中考数学专题复习——距离和差最值问题汇总
关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题
关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题09年1月（08学年第一学期）的鄞州区初三数学期末试卷中最后一道题的第2小题：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50%左右。
本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。
一、和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（一4,—1）和（-2,—5）;点P是y轴上的一个动点，求点P在何处时，PA + PB的和为最小？并求最小值。
解：（1）v点P在y轴上，.••以y轴为对称轴，作点B的对称点B i，连接AB i 与y轴交于点P，P点就是所求的点。
此时，PA + PB= PA + PB i =AB i;理由如下：取点P以外的点P i,可知，P i A + P i B = P i A + P i B i>AB = PA+ PB 所以P i A + P i B>PA^ PB即P为符合要求的点。
求点P的坐标，可用三角形相似或可以通过经过A、B i两点的直线解析式与y轴的交点坐标的方法。
点P为（0，-耳）3（2）求PA+ PB （AB i）的值，可用勾股定理来求。
即PA + PB = AB i =2 i3。
例2、已知菱形ABCD中，/ DAB = 60°; AB = 6，M为AB的中点，点P在对角线AC上，求点P在何处时，PM+ PB的和为最小？并求最小值。
解：（i）由上例可知，AC为对称轴，点B的对称点为点D，连接DM与AC的交点为点P，P点就是所求的点。
此时，PB+ PM = PD+ PM =DM。
（2）根据题意得，△ ABD为等边三角形，边长为i2，DM为边上的高线。
所以DM = 6 3，即PB+ PM = 6.3。
例3、在正方形ABCD中，AB = i2,点M在BC上，且BM = 5,点P在对角线BD上，求点P在何处时，PM + PC的和为最小？并求最小值。
中考数学专题复习距离和差最值问题汇总
中考数学专题复习距离和差最值问题汇总The document was prepared on January 2, 20212016中考数学专题复习：最短距离问题导读最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、 “两点之间的连线中，线段最短”，凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
几何模型：“饮马问题”条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．模型应用：例1，如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是 ；（1）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值； （2）一次函数b kx y +-的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．O 为坐标原点，设OA、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 求PC 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标． A BP（3）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；例2，如图，两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.同类题训练：如图4，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．例3. 如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近二、归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
2024年中考数学二轮专题复习：+复习线段和差的最大值与最小值(拔高)
中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABm A B mA B PmAB n QPnmP'Q'nm Q PnB Q PnmAB A'nm AB（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动AB E Dn A BA'B'nAPQ AA'mn Pm nA B m n A Pm nAB点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
中考数学专题复习求线段和差的最值问题(共26张PPT)
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小？
使线段PO与PD之差最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。
N
E
⑵练习①：当已M知点二在次何函处数时图，像AM的＋顶C点M坐的标值为最C小(3；，-2)，且在x轴上截得的线段AB的长为4，在y轴上有一点P，使△APC的周长最小，求P点
线段和差的最值问题解题策略 一、两条线段和的最小值
例4:在矩形ABCD中，F是BC的三等分点，E是AB的二等分点，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如
y 果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
点A为 y 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A与点D。
（1）点A、B在直线m两侧：
（2）点A、B在直线同侧：
A
A
m B
m P
A
B
A
B m
B m
P
A'
一、求两条线段之和的最小值
例1：在△ABC中，AC=BC=2，
∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB
上的一动点，则EC+ED的最小值
为
。
A
p
E
C
D
.
B
2、抛物线在坐标系中的位置如图：对 在其称轴上找一点P，使得△PBC的周 长最小，请求出点P的坐标 .
举一反三
典例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F
在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿
直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小
值是
.
1.2
中考专题复习
中考专题复习-----线段和差地最大值与最小值
中考专题------线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：m m BmABm（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型nmnmnnnm变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动m nmnmnm点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mmmm过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：练习题QQ1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ．3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .Q5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；A（1）点A、B在直线m同侧：AB解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
中考数学复习《最值问题》经典题型含答案
中考数学 最值问题一、选择题1．如图，⊙O 的半径为1，点O 到直线m 的距离为2，点P 是直线m 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是( B ) A ．1 B.3 C ．2 D. 5 ,第1题图) ,第2题图)2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP ＋EP 最小值的是( B )A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC【解析】在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，可得点B 和点C 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时BP ＋EP 最小，为CE 的长，故选B.二、填空题3．如图，将直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点A (2，－4)，且与y 轴交于点B ，在x 轴上存在一点P 使得P A ＋PB 的值最小，则点P 的坐标为__(23，0)__．【解析】如图，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结AB ′，交x 轴于P ，则点P 即为所求，设直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线解析式为y ＝－x ＋a ，把A (2，－4)代入可得，a ＝－2，∴平移后的直线为y ＝－x －2，令x ＝0，则y ＝－2，即B (0，－2)∴B ′(0，2)，设直线AB ′的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (2，－4)，B ′(0，2)代入可得，⎩⎪⎨⎪⎧－4＝2k ＋b ，2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝2，∴直线AB ′的解析式为y ＝－3x ＋2，令y ＝0，则x ＝23，∴P (23，0)． ,第3题图) ,第4题图)4．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__22__．【解析】连结AP ，PQ ，当AP 最小时，PQ 最小，∴当AP ⊥直线y ＝－34x ＋3时，PQ 最小，∴PQ ＝32－12＝2 2.三、解答题5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过A ，B ，C 三点，点A 的坐标是(3，0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上．(1)b ＝__－2__，c ＝__－3__；(2)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连结EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．解：(2)连结OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD ＝EF .根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由(1)可知，在Rt △A OC 中，∵O C ＝OA ＝3，OD⊥AC ，∴ D 是AC 的中点．又∵DF ∥OC ，∴DF ＝12OC ＝32.∴点P 的纵坐标是－32.则x 2－2x －3＝－32， 解得x ＝2±102.∴当EF 最短时，点P 的坐标是：(2＋102，－32)或(2－102，－32) 6．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝5 cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ .过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连结BF .(1)求证：四边形BFEP 为菱形；(2)当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时(如图2)，求菱形BFEP 的边长；②若限定P ，Q 分别在BA ，BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．解：(1)∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ对称，∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，又∵EF ∥AB ，∴∠BPF ＝∠EFP ，∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝FE ＝EP ，∴四边形BFEP 为菱形(2)①如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝5 cm ，CD ＝AB ＝3 cm ，∠A ＝∠D ＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称，∴CE ＝BC ＝5 cm ，在Rt △CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2，∴DE ＝4 cm ，∴AE ＝AD －DE ＝5 cm －4 cm ＝1 cm ，在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3－PB＝3－PE ，∴EP 2＝12＋(3－EP )2，解得：EP ＝53 cm.∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时，如图2，点E 离A 点最近，由①知，此时AE ＝1 cm ；当点P与点A 重合时，如图3，点E 离A 点最远，此时，四边形ABQE 是正方形，AE ＝AB ＝3 cm ，∴点E 在边AD 上移动的最大距离为2 cm。
关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题
关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题摘要：本文通过几道例题，探求了直线或圆锥曲线上一动点到平面内两定点(或一定点一定线)的距离和、差的最值问题，揭示了这一难点问题的本质及其共同解法。
关键词：动点；距离；最值在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和(差)的最值。
许多学生在面对此类问题时常常感到束手无策。
本文就此类最值问题及其常见题型作一初步探索。
一、动点在直线上时：即为动点P(x，0)到两定点A(1，1)、B(3，-2)的距离之和。
可知：该值域为总结反思：一般地，求距离之和的最小值应让两点处于直线的异侧，如在同侧则作其中一点关于直线的对称点，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与直线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于直线的同侧，如在异侧则作其中一点关于直线的对称点，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与直线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边二、动点在圆锥曲线上时1.动点在抛物线上时2.动点在双曲线上时反思感悟：一般地，动点在圆锥曲线上求这两种距离时，定点给的要相对特殊一些。
求距离之和的最小值仍然应让两点处于圆锥曲线的异侧，如在同侧则利用圆锥曲线的定义转化为异侧，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与圆锥曲线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于圆锥曲线的同侧，如在异侧则利用圆锥曲线的定义转化为同侧，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与圆锥曲线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边。
由此进一步体会圆锥曲线的定义在解题中的重要应用。
参考文献：[1]王朝银.创新设计[Ｍ].西安:陕西人民出版社,2009.作者单位：陕西省延安中学邮政编码：716000。
中考数学复习《最值问题》
解：如图，∵高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的 点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3 cm 与饭粒相对的点 A 处，∴A′D＝5 cm，BD＝12－3＋AE＝12(cm)，∴将容器侧面展开，作 A 关 于 EF 的对称点 A′，连结 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B＝ A′D2＋BD2＝ 52＋122＝13(cm)
解：(1)如图所示 (2)如图，即为所求
(3)作点 C 关于 y 轴的对称点 C′，连结 CP，B1C′交 y 轴于点 P， 则点 P 即为所求．设直线 B1C′的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
－2k＋b＝－2， k＝2， ∵B1(－2，－2)，C′(1，4)，∴ 解得 k＋b＝4， b＝2，
7．图1、图2为同一长方体房间的示意图 ，图3为该长方体的表面展开 图．
(1)蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的 最近路线；
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花
板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通 过计算判断哪条路线更近；
两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直
线AB的解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
解：由题意可知，当点 P 到 A，B 两点距离之差的绝对值最大时， 点 P 在直线 AB 上．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，
b＝1， k＝1， ∵A(0，1)，B(1，2)，∴ 解得 ∴y＝x＋1， k＋b＝2， b＝1，
令 y＝0，得 0＝x＋1，解得 x＝－1，∴点 P 的坐标是(－1，0)
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总---------将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】“化曲为直”题型一：两定一动，偷过敌营。
题型二：两定一动，将军饮马。
例1：如图， AM ⊥EF ，BN ⊥EF ，垂足为M 、N ，MN ＝12m ，AM ＝5m ，BN ＝4m ， P 是EF 上任意一点，则PA ＋PB 的最小值是______m ．分析：这是最基本的将军饮马问题，A ，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间，线段最短，连接A ’B ，此时A ’P ＋PB 即为A ’B ，最短．而要求A ’B ，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答：作点A 关于EF 的对称点A ’，过点A ’作A ’C ⊥BN 的延长线于C ．易知A ’M ＝AM ＝NC ＝5m ，BC ＝9m ，A ’C ＝MN ＝12m ，在Rt △A ’BC 中，A ’B ＝15m ，即PA ＋PB 的最小值是15m ．例2：如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27DB CD CBP E D C B A E D C B AA （3对应练习题1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 。
动点到两定点距离之和与差的最值
动点到两个定点的距离之和（差）的最值2011年11月中旬 1、2班用高中数学经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和（差）的最值．此问题不弄清原理常感到束手无策，无从下手。
本讲就此类最值问题常见题型作常规探索。
一、 直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值例1、（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA +的最小值为 ，此时点P 的坐标为 ；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA -的最大值为 ，此时点P 的坐标为 ．变式：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA +的最小值为 ，此时点P 的坐标为 ；（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA -的最大值为 ，此时点P 的坐标为 ．小结：①当两定点位于直线的 时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的 时可求得动点到两定点的距离之差的绝对值的最大值．例2、 函数y =的值域为 ．例3、（创新#29 3P ）已知以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点的椭圆与直线40x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长是二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例4、（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MA MB - 的范围是 ；（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MA MB +的最大值是 ．例5、 (1)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A(4，1)，P 是双曲线右支上的动点，则PA PF +的最小值为 ；(2)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则点PA PF +的最小值为 ．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例6、 （1）已知点A(2，2)，F 是椭圆的右焦点，P 是椭圆221259x y +=上的动点，则 54PF PA +的最小值是 ，此时，点的坐标为 ； （2）已知点A(5，2)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线221169x y -=上的动点，则45PF PA +的最小值是 ，此时点的坐标为 ．例7 （1）抛物线28y x =的焦点为F ，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M ，当MA MF +为最小值时，点M 的坐标为 ；（2）P 为抛物线24y x =上任一点，A(3，4)为一定点，过P 作PH 垂直y 轴于点P H ，则PA PH +的最小值为 ．例8、（创新P39 3#）已知直线1:4360l x y -+=，2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到两直线距离之和的最小值是。
中考复习线段和差地最大值与最小值(拔高)
中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
填空题：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为．若PA—PB长度最大，则最大值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB第1题第2题第3题第4题的最小值为．7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．综合题：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？yxC B ADOE y（2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA －PB ≤AB ； (3)当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y＝－3x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D．（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．例题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为3＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）①若菱形ABCD的边长为1，则AM＋CM的最小值1；②△AMB≌△ENB；③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；⑤当AM＋BM＋CM的最小值为23时，菱形ABCD的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
初三数学培优：第五讲“距离之差”有最值,“对称模式”再变式
第五讲：“距离之差”有最值，“对称模式”再变式
在第四讲复习了“将军饮马”及其变式应用，事实上，还有一类涉及“距离之差的最大值”问题，本质上是轴对称模式的变式考查……
问题1：如图，已知平面上有两个已知的定点A 和B ，另有一条已知直线L ，A 和B 在直线L 的一侧，求在直线L 上找一点P ，使得︱P A ︱-︱P B ︱的值最大，这就是线段差的最大值问题。
问题2：如图，若定点A 、B 是在直线L 的两侧时，如何求在已知直线L 上找一点P ，使得︱P A ︱-︱P B ︱的值最大呢？
-1 -1，2
如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l 沿y轴翻折得抛物线l1．
（1）求l1的解析式；
（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．
求线段之差最大值的另一方法，构建函数法。
如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是▲．。
中考数学总复习资料：第3讲《最值问题》精品总结
第三讲 最值问题最值问题的解决方法通常有两种： 1.运用代数证法：① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。
2. 应用几何性质：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
④数轴表示两点间距离。
1）代数最值问题1设x 、y 为实数，代数式5x 2+4y 2－8xy+2x+4的最小值为2.x 的值为_________。
3.|x+1|+|x-1|的最小值是|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？4.定义：对于数轴上的任意两点A ，B 分别表示数1,2x x ，用12x x -表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点1122(,),(,)A x y B x y 我们把1212x x y y -+-叫做A ，B 两点之间的直角距离,记作d （A ，B ）．（1）已知O 为坐标原点，若点P 坐标为（－1，3），则d (O,P )＝_____________;（2）已知C 是直线上y ＝x ＋2的一个动点，①若D （1，0），求点C 与点D 的直角距离的最小值；②若E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C 与点E 的直角距离的最小值．x5.某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。
（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。
（总费用=生产成本+运费）重点：对称形最值问题6.正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是7.河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短8. ，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。
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2016中考数学专题复习——距离和差最值问
题汇总
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2016中考数学专题复习：最短距离问题导读
最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、 “两点之间的连线中，线段最短”，凡属于求“变动的两线段之和的最小
值”时，大都应用这一模型。
几何模型：“饮马问题”
条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．
方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ， 则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：
例1，如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交
AC 于P ，则PB PE +的最小值是 ；
（1）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，
60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；
（2）一次函数b kx y +-的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
A
B A '
′ P
l
A
B E
C P
D
图1
A B
C
图2
P
（3）已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M
的坐标；
例2，如图，两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.
同类题训练：
如图4，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．
例3. 如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？
x
y
O
x ＝1 A C B
O
A
B P
R
Q 图4
二、归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
如图，抛物线2
4
1
2+-
-=x x y 的顶点为A ，与y 轴交于点B ． (1)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB ≤AB ； (2)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标.
练习：1．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．
2．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|PA ﹣PB |的最大值为 ．
D P
B′N M
A
3. 如图，菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =3，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE +PF 的最小值是 ．
4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限
B
O
A
· x
y
定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离
为．
5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．
6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．
7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．
8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．
9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．
10．2010宁德第25题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1
3 时，求正方形的
边长.
E
A D
B C
N
M F
E
A D
B C
N
M。