微积分的简单应用PPT课件
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微积分课件完整版
微积分课件完整版微积分课件完整版微积分课件完整版微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
词目释义从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。
（1）运动中速度与距离的互求问题求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。
这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。
比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是是无意义的。
但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。
已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。
因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。
由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微积分的简单应用(使用)
A
b x
例1
计算与两条抛物线 y = x 2 ,= x 与直线 x = −1, x = 2 及 x 轴所围成的
3
平面图形的面积。 平面图形的面积。
y
y= x
−1
3
0
2
x
解题步骤：
1.画图 1.画图 2.借助图形直观确定出被积函数以及积 2.借助图形直观确定出被积函数以及积 分的上、 分的上、下限 3.用定积分表示出所求面积 3.用定积分表示出所求面积 4.通过求定积分从而求出面积 4.通过求定积分从而求出面积
例3 计算由 y = 2 x
和 y = x − 4及 x 轴所围图形
y2 = 2 x
的面积. 的面积
y = x−4
练习题： 练习题：
所围图形的面积. 计算由 y = 2 x 和 y = x − 4 所围图形的面积
2
小结
1.定积分的几何意义 1.定积分的几何意义 2.定积分的几何应用, 2.定积分的几何应用,主要求曲边梯形面积 定积分的几何应用
一物体在变力F(x)的作用下做直线运动， 一物体在变力F(x)的作用下做直线运动， F(x)的作用下做直线运动 x=a，移动到x=b x=b， 从x=a，移动到x=b，问如何求该段位移内 变力所作的功？ 变力所作的功？
例2：如图在弹性范围内，将一弹簧从 如图在弹性范围内， 平衡位置拉到距离平衡位置 l m处，求 克服弹力所作的功。 克服弹力所作的功。
微积分的简单应用
1.定积分的几何意义
S = ∫ f ( x ) dx
a
b
y
y = f ( x)
0
a
图1
b x
∫
A=
b a
f ( x)dx
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
微积分初步ppt课件
设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
第一讲PPT微积分 (1)
第二型积分的定义
1.实际背景： “变力沿曲线做功”
考虑变力F P 作用下质点沿曲线C从A运动到B所做的功.
1）将C任意分成n段S1,S2, ,Sn;
2）在Si i 1, 2, , n 上做的功近似为Wi F Pi S i , Pi Si;
其中 S i是以 S i的长度为模，以C在Pi点切线为方向的向量;
还称第二型曲线积分为变力A沿曲线C给定方向所做的功.
iii当曲线C在x轴 y轴, z轴 上投影为一个点时，
即
P
P
,
P
2
时，有
C
Pdx
0
C
Qdy
0,
C
Rdz
0
.~第二型曲线曲面积分~
第二型积分的分类
2）设S是空间一有向曲面，其方向nP ,P S为给定S上
一法向，A( P ) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)是S上连续
2） A P B P d A P d B P d ;
3）若=1 2 , 则 A P d = A P d + A P d ;
1
2
4）若e P A P , P , 则 A P d =0;
其中e 的方向为d的方向; P
5）设P , e P =cosP , cos P , cos P , A P P( P ), Q( P ), R( P) d =dcosP，dcos P，dcos P
A Pi
i， = max
di
i 1, 2,
,n
,
di是
的
i
直径，都存在且相等，则称此极限值为A Pi 在上给定方向
e 下的第二型积分，记为 P
n
1.实际背景： “变力沿曲线做功”
考虑变力F P 作用下质点沿曲线C从A运动到B所做的功.
1）将C任意分成n段S1,S2, ,Sn;
2）在Si i 1, 2, , n 上做的功近似为Wi F Pi S i , Pi Si;
其中 S i是以 S i的长度为模，以C在Pi点切线为方向的向量;
还称第二型曲线积分为变力A沿曲线C给定方向所做的功.
iii当曲线C在x轴 y轴, z轴 上投影为一个点时，
即
P
P
,
P
2
时，有
C
Pdx
0
C
Qdy
0,
C
Rdz
0
.~第二型曲线曲面积分~
第二型积分的分类
2）设S是空间一有向曲面，其方向nP ,P S为给定S上
一法向，A( P ) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)是S上连续
2） A P B P d A P d B P d ;
3）若=1 2 , 则 A P d = A P d + A P d ;
1
2
4）若e P A P , P , 则 A P d =0;
其中e 的方向为d的方向; P
5）设P , e P =cosP , cos P , cos P , A P P( P ), Q( P ), R( P) d =dcosP，dcos P，dcos P
A Pi
i， = max
di
i 1, 2,
,n
,
di是
的
i
直径，都存在且相等，则称此极限值为A Pi 在上给定方向
e 下的第二型积分，记为 P
n
微积分讲解ppt课件
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为
x 1
1
x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数
《微积分》PPT课件
第九章
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X － 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y － 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X － 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y － 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作
《微积分入门》课件
《微积分入门》ppt课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
《微积分》PPT课件
x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 ： 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒 有 f (x) A＜ 成 立 ， 则 称 当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N） 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
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• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的简单应用ppt课件
积分应用
利用定积分求原经济函数问题 利用定积分由变化率求总量问题
利用定积分求经济函数的最大值和最小值
利用定积分求消费者剩余与生产者剩余 利用定积分决定广告策略问题
利用定积分计算资本现值和投资
精选编辑ppt
10
应用例题
某企业生产x 吨产品时的边际成本为
(元/ 吨) 。
且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低?
题 中 的 点 力 学 应用 应用， 中的应
应用
想，微 分和积
作 问题中的 应用以及
微分的 用，积
应用
分的应
分，导 数以及
量 论文陈述 和被答辩
用
论文排 版、打
成员
印
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12
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13
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14
微积分的简单应用
队员：
周明祥 唐春娇 杨嵘金 美 谢大微 王晓永 肖彦 孙莹莹
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1
微积分
精选编辑ppt
2
地位与作用
微积分在现实中有着广泛的运用，微积分是研 究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学 分支。微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存 在的，从数学的角度讲，是研究变量在函数中的 作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人 们的关于速度与加速度的定义的问题。从经济的 角度看，为了借助于微积分的知识更好的研究社 会生产生活中经济问题。“变 这个字是微积分 最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用 对于我们解决实际问题有很大的帮助。
解： 首先求出成本函数
得平均成本函数为
求一阶导数
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10
应用例题
某企业生产x 吨产品时的边际成本为
(元/ 吨) 。且
固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低?
解： 首先求出成本函数
得平均成本函数为
求一阶导数
令
解得
( = - 300 舍去)
因此, ( x) 仅有一个驻点 = 300, 再由实际问题本身可知 ( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最1低1。
微积分的简单应用
队员：
周明祥 唐春娇 杨嵘金 冯瑶 何德美 谢大微 王晓永 肖彦 孙莹莹
1
微积分
2
地位与作用
微积分在现实中有着广泛的运用，微积分是研 究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学 分支。微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存 在的，从数学的角度讲，是研究变量在函数中的 作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人 们的关于速度与加速度的定义的问题。从经济的 角度看，为了借助于微积分的知识更好的研究社 会生产生活中经济问题。“变 这个字是微积分 最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用 对于我们解决实际问题有很大的帮助。
析中的 积 分 思
工 值与最小 于计算 值在经济
题 中 的 点 力 学 应用 应用， 中的应
应用
想，微 分和积
作 问题中的 应用以及
微分的 用，积
应用
分的应
分，导 数以及
量 论文陈述
用
和被答辩
论文排 版、打
成员
印
12
13
由公式得：
6
物理应用 微积分在质点力学中的应用 微积分在刚体转动问ห้องสมุดไป่ตู้中的应用
7
物理应用 大学物理 中学物理
8
经济应用
微分应用
导数在经济分析中的应用 弹性在经济分析中的应用
最大值与最小值在经济问题中的应用
9
经济应用
积分应用
利用定积分求原经济函数问题 利用定积分由变化率求总量问题 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余 利用定积分决定广告策略问题 利用定积分计算资本现值和投资
3
数学应用
微分应用
利用微分近似计算 微分方程的应用
微分中值定理的应用
4
数学应用
积分应用
不定积分的计算应用 定积分在几何中的应用
利用定积分求平面曲线的弧长
参数方程中的弧长 定积分求旋转曲面的面积
5
应用例题
求由曲线
与
所围图形的面积
解 先画出所围的图形（如图）
由方程组
得两条曲线的交
点为
，取 为积分变量
小组分工
姓 名 唐春娇 杨嵘金 孙莹莹 何德美 谢大微 王晓永 肖彦 冯瑶 周明祥
完 积分在经 微 分 和 微 分 中 微 积 分 大 学 物 定 积 分 积 分 导数在 高 中 物 济中的应 微 分 方 值 定 理 在 刚 体 理 微 积 在 经 济 的 应 经济分 理 中 微
成 用，最大 程 应 用 的应用 转 动 问 分 在 质 学 中 的 用
应用例题
某企业生产x 吨产品时的边际成本为
(元/ 吨) 。且
固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低?
解： 首先求出成本函数
得平均成本函数为
求一阶导数
令
解得
( = - 300 舍去)
因此, ( x) 仅有一个驻点 = 300, 再由实际问题本身可知 ( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最1低1。
微积分的简单应用
队员：
周明祥 唐春娇 杨嵘金 冯瑶 何德美 谢大微 王晓永 肖彦 孙莹莹
1
微积分
2
地位与作用
微积分在现实中有着广泛的运用，微积分是研 究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学 分支。微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存 在的，从数学的角度讲，是研究变量在函数中的 作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人 们的关于速度与加速度的定义的问题。从经济的 角度看，为了借助于微积分的知识更好的研究社 会生产生活中经济问题。“变 这个字是微积分 最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用 对于我们解决实际问题有很大的帮助。
析中的 积 分 思
工 值与最小 于计算 值在经济
题 中 的 点 力 学 应用 应用， 中的应
应用
想，微 分和积
作 问题中的 应用以及
微分的 用，积
应用
分的应
分，导 数以及
量 论文陈述
用
和被答辩
论文排 版、打
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印
12
13
由公式得：
6
物理应用 微积分在质点力学中的应用 微积分在刚体转动问ห้องสมุดไป่ตู้中的应用
7
物理应用 大学物理 中学物理
8
经济应用
微分应用
导数在经济分析中的应用 弹性在经济分析中的应用
最大值与最小值在经济问题中的应用
9
经济应用
积分应用
利用定积分求原经济函数问题 利用定积分由变化率求总量问题 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余 利用定积分决定广告策略问题 利用定积分计算资本现值和投资
3
数学应用
微分应用
利用微分近似计算 微分方程的应用
微分中值定理的应用
4
数学应用
积分应用
不定积分的计算应用 定积分在几何中的应用
利用定积分求平面曲线的弧长
参数方程中的弧长 定积分求旋转曲面的面积
5
应用例题
求由曲线
与
所围图形的面积
解 先画出所围的图形（如图）
由方程组
得两条曲线的交
点为
，取 为积分变量
小组分工
姓 名 唐春娇 杨嵘金 孙莹莹 何德美 谢大微 王晓永 肖彦 冯瑶 周明祥
完 积分在经 微 分 和 微 分 中 微 积 分 大 学 物 定 积 分 积 分 导数在 高 中 物 济中的应 微 分 方 值 定 理 在 刚 体 理 微 积 在 经 济 的 应 经济分 理 中 微
成 用，最大 程 应 用 的应用 转 动 问 分 在 质 学 中 的 用