小于2的整数k ．综上,命题获证． 六、练习题1．已知ABC ∆边上作匀速运动的点,,D E F ,在0t =时分别从,,A B C 出发,各以一定速度向,,B C A 前进,当时刻1t =时,分别到达,,B C A ．（1）证明：运动过程中DEF ∆的重心不变；（2）当DEF ∆面积取得最小值时,其值是ABC ∆面积的多少倍？2．已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和,其中21x x ≠且421=+x x ．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求ABC ∆面积的最大值．3．已知抛物线y 2 = 4px ( p > 0 ),过顶点O 作两条直线分别交抛物线于A 、B 两点,若OA ⊥OB,求O 在弦AB 上的射影M 的轨迹．4．已知梯形ABCD 中,AB = 2CD,点E 分有向线段→AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围． 5．是否存在无穷多条直线(1,2,,,)n l n m =形成的直线族,满足条件：（1）点（1,1）在直线(1,2,,,)n l n m =上；（2）1n n n k a b +=-,这里1n k +表示直线1(1,2,,,)n l n m +=的斜率,n a 、n b 分别表示直线(1,2,,,)n l n m =的横截距和纵截距；（3）10(1,2,,,)n n k k n m +>=．6．对于曲线C 1：3 ( x 2 + 2y 2 ) 2 = 2 ( x 2 + 4y 2 )上除原点外的每一点P,求证：存在过P 的直线与椭圆C 2：x 2 + 2y 2 = 2相交于两点A 、B,使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形（O 为坐标原点）．七、练习题解答1．解析（1）如图,据题可令||||||||||||AD BE CF k AB BC CA ===, 则 ,,AD k AB BE k BC CF kCA ===．建立平面直角坐标系如图,设点B 的坐标为(,0)m ,点C 的坐标为(,)t s ,则点D 的坐标为(,0)km ,点E 的坐标为(,)m km kt ks -+,点F的坐标为(,)t kt s ks --．所以DEF ∆的重心坐标为(,)33m t s +,而ABC ∆的重心坐标也是(,)33m t s+,所以DEF ∆的重心不变． （2）因为(1)ADF ABC S k k S ∆∆=-,(1)BDE ABC S k k S ∆∆=-,(1)ECF ABC S k k S ∆∆=-,所以2[13(1)](331)DEF ABC ABC S k k S k k S ∆∆∆=--=-+,其最小值为14ABC S ∆,且当12k =时取到． 所以,当DEF ∆面积取得最小值时,其值是ABC ∆面积的14倍． 2．解析：设AB 的中点D 的坐标为0(2,)y ,则由21122266y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得1212126y y x x y y -=-+,即03AB k y =．设点C 的坐标为(,0)t ,则00312y t y ⋅=--,可得5t =,所以点C 的坐标为(5,0)． 设直线AB 的方程为003(2)y y x y -=-,与抛物线x y 62=联立可得220022120y y y y -+-=,于是可得||AB ==而||CD =所以20(9)ABC S y ∆=+．因为20(9)y +=当且仅当22002429y y -=+,即205y =时,20(9)ABC S y ∆=+取到最大,． 所以,ABC ∆此时直线AB的斜率为．3．解析 设OA 直线方程为y = kx ,与抛物线方程y 2 = 4px 联立后得点A 的坐标为)442k pk p ，（．进而由OA ⊥OB 容易得到点B 的坐标（4pk 2,– 4pk ）． 所以,直线AB 的方程为( 1 – k 2 ) y = k ( x – 4p ) -------- ( 1 )由此易得直线OM 的方程为)0(12≠-=k x kk y ------ ( 2 )由（1）（2）消参数k 后得：( x – 2p ) 2 + y 2 = 4p 2．经检验点M 不可能在原点,故x ≠0．所以,点M 的轨迹是以（2p ,0）为圆心,2 p 为半径的圆,还需除去原点．4．解析 据双曲线的对称性可知梯形ABCD 为等腰梯形,且AD = BC ．以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,如图． 则可设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>．由AB = 2CD可得|CD| = c ,可知点C 的横坐标为2c,代入双曲线方程中可得点C的纵坐标为2a ,即得C点坐标为(,22c a． 由1AE AC λλ→→=+得点E的坐标为2(,12(1)cc a λλλλ-++,而E 点在双曲线上,所以有222222222(2)(4)14(1)4(1)c c a a a λλλλ---=++, 整理得 2222(2)a c c a λ+=-,同除2a 可得22(2)1e e λ+=-,即得2212e eλ-=+． 因为4332≤≤λ,所以22213324e e -≤≤+,解得双曲线离心率e的取值范围是． 5．解析 据题设可设直线(1,2,,,)n l n m =的方程为1(1)n y k x -=-,则11n n a k =-,1n n b k =-,可得11n n nk k k +=-． 由于10(1,2,,,)n n k k n m +>=,所以所有的直线的斜率同号,不妨设0(1,2,,,)n k n m >=,则有110n n nk k k +-=-<,可知数列{}n k 是递减数列． XYOABM因为1112111()n n k k k k k +-=-+++,即1112111()n n k k k k k +=-+++,又因为121111n nk k k k +++>,所以111121111()n n n k k k k k k k +=-+++<-． 令110n k k -<,得21n k >,故取21[]1N k >+,则1110N Nk k k +<-<,可知从第N+1项开始,数列{}n k 的每一项都是负值,与题设矛盾．同理,若0(1,2,,,)n k n m <=也矛盾．综上,不存在这样无穷多条直线．6．先分析：逆着思考这个问题,曲线C 1应该是点P 走出的轨迹,那么这样的点应该满足题中“使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形”的条件．可以判断曲线C 1上的所有点都在椭圆的内部,所以点P 一定在椭圆的内部,如图．因此猜想当OA ⊥OB,且点P是弦AB 的中点时,可以使条件“使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形”解析：变形方程3 ( x 2 + 2y 2 ) 2 = 2 ( x 2 + 4y 2 )得 22222223(2)6(2)4()0x y x y x y +-+++= 因为点P 不是坐标原点,所以x ,y 不可能同时为零,即得224()0x y +>,则有 222223(2)6(2)0x y x y +-+<,可得 22022x y <+<,即点P 在椭圆2222x y +=的内部．若OA ⊥OB,且点P 是弦AB 的中点,现求点P 的轨迹方程： 如果直线AB 垂直于x 轴,则易求得点P 的坐标为(,0)3±,显然满足方程 222223(2)2(4)x y x y +=+； 如果直线AB 不垂直于x 轴,可设其斜率为k ,A 、B 两点的坐标为11(,)x y 和22(,)x y ,线段AB 的中点P 的坐标为00(,)x y ．由点差法可得2002002b x xk a y y =-=- ————（1）设直线AB 的方程为00()y y k x x -=-,又设|OA| = m ,|OB| = n ,则2222111113122m n a b +=+=+=． 因为点O 到直线AB ,故据直角三角形的等面积法有mn =,即222200111()k m n y kx ++=-．所以有220013()2ky kx+=-————（2）把（1）代入（2）中得22221432()2xyxyy+=+,整理得2200222002(4)3(2)x yx y+=+,即得 2222200003(2)2(4)x y x y+=+．综上,点P的轨迹方程为 222223(2)2(4)x y x y+=+．由于点P的轨迹方程 222223(2)2(4)x y x y+=+与点P满足的几何条件是充分必要的,所以满足方程 222223(2)2(4)x y x y+=+的点P,也一定能使“OA⊥OB,且点P是弦AB的中点”成立．那么,∆AOP与∆BOP 均为等腰三角形．2014年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营讲义（二）函数与导数江苏南菁高级中学【知识要点概述】一、函数值域与最值问题：(1) 解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,定义域含三种：①自然型：②限制型：③实际型：(2) 求函数的值域是比较困难的数学问题,求函数值域方法一般有：①配方法（将函数转化为二次函数）； ②判别式法（将函数转化为二次方程）； ③不等式法（运用不等式的各种性质）； ④函数法（运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等）；⑤换元法； ⑥反解法； ⑦几何法； ⑧导数法.(3) 恒成立问题：①不等式f (x )＞k 恒成立⇔f (x )min ＞k ；②不等式f (x )＜k 恒成立⇔f (x )max ＜k③f (x )≥g (x )恒成立⇔ f (x )−g (x )≥0恒成立⇔[f (x )−g (x )]min ≥0 (典型错误min max ()()f x g x ⇔≥) (4) 有解问题：①方程f (x )＝k 有解⇔k 的取值范围即为f (x )的值域；②不等式f (x )＞k 有解⇔f (x )max ＞k ；③不等式f (x )＜k 有解⇔f (x )min ＜k .(5) 最值存在定理：f (x )在闭区间[a , b ]内连续, 则f (x )必有最大值与最小值.二、函数基本性质：1．奇偶性定义：定义域关于原点对称, 且对∨−x ∈D ,f (−x )=f (x ) (偶函数) 或f (−x )=－f (x ) (奇函数) ①奇函数的图象关于原点对称；②偶函数的图象关于y 轴对称；③若奇函数的定义域包含0,则f (0)=0. 2．单调性定义：对∨−x 1, x 2∈I 且x 1＜x 2⇒ f (x 1)＜f (x 2) (增函数) 或f (x )＞f (x 2) (减函数). 3．研究函数的单调性,常用以下方法：（1）定义法：利用定义严格判断. 步骤为：①取值；②作差；③判断符号；④下结论.（2）直接利用已知基本初等函数的单调性. 例如若f (x )、g (x )为增函数,则 ①f (x )＋g (x )为 函数；②1f (x )为 函数（f (x )＞0）；③f (x )为 函数（f (x )≥0）；④－f (x )为 函数. （3）利用复合函数y = f [g (x )]的单调性(其中y =f (u ), u =g (x ))：判断的法则是“同增异减”具体步骤为：①求定义域；②找分界点,确定单调区间；③分析函数在每个区间上的单调性得出结论. （4）图象法：若一个函数的图象可画出来,则由图象可得单调区间.（5）利用奇偶函数的性质：①奇函数在对称区间上的单调性相同；②偶函数在对称区间上的单调性相反.（6）单调函数必存在反函数,且反函数的单调性与原函数的单调性相同.4．周期函数定义：若存在常数T (T ≠0),使得f (x +T )＝f (x )对定义域内任意x 恒成立,则称f (x )为周期函数,T 称为这个函数的周期,f (x+T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2), 周期函数的定义域一定是无限集.①若T 是y =f (x )的周期,那么kT (k ∈N *)也是它的周期.②若y =f (x )是周期为T 的函数,则y =f (ax +b )(a ≠0)是周期为Ta的周期函数.③若u ＝g (x )是周期函数, f (u )是任意函数, 则f [g (x )]也是周期函数. 5．周期的常用结论：设a 为非零常数,若对f (x )定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立, 则f (x )的周期为2a①()()f x a f x a +=-；②()()f x a f x +=-；③1()()f x a f x +=；④1()()f x a f x +=-；⑤()1()()1f x f x a f x ++=-；⑥1()()1()f x f x a f x -+=+. 上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.另外：()1()()1f x f x a f x -+=+或1()()1()f x f x a f x ++=-,则f (x )的周期为4a .证明：由已知f (x ＋2a )＝()11()11()1()1()1()1()1f x f x a f x f x f x a f x f x --+-+===--++++, 于是f (x ＋4a )＝－1(2)f x a +＝f (x ) 6．周期性与对称性有如下关系：①若函数f (x )图象关于直线x =a 与x =b 对称,则它一定是周期函数,且2|a −b |是它的周期. ②若函数f (x )图象关于点(a , 0)和(b , 0)对称,则它一定是周期函数,且2|a −b |是它的周期. ③若函数f (x )图象关于直线x =a 及点(b , 0)对称,则它一定是周期函数,且4|a −b |是它的周期.证明①：不妨设a ＞b ,于是f [x ＋2(a －b )]＝f [2a －(2b －x )]＝f (2b －x )＝f (x ), ∴ 2(a －b )是f (x )的一个周期.已知函数f (x )对任意实数x , 都有f (m ＋x )＝f (m －x ),且f (x )是偶函数, 则f (x )的周期为_________ 已知函数f (x )对任意实数x , 都有f (m ＋x )＝f (m －x ),且f (x )是奇函数, 则f (x )的周期为_________ 三、基本初等函数：1. 指数函数及其性质：形如y =a x (a ＞0, a ≠1)的函数叫做指数函数,其性质有：①定义域为R ,值域为(0,+∞)； ②当0＜a ＜1时为减函数,当a ＞1时为增函数；③图象有两个特殊点：定点(0,1),不变点(1,a )； ④非奇非偶,但xy a =与xy a -=的图象关于y 轴对称；xy a =与xy a =-的图象关于x 轴对称；x y a =与log a y x =的图象关于直线y =x 对称；⑤对应关系为一一映射,从而存在反函数－－对数函数；⑥抽象性质：()(01)xf x a a a =>≠且⇒()()()(),()()f x f x y f x f y f x y f y +=⋅-=2. 对数函数及其性质：形如y =log a x (a ＞0, a ≠1)的函数叫做对数函数,其性质：①定义域为(0, +∞), 值域为R ；②图象有两个特殊点：定点(1,0), 不变点(a , 1)；③当0＜a ＜1时为减函数,当a ＞1时为增函数； ④非奇非偶,但-1log log a a y x y x ==与关于x 轴对称,log log ()a a y x y x ==-与图象关于y 轴对称,log x a y x y a ==与图象关于直线y x =对称；⑤对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数.3. 幂函数：形如y =x α的函数叫做幂函数,幂函数有如下性质：⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交；⑵定义域为R 或(−∞, 0)∪(0, +∞)的幂函数都具有奇偶性,定义域为(0, +∞)或[0, +∞)的幂函数都不具有奇偶性； ⑶幂函数y =x α都是无界函数；在第一象限中,当α＜0时为减函数,当α＞0时为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1),至多有三个公共点；4. 画幂函数y ＝x α(α＝mn , m 、n 是互质的整数)草图的一般步骤是：(1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图： (2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况：①m , n 均为奇数时,y =x α为奇函数,图象在一、三象限内关于原点中心对称. ②m 为偶数,n 为奇数时y =x α为偶函数,图象在一、二象限内关于y 轴对称. ③m 为奇数,n 为偶数时,y =x α既不是奇函数也不是偶函数,函数只在第一象限有图像.5．二次函数的图像和性质：二次函数是初等数学中遇到比较多的函数之一,它的图象简单,性质易于掌握,又与二次方程、二次不等式有联系,与之相关的理论如判别式,韦达定理,求根公式等又是中学教材的重点内容,因此有必要进一步认识二次函数的性质,研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．(1) 二次函数的解析式：①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()f x a x h k =-+,顶点为(,)h k ③两根式：12()()()f x a x x x x =-- ④三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=++------（2）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是抛物线,顶点坐标24(,)24b ac b a a --,对称轴方程为2bx a=-,开口与。
高中数学竞赛：夏令营讲稿
证明：观察三角形 C1B1O，可以看出，K、B2、C2 分别在 C1B1、B1O、OC1 或其延长线上，且 B2、K、C2 三点共线， 根据梅涅劳斯定理可得： C1K B1B2 OC 2 1
KB1 B2O C2C1 同理：观察三角形 OB1A1，根据梅涅劳斯定理可得： A1L B1B2 OA2 1 LB1 B2O A2 A1 观察三角形 OA1C1，根据梅涅劳斯定理可得： C1M A1 A2 OC 2 1 MA1 A2O C2C1
设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点， 且有偶数个点在延长线上，
则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是: BP CQ AR 1 PC QA RB
A
A
RQ
BP
C
P BC
R
Q
3.托勒密定理： 定理：四边形 ABCD 中，有：
AB·CD+AD·BC AC·BD 并当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时，等号成立。
在 Rt△DBC 与 Rt△EBC 中，有
CD2 BC FC ， BE2 BC BG
BF
A
E M HG C
即 CF CD 2 ，代入上式得 FH CD2 AE BD
BG BE 2
HG BE 2 CE AD
又 ABE∽ACD，有 AD CD 代入上式得 AE BE
即 BH AC DM AB DM AB HG AD MG AC MG AD
故 BH GM DA 1 HG MD AB
对△BDG 应用梅氏定理逆定理，知 H，M，A 三点共线 由 AH⊥BC，故 AM⊥BC
例 2. 如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F， 满足∠BAE=∠CAF，作 FM⊥AB，FN⊥AC（M、N 是垂 足），延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D． 证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等．
2020五年级夏令营讲义
目录第一讲: 无余之谈 (2)第二讲: 小抽屉，大学问 (5)第三讲: 分解出来的学问 (8)第四讲: 切豆腐，涨知识 (12)第五讲: 面面俱到（正方体) (16)第六讲: 替换之美 (19)第七讲: 找次品知轻重 (22)每日积分第一次课：第二次课：第三次课：第四次课：第五次课：第六次课：第七次课：第一讲:无余之谈模块一:知识清单1、能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征：分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
(1)一个整数的个位数能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；(2)一个整数的十位和个位所组成的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；(3)一个整数的百位，十位和个位所组成的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2、能被9或3整除的数的特征：看各位上的数的和，即一个数的各位上的数的和能被9或3整除，这个数就能被9或3整除。
3、能被7、11、13整除的特征：如果一个数的末三位数表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么这个数就能被7或11或13整除。
（1）能被11整除的数的特征：如果一个自然数的奇数位上数字与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。
4、下面我们再给出数的整除的几个重要性质性质(1)如果a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除。
性质(2)如果a能被数b整除，c为整数，则ac也能被b整除。
性质(3)如果a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被c整除。
性质(4)如果a能同时被b、c整除，且b、c互质，则a一定能被b和c的积整除模块二：例题精讲例题1：在□内填入适当的数，使六位数32787□能被25整除。
即学即练1：在□内填入适当的数，使五位数29□7□能被4整除，也能被3整除。
例题2：在□内填入适当的数，使五位数2□10□能被72整除。
即学即练2：老师买了72本相同的笔记本，回校后发现记录单上有两个数字看不清了，总钱数是□13.7□元，(□为看不清的数字)，他又记不起每本笔记本的价格，你能帮老师补上这两个数字吗?例题3：一个六位数71□34□能被88整除，这个数除以8所得的商是多少?即学即练3：一个无重复数字的五位数□691□能被55整除，这样的五位数有哪些?例题4：判断25102能不能被7或11或13整除。
平面几何解题方法介绍湖南师范大学附属中学羊明亮
知识与方法
羊明亮 湖南师范大学附属中学
数学竞赛中常用的著名定理有：梅涅劳斯定理及其逆定理、塞瓦定理及其逆定理、托勒
密定理（不等式）、西姆松定理及其逆定理、欧拉定理，另外，还用到斯特瓦尔定理、蝴蝶
定理等. 除了上述定理外,我们还应掌握有关根轴、完全四边形、调和四边形、调和线束（点列）
⑥
SZ1Z2Z3
1 2
Im(
z1
z2
z2 z3
z3z1).
注：以上点 Z 对应的复数用 z 表示。
4、向量法
由于向量既反映数量关系，又体现位置关系，所以它能数形相辅地用代数方法研究几何
问题，即把几何代数化，时几何问题能用代数运算解决，由此可见，解析法、复数法实质上
是一种特殊的向量方法，向量法兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性等待点.
⑤ 几何中旋转变换问题在向量法中对应的是向量的外积表示，由向量的外积可以
表示平面上一个向量旋转以后的向量。
5、面积法
用图形的面积知识来解决几何问题的方法称为面积法，一般有两类：①求多边行的面积；
②用面积有关知识作为计算或论证手段，通过适当的变换，从而得出所考虑的量与量之间关
系，最后得出结论，或者将边之间的比和面积结合起来得到一个等式（称面积方程），然后
AMB CMB . 证明: BE 平分 AC .
证明:不妨设五边形 ABCDE 内接于复平面上以原点 O 为圆心的单位圆, A, B,C, D, E
对应的复数分别为 a, b, c, d, e ,则 M 对应的复数 m 1 (b d ) . 2
由 AC DE ,有 ac de .
①
由
AMB
( z1
z2 ) 即
2006年数学奥林匹克夏令营讲座：代数变换、代数变形的方法与技巧
2006年数学奥林匹克夏令营讲座代数变换、代数变形的方法与技巧蔡玉书1.将一些结构各异的式子看成一个整体，用一个字母或用另外的式、量来替换表示，易于使复杂问题明朗化、简单化。
这种解决问题的方法叫做替换法。
(1) 整式替换例1 分解因式(x 4+x 2－4)( x 4+x 2+3)+10.(第12届“五羊杯”竞赛题)例2 已知x ,y 是正整数，并且xy +x +y =23,x 2y +xy 2=120,则x 2+y 2= .(2001年全国初中联赛)例3已知实数a ,b 满足a 3+b 3+3ab =1,则a +b = .(2004年全国初中联赛)(2) 分式替换例4已知关于x 的方程(a 2－1)(x x －1)2－(2a +7)(x x －1)+1=0有实数根. ①求a 的取值范围；②若原方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 1－1 + x 2x 2－1 = 311,求a 的值.(3) 根式替换例5 计算9a 9a +a +9a 29a 2+a +9a 39a 3+a +…+9a 89a 8+a= . (第16届“五羊杯”竞赛题)(4) 常值替换例6 证明1997×1998×1999×2000+1是一个整数的平方，并求出这个整数.(1997年安徽省数学竞赛)例7 计算(74+64)(154+64)(234+64)(314+64)(394+64)(34+64)(114+64)(194+64)(274+64)(354+64).(第9届华罗庚金杯赛)例8 计算1+112+122+1+122+122+1+132+142+…+1+120032+120042. (第9届华罗庚金杯赛)2.代数式的恒等变形包括整体代入、因式分解、配方、配对、分母有理化、分子有理化等。
例9 若3x 2－x =1,则9x 4+12x 3－3x 2－7x +2001的值等于 .(2001年武汉市数学竞赛)例10 设x 3－32x 2+6x －22－8=0,则x 5－41x 2＋1的值为 .(2002年“五羊杯”竞赛题)例11设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab , 求a + b a －b的值.(2002年全国初中数学竞赛)例12 分解因式(xy －1)2+(x +y －2)( x +y －2xy ).(1996年天津市数学竞赛)例13 已知实数a 满足a 2－a －1=0,求a 8+7a 4的值.(2003年河北省初中数学竞赛)例14 已知a ,b ,c 满足ab a +b = 13, bc b +c = 14 ,ca c +a = 15,求abc ab +bc +ca 的值.(1997年希望杯数学竞赛)例15 已知abc ≠0,且a +b +c =0,则a (1b +1c )+b (1c +1a )+c (1a +1b )的值.(2004年安庆市数学竞赛)例16 已知x ,y ,z ,a ,b ,c 均为实数, 且x a +y b +z c =1, a x +b y +c z =0,求x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2的值.(2003年合肥市数学竞赛)例17 已知x =4－2,求分式x 4―6x 3―2x 2+18x +23x 2+8x +15的值.(2004年湖南省高中理科实验班招生)例18 已知2a 2－7a ＝－2,2b 2－7b ＝－2,求a 2b －b 2a 的值.(2002年沈阳市数学竞赛)例19 已知函数f (x )=13x 2+2x +1+3x 2－1+ 3x 2－2x +1，求f (1)+f (3)+f (5)+…+f (999)的值.(1997年上海市数学竞赛)例20 设1995x 3=1996y 3=1997z 3,xyz ＞0，且31995x 2+1996y 2+1997z 2 =31995+31996+31997,求1x +1y +1z 的值.(1996年全国初中数学竞赛)例21 已知x +y =1,x 2+y 2=2,求x 7+y 7的值.(1998年江苏省数学竞赛)例22 已知a , b 是方程x 2－4x +1=0的两个根, c , d 是方程x 2－5x +2=0的两个根,记t = a b +c +d +b c +d +a + c b +d +a + d a +b +c , 则用t 表示a 2b +c +d + b 2 c +d +a + c 2b +d +a + d 2a +b +c .(1996年上海市数学竞赛)例23 已知实数a ,b ,c 满足a b +c + b c +a + c a +b =1,求a 2b +c + b 2c +a + c 2a +b 的值.(2002年北京市数学竞赛)例24 已知xyz =1,x +y +z =2,x 2+y 2+z 2=6,求1xy +2z + 1yz +2x + 1zx +2y 的值.(2003年北京市数学竞赛)例25 计算1997(1997－1999)(1997－2001) + 1999(1999－2001)(1999－1997)+ 2001(2001－1997)(2001－1999). (1997年希望杯数学竞赛)例26 已知(x +x 2+2002)(y +y 2+2002)=2002,求x 2－3xy －4y 2―6x ―6y +58的值. (2002年江苏省数学竞赛)例27 已知x =1－52,求x 3－1x 3的值.(2000年湖南省高中理科实验班招生)例28 已知a 是方程x 2－x －2000=0的一个正根，求代数式3+2001+2001+2000a的值.(2003年河北省数学竞赛)例29 已知a 是方程x 2+x －14 =0的根,则a 3－1a 5+a 4－a 3－a 2 = .例30繁分数1－11－11－…1－11－113155(共2004个分数线)的值是 .练习题1. 已知14(b －c )2=(a －b )(c －a ),且a ≠0, 求b +c a 的值.(1999年全国数学竞赛)2. 计算1+31×(1+2)+1+3+5(1+2)×(1+2+3) +1+3+5+7(1+2+3)×(1+2+3+4)+…+ 1+3+5+…+29(1+2+3+…+14)×(1+2+3+…+15).(2003年五羊杯数学竞赛)3. 若x +1x =a ,则x 6+1x 6 = .(2004年西安市数学竞赛)4. 不为零的三个数a ,b ,c 满足1a + 1b + 1c = 1a +b +c , 求证：a ,b ,c 中至少有两个互为相反数.(1999年北京市数学竞赛)5. 计算1+112+122+1+122+122+1+132+142+…+1+119992+120002. (2000年太原市数学竞赛)A ．1 999B ．2 001C ．2 003D ．2 0056. 若3x 3－x =1, 则9x 4+12x 3－3x 2－7x +2001的值等于 .7. 已知abc ≠0, 且a +b +c =0. 则代数式a 2 bc + b 2ca + c 2ab 的值等于 .8. 已知A=48×(132－4 + 142－4 + … + 11002－4). 则与A 最近的正整数是 .9. 若实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=9，则代数式(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2的最大值是 .(1996年全国数学竞赛)10. 已知a ,b ,c ,d 是正数,且满足a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd , 求证：以为边的四边形,不是菱形就是正方形.(沈阳市数学竞赛)11. 若a +b －2a －1－4b －2=3c －3－12c －5,求a +b +c 的值.12. 解方程组⎩⎨⎧x +1y －x +y －3=32x +y +1y =6(1998年山东省数学竞赛)13. 解方程组⎩⎨⎧x +y+R((x +2)(y +3))=34(x +2)2+(y +3)2=741－(x +2)(y +3)(第4届全国数学通讯赛)14. 若x ＞0,求1+x 2+x 4－1+x 4x 的最大值.(1992年全国数学竞赛)15. 已知x +y =2,x 2+y 2=52,求x 4+y 4的值.(1995年重庆市数学竞赛)16. 已知x 2－x －1=0，则代数式x 3－2x +1的值是 .(1998年全国数学竞赛)17. 若实数x,y,z 满足x + 1y = 4,y + 1z = 1,z + 1x = 73,则xyz 的值是 .(2003年TRULY 杯全国数学竞赛)18. 分解因式a 4+b 4+(a +b )4.(2000年山东省数学竞赛)19. 已知α,β是方程x 2－x －1=0的两个根,求α4＋3β的值.(2003年天津市数学竞赛)20. 已知非零实数a 、b 、c 满足a +b +c =0,求证：(1) a 3+b 3+c 3=3abc ;(2)(a －b c +b －c a +c －a b )(c a －b +a b －c +b c －a)=9. (2005年北京市数学竞赛)。
中国数学奥林匹克协作体夏令营一等奖
中国数学奥林匹克协作体夏令营一等奖
（实用版）
目录
1.介绍中国数学奥林匹克协作体夏令营
2.阐述获得一等奖的意义和价值
3.分析取得优异成绩的原因
4.总结未来发展方向和期望
正文
中国数学奥林匹克协作体夏令营是由中国数学会主办的一项针对中
学生的数学竞赛活动，旨在选拔和培养优秀的数学人才。
在这次夏令营中，许多学生表现出色，获得了一等奖的荣誉。
获得一等奖的意义和价值不仅在于表彰参赛选手在数学领域的优秀
表现，还在于激发他们继续深入学习数学的兴趣。
一等奖的荣誉将激励他们继续努力，为未来的数学研究和发展做出贡献。
分析这次夏令营中取得优异成绩的原因，可以归结为以下几点：首先，参赛选手本身具备较高的数学天赋和扎实的基本功。
其次，教练团队的专业指导和培训，使选手们在竞赛中能够更好地发挥自己的实力。
最后，夏令营的活动安排和氛围也有助于选手们充分发挥自己的潜能。
在取得这样的优异成绩之后，我们期待这些选手能够继续保持对数学的热爱和钻研精神，不断提升自己的学术水平和综合素质。
未来，他们有望成为我国数学领域的优秀人才，为国家的发展和进步贡献自己的力量。
总之，中国数学奥林匹克协作体夏令营一等奖的获得者们用自己的实力和努力，展现了我国中学生在数学领域的潜力和实力。
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杨志明：五道三元条件不等式的证明
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问题S564的证明戴汉有：MathematicalReflections2(2020)问题J514再证明杨志明：2021年浙江省数学夏令营测试第13题的解答杨志明：安振平问题6369的证明唐景豪：一道三元最值问题的解答杨志明：2021年浙江省数学夏令营测试第8题的解答杨志明：一道MathematicalReflections4(2021) 二元不等式的证明任迪慧、谢雪芹：《数学通报》问题征解栏问题吴立修：一道高考解析几何模拟试题的推广杨志明：安振平问题6363的两种证法杨志明：安振平问题6364的证明杨志明：安振平问题6360的证明杨志明：安振平问题6361的证明杨志明：安振平问题6362的证明杨志明：安振平问题6353的证明刘锐：一道三元条件不等式的再证明杨志明：安振平问题6358的证明杨志明：安振平问题6359的证明刘锐：安振平问题6356的一个再证明刘锐：《数学通讯》2021年第7期问题501的再解答杨志明：一道涉及三角形的内角平分线长和旁切圆半径的不等式的证明杨志明：《数学通讯》2021年第7期问题505的加强杨志明：安振平问题6352的证明杨志明：一道三元条件分式不等式的证明杨志明：安振平问题6346的证明杨志明：安振平问题6347、6348的证明唐景豪：一道优美的解三角形问题的另解戴汉有：Mathematical Reflections 5(2020)问题J532和O530的证明杨志明：安振平问题6342的证明戴汉有：安振平问题6342的证明杨志明：安振平问题6343的证明杨志明：安振平问题6344的证明刘锐：函数观点下的安振平问题6337的一个证明杨志明：安振平问题6339的证明杨志明：安振平问题6242的证明吴康：一组漂亮的几何恒等式----《数学教学》2021年第6期问题1121的求解及推广戴汉有：加拿大数学难题杂志（2021年6月号）86的证明杨志明：安振平问题6337的证明戴汉有：安振平问题6338的证明杨志明：四个二元不等式的证明杨志明：安振平问题6335的证明杨志明：刘保乾提出的一个三元二次不等式的证明戴汉有：安振平问题6329、6330的证明杨志明：安振平问题6329的证明杨志明：安振平问题6330的证明杨志明：安振平问题6326的证明杨志明：安振平问题6328的证明刘锐：安振平问题6320的又一个证明杨志明：安振平问题6325的证明戴汉有：安振平问题6320的证明杨志明：安振平问题6321的证明杨志明：安振平问题6322的证明杨志明：《数学通报》数学问题2610的证明戴汉有：构造三角形解题两例杨志明：安振平问题6318的否定与修正戴汉有：加拿大数学难题杂志（2021年6月号）4656的证明刘锐：安振平问题6313的又一个证明戴汉有：安振平问题6316的证明杨志明：安振平问题6314、6315、6316的证明杨志明：安振平问题6310的证明张克显：杨志明代数征解问题3的解答杨志明：《数学通报》数学问题2608的证明杨志明：安振平问题6311的证明杨志明：安振平问题6313的证明戴汉有：证sqing一个不等式戴汉有：安振平问题6309的证明杨志明：安振平问题6309的证明杨志明：安振平问题6308的证明戴汉有：几个sqing不等式的证明戴汉有：安振平问题6306、6307的证明杨志明：安振平问题6301的证明杨志明：安振平问题6302的证明刘锐：安振平问题6300的又一个证明刘锐：安振平问题6298的又一个证明戴汉有：安振平问题6296的证明杨志明：安振平问题6298的证明杨志明：安振平问题6299的证明戴汉有：Sqing一个不等式的证明杨志明：一道2021德国数学奥林匹克不等式题的证明及上界戴汉有：安振平问题6295的两种证明唐景豪：柯西不等式在函数最值问题中的运用杨志明：安振平问题6291的证明杨志明：安振平问题6292的证明杨志明：安振平问题6293的证明戴汉有：安振平问题6287的证明杨志明：安振平问题6287的证明及推广杨志明：安振平问题6288的证明杨志明：安振平问题6289的证明戴汉有：安振平问题6282、6283、6284的证明杨志明：安振平问题6282、6283、6284的证明杨志明：安振平问题6242的证明杨志明：一道三元条件最值问题的解答杨志明、戴汉有：安振平问题6276的两种证明戴汉有：再证一个数列难题杨志明：安振平问题6277的三种证明杨志明：安振平问题6278的证明一道椭圆难题的解答吴国胜：一个二元不等式的加强及其逆向不等式杨志明：安振平问题6271的证明杨志明：2021年德国数学奧林匹克第1题解答戴汉有：2021阿贝尔数学竞赛题2B和4A的解答戴汉有：安振平问题6270的证明杨志明：安振平问题6270的证明王小国：张云华一个二元不等式的证明杨志明：一道解三角形最值的多种解法谢振亚：安振平问题6264的简证戴汉有：张云华一个二元不等式的证明袁方：数学通报2598问题的解答杨志明、戴汉有：安振平问题6264的两种证明戴汉有：再证一个不等式吴康：一道“谋财害命”的“小学题”杨志明、苏利祥：一道平面向量最值问题的两种解答睡仙：一个三元分式不等式的证明戴汉有：一道平面向量最小值问题的解答杨志明：安振平问题6261的证明及推广戴汉有、杨志明、刘锐：安振平问题6259的三种证明戴汉有：安振平问题6258的证明戴汉有：《数学通讯》2021年第6期问题500的解答戴汉有、杨志明：Mathematical 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【2018暑】初二数学实验班夏令营讲义
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E噩噩如果正整数n的各位数字和能被7整除，则称n为 “幸运颤” ，如果n是幸运
数，但n+l、n+2、．．、n+12均不是幸运数，则称n为 “超幸运数” ，求最小
的超幸运数 ．
�在十进制τ 3 将 2008 分解成若干个不同的E整数的罪口，使得每个E整数大
于 10 且各位数字均相同，例如 2008 = 1111 十 666 十 99 十 88十44, (1）将 8002 搜上述方式分解；（2）要求分解 8002 的个数最少．
o 任意一点A与真像点A’ 之间，恒高 OA' =k·OA （ 若 k>O,A 、A’ 在 为同
侧；若 k<O,A 、A’ 在0为异侧），则这个几何变换称为位似变换，真中0称
为位似中心，k称为位似比．
B'
B
A'
。
A
4’
A
(k>O)
(k<O)
设。为平面上一点，k是一个非零常数，。为一个角度． 若平面上存在一个 几何变躁，使得任意一点A与真像点A’ 之间，恒高： l)OA' =k· OA （若 k>O,A 、A＇ 在0同侧；若 k<O,A 、A’ 在0异侧），
(1 ）存在一个旋转位似变换将牛<lBC 变为 LA'B'C'
(2 ）设直线 BC 交直线 B'C＇ 于 D ，直线 CA 交直线 C'A＇ 于 E ，直线 AB 交直
线A’g于F，则 6.BB'D, 'E, 6.必4.'F 的外接圆共点．
c
A'
30
0
E噩噩 一个正三角形内接于单位正方形，则白的边长的范围是一一一一·
杨志明：利用对数平均不等式证明《数学教学》2021年第6期问题1124
杨志明：利用对数平均不等式证明《数学教学》2021年第6期问题1124精华博览17年新课标I、10年新课标II、5年新课标III高考数学真题详细解析16年新课标I、9年新课标II、4年新课标III高考数学真题分类详解2020年高考数学重要专题讲座2020届全国各地高考数学模拟试题选椭圆与双曲线性质的对偶113条:椭圆椭圆与双曲线性质的对偶113条:双曲线每日一题（001-099）试题分类2021年高考数学常用公式及结论单墫数学随笔文集（2019.10.20-2020.2.4）杨志明公开征解问题385题【相关链接】何小亚：数学教学的新背景、新问题、新标准和新实践【衔接教材】人民教育出版社中学数学室:《初高中数学衔接读本》【志愿参考】近三年广东高考投档分数及最低排位汇编！请及时收藏！最全！31省高考录取分数线汇总! 各省分数线普遍下降！25省一分一段表汇总! 你的成绩能排全省多少名? 能上什么大学?最新最全！2021高考各科答案和解析来了（持续更新...）附文字版高考试卷真题！罗碎海：2021年新高考I卷数学21题赏析与圆锥曲线的切割线定理杨志明：2021年高考函数题评析杨志明：利用高考导数客观题提升学生思维的个体品质杨志明：2021届高考临门一脚必备吹水哥：导数压轴20题及详细解答导数与三角函数的强强联姻——一个日益兴起的命题亮点杨志明：《数学通讯》2021年第9期问题513的纯代数解法及背景陈永清：孤立法确定讨论函数单调性的标准高考数学最后一课杨志明：单墫教授提供的一个恒等式的轻松证法杨志明：一类有趣的函数方程问题杨志明：3倍角三角形问题吴立修：三道解析几何难题的解答杨志明：一道椭圆离心率问题的解答杨志明：一道双曲线焦点弦问题的两种解法杨志明：一道无理根式最值的几种解法杨志明：一道解三角形的求值问题的解答及变式题一道数列不等式的证明杨志明：一道三元不等式的两种证法杨志明：也谈四类平均三角形的一条共性杨志明：一类二元条件不等式的证明杨志明：配方法证明一类三元二次多项式不等式杨志明：一道分式递推数列的通项公式的求法杨志明：一道三角函数最小值问题的解答刘洋、成黎明等：一道三角函数最小值问题的五种解法杨志明：一道解三角形取值范围问题的四种解法杨志明：一道解三角形最值的三种解法杨志明：一道三角函数最小值的求法杨志明：等项配置法证明一道浙江G12试题中的二元条件不等式杨志明：2021年协作体数学奥林匹克夏令营O水平考试填空题第6题的解答2021丘成桐领军人才计划首届数学“0试”第2题的解答杨志明：叶军数学工作站第171期问题研究B的两种证法杨志明：2021年浙江省数学夏令营测试第6题的解答杨志明、褚小光：《数学通讯》2021年第7期问题503的解答杨志明：《数学通讯》2021年第9期问题515的几何意义杨志明：《数学通报》数学问题2620的解答杨志明：一道立体几何求值题的解答杨志明：求导法求圆锥(柱)体积的最大值杨志明：宋庆的一类二元条件不等式的证明杨志明：宋庆提出的六个三元条件不等式的证明杨志明：宋庆提出的几个二元不等式的统一推广何小亚：2021年数学高考“评析”之我见文卫星：使你高考数学出色发挥的策略（实战篇）文卫星：使你高考数学出色发挥的策略（心理篇）杨志明：2021年新高考I卷压轴题的探源吴康：2021年新高考I卷数学19（几何）题试解与讨论吴康：2021年新高考I卷数学17（数列）题试解与讨论吴康：2021年新高考I卷数学22（微积分）题试解与讨论罗碎海：95年高考理科第26题的多种简捷解法及规律吴国胜：两类多参数最值问题的构造性解法及推广杨志明：基于数学文化背景下的解析几何高考题专题讲座15讲罗碎海：极点与极线性质的初等证明与应用杨志明：巧寻不等传递性妙证数列不等式杨志明：一道比较大小高考题中蕴含的背景不等式杨志明：一个含参数的函数不等式的证明一文学透：泰勒公式和高考数学高家华等：正方形内接三角形面积最小值问题的几种解法杨志明：高考圆锥曲线中的四点共圆杨志明：高考圆锥曲线中的三点共线杨志明：一道数列解答题的三种解法杨志明：一道解三角形问题的解答杨志明：一道优美的解三角形问题的解答杨志明：一道优美的解三角形类似问题的解答邵剑波、李启印等：一道解三角形问题的解法集锦杨志明：一道有关扇形中的平面向量取值范围问题的解答杨志明：一道有关三角形的平面向量最小值问题的解答杨志明：一道正方形中的米勒问题的解答杨志明：一道初中解三角形问题的几种解法吴国胜：《数学通报》数学问题2605的简解及新思考吴国胜：又两类最值问题的构造性解法及其推广杨志明：《数学教学》2021年第6期问题1121的解答杨志明：2021年浙江省数学夏令营测试第18题的解答杨志明：2019年北京大学博雅计划测试第7题的不等式解法兰琦讲座：怎样讲好一道数学题（含PPT）李尚志：上下求索专题1李尚志：上下求索专题2因式分解与韦达定理袁方：数学教学1123问题的解答2021年新高考I卷数学试题（B）及详细解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·理科)详细解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·文科)详细解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(乙卷·理科)详细解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(乙卷·文科)详细解析【高考资讯】2021年普通高考考试说明及样题公布！附答案李志敏：2021年高考数学新动向与备考建议 (深圳)杨志明：让数学解题思路来得自然些----一道高考数学模拟试题压轴题第（2）问思路分析杨志明：让数学解题思路来得自然些----一道运算技巧很高的椭圆解答题的解答杨志明：让数学解题思路来得自然些----也谈一道方程的解法让解题思路来得自然些----2021年东南数学奥林匹克数学竞赛高一第1题思路分析杨志明：让数学解题思路来得自然些----从一道三角形内角余弦值征解题谈起杨志明：让数学解题思路来得自然些----能否再简洁些杨志明：让数学解题思路来得自然些----从某地高一试卷第16题谈起潘越：三角型切线不等式的应用举例【高考资讯】新高考数学怎么命题？“题海战术”不再适用数学高考新“战场”！杨志明：2021年浙江省数学夏令营测试第5题的解答中高考最全考前准备攻略（学生、家长、老师必看）【他山之石】2021央视春晚中的高考考点（附春晚视频）【数学文化】高考必刷：数学文化110题【学科网公益直播】特级教师解读八省联考预测新高考考向八省联考数学试题解读杨志明：2020年高考数学重要专题讲座（新版）文卫星：如何解答高考数学压轴题杨志明：重难点手册（高三数学）：高中数学重点、难点、热点知识专题研究（共10专题）杨志明：函数与导数压轴题题型集锦杨志明：函数、导数、数列与不等式综合题精选杨志明：e^x的幂级数展开及应用杨志明：圆锥曲线中的不对称问题杨志明：解析几何中的三角形的重心问题杨志明：解析几何中的三角形的内心问题杨志明：解析几何中三角形的外心问题杨志明：解析几何中三角形的垂心问题杨志明：一道有关直线与圆的问题抄错之后【他山之石】圆曲相切模型大全！解析几何中斜率之比问题的16种方法和8种变式杨志明：试卷中的布罗卡角问题杨志明：高考中的计数问题杨志明：2020年北京高考理科第19题函数与导数解答题的另解近六年（2015-2020）广州调研数学解答题和客观题的压轴题分类集锦2007-2014年广州调研理（文）解答题和客观压轴题分类集锦近六年（2015-2020）广州一模数学解答题和客观题的压轴题分类集锦2007-2014年广州一模理（文）解答题和客观压轴题分类集锦近五年（2015-2019）广州二模数学解答题和客观题的压轴题分类集锦2007-2014年广州二模理（文）解答题和客观压轴题分类集锦近六年（2015-2020）广东省佛山市高三教学质量检测（二模）（理科）解答题分类解析集锦近六年（2015-2020）广东省佛山市高三教学质量检测（二模）（文科）解答题分类解析集锦2007-2014年广东省佛山市高三教学质量检测（二模）（理科）解答题分类解析集锦2007-2014年广东省佛山市高三教学质量检测（二模）（文科）解答题分类解析集锦2007-2014年广东省佛山市高三教学质量检测（一模）（理科）解答题分类解析集锦近六年（2015-2020）广东省佛山市高三教学质量检测（一模）（文科）解答题分类解析集锦杨志明：高考理科数学综合专题突破杨志明：高考文科数学综合专题突破杨志明：2020年高考数学重要专题讲座（新版）2021年上海市春季高考数学试卷（2021.01）杨志明：2021年香港中文大学（深圳）综合评价三角最值的解答王建伟：一个数列题的严谨解答李晟、王建伟：2021年上海春季高考第12题的初等解法王建伟：2021年上海春季高考第12题的加强版（修订版）【八省联考】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学、语文试题及简答2021八省适应性考试（数学）次压轴题的解答及探源八省联考第7题探源从2021八省适应性考试（数学）压轴题看高考命题趋势杨志明：用参数法简解2021年广东佛山二模解析几何解答题及推广杨志明：《数学通讯》2021年第5期问题495的一个简证及推广杨志明：作高法巧解《数学通报》数学问题2605杨志明：2017年江苏高考压轴题的别解杨志明：双曲线考查的“四重境界”杨志明：高考中的双曲线解答题2021年广东四校联考次压轴题及探究2021年广东四校联考理科第10题的解法探讨杨志明：利用椭圆的第三定义解2020年深圳二模解析几何解答题邬天泉：抛物线的内接三角形各边均与定圆相切的充要条件蒋杰、杨志明：一类无理指数幂比较大小问题的探究杨志明：一道对数比较大小问题的解答及推广杨志明：一个对数大小比较杨志明：一个函数不等式的加强邓启龙：函数极值点偏移问题的本质探究杨志明：一道教师解题比赛函数与导数恒成立题的另解杨士俊：一道最小值考题的再探究郭宏江：2020年新高考全国二卷解析几何的两种优解杨志明：一道有关三角形中线的平面向量题的解答及变式杨志明：一道平面向量最值问题的解答杨士俊：一道平面向量最值问题的两种别解杨志明：一道三角形中的平面向量数量积问题的解答杨志明：2021年香港中文大学（深圳）综合评价三角试题的几种解答杨志明：2021年协作体数学奥林匹克夏令营O水平考试填空题第4题的解答及相关题杨志明：2021年协作体数学奥林匹克夏令营A水平考试解答题第1题的解答杨志明：一道复数模的最值问题的简解杨士俊：一道三元最小值征解题的简解判别式法求三角形边的最小值一例杨志明：抛物线焦点弦的一个衍生性质及其应用罗碎海：从圆的反演变换到椭圆的反演变换17年新课标I、10年新课标II、5年新课标III高考数学真题详细解析2020年理科全国数学卷考试说明2020年文科全国数学卷考试说明2020年数学考试大纲解读、考卷分析与备考策略2019理科全国数学卷考试大纲2019文科全国数学卷考试大纲杨志明的高中数学解题笔记（函数）【函数讲座】第一章第十二节反函数杨志明：高考导数专题讲座杨志明：三角函数专题讲座杨志明：高考数列专题讲座杨志明：高考解析几何专题讲座(修订版 )杨志明：高考中的立体几何专题讲座基本不等式在高考中的综合应用杨志明：基本不等式在概率与统计中的应用杨志明：高考中的充分条件与必要条件杨志明：高考中的全称量词与存在量词杨志明：高考中的复数问题导数中的证明不等式的技巧杨志明：导数中的“设而不求”杨志明：解析几何中的“设而不求”三角形的五心问题集锦贾广素：总结五年试题规律，展望2021 年新高考命题趋势―――以全国新课标 I 卷理科与 2020 年新高考试题为例杨志明：一道平面几何问题的解答吴康：“奔驰定理”的复平面形式及其推论在高考数学与数学竞赛中的应用例谈杨志明：2020年吉林预赛第16题的简解及几何背景杨志明：一道平面几何问题的解答李启印：一道平面几何问题的另解龙泊廷：一道平面几何问题的简解杨志明：一道二次函数的解析式的求法王建伟：一道二次函数的解析式的简解杨志明：一道抛物线解答题的简解杨志明：一道有关三角形重心的平面向量题的解答杨志明：一道经典的立体几何解答题的解答杨志明：一道经典的椭圆定值解答题的解答杨志明：湖南省2021届高三下学期六校联考数学试题的第21题的简解及探源杨志明：一道椭圆焦点三角形填空题的解答杨志明：圆锥曲线微专题讲座31讲杨志明：圆与方程微专题讲座10讲杨志明：圆锥曲线解答题的常见题型杨志明：线段的定比分点公式在圆锥曲线中的应用杨志明：一类斜率之比为2的椭圆问题圆与方程专题讲座杨志明：相减法（或点差法）处理中点弦问题杨志明：定比点差法----点差法的拓展杨志明：与空间三种角有关的九个优美的公式杨志明：三余弦定理及其应用杨志明：圆锥曲线中的三角形面积的和、差、积、商问题杨志明：一道“蛋圆”问题的解答杨志明：2009年广东高考数学理科压轴题评析邹生书：从一道抛物线试题的多种解法到圆锥曲线“伴侣点”的一个和谐性质邬天泉：几道有关椭圆的弦心三角形的高考试题的探源杨志明：2021年广州一模解析几何解答题探究杨志明：2021年广州二模压轴题的探究杨志明：2021年广州二模次压轴题（圆锥曲线）的探源杨志明：2021年广州二模立体几何解答题探源杨志明：用参数法简解2021年广东佛山二模解析几何解答题及推广杨志明：2021年广东佛山二模函数与导数压轴题题第（2）问的简证杨志明：2021年深圳二模压轴题第（2）（ii)问的简证杨志明：2021年深圳二模次压轴题（圆锥曲线）的推广杨志明：2020~2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）圆锥曲线解答题探源及变式【他山之石】导数一题30问及详细解答【他山之石】一题82问，一次搞定椭圆全部考点！【他山之石】对数单身狗，指数找朋友【他山之石】三角函数与不等式联姻的五大命题点！杨志明：一道二次函数值域错解剖析一道无理根式函数的最小值的求法----兼谈安振平问题6180的解答杨志明：樊益武的一道函数不等式猜测的证明刘锐：樊益武一道函数不等式猜测的再证明王建伟：一类取值范围问题的严谨解答。
组合数学讲义 第一章1010 (PPT)
由乘法规则
例如：n＝3，有8个 000,001,010,011,100,101,110,111
例1-6 n 7 3 112 134 求除尽n的整数的个数. 除尽n的整数是
1.1 加法法则与乘法法则
7l1 11l 2 13l 3 , 0 l1 3, 0 l 2 2, 0 l 3 4,
这说明对应CnH2n+2的枝链是有 3n+2个顶点的一棵树， 其中n个顶点关联的边数为4； 其它2n+2个顶点是叶子。 对于这样结构的每一棵树，就 对应有一种特定的化合物。
n=4 丁烷
n=4异丁烷
从而可以通过研究具有上述性质的 树找到不同的碳氢化合物CnH2n+2.
• 例 在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的 比赛结果，失败者退出比赛),最后产生一名 冠军，问要举行几场比赛？ • • • • 解 一种常见的思路是按轮计场，费事。 各轮场数50＋25＋12＋6＋3＋2＋1＝99 剩余选手数目:50, 25, 13, 7, 4, 2, 1 另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集 一一对应。99场比赛。
1.2 一一对应
例-12 给定一棵有标号的树(n=7) 由树形成序列的过程：
边上的标号表示摘去叶 ⑦ ⑥ | 4| 的顺序。(摘去一个叶子 1 2 5 3 ②—③—①—⑤—④ 相应去掉一条边)
逐个摘去标号最小的叶子，叶子的相邻 顶点(不是叶子，是内点)形成一个序列， 序列的长度为n-2=5
第一次摘掉②，③为②相邻的顶点， 得到序列的第一个数3 以此类推，消去23465，得到序列31551, 长度为7－2 = 5，这是由树形成序列的过程。
1.2 一一对应
1.2 一一对应
• 例 (Cayley定理) n个有标号的顶点的树的 n 2 数目等于 n 。 • [树,离散数学概念,无向,连通,无环] • 两个顶点的树是唯一的。1－2 • n＝3时，树的数目3。 • 1－2－3，1－3－2，2－1－3
著名机构高三数学暑假班讲义第9讲.圆锥曲线的几何性质.尖子班
本讲分三小节，分别为第一定义与焦点三角形、第二定义与相似三角形、第三定义，建议用时2—3课时．由于这一讲主要介绍圆锥曲线的重要且常用的几何性质，而这些性质在之前的学习中并没有系统的介绍过，可以作为新课进行讲授．对于尖子班的学生，以介绍及证明性质为主要教学目标；对于目标班学生，以性质的灵活应用为主要教学目标．第一小节为第一定义与焦点三角形，共3道例题．其中例1主要讲解椭圆的焦点三角形的周长问题；例2主要讲解椭圆的焦点三角形的面积问题；例3主要讲解双曲线的焦点三角形的面积问题．第二小节为第二定义与相似三角形，在知识梳理时通过探索铺垫题的形式给出非圆圆锥曲线的第二定义，例题部分共2道，其中例4主要讲解第二定义与方程；例5主要讲解利用椭圆的第二定义构造相似三角形解过焦点的弦的相关问题；第三小节为第三定义，在知识梳理时通过探索铺垫题的形式给出有心圆锥曲线的第三定义，例题部分共2道，其中例5主要讲解椭圆的第三定义；例6主要讲解双曲线的第三定义．知识结构图第9讲圆锥曲线的几何性质93第9讲·教师版94第9讲·教师版椭圆22221x y a b +=（0a b >>）或双曲线22221x y a b-=上一点P （不在x 轴上）与两个焦点1F 、2F 形成的三角形称为焦点三角形．F 1yO x PF 2 F 2yO xPF 1焦点三角形与椭圆、双曲线的第一定义联系密切，因此解焦点三角形的问题是圆锥曲线问题中的重点问题．在解焦点三角形时，由于已知一边及另外两边的和（差），因此只需要再加一个条件就可以求解．考点：椭圆的焦点三角形【例1】 ⑴点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12F PF △的周长为 ．⑵点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △ 的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为 ．⑶点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 作直线l 交椭圆于点A 、点B ，则2F AB △的周长为 ．⑷如图，ABC △是椭圆内接等腰直角三角形，斜边2BC =．C 是椭圆的右焦点，椭圆的左焦点在边AB 上，则椭圆的长轴长为 ．【解析】 ⑴ 22a c +．⑵ 83．⑶ 4a ．⑷ 22+．【拓1】 ⑴ （2012年福建理）椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的经典精讲知识梳理9.1第一定义与焦点三角形CBA xOy95第9讲·教师版左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =．过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且2ABF △的周长为8．则椭圆E 的方程为 ．⑵ 椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，2ABF △的周长为_________；若A 、B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，且2ABF △的面积是4，则21y y -的值为___________．【解析】 ⑴ 22143x y +=．⑵ 16，477．【教师备案】椭圆焦点三角形面积公式及其推导对于椭圆22221x y a b +=（0a b >>），设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=，()222122cos 2m n c F PF mn+-∠=221b mn=-，∴21221cos b mn F PF =+∠ 于是1222121212sin 1sin tan 21cos 2F PF b F PF S mn F PF b F PF θ⋅∠=∠==+∠△．【例2】 ⑴已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>），()1,0F c -、()2,0F c 分别为椭圆的左、右焦点，动点P E ∈，连接1PF 、2PF 形成12PF F △．① 12PF F △面积的取值范围是 ； ② 设12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为 ；③ 综合①②，可知当P 点位于 位置时，12F PF ∠取得最大值． ④ 当椭圆离心率e 增大时，12F PF ∠的最大值 ．（填增大或减小）⑵已知点P 为椭圆22143x y +=上一点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，若12π3F PF ∠=，则点P 到x 轴的距离为 ．⑶已知椭圆22221x y a b+=，焦点为12,F F ，在椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．【追问】若将条件“12PF PF ⊥”改为“122π3F PF ∠=”，则离心率的取值范围是多少？【解析】 ⑴ ① (]0,bc ；② 2tan2b θ；③ 上顶点或下顶点；④ 增大．⑵3⑶ 21⎫⎪⎪⎣⎭． 【追问】31⎫⎪⎪⎣⎭． 【拓2】 ⑴ 1F 、2F 是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为 ．⑵ 设1F 、2F 分别为椭圆2214832x y +=的左右焦点，且点P 是椭圆上的一点．若12PF F △是直角96第9讲·教师版三角形，则点P 到x 轴的距离为 ．【解析】 ⑴ 2；⑵833；【拓3】 在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b c a +≥，求证：π3A ≤． 【解析】 如图以B 、C 为焦点2a 为长轴长构造椭圆，则∵2b c a +≥，∴点A 在椭圆上或椭圆外． 如图，容易证明π3A ≤，当且仅当A 为椭圆的上（下）顶点时取得等号． O yxAC B考点：双曲线的焦点三角形【教师备案】双曲线焦点三角形面积公式及其推导对于双曲线22221x y a b -=，设1PF m =，2PF n =，则2m n a -=，()222122cos 2m n c F PF mn+-∠=221b mn=-，∴21221cos b mn F PF =-∠ 于是1222121212sin 1sin cot 21cos 2F PF b F PF S mn F PF b F PF θ⋅∠=∠==-∠△．【例3】 ⑴已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >），()1,0F c -、()2,0F c 分别为双曲线的左、右焦点，动点P E ∈，连接1PF 、2PF 形成12PF F △，设12F PF θ∠=．① 12F PF △的面积为 ； ② θ的取值范围为 ． ⑵（2010年全国卷Ⅰ）已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则P 到x 轴的距离为 ．⑶设1F 、2F 为双曲线2211620x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上满足1290F PF ∠=︒，则P 的坐标为 ． ⑷（2011年华约）已知双曲线C ：22221x y a b-=（,0a b >），1F 、2F 分别为C 的左右焦点，97第9讲·教师版P 为C 右支上一点且使12π3F PF ∠=，又12F PF △的面积为233a ．则C 的离心率e = ． 【解析】 ⑴ ① 2cot 2b θ；② ()0,π．⑵6．⑶ 4101433⎛⎫±± ⎪⎝⎭，；⑷ 2．【备注】本铺垫的目的是通过推导焦半径公式，引入圆锥曲线的第二定义．【铺垫】已知(),0F c 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，点P 为椭圆上一点，若P 点的横坐标为0x ．⑴ 求证：P 点到右焦点的距离为0a ex -，其中e 为椭圆的离心率；⑵ ⑴的结论即20a PF e x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，指出20a x c -的几何意义；⑶ 指出⑵中等式的意义，并思考当题干中的右焦点F 改为左焦点时相应的结论变化．⑷ 结合抛物线的定义，试给出椭圆的第二定义，并思考该定义是否可以推广到双曲线．【解析】 ⑴ 利用两点间的距离公式即可推得；⑵ 20a x c -的几何意义时点P 到直线2a x c=的距离； ⑶ 椭圆上的点到右焦点与到直线2a x c =的距离之比为离心率e ，我们称直线2a x c =为椭圆的右准线．当右焦点变为左焦点时，右准线2a x c =也相应变为左准线2a x c =-．⑷ 平面上到定点与到定直线的距离之比为常数e （01e <<）的点的轨迹为椭圆； 该定义可以推广到双曲线：平面上到定点与到定直线的距离之比为常数e （1e >）的点的轨迹为双曲线．【教师备案】本组拓展题是关于焦半径公式的应用的，教师可以根据情况选用．焦半径公式：已知离心率为e ，长半轴长为a 的椭圆上一点P 的横坐标为0x ，则P 到左焦点的距离为0a ex +，P 到右焦点的距离为0a ex -．（可以利用“左加右减”记忆）已知离心率为e ，实半轴长为a 的双曲线左支上一点P 的横坐标为0x ，则P 到左焦点的距离9.2第二定义与相似三角形知识梳理98第9讲·教师版为()0ex a -+，P 到右焦点的距离为()0ex a --；已知离心率为e ，实半轴长为a 的双曲线右支上一点P 的横坐标为0x ，则P 到左焦点的距离为0ex a +，P 到右焦点的距离为0ex a -．【拓4】 ⑴ 椭圆221259x y +=上三个不同的点()11,A x y 、94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()22,C x y 到右焦点的距离成等差数列，则12x x +的值为 ．⑵ 已知椭圆22143x y +=，1F 、2F 为其两个焦点，则椭圆C 上 （填“存在”或“不存在”）点M ，使得点M 到左准线的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项．⑶（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离为 ．⑷（2010年江西）点()00A x y ，在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ．【解析】 ⑴ 8；⑵ 不存在⑶ 4．⑷ 2．由此例题可以引出非圆圆锥曲线的统一定义：圆锥曲线上的点到焦点距离与到准线距离的比为常数，且该常数即为离心率e ．如下图所示：考点：椭圆、双曲线的第二定义与方程【例4】 ⑴（2012年全国大纲卷理）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 ．⑵（2009年北京）已知双曲线C ：22221x y a b -=（,0a b >）的离心率为3，右准线方程为3x =，则双曲线的方程为 ． 经典精讲99第9讲·教师版⑶（2010年四川）已知()2,0F ，定直线l ：12x =，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．则点P 的轨迹为 ．【解析】 ⑴22184x y +=；⑵2212y x -=；⑶2213y x -=；考点：利用椭圆的第二定义构造相似三角形解过焦点的弦的相关问题【例5】 ⑴（2011年四中高二期中）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F c -．过点1F 且倾斜角为π3的直线与椭圆相交所得的弦被1F 分为2:1的两段，则椭圆C 的离心率为 ．⑵已知A 、B 为过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点F 的直线与椭圆的交点，判断11FA FB+是否为定值，并说明理由． ⑶已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ．若3FA FB =u u u r u u u r ，则AF =u u u r．【解析】 ⑴23． ⑵ 如图，作椭圆的左准线，设直线AB 与左准线交于点P ，过A 、F 、B 引左准线的垂线，垂足分别为M 、Q 、N ，则Q N MPOyxBA F根据椭圆的第二定义，AF BF e AMBM ==∵PMA PQF PNB △∽△∽△，∴AM FQ BN PAPFPB==于是设AM m =，BN n =，FQ p =，PF t =则AF me =，BF ne =，m p nt me t t ne==-+ 取倒数t t t e e m p n -==+，∴2t t t m n p +=，即112m n p +=∴11112AF BF me ne ep +=+=为定值，其中ce a=，22a b p c c c =-=100第9讲·教师版∴11FA FB +为定值22ab． 【备注】该结论可以推广到对于椭圆、双曲线、抛物线均适用的112FA FB ep+=．事实上ep 为圆锥曲 线的半通径长度．因此这个结论的文字叙述为：圆锥曲线焦点分过焦点的弦所得的两条线段的调和平均数为半通径长度． 例如：（2012年重庆理）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =56． ⑶2．【铺垫】（2011年湖北）平面内与两定点()1,0A a -、()2,0A a （0a >）连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状及离心率与m 值的关系．【解析】 设动点的坐标为(),x y ，那么y ym x a x a⋅=+-()222y m x a =-，222mx y ma -=，22221x y a ma -= 当0m >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，离心率为1m +；当10m -<<时，曲线C 是焦点在x 上的椭圆，离心率为1m +； 当1m =-时，曲线C 是圆；当1m <-时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，离心率为11m+． A 2A 1Oyxm<-1m=-1-1<m<0m>0这个例题可以拓展出去，即A 、B 可以是坐标平面上关于原点对称的任意两点()00,A x y 、9.3“第三定义”知识梳理101第9讲·教师版()00,B x y --，此时所得的轨迹中心为原点，对称轴与x 、y 轴平行．由此引出有心圆锥曲线的统一定义：当0m >时，轨迹方程22221x y a b -=（0x x ≠±），其中22b m a=，2200221x y a b -=；当10m -<<时，轨迹方程为22221x y a b +=（0x x ≠±），其中22b m a=-，2200221x y a b +=；当1m =-时，轨迹方程为222x y r +=（0x x ≠±），其中22200x y r +=． 我们称此为有心圆锥曲线的第三定义．于是立即有设A 、B 为椭圆22221x y a b+=上关于原点对称的两点，P 为椭圆上任意一点（P 点的横坐标与A 、B 点的横坐标均不相同），则直线PA 与直线PB 连线的斜率乘积为定值22b a-；设A 、B 为双曲线22221x ya b-=上关于原点对称的两点，P 为双曲线上任意一点（P 点的横坐标与A 、B点的横坐标均不相同），则直线PA 与直线PB 连线的斜率乘积为定值22b a．考点：椭圆的第三定义 【例6】 ⑴（2010年北京）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A ()1,1-关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-．则动点P 的轨迹方程为 ．⑵（2011年东城高三期末）设A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ．证明：MBP △为钝角三角形．OyxMPBA【解析】 ⑴ 2234x y +=（1x ≠±）．⑵ 只需要证明0BM BP ⋅<u u u u r u u u r即可．设点(),M x y ，()4,P m 则 ()()2,2,24BM BP x y m x my ⋅=-⋅=-+u u u u r u u u r…… ①由于M 在椭圆上等价于1264MA MB y m k k x ⋅=⋅=--，∴332my x =-+ …… ② 经典精讲102第9讲·教师版将②代入①，有3243122xBM BP x x ⋅=--+=-u u u u r u u u r由于2x <，∴0BM BP ⋅<u u u u r u u u r，因此MBP △为钝角三角形．【拓5】 （2009年海淀一模）椭圆方程为22142x y +=，A 、B 为长轴端点，M 为直线2x =上任意一点，连接AM 交椭圆于P 点．⑴ 求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r为定值；⑵ 是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．MQPB AOyx【解析】 ⑴ 设()2,M m ，(),P x y ，则2142AP BP k k ⋅=-=-于是1242y m x ⋅=--，整理有24my x +=．而24OP OM my x ⋅=+=u u u r u u u u r 为定值∴原命题成立．⑵ 假设存在定点Q ，设()2,M m ，(),P x y ，(),0Q n 则由以MP 为直径的圆通过MQ 与BP的交点有0MQ BP ⋅=u u u u r u u u r．∴()()2,2,n m x y --⋅-224nx n x my =--+-0= ……①．而2142AP BP k k ⋅=-=-，于是1422m y x ⋅=--，整理有24my x += ……②将②代入①，有()20n x -=，解得0n =．∴存在x 轴上的定点()0,0Q ，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．考点：双曲线的第三定义 【例7】 ⑴已知点P 在双曲线222x y a -=（0a >）的右支上（P 与2A 不重合），1A 、2A 分别为双曲线的左、右顶点，且21122A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠=（ ） A ．30︒ B ．27.5︒ C ．25︒ D ．22.5︒⑵（2011年江西）()00,P x y （0x a ≠±）是双曲线E ：22221x y a b-=（,0a b >）上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为15，则双曲线的离心率为 ；【解析】 ⑴ D ．103第9讲·教师版⑵305．1、设1F 、2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形12PFQF 的面积最大时，12PFPF ⋅u u u r u u u u r的值等于 ． 【解析】 2-． 2、已知椭圆22221x y a b+=的左焦点、右焦点分别为1F 、2F ，且椭圆上存在两点P 、Q ，使得12120F PF ∠=︒，1260FQF ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围为 ，12F PF △的面积与12F QF △的面积之比为 ．【解析】 3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，3:1．3、设1F 、2F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则12PF F △的面积为 ，12PF PF +=u u u r u u u u r．【解析】 9；210． 4、设1F 、2F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A 、B 在椭圆上．若125F A F B =u u u r u u u u r ，则1F A ．【解析】 3． 5、（2009年福建）已知椭圆C ：2214x y +=的左、右顶点分别为A 、B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线l ：103x =分别交于M 、N 两点．求线段MN 的长度的最小值．DA SNB My x O【解析】 83．课后习题104第9讲·教师版6、 已知A 、B 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点，P 是椭圆上异于A 、B 的动点．试证明：当P 为椭圆的上顶点或下顶点时APB ∠最大．【解析】 设直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则2122b k k a=-．注意到APB ∠为钝角，于是2122212112221212tan 11b k k k a k a b APB k b k k c a k a+⎛⎫-=-=-=-⋅+ ⎪ ⎪+⋅⎝⎭-∠ 于是当且仅当1bk a=时APB ∠最大，即原命题得证．。
杨志明：一个优美的三角形恒等式及其应用
杨志明：一个优美的三角形恒等式及其应用公众号“杨志明数学角”创建于2019年3月1日.创号宗旨：为热爱数学、研究数学的学生、教师、家长和数学爱好者搭建学习交流的平台，提高学习效率和教学效率，促进自身数学素质的提高，增进友谊.本公众号立足高考、自招和竞赛，热烈欢迎各位专家和数学爱好者不吝赐稿.来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，特别欢迎短小的原创文稿，只接受word版文档格式的电子稿件，文责自负，投稿邮箱：**************，投稿微信号：135****8805.【相关链接】杨志明付谦杨俊王信元：一道求值题的三种解法陈永成：用排序不等式证一个代数不等式题顾同学：一个四元不等式的证明赵应南：一个代数不等式猜想的证明杨志明：2019年北京大学暑期综合营数学试题中的平面几何题的试卷三角法证明杨志明：2019年北京大学暑期综合营数学试题中的平面几何题的证明杨志明：2019年北京大学暑期综合营数学试题中的最值问题背景杨志明：2019年地中海地区数学奥林匹克试题中的不等式的证明杨诗田：齐次化简证2018年俄罗斯数学奥林匹克不等式杨俊、古小杰：2019年上海市高三数学竞赛第8小题的另两种解法杨志明：一个三角形最值问题的多解杨志明：2019年上海市高三数学竞赛第8小题的两种解法杨志明：2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（二）压轴题的几何背景2019年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题三套杨志明：利用均值不等式证明2019年女子数学奥林匹克不等式杨志明：利用惠更斯不等式证明2019年女子数学奥林匹克不等式杨志明：《中等数学》数学奥林匹克问题高625的变式题杨志明：第三届北方希望之星数学夏令营第6题最大值的类似问题杨志明：第三届北方希望之星数学夏令营第6题最大值的解法叶超杰：第三届北方希望之星数学夏令营第6题不等式蒋杰：第三届北方希望之星数学夏令营第6题最大值的一种解法郑小彬：一道三元分式不等式的加强张云华：用二元均值不等式证一道三元分式不等式杨志明：一道三元分式不等式的证明2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级详细解答2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高二年级详细解答湖南省数学协作体 2019联赛模拟考试（一）试题及答案杨志明：构造常数列解第54届蒙古数学奥林匹克（2018）数列与数论综合题吴国胜：加拿大数学难题杂志2019年4月号4431又一方法杨志明：加拿大数学难题杂志2019年4月号4431的类似题郑小彬：加拿大数学难题杂志2019年4月号4431的类似题的简证杨志明：加拿大数学难题杂志2019年4月号4431的类似题的逆向问题杨志明：2018年希腊国家队选拔考试中的不等式的两种证法杨志明：一个三元条件不等式的证明及变式叶超杰：加拿大数学难题杂志2019年4月号4431的一种换元法证明杨志明：加拿大数学难题杂志2019年4月号4431的一种求导法证明黄书强：加拿大数学难题杂志2019年4月号4431的一种简证黄书强、杨志明：加拿大数学难题杂志2019年4月号4431的一种解答康希怀：利用立方和公式解答一道求取值范围的题目张云华：2019年罗马尼亚JBMO代表队选拔考试第一次考试一道二元最值题另解杨志明：一道无理方程的解答杨志明：几个代数不等式猜想的证明杨志明：一条三角形无理不等式链杨志明：一个二元条件最值问题的解答与推广杨志明：一道2007年四川高考题的题源及探讨苏淳：第45届(2019)俄罗斯数学奥林匹克试题及解答吴国胜：2018年全国初中数学联赛选择题第4题的一个推广杨志明：《数学通讯》（上半月）2019年6月第405题的解答杨志明：《数学通讯》（上半月）2019年6月第404题的解答与推广杨志明：《数学通讯》（上半月）2019年6月第403题的解答杨志明、江保兵----《数学通讯》（上半月）2019年6月第402题的解答杨志明----《数学通讯》（上半月）2019年6月第401题的解答与拓展林才雄、郑小彬、鲁和平、黄磊：一道二元函数最值问题的四种解法刘天然----《数学通报》数学问题解答2481的类似杨志明----《数学通报》数学问题解答2481的加强与推广杨志明----有奖解题擂台（123）的三种证法杨志明----一个三角形不等式的隔离龚固----一个含参数三角形不等式的最佳系数刘天然、郑小彬----一个三角形不等式的两种解答龚固、杨运新----一个较难的三角形不等式的两种漂亮的证明沈志军----一道求值问题的另一个解答古小杰----导函数之----先猜后证李矛----答奕轩老师算术加权不等式参数最小值问题杨志明----一个三角形不等式的加强汪长银----问题征解（2019.4.13）的解答有奖解题擂台（119）的否定有奖解题擂台（115）的解答杨志明----椭圆与双曲线性质的对偶113条----椭圆杨志明----椭圆与双曲线性质的对偶113条----双曲线每日一题（001-099）试题分类。
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求 a1 a2 an1 an 的最大值.
a2 a3
an a1
9、设实数 a, b, c 使得多项式 f x x3 ax2 bx c 有三个实数根（根可以相等）.
3
求证：12ab 27c 6a3 10 a2 2b 2 .
10、设 M 是 ABC 所在平面上的一点， H 是 ABC 的垂心， R 是外接圆半径，求 MA3 MB3 MC3 3 R MH 2 2
n
5 、 设 pi (1 i n) 为 给 定 的 正 实 数 ， 对 满 足 ai pi 1 的 实 数 a1, a2 ,, an ， 求 i 1
n
n
ai2 ( ai )2 的最小值.
i 1
i 1
6、找出最大的实常数 k ，使得
若 a1, a2, a3, a4
0
，满足 ai2
a
2 j
ak2
2
aia j a jak ak ai
对任意1 i j k 4
都成立，则有 a12 a22 a32 a42 k a1a2 a1a3 a1a4 a2a3 a2a4 a3a4 .
7 、 设 1 x1 xn , 1 y1 yn . 对 任 意 正 整 数 k(1 k n) ， 有
3、设 a1, a2 ,, a6
1, 3
3
，求证：
6 i 1
ai ai1 ai1 ai2
0.
nk j
nk
4、求证：对正实数 x1, x2 ,, xn 有
xi 2 ( x j )2 xk1 .
k 1 j1 i1
k 1 j1
的最பைடு நூலகம்值．
x1x2 xk y1 y2 yk .
求证： (1 1 )(1 1 )(1 1 ) (1 1 )(1 1 )(1 1 ) .
x1
x2
xn
y1
y2
yn
8、设 a1, a2 ,, an 1(n 2) ，且 ak1 ak 1 ， k 1, 2,, n 1 .
数学协作体夏令营讲义
湖南师大附中 羊明亮
1、设 x1, x2 ,, xn 0 ，满足 x1 x2 xn n .求证：
n
i 1
1
xi
i xi2
xi1 i
n i 1
1
xi
i 1 xi2
xii
.
2、设 a, b, c, d 是正实数满足 abcd 4 ， a2 b2 c2 d 2 10 ，试求 ab bc cd da 的最大值.