初三下册数学知识点
初三下册数学知识点
初三下册数学知识点初三下册数学知识点1一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。
(数字与字母的积包括单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。
划分代数式类别时，是从外形来看。
如，=x, =│x│等。
4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。
7.算术平方根⑴正数a的正的平方根( [a与平方根的区别]);⑵算术平方根与绝对值① 联系：都是非负数，=│a│②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数⑴ ( 幂，乘方运算)① a0时，②a0时， 0(n是偶数)， 0(n是奇数)⑵零指数： =1(a0)负整指数： =1/ (a0,p是正整数)初三下册数学知识点2圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
九年级下册沪教版数学知识点总结
九年级下册沪教版数学知识点总结圆的确定1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的两要素是圆心和半径。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
3.圆心相同的圆叫做同心圆。
半径相等的圆叫做等圆。
4.经过一点A 可以做无数个圆。
经过A 、B 可以作无数个圆。
经过不在同一直线上的三个点A 、B 、C 可以做1个圆。
5.三角形的外接圆的圆心叫做外心。
6.一个三角形有1个外接圆，一个圆有无数个内接三角形。
7.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。
8.经过四边形四个顶点的圆叫做四边形的外接圆。
经过多边形每个顶点的圆叫做多边形的外接圆。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）1.联接圆上任意两点间的线段叫做弦。
过圆心的弦就是直径。
2.直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3.从圆心到弦的距离叫做弦心距。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（2）1.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的劣弧或优弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优劣弧、两条弦、或两条弦心距，这四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也相等。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）1.角平分线上的点到角两边的距离相等。
垂径定理（1）1.垂径定理：如果圆的直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（推论：弦心距平分弦）垂径定理（2）1.如果圆的直径平分炫（这条弦不是直径），那么这条直径垂直这条弦，并且平分这条弦所对弧。
2.如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直平分这条弧所对的弦。
3.如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
4.如果一条直线平分弦和它所对的一条弧，那么这条直线过圆点，并且垂直这条弦。
5.如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线过圆点，并且平分这条弦。
人教版九年级数学下册 第16讲 等腰、等边即直角三角形 知识点梳理
(4) 勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2.
（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
知识点二：角平分线和垂直平分线
3.角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.
(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
6.直角三角形的判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
人教版初三数学下册中考知识点梳理：第7讲分式方程
第7讲分式方程一、知识清单梳理中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．如图，65,AFD CD EB ∠=︒∕∕，则B 的度数为（ ）A ．115°B ．110°C ．105°D ．65°【答案】A【解析】根据对顶角相等求出∠CFB ＝65°，然后根据CD ∥EB ，判断出∠B ＝115°． 【详解】∵∠AFD ＝65°， ∴∠CFB ＝65°， ∵CD ∥EB ，∴∠B ＝180°−65°＝115°， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，知道“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．2．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=1．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A ．25B ．35C ．5D ．6【答案】C【解析】试题分析：连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ，EF ⊥AC ；利用”AAS 或ASA”易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC ；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=45，且tan ∠BAC=12BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=25，tan ∠BAC=12EM AM =可得EM=5；在Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=2．故答案选C ．考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．3．如图，已知抛物线21y x 4x =-+和直线2y 2x =.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2. 下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大； ③使得M 大于4的x 值不存在； ④若M=2，则x=" 1" . 其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】试题分析：∵当y 1=y 2时，即2x 4x 2x -+=时，解得：x=0或x=2，∴由函数图象可以得出当x ＞2时， y 2＞y 1；当0＜x ＜2时，y 1＞y 2；当x ＜0时， y 2＞y 1．∴①错误．∵当x ＜0时， -21y x 4x =-+直线2y 2x =的值都随x 的增大而增大，∴当x ＜0时，x 值越大，M 值越大．∴②正确．∵抛物线()221y x 4x x 24=-+=--+的最大值为4，∴M 大于4的x 值不存在．∴③正确；∵当0＜x ＜2时，y 1＞y 2，∴当M=2时，2x=2，x=1；∵当x ＞2时，y 2＞y 1，∴当M=2时，2x 4x 2-+=，解得12x 22x 22=+=-，（舍去）． ∴使得M=2的x 值是1或22+．∴④错误． 综上所述，正确的有②③2个．故选B ．4．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC 的面积为10，且sinA ＝55，那么点C 的位置可以在（ ）A ．点C 1处B ．点C 2处 C ．点C 3处D ．点C 4处【答案】D 【解析】如图：∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin 5A =, ∴545DC AC AC ==,∴AC=45, ∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C =228445+=,故答案为D. 5．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位【答案】D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意； B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意； C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意； D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意； 故选D.6．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，若∠C ＝65°，则∠P 的度数为( )A ．65°B ．130°C ．50°D ．100°【答案】C【解析】试题分析：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C ． 考点：切线的性质．79153 ） A ．2到3之间 B ．3到4之间 C ．4到5之间 D ．5到6之间【答案】D915335，∵253，∴355到6之间．故选D ． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键． 8．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-． 【答案】C【解析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】A 、关于反比例函数y=-4x，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误； B 、关于反比例函数y=-4x ，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误； C 、关于反比例函数y=-4x ，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而增大，故此选项正确；D 、关于反比例函数y=-4x，当x ＞1时，y ＞-4，故此选项错误；故选C ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．9．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】C【解析】解:如图所示，分别作直线AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G 、H 、I ．因为六边形ABCDEF 的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°． 所以AFI BGC DHE GHI 、、、都是等边三角形．所以31AI AF BG BC ====，． 3317GI GH AI AB BG ∴==++=++=， 7232DE HE HI EF FI ==--=--=， 7124CD HG CG HD ．=--=--= 所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15； 故选C ．10．如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为AB 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ）A ．34B ．35C ．43D ．45【答案】D【解析】如图，连接AB ，由圆周角定理，得∠C=∠ABO ，在Rt △ABO 中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5， ∴4cos cos 5OB C ABO AB =∠==． 故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在正五边形ABCDE 中，AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为_____．【答案】72°【解析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．【详解】∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案为72°．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键12．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______．【答案】20 cm．【解析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.【详解】解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．根据勾股定理，得2222''++（cm）．A B A D BD121620故答案为：20cm. 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．13．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长____cm ．【答案】13【解析】试题解析：因为正方形AECF 的面积为50cm 2， 所以25010AC cm =⨯=， 因为菱形ABCD 的面积为120cm 2， 所以21202410BD cm ⨯==， 所以菱形的边长22102413.22cm ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为13.14．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为4时，阴影部分的面积为_____．【答案】4π﹣1【解析】分析：连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解． 详解：连接OC ∵在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，∴∠COD=45°， ∴OC=2CD=42，∴阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积 =22451(42)43602π⨯⨯-⨯=4π-1． 故答案是：4π-1.点睛：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．15．如图所示，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：3，则S △BDE ：S 四边形DECA 的值为_____．【答案】1：1【解析】根据题意得到BE ：EC=1：3，证明△BED ∽△BCA ，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】∵S △BDE ：S △CDE =1：3， ∴BE ：EC=1：3， ∵DE ∥AC ， ∴△BED ∽△BCA ， ∴S △BDE ：S △BCA =（BE BC）2=1：16， ∴S △BDE ：S 四边形DECA =1：1， 故答案为1：1． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 16．有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 【答案】13．【解析】分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有6种结果，其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是2163=． 故答案为13【点睛】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.17．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）【答案】12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为：x=1， ∴当x>1时，y 随x 的增大而增大. ∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 . 故答案为>18．如图，△ABC 中，AB ＝BD ，点D ，E 分别是AC ，BD 上的点，且∠ABD ＝∠DCE ，若∠BEC ＝105°，则∠A 的度数是_____．【答案】85°【解析】设∠A=∠BDA=x ，∠ABD=∠ECD=y ，构建方程组即可解决问题． 【详解】解：∵BA ＝BD ，∴∠A ＝∠BDA ，设∠A ＝∠BDA ＝x ，∠ABD ＝∠ECD ＝y ，则有21802105x y y x ︒︒⎧+=⎨+=⎩， 解得x ＝85°， 故答案为85°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，过点D 作⊙O 的切线．交BC 于点E ．求证：BE=EC 填空：①若∠B=30°，AC=23，则DE=______；②当∠B=______度时，以O ，D ，E ，C 为顶点的四边形是正方形．【答案】（1）见解析；（2）①3；②1.【解析】（1）证出EC 为⊙O 的切线；由切线长定理得出EC=ED ，再求得EB=ED ，即可得出结论； （2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB ，由勾股定理求出BC ，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE ；②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=1°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．【详解】（1）证明：连接DO ．∵∠ACB=90°，AC为直径，∴EC为⊙O的切线；又∵ED也为⊙O的切线，∴EC=ED，又∵∠EDO=90°，∴∠BDE+∠ADO=90°，∴∠BDE+∠A=90°又∵∠B+∠A=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=ED，∴BE=EC；（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，3∴3∴22AB AC，∵AC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，由（1）得：BE=EC，∴DE=12BC=3，故答案为3；②当∠B=1°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：∵∠ACB=90°，∴∠A=1°，∵OA=OD，∴∠ADO=1°，∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°，∵∠ODE=90°，∴四边形DECO 是矩形，∵OD=OC ，∴矩形DECO 是正方形．故答案为1．【点睛】本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21．解方程组4311,213.x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 【答案】53x y =⎧⎨=⎩ 【解析】将②×3，再联立①②消未知数即可计算. 【详解】解：②3⨯得：6339x y += ③①+③得：1050x =5x =把5x =代入③得10339y +=3y =∴方程组的解为53x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查二元一次方程组解法，关键是掌握消元法.22．春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在年春节共收到红包元，年春节共收到红包元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率. 【答案】小王在这两年春节收到的年平均增长率是【解析】增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2018年收到微信红包金额400（1+x ）元，在2018年的基础上再增长x ，就是2019年收到微信红包金额400（1+x ）（1+x ）元，由此可列出方程400（1+x ）2=484，求解即可． 【详解】解：设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率是. 依题意得：解得（舍去）.答：小王在这两年春节收到的年平均增长率是【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．求证：四边形OCED是矩形；若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=1，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC•BD=12×1×2=1，故答案为1．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.24．为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A 60≤x＜70 17 0.17B 70≤x＜80 30 aC 80≤x＜90 b 0.45D 90≤x＜100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：表中a=______，b=______；请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【答案】（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）16．【解析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a=30100=0.3，b=100×0.45=45（人）．故答案为0.3，45；（2）360°×0.3=108°．答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°．（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为212=16．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：本次一共调查了多少名购买者？请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？【答案】（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．【解析】分析：（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．详解：（1）56÷28%=200，即本次一共调查了200名购买者；（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），补全的条形统计图如图所示，在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×60200=108°，（3）1600×60+56200=928（名），答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26．若关于x的方程311x ax x--=-无解，求a的值.【答案】1-2a=或【解析】分析：该分式方程311x ax x--=-无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．详解：去分母得：x（x-a）-1（x-1）=x（x-1），去括号得：x2-ax-1x+1=x2-x，移项合并得：（a+2）x=1．（1）把x=0代入（a+2）x=1，∴a无解；把x=1代入（a+2）x=1，解得a=1；（2）（a+2）x=1，当a+2=0时，0×x=1，x无解即a=-2时，整式方程无解．综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．故答案为a=1或a=-2．点睛：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm【答案】C【解析】∵DG是AB边的垂直平分线，∴GA=GB，△AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm，又AB=20cm，∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm，故选C.2．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°【答案】B【解析】试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.考点：角度的计算3．已知a35a等于()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B351，进而得出答案．【详解】∵a35∴a=1．故选：B．【点睛】考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．4．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选B．考点：简单组合体的三视图．5．实数21-的相反数是（）A．21--B．21+C．21--D．12【答案】D【解析】根据相反数的定义求解即可．【详解】21-的相反数是-21+，故选D．【点睛】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．6．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．9cm B．13cm C．16cm D．10cm【答案】A【解析】试题分析：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE．易求AE及△AED的周长．解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7cm．∵AB=10cm，BC=7cm，∴AE=AB﹣BE=3cm．△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）．故选A．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）A．33πB．32πC．πD．32π【答案】A【解析】试题分析：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=23，∠A=30°，∴OB=3，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC长为6033 1803ππ⨯=．故选A.考点: 1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.弧长的计算．8．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（）A．a+b B．﹣a﹣c C．a+c D．a+2b﹣c【答案】C【解析】首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．【详解】解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，∴a+b＞0，c﹣b＜0∴|a+b|﹣|c﹣b|=a+b﹣b+c=a+c，故答案为a+c．故选A．9．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1 B．23C ．22D．52【答案】C【解析】分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=12PG，再利用勾股定理求得PG=2，从而得出答案．详解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵PAH GFH AH FHAHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=12 PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=12PG=12×22PD DG=22，故选：C．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．10．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，33)，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为()A．(32，332) B．(2，332) C．(332，32) D．(32，3﹣332)【答案】A【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=10°，点B的坐标为（0，33），∴AC=OB=33，∠CAB=10°，∴BC=AC•tan10°=33×33=1．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=10°，AD=33．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=10°，∴∠DAM=10°，∴DM=12AD=332，∴AM=33×cos10°=92，∴MO=92﹣1=32，∴点D的坐标为（32，332）．故选A．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________.【答案】1 4【解析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积=14S四边形，∴针头扎在阴影区域内的概率为14；故答案为：14．【点睛】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．12．如图，点A 是反比例函数y＝﹣4x（x＜0）图象上的点，分别过点A 向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为______．【答案】4﹣π【解析】由题意可以假设A（-m，m），则-m2=-4，求出点A坐标即可解决问题.【详解】由题意可以假设A（-m，m），则-m2=-4，∴m=≠±2，∴m=2，∴S阴=S正方形-S圆=4-π，故答案为4-π．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征、正方形的性质、圆的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题13．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是___．【答案】12【解析】根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，而从C 向A 运动时，BP 先变小后变大，从而可求出线段长度解答．【详解】根据题意观察图象可得BC=5，点P 在AC 上运动时，BP ⊥AC 时，BP 有最小值，观察图象可得，BP 的最小值为4，即BP ⊥AC 时BP=4，又勾股定理求得CP=3，因点P 从点C 运动到点A ，根据函数的对称性可得CP=AP=3，所以ABC ∆的面积是13+342⨯⨯（）=12. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是 ．【答案】.【解析】试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF ，根据余弦的概念计算即可．由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°，∵∠B=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠EFC=∠BAF ，cos ∠BAF==，∴cos ∠EFC=，故答案为：．考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.15．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长____cm ．【答案】13【解析】试题解析：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以25010AC cm=⨯=，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以21202410BD cm⨯==，所以菱形的边长22102413.22cm ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为13.16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．【答案】1.5【解析】在Rt△ABC中，225AC=AB+BC=，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝1．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE1＝B′E1＋B′C1，∴（4－x）1＝x1＋11．解之得32x=．17．某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利20%,若该书的进价为21元,则标价为___________元.【答案】28【解析】设标价为x元，那么0.9x-21=21×20%，x=28.18．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于____度．【答案】30【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AE=CE，根据折叠可得：BC=CE，则BC=AE=BE=AB，则∠A=30°.考点：折叠图形的性质三、解答题（本题包括8个小题）19．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y （件)与销售价x （元/件）之间的函数关系如图所示．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；求每天的销售利润W （元)与销售价x （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()401016y x x =-+≤≤ （2）()225225x --+，16x =，144元 【解析】（1）利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润⨯销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．【详解】（1）设y 与x 的函数解析式为y kx b =+，将()10,30、()16,24代入，得：10301624k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：140k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 与x 的函数解析式为()y x 4010x 16=-+；（2）根据题意知，()()()2W x 10y x 10x 40x 50x 400=-=--+=-+- ()2x 25225=--+， a 10=-<，∴当x 25<时，W 随x 的增大而增大，10x 16，∴当x 16=时，W 取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．20．省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．m= %，这次共抽取名学生进行调查；并补全条形图；在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？【答案】(1)、26%；50；(2)、公交车；(3)、300名.【解析】试题分析：(1)、用1减去其它3个的百分比，从而得出m的值；根据乘公交车的人数和百分比得出总人数，然后求出骑自行车的人数，将图形补全；(2)、根据条形统计图得出哪种人数最多；(3)、根据全校的总人数×骑自行车的百分比得出人数.试题解析：(1)、1﹣14%﹣20%﹣40%=26%；20÷40%=50；骑自行车人数：50－20－13－7=10(名) 则条形图如图所示：(2)、由图可知，采用乘公交车上学的人数最多(3)、该校骑自行车上学的人数约为：1500×20%=300（名）．答：该校骑自行车上学的学生有300名．考点：统计图21．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B 与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG 为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34）。
初三数学知识点总结归纳(4篇)
初三数学知识点总结归纳初三数学复习五大方法初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
初三数学知识点总结归纳（二）1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2.非负数：正实数与零的统称。
（表为：x0）性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a（a1）;B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义（三要素）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
华师大版九年级[下册]数学知识点总结
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华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
初三数学知识点总结大全(热门6篇)
初三数学知识点总结大全（热门6篇）初三数学知识点总结大全第1篇1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（平面镶嵌）。
镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形。
13、公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形、②边形共有条对角线。
初三数学知识点总结大全第2篇平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A 的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
苏教版九年级数学知识点归纳总结
苏教版九年级数学知识点归纳总结九年级下册数学知识点归纳一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.性质：(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应。
3.判定定理：(1)两角对应相等，两三角形相似;(2)两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似;(3)三边对应成比例，两三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
初三数学复习资料因式分解的方法1.十字相乘法(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;(4)检验。
2.提公因式法(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式;①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式;③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
3.待定系数法(1)确定所求问题含待定系数的一般解析式;(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程;(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
九年级下册数学全部知识点
九年级下册数学全部知识点一、有理数和小数1. 有理数的概念和分类2. 有理数的加法、减法、乘法和除法操作3. 小数的概念和表示方法4. 有限小数和循环小数的转换和运算5. 乘方和开方的计算二、代数式和方程式1. 代数式的概念和基本性质2. 一元一次方程的解法和实际应用3. 一元二次方程的解法和实际应用4. 不等式的解集和图像表示5. 平方差公式和完全平方公式的应用三、函数和图像1. 函数的定义和性质2. 一次函数的表达式、图像和性质3. 二次函数的表达式、图像和性质4. 绝对值函数的表达式、图像和性质5. 渐近线和奇偶性的判断四、几何图形与变换1. 平行线和垂直线的性质及判定2. 三角形的分类、性质和判定3. 四边形的分类、性质和判定4. 圆的性质和常见定理5. 平移、旋转、翻转和投影变换五、统计与概率1. 统计图表的制作和分析2. 中心、离散和形状的度量3. 概率的基本概念和计算方法4. 事件的独立性和互斥性以上列举了九年级下册数学的全部知识点，从有理数和小数的基础概念，到代数式和方程式的解法，再到函数和图像的性质和变换，以及几何图形和统计概率的应用，包含了数学学科的主要内容。
在学习这些知识点时，需要掌握基本的计算方法和推理能力，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
数学作为一门学科，不仅有自己严谨的逻辑和推理规律，还有广泛的应用领域。
通过学习九年级下册数学知识，不仅可以提高我们的数学素养，还能培养我们的分析问题和解决问题的能力。
希望同学们能够认真学习，掌握这些知识，为将来更高层次的数学学习打下坚实的基础。
九年级下册数学知识点汇总(人教版)
九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。
人教版九年级下册数学课本知识点总结
人教版九年级下册数学课本知识点总结第二十六章反比例函数一、反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点．二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x≠，函数值0y≠，所以它的图像与x 轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
三、反比例函数及其图像的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图像：（1）图像的形状：双曲线，越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。
越小，图像的弯曲度越大。
（2）图像的位置和性质：当时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x 的增大而减小；当时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x 的增大而增大。
（3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支。
图像关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上。
．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。
九年级数学下册知识点总结
图1九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
初三数学主要知识点
初三数学主要知识点初三下册数学知识点总结一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法)f(x)=f(a)+f'(a)/1!.(x-a)+f''(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。
2.直角三角形的三条高交点在一个顶点上。
3.勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方四、利用三角函数测高1、解直角三角形的应用(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.(2)解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.初三数学复习资料轴对称知识点1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.角平分线上的点到角两边距离相等。
4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
九年级下册数学相似-知识点总结
九年级下册数学相似-知识点总结数学是一门让人们头疼的学科，尤其是在九年级下册的数学中，相似这个概念可能是让学生犯迷糊的一个知识点。
相似是几何学中一个非常重要的概念，它在解决几何问题时经常被运用。
在本文中，我将对九年级下册数学中与相似有关的知识进行总结和归纳，希望能够为同学们带来一些帮助。
1. 相似的基本概念相似指的是两个或多个图形在形状上相同，但是大小不同的情况。
当两个图形相似时，它们的对应边长之比相等，而对应的角度也相等。
这就是相似的基本概念。
在解决相似问题时，我们通常会用到比例和比例的性质。
2. 相似三角形相似三角形是相似的一个重要例子。
在解决相似三角形的问题时，我们可以利用三角形内角、相似三角形边长的比例关系，运用相似三角形的性质解题。
此外，还可以运用相似三角形的性质证明一些结论，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3. 相似的判定条件在判断两个图形是否相似的情况下，我们有一些判定条件可以依据。
其中一个常见的判定条件是AA相似判定法，也就是两个图形的对应角相等。
另一个常见的判定条件是三边比例相等判定法，也就是两个图形的三条边对应的比值相等。
这些判定条件可以帮助我们在解决相似问题时迅速确定是否相似。
4. 相似比例的运用相似比例是解决相似问题的关键。
当我们确定了两个相似图形之间的比例关系后，我们可以利用相似比例计算未知边长或角度，并解决与相似有关的各种几何问题。
在运用相似比例时，我们需要注意单位的转换和计算的准确性。
5. 长方体与正方体的相似在相似的概念中，长方体与正方体的相似问题也是常见的。
当两个立体图形相似时，它们的对应面的积之比等于对应边长的比值的平方。
我们可以运用这一性质解决立体几何中的相似问题，例如求解一个长方体与正方体的边长比例。
总结起来，在九年级下册的数学学习中，相似是一个重要的几何概念，掌握相似的基本概念、判定条件和相似比例的运用是解决相似问题的关键。
要注意运用相似比例时的单位转换和计算准确性。
初三(九年级)下册数学知识点归纳
初三（九年级）下册数学知识点归纳九年级下册知识点归纳包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容，是初三同学们和中考考生的必备资料!第二十六章二次函数26.1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3)) /((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
北师大版初三数学知识点
北师大版初三数学知识点初三下册数学知识点总结一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法)f(x)=f(a)+f'(a)/1!.(x-a)+f''(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。
2.直角三角形的三条高交点在一个顶点上。
3.勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方四、利用三角函数测高1、解直角三角形的应用(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.(2)解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.初三数学学习方法概念课要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣;在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。
习题课要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。
除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。
九年级下册数学圆知识点
九年级下册数学圆知识点数学中的圆是一种常见的几何图形，它在九年级下册的课程中占有重要的地位。
本文将详细介绍九年级下册数学中的圆知识点，包括圆的定义、圆的性质以及与圆相关的计算方法。
一、圆的定义在数学中，圆指的是平面上距离一个给定点（圆心）固定距离的所有点的集合。
圆通常用一个大写字母表示，圆心用字母O表示，半径用小写字母r表示。
圆的表示方法有两种，一种是以圆心和半径表示，如O(r)；另一种是以圆心和直径表示，如O(d)。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性：圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆周角的性质：圆周角是指以圆心为顶点的角，圆周角的度数是弧度的两倍，即圆周角的度数为360°。
3. 弧的性质：圆上的弧是指圆上的两点间的线段。
弧的长度可以通过弧度来计算，公式为：弧长 = 弧度 ×半径。
三、与圆相关的计算方法1. 圆的面积计算：圆的面积可以通过半径来计算，公式为：面积= π × (半径)^2。
其中，π是一个与圆相关的常数，近似值为3.14或22/7。
2. 圆的周长计算：圆的周长也可以通过半径来计算，公式为：周长= 2π × 半径。
四、圆的相关定理1. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么该线与半径的垂直线之间的夹角等于两条半径间的夹角。
2. 弦切定理：如果一条直线同时与一条弦和一个切线相切，那么切线与弦所在的圆周角相等。
3. 弧长定理：如果两个角所对的弧相等，则这两个角相等；反之，如果两个角相等，则这两个角所对的弧相等。
五、习题示例1. 已知圆的半径为4cm，求圆的周长和面积。
解：根据公式，周长= 2π × 半径= 2π × 4 = 8π cm，面积= π × (半径)^2 = π × 4^2 = 16π cm^2。
2. 已知圆的周长为12π c m，求圆的半径和面积。
解：根据公式，周长= 2π × 半径，可得半径 = 周长/ (2π) = (12π) / (2π) = 6 cm。
九年级数学下册重要知识点总结
初三数学下册重要知识点总结第 25章概率1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别2、概率注意：（ 1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.（ 2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.3、求概率的方法（1）用列举法求概率（列表法、画树形图法）（2）用频率估计概率：一方面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率. 另一方面 , 大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数 ( 事件发生的概率 ) 附近，说明概率是个定值 , 而频率随不同试验次数而有所不同 , 是概率的近似值 , 二者不能简单地等同 .第 26 章二次函数1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a ≠ 0)4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c ，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c 的值 ,从而求出解析式 -------待定系数法.5．二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠ 0) ；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程x=h和函数的最值y最值= k.6．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设2解析式为y=a(x -h) + k ，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.8.二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0) 的图象及几个重要点的公式：9. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠ 0) 中， a、b、 c 与的符号与图象的关系：(1)a＞ 0<=>抛物线开口向上； a ＜ 0 <=>抛物线开口向下；(2)c＞ 0<=>抛物线从原点上方通过；c=0 <=> 抛物线从原点通过；c＜ 0<=>抛物线从原点下方通过；(3)a, b异号 <=> 对称轴在 y 轴的右侧； a, b 同号 <=> 对称轴在 y 轴的左侧；b=0 <=>对称轴是 y 轴；(4)b2－ 4ac ＞ 0<=> 抛物线与 x 轴有两个交点；b2－ 4ac =0 <=>抛物线与x轴有一个交点（即相切）； b 2－4ac ＜ 0 <=>抛物线与 x 轴无交点 .10．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.第 27章相似形1“平行出比例”定理及逆定理：几何表达式举例：（ 1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段(1) ∵DE∥BC ∴ADAE成比例；DB EC AD E(2) ∵DE∥BC∴AD AEDE（ 1）（ 3）A（2）AC AB ∵ AD AEB C(3)∴DE∥BCB C DB EC2．比例的基本性质：a:b=c:d a c；ad=bcb d3．定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.4．定理：“ AA”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.5．定理：“ SAS”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 .AE几何表达式举例：DADE∽ ABC∵ DE∥BC∴DAEB CCB A几何表达式举例：E∵∠ A=∠A又∵∠ AED=∠ACB∴Δ ADE∽ABCDB C几何表达式举例：AE∵AD AB又∵∠ A=∠ADAE AC∴Δ ADE∽ABCB C6．“双垂”出相似及射影定理：几何表达式举例：（ 1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角A(1) ∵AC⊥CB形和原三角形相似；D又∵ CD⊥AB ∴ACD∽Δ CBD∽Δ ABC（ 2）双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影(2)2∵AC⊥CB CD⊥AB ∴ AC=AD· AB和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成BBC2 =BD· BA DC2 =DA·DB 两条线段的比例中项 .C7．相似三角形性质：A（ 1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；E （ 2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比；（ 3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方.B DC FHG(1) ∵ ABC∽ΔEFG(2) ∵Δ ABC∽ EFG S∴AB BC AC又∵ AD、EH是对应中线(3) ∵Δ ABC∽ EFG ∴∠BAC=∠FEG S2ABCABEFGEFEF FG EG∴AD ABEH EF四、位似1、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意: ①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； ②确定原图形的关键点， 如四边形有四个关键点， 即它的四个顶点；③确定位似比， 根据位似比的取值， 可以判断是将一个图形放大还是缩小； ④符合要求的图形不惟一， 因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．第 28 章解三角形1. 三角函数的定义：在 Rt ABC 中 , 如∠ C=90°，那么sinA=对a；cosA=对 b； tanA=对a；cotA=邻b .斜c斜c邻b对aBac2．余角三角函数关系 ------“正余互化公式”如∠ A+∠ B=90° , 那么： sinA=cosB ； cosA=sinB；tanA=cotB；cotA=tanB.3. 同角三角函数关系：22；tanA ·co tA =1. tanA=sin Asin A+cos A =1 cos A4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余CbA切函数随角的增大，函数值反而减小.Ak, 它可以推出特殊5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.60 °2KK∠ A30°45°60°30°sinA1 2 3 C3KB22 2AcosA3 2 12K22 2 KtanA3 1345 °3 CK BcotA31336. 解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边 .7．坡度： i = 1:m = h/l = tanα ； 坡角 : α .8. 方位角：h北偏西30i=1:m北a东 l南偏东709．仰角与俯角：铅垂线仰角俯角水平线。
九年级下册数学电路知识点
九年级下册数学电路知识点在九年级下册的数学学习中，电路是一个重要的知识点。
电路是由电源、导线、电阻等组成的，在现代社会中应用广泛。
下面我们将对九年级下册的数学电路知识进行整理和总结，帮助同学们更好地理解和掌握。
一、电流和电压电流是指电荷在电路中的流动，用I表示。
电流的单位是安培(A)。
电流的大小与电荷的多少和流动的速度有关。
电压是指电荷在电路中受到的驱动力，用U表示。
电压的单位是伏特(V)。
电压的大小决定了电流的强弱。
二、电阻和电阻率电阻是指电路中阻碍电荷流动的物质或部件，常用符号是R。
电阻的单位是欧姆(Ω)。
电阻率是物质对电流的阻碍能力的量度，用ρ表示。
不同物质的电阻率不同，常用单位是欧姆米(Ω·m)。
三、欧姆定律欧姆定律是电学的基础定律之一，它描述了电流、电压和电阻之间的关系。
欧姆定律的数学表达式为U=IR，其中U代表电压，I代表电流，R代表电阻。
当电阻保持不变时，电压和电流成正比。
当电压保持不变时，电流和电阻成反比。
欧姆定律的应用十分广泛，它是电路分析的基石。
四、串联和并联电路在电路中，多个电阻可以串联连接或并联连接。
串联电路是指多个电阻依次连接在一起，电流依次通过每个电阻。
电流在串联电路中保持不变，而电压在各个电阻之间分配。
并联电路是指多个电阻同时连接在一起，电流同时通过每个电阻。
并联电路中，电压在各个电阻之间保持不变，而电流在各个电阻之间分配。
五、电路中的功率和能量功率是指电路中单位时间内所做的功，常用符号是P。
功率的单位是瓦特(W)。
功率与电流、电压和电阻之间有以下关系：P=UI=I²R=U²/R。
能量是指电路中电荷在电流流动过程中所具有的能力。
能量的单位是焦耳(J)。
能量的大小与电流、电压和运行时间有关。
六、电路分析电路分析是研究电路中各个元件和参数之间关系的过程。
在电路分析中，可以利用欧姆定律、串并联电阻的特性和功率公式等来计算电流、电压和功率的大小。
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初三下册数学知识点
1 二次函数及其图像
二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax bx c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式
y=ax∧2; bx c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;
顶点式
y=a(x m)∧2 k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2 k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax ∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ;
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2) (y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3) (y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)
求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x是自变量，y是x的二次函数
x1,x2=[-b±(√(b -4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法还有因式分解法和配方法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。
2画出对称轴，并注明X=什么
3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。
抛物线的性质
轴对称
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
顶点
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b ;)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b ;-4ac=0时，P在x轴上。
开口
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a|a|越大，则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a当a与b异号时(即ab0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a
与b异号时(即ab事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y轴交点的因素
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
抛物线与x轴交点个数
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b -4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b -4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b -4ac当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b /4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①当x=1时y=a b c
②当x=-1时y=a-b c
③当x=2时y=4a 2b c
④当x=-2时y=4a-2b c
二次函数的性质
8.定义域：R
值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b )/4a，
正无穷);②[t，正无穷)
奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。
周期性：无
解析式：
①y=ax bx c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，则抛物线开口朝上;a⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b )/4a);
⑷Δ=b -4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
([-b-√Δ]/2a，0)和([-b √Δ]/2a，0);
Δ=0，图象与x轴交于一点：
(-b/2a，0);
Δ②y=a(x-h) k[顶点式]
此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b )/4a;
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
对称轴X=(X1 X2)/2 当a>0 且X≧(X1 X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦(X1 X2)/2时Y随X
的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连
用)。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。
两交点X值就是相应X1 X2值。
26.2 用函数观点看一元二次方程
1. 如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。
2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。