数学协作体夏令营讲义(羊明亮)

求 a1 a2 an1 an 的最大值.
a2 a3
an a1
9、设实数 a, b, c 使得多项式 f x x3 ax2 bx c 有三个实数根（根可以相等）.
3
求证：12ab 27c 6a3 10 a2 2b 2 .
10、设 M 是 ABC 所在平面上的一点， H 是 ABC 的垂心， R 是外接圆半径，求 MA3 MB3 MC3 3 R MH 2 2
n
5 、 设 pi (1 i n) 为 给 定 的 正 实 数 ， 对 满 足 ai pi 1 的 实 数 a1, a2 ,, an ， 求 i 1
n
n
ai2 ( ai )2 的最小值.
i 1
i 1
6、找出最大的实常数 k ，使得
若 a1, a2, a3, a4

0
，满足 ai2

a
2 j

ak2

2
aia j a jak ak ai
对任意1 i j k 4
都成立，则有 a12 a22 a32 a42 k a1a2 a1a3 a1a4 a2a3 a2a4 a3a4 .
7 、 设 1 x1 xn , 1 y1 yn . 对 任 意 正 整 数 k(1 k n) ， 有
3、设 a1, a2 ,, a6


1, 3
3

，求证：
6 i 1
ai ai1 ai1 ai2
0.
nk j
nk
4、求证：对正实数 x1, x2 ,, xn 有
xi 2 ( x j )2 xk1 .
k 1 j1 i1
k 1 j1
的最பைடு நூலகம்值．
x1x2 xk y1 y2 yk .
求证： (1 1 )(1 1 )(1 1 ) (1 1 )(1 1 )(1 1 ) .
x1
x2
xn
y1
y2
yn
8、设 a1, a2 ,, an 1(n 2) ，且 ak1 ak 1 ， k 1, 2,, n 1 .
数学协作体夏令营讲义
湖南师大附中 羊明亮
1、设 x1, x2 ,, xn 0 ，满足 x1 x2 xn n .求证：
n
i 1
1
xi

i xi2
xi1 i

n i 1
1
xi
i 1 xi2
xii
.
2、设 a, b, c, d 是正实数满足 abcd 4 ， a2 b2 c2 d 2 10 ，试求 ab bc cd da 的最大值.