控制工程基础第4章习题解答

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若系统输入为不同频率ω的正弦函数t A ωsin ,其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B ,求该系统的频率特性

解:由频率特性的定义有:ϕ

ωj e A

B j G =)((P119) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试求下列系统的幅频特性)(ωA 、相频特性)(ωϕ、实频特性)(ωu 、虚频特性)(ωv (P120,

121)

1

305

)(+=

s s G

解:1

305

1305)(+=

+=

ωωωj s j G j )(ωA =

1

90051

3052

+=

+ωωj

)(ωϕ=1

30arctan

)130()5(1

305

ω

ωω-=+∠-∠=+∠

j j )(ωj G 可以展开为实部与虚部的形式,即:1

90015051305

)(2+-=

+=

ωω

ωωj j j G

所以,实频特性)(ωu =

1

90052

虚频特性)(ωv =1

9001502+-ωω

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设系统的闭环传递函数为:1

)

1()(12++=s T s T K s G B ,当输入信号为t R t x i ωsin )(=,试求该系

统的稳态输出。

解:系统的频率特性函数为:

()())

()

arctan (arctan 21221212)()

1()1(1

)1(1

)1()(12ωωωω

ωωωωωωj G j B T T j j B B e j G e T T K j T j T K s T s T K j G ∠-⋅=⋅++=

++=

++=

系统的对于特定频率的输入信号,其稳态输出为:(P118)

)](sin[)()(ωωωj G t j G X t x B B i oss ∠+⋅⋅=

因此,对于该系统,有:

()())]arctan (arctan sin[)

1()1()(122

122ωωωωωT T t T T K

R t x oss -+⋅++⋅=

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试绘制下列传递函数的系统的Nyquist 轨迹图

)1.01)(5.01(1

)(s s s s G ++=

系统的频率特性为:

)

1.01)(5.01(1

)(ωωωωj j j j G ++=

2

201.0125.011

)(ωωωω+⋅+⋅=

j G 1

1.0arctan

15.0arctan

2

)(ω

ωπ

ω---

=∠j G )

01.01)(25.01()

105.0()

01.01)(25.01(6.0)

01.01)(25.01()

1.01)(5.01()(2222

22

2ωωωωωωωω

ωωωωωω++-+++-=

++---=

j

j j j j G )

01.01)(25.01(6.0)}(Re{2

2ωωωω

ω++-=

j G

)

01.01)(25.01()

105.0()}(Im{2

22ωωωωω++-=

j G

考虑ω的几个特殊值 当0=ω:

∞=)(ωj G 2)(π

ω-

=∠j G

6.0)}(Re{-=ωj G ∞=)}(Im{ωj G

当∞=ω: 0)(=ωj G πω23

)(-=∠j G

由于当ω从0变化至∞,)(ωj G ∠从2π-

变化至2

3π-,因此该系统的Nyquist 轨迹必然从复平面的第三象限移动至第二象限,也即轨迹必然与负实轴相交。

令0)

01.01)(25.01()

105.0()}(Im{2

22=++-=ωωωωωj G ,即05

.01

=ω 此时:

083.0)

05

.0101.01)(05.0125.01(6

.0)01.01)(25.01(6.0)}(Re{22-=++-=++-=

ωωωω

ωj G

即Nyquist 轨迹与负实轴相交点为(-0.08,j0)

根据以上点可以画出其Nyquist 轨迹图

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

试绘制下列传递函数的系统的Bode 图 (6))

12.0()

10(5.2)(2++=s s s s G

解:将传递函数写为典型环节的标准形式:

)

12.0()

11.0(25)12.0()10(5.2)(22++=++=s s s s s s s G

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