控制工程基础第4章习题解答

若系统输入为不同频率ω的正弦函数t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B ，求该系统的频率特性
解：由频率特性的定义有：ϕ
ωj e A
B j G =)(（P119） ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试求下列系统的幅频特性)(ωA 、相频特性)(ωϕ、实频特性)(ωu 、虚频特性)(ωv （P120，
121）
1
305
)(+=
s s G
解：1
305
1305)(+=
+=
ωωωj s j G j )(ωA =
1
90051
3052
+=
+ωωj
)(ωϕ=1
30arctan
)130()5(1
305
ω
ωω-=+∠-∠=+∠
j j )(ωj G 可以展开为实部与虚部的形式，即：1
90015051305
)(2+-=
+=
ωω
ωωj j j G
所以，实频特性)(ωu =
1
90052
+ω
虚频特性)(ωv =1
9001502+-ωω
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设系统的闭环传递函数为：1
)
1()(12++=s T s T K s G B ，当输入信号为t R t x i ωsin )(=，试求该系
统的稳态输出。

解：系统的频率特性函数为：
()())
()
arctan (arctan 21221212)()
1()1(1
)1(1
)1()(12ωωωω
ωωωωωωj G j B T T j j B B e j G e T T K j T j T K s T s T K j G ∠-⋅=⋅++=
++=
++=
系统的对于特定频率的输入信号，其稳态输出为：（P118）
)](sin[)()(ωωωj G t j G X t x B B i oss ∠+⋅⋅=
因此，对于该系统，有：
()())]arctan (arctan sin[)
1()1()(122
122ωωωωωT T t T T K
R t x oss -+⋅++⋅=
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 试绘制下列传递函数的系统的Nyquist 轨迹图
)1.01)(5.01(1
)(s s s s G ++=
系统的频率特性为：
)
1.01)(5.01(1
)(ωωωωj j j j G ++=
2
201.0125.011
)(ωωωω+⋅+⋅=
j G 1
1.0arctan
15.0arctan
2
)(ω
ωπ
ω---
=∠j G )
01.01)(25.01()
105.0()
01.01)(25.01(6.0)
01.01)(25.01()
1.01)(5.01()(2222
22
2ωωωωωωωω
ωωωωωω++-+++-=
++---=
j
j j j j G )
01.01)(25.01(6.0)}(Re{2
2ωωωω
ω++-=
j G
)
01.01)(25.01()
105.0()}(Im{2
22ωωωωω++-=
j G
考虑ω的几个特殊值 当0=ω：
∞=)(ωj G 2)(π
ω-
=∠j G
6.0)}(Re{-=ωj G ∞=)}(Im{ωj G
当∞=ω： 0)(=ωj G πω23
)(-=∠j G
由于当ω从0变化至∞，)(ωj G ∠从2π-
变化至2
3π-，因此该系统的Nyquist 轨迹必然从复平面的第三象限移动至第二象限，也即轨迹必然与负实轴相交。

令0)
01.01)(25.01()
105.0()}(Im{2
22=++-=ωωωωωj G ，即05
.01
=ω 此时：
083.0)
05
.0101.01)(05.0125.01(6
.0)01.01)(25.01(6.0)}(Re{22-=++-=++-=
ωωωω
ωj G
即Nyquist 轨迹与负实轴相交点为（-0.08，j0）
根据以上点可以画出其Nyquist 轨迹图
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
试绘制下列传递函数的系统的Bode 图 （6）)
12.0()
10(5.2)(2++=s s s s G
解：将传递函数写为典型环节的标准形式：
)
12.0()
11.0(25)12.0()10(5.2)(22++=++=s s s s s s s G
其频率特性函数为())11.0()
12.0(11125)
12.0()
11.0(25)(2+⋅+⋅⋅⋅
=++=
ωωωωωωωωj j j j j j j j G 该系统由一个比例环节、两个积分环节、一个转折频率为5的惯性环节、一个转折频率为10的微分环节构成。

幅频特性bode 图为：
相频特性bode 图为：
作业：
4.11（1）（2）（3） 4.12 （2）（6） 4.15 (8)。