控制工程基础第4章习题解答
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若系统输入为不同频率ω的正弦函数t A ωsin ,其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B ,求该系统的频率特性
解:由频率特性的定义有:ϕ
ωj e A
B j G =)((P119) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试求下列系统的幅频特性)(ωA 、相频特性)(ωϕ、实频特性)(ωu 、虚频特性)(ωv (P120,
121)
1
305
)(+=
s s G
解:1
305
1305)(+=
+=
ωωωj s j G j )(ωA =
1
90051
3052
+=
+ωωj
)(ωϕ=1
30arctan
)130()5(1
305
ω
ωω-=+∠-∠=+∠
j j )(ωj G 可以展开为实部与虚部的形式,即:1
90015051305
)(2+-=
+=
ωω
ωωj j j G
所以,实频特性)(ωu =
1
90052
+ω
虚频特性)(ωv =1
9001502+-ωω
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设系统的闭环传递函数为:1
)
1()(12++=s T s T K s G B ,当输入信号为t R t x i ωsin )(=,试求该系
统的稳态输出。
解:系统的频率特性函数为:
()())
()
arctan (arctan 21221212)()
1()1(1
)1(1
)1()(12ωωωω
ωωωωωωj G j B T T j j B B e j G e T T K j T j T K s T s T K j G ∠-⋅=⋅++=
++=
++=
系统的对于特定频率的输入信号,其稳态输出为:(P118)
)](sin[)()(ωωωj G t j G X t x B B i oss ∠+⋅⋅=
因此,对于该系统,有:
()())]arctan (arctan sin[)
1()1()(122
122ωωωωωT T t T T K
R t x oss -+⋅++⋅=
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试绘制下列传递函数的系统的Nyquist 轨迹图
)1.01)(5.01(1
)(s s s s G ++=
系统的频率特性为:
)
1.01)(5.01(1
)(ωωωωj j j j G ++=
2
201.0125.011
)(ωωωω+⋅+⋅=
j G 1
1.0arctan
15.0arctan
2
)(ω
ωπ
ω---
=∠j G )
01.01)(25.01()
105.0()
01.01)(25.01(6.0)
01.01)(25.01()
1.01)(5.01()(2222
22
2ωωωωωωωω
ωωωωωω++-+++-=
++---=
j
j j j j G )
01.01)(25.01(6.0)}(Re{2
2ωωωω
ω++-=
j G
)
01.01)(25.01()
105.0()}(Im{2
22ωωωωω++-=
j G
考虑ω的几个特殊值 当0=ω:
∞=)(ωj G 2)(π
ω-
=∠j G
6.0)}(Re{-=ωj G ∞=)}(Im{ωj G
当∞=ω: 0)(=ωj G πω23
)(-=∠j G
由于当ω从0变化至∞,)(ωj G ∠从2π-
变化至2
3π-,因此该系统的Nyquist 轨迹必然从复平面的第三象限移动至第二象限,也即轨迹必然与负实轴相交。
令0)
01.01)(25.01()
105.0()}(Im{2
22=++-=ωωωωωj G ,即05
.01
=ω 此时:
083.0)
05
.0101.01)(05.0125.01(6
.0)01.01)(25.01(6.0)}(Re{22-=++-=++-=
ωωωω
ωj G
即Nyquist 轨迹与负实轴相交点为(-0.08,j0)
根据以上点可以画出其Nyquist 轨迹图
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
试绘制下列传递函数的系统的Bode 图 (6))
12.0()
10(5.2)(2++=s s s s G
解:将传递函数写为典型环节的标准形式:
)
12.0()
11.0(25)12.0()10(5.2)(22++=++=s s s s s s s G