误差计算公式
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东北大学《自动控制原理》课程组 8
3.6 稳 态 误 差
开环传递函数可以表示为时间常数（尾１）形式:
WK ( s) KK sN
i 1 n N j 1
(Ti s 1)
m
W0
s=0时， W0必为１
(T j s 1)
式中： N——开环传递函数中串联的积分环节的 阶次，或称系统的无差阶数。
n N
s N (T j s 1) K k (Ti s 1)
将分子和分母中幂次相同各项合并得
E ( s) 0 1 s 2 s 2 n s n X r ( s) 0 1 s 2 s 2 n s n
东北大学《自动控制原理》课程组 17
t
lim sX c ( s)
s 0
W2 ( s) lim s N ( s) s 0 1 W ( s ) K
可见扰动误差与 We (s)和N (s)有关。
东北大学《自动控制原理》课程组 5
2. 给定稳态误差和误差系数
（1）给定误差的两种定义
E ( s )
从输出端定义：
E(s) X c期 (s) X c (s)
KK WK ( s) TmTd s 2 Tm s 1
试计算输入量为 xr (t ) 1(t ) 和 xr (t ) t 时系统的稳态 误差及误差时间函数。 解：该系统为0型，误差传递函数为
1 Tm s TmTd s 2 E ( s) 1 We s X r (s) 1 WK s 1 K K Tm s TmTd s 2
展开成s 的升幂级数，得
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K K Tm K K TmTd 1 We s s 1 K K (1 K K )2 (1 K K ) 2
2 Tm 1 s Td (1 K K )
20
3.6 稳 态 误 差
故动态误差系数为
1 1 1 1 (t ) xr (t ) xr (t ) lim e(t ) lim xr (t ) xr t t k k1 k2 k3 0
19
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3.6 稳 态 误 差
例3-11 有一单位反馈系统，其开环传递函数为
式中： k0 ——动态位置误差系数；
k1 ——动态速度误差系数； k2 ——动态加速度误差系数。
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3.6 稳 态 误 差
方法一、由终值定理求稳态误差值： s s2 s3 ess lim sE ( s) lim( ) X r (s) s 0 s 0 k k1 k 2 0 方法二、由误差的时间函数求稳态误差值：
K a lim s 2WK ( s ) —— 加速度误差系数。 K lim K k a s 0 N 2
s 0
s
由此得各型系统在抛物线输入时的稳态误差为
0型系统，N 0, K a 0, 型系统，N 1, K a 0, ea ( ) 1 Ka
1 ea ( ) Ka 1 1 Ka Kk
(1 K K )2 (1 K K )3 k0 1 K K , k1 , k2 K K Tm K K Tm [Td (1 K K ) Tm ]
⑴ 当给定量为阶跃函数时 xr (t ) 1(t ), 稳态误差为
1 X r ( s) s
1 1 1 1 1 2 1 ess lim sE (s) lim sWe s lim s s s 0 s 0 s s0 k0 k1 k2 k0 1 K K
误差的时间函数为
1 1 1 (t ) xr (t ) e(t ) xr (t ) xr k0 k1 k2
稳态误差值为
t 1 k0 k1
22
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1 1 1 1 ess lim sE ( s) lim sWe s 2 lim s s 0 s 0 s 0 k s s k1 k2 0
这种误差定义物理意义清
楚，但在实际系统中有时无法
测量(主要指理想输出) 。
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6
3.6 稳 态 误 差
从输入端定义：
E (s) X r (s) X f (s) X r (s) W f (s) X c (s) 1 X r (s) 1 WK s
这个误差是可量测的，容易获得。
对于单位反馈系统，两种误差 定义是相同的。
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7
3.6 稳 态 误 差
（2）给定误差的计算
误差计算公式：
1 E ( s) X r ( s) 1 WK s
用终值定理可求得稳态误差：
ess lim sE ( s )
s 0
结论：系统稳态误差由开环传函和输入决定 。
（4）动态误差系数
前面的计算方法只能根据终值定理求得稳态误差值。 本节方法：即可求出稳态值又可了解系统进入稳态后 误差随时间变化的规律 。 误差传递函数为
E ( s) 1 We ( s ) X r ( s ) 1 WK ( s )
n N j 1
s
N
(T s 1)
j 1 j m i 1
1 1 1 2 e t L E (s ) L X r (s ) sX r (s ) s X r (s ) k1 k2 k0 1 1 1 xr t xr t xr t k0 k1 k2
1 1
取极限求稳态误差值：
j 1 i 1 n N
m
e p ()
1 0 1 K p
11
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3.6 稳 态 误 差
1 xr t t X r ( s) 2 s 1 2 1 s ess ev () lim sE s lim s lim s 0 s 0 1 W ( s ) s 0 sW ( s) K K
N = 0， 0型系统； 注意：N 越高，系统的稳定性 N = 1， Ⅰ型系统； 愈差。一般采用的是0 N = 2 ，Ⅱ型系统。
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型、Ⅰ型和Ⅱ型系统。
9
3.6 稳 态 误 差
（3）典型输入情况下系统的给定稳态误差分析
① 单位阶跃函数输入
xr t 1 t 1 X r ( s) s
3.6 稳 态 误 差
例3-12 一单位反馈系统的开环传递函数为
10(1 s) WK ( s ) 2 s (1 5s)
14
型系统，N 2, K a K k , ea ()
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3.6 稳 态 误 差
④ 误差系数与稳态误差之间的关系 1(t)
Kp
KK
X r t
t
Kv
0
KK
1 2 t 2
系统 0型
ep
1 1 KK
ev
Ka
0
ea
1 KK
误差的时间函数为
1 1 1 (t ) xr (t ) e(t ) xr (t ) xr k0 k1 k2 东北大学《自动控制原理》课程组 1 1(t ) 1 Kk
21
3.6 稳 态 误 差
⑵ 给定量为单位斜坡函数时
1 xr (t ) t , X r s 2 s
module_3_unit_8_ppt
稳态误差
3.6 稳 态 误 差
什么是稳态误差？
在稳态条件下输出量的期望值与稳态值之间的差值。
稳态情况下， ess lim e(t ) lim xc期 (t ) xc (t )
t t
稳态误差分类： 给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)
1 ev ( ) Kv 1 1 ev () Kv K K 1 ev () 0 Kv
13
③ 单位抛物线函数输入
1 2 1 xr t t X r ( s ) 3 2 s
s 1 1 1 ess ea () lim 3 lim 2 s 0 1 W ( s) s s 0 s W ( s ) Ka K K
1 KK
15
型
型
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0 0
0
KK
Hale Waihona Puke Baidu
0
3.6 稳 态 误 差
结论：
为使系统具有较小的稳态误差，必须根据不同
的输入选择不同类型的系统，且选取较大的 K K值。
但考虑稳定性问题，一般选择II型系统，且 K K也要
满足稳定性要求。
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16
K v lim sWK ( s )
s 0
② 单位斜坡函数输入
——速度误差系数。
K k (Ti s 1) s
N 1 m
1 ess Kv
K v lim sWk s lim
s 0 s 0
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(T s 1)
j 1 j
i 1 n N
扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差)
系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同！
（1）系统的控制目标：输出跟踪输入、对扰动具有抗干扰能力。 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化， 因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。系统的跟踪能力。 恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因 而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。系统的抗干扰能力。 （2）讨论系统稳态误差的前提：系统是稳定的。
扰动误差的传递函数：We (s)
3.6 稳 态 误 差
W2 (s) W2 (s)N (s) X c (s) We (s)N (s) N (s) 1 W1 (s)W2 (s)W f (s) 1 WK (s)
根据终值定理，扰动作用下的稳态误差为：
ess e lim xc (t )
3.6 稳 态 误 差
1. 扰动稳态误差 扰动误差即为扰动产生的输出！
输出的变化量 xc t 即为扰动误差。
扰动误差定义：给定不变xr t 0，但扰动变 N t 0 时，
扰动误差的拉氏变换：
X c (s) We (s)N (s)
X c (s) W2 (s) N (s) 1 W1 (s)W2 (s)W f (s)
10
0型系统，N = 0，则位置稳态误差系数
K p lim
s 0
K k (Ti s 1)
i 1
m
(T s 1)
j 1 j
n
Kk
0型系统的位置稳态误差为
1 1 e p ( ) 1 K p 1 Kk
０型以上系统，Ｎ≥１
K p lim
s 0
K K (Ti s 1) s N (T j s 1)
lim
s 0
Kk s N 1
12
3.6 稳 态 误 差
Kk K v lim N 1 s 0 s
1 ess Kv
各型系统在斜坡输入时的稳态误差为
0型系统，N 0, K v 0, 型系统，N 1, K v K K , 型系统，N 2, K v ,
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稳态误差为
sX r ( s) 1 ess lim sE ( s) lim lim s 0 s 0 1 W ( s ) s 0 1 W ( s ) K K
K p lim WK ( s ) ———位置误差系数
s 0
东北大学《自动控制原理》课程组
1 ess () e p () 1 K p
3.6 稳 态 误 差
用长除法，可把上式写为如下的 s 的升幂级数
E ( s) 1 1 1 2 s s X r ( s) k 0 k1 k2
误差的拉氏变换为
1 1 1 2 E ( s) X r ( s) sX r ( s) s X r ( s) k0 k1 k2
3.6 稳 态 误 差
开环传递函数可以表示为时间常数（尾１）形式:
WK ( s) KK sN
i 1 n N j 1
(Ti s 1)
m
W0
s=0时， W0必为１
(T j s 1)
式中： N——开环传递函数中串联的积分环节的 阶次，或称系统的无差阶数。
n N
s N (T j s 1) K k (Ti s 1)
将分子和分母中幂次相同各项合并得
E ( s) 0 1 s 2 s 2 n s n X r ( s) 0 1 s 2 s 2 n s n
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t
lim sX c ( s)
s 0
W2 ( s) lim s N ( s) s 0 1 W ( s ) K
可见扰动误差与 We (s)和N (s)有关。
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2. 给定稳态误差和误差系数
（1）给定误差的两种定义
E ( s )
从输出端定义：
E(s) X c期 (s) X c (s)
KK WK ( s) TmTd s 2 Tm s 1
试计算输入量为 xr (t ) 1(t ) 和 xr (t ) t 时系统的稳态 误差及误差时间函数。 解：该系统为0型，误差传递函数为
1 Tm s TmTd s 2 E ( s) 1 We s X r (s) 1 WK s 1 K K Tm s TmTd s 2
展开成s 的升幂级数，得
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K K Tm K K TmTd 1 We s s 1 K K (1 K K )2 (1 K K ) 2
2 Tm 1 s Td (1 K K )
20
3.6 稳 态 误 差
故动态误差系数为
1 1 1 1 (t ) xr (t ) xr (t ) lim e(t ) lim xr (t ) xr t t k k1 k2 k3 0
19
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3.6 稳 态 误 差
例3-11 有一单位反馈系统，其开环传递函数为
式中： k0 ——动态位置误差系数；
k1 ——动态速度误差系数； k2 ——动态加速度误差系数。
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3.6 稳 态 误 差
方法一、由终值定理求稳态误差值： s s2 s3 ess lim sE ( s) lim( ) X r (s) s 0 s 0 k k1 k 2 0 方法二、由误差的时间函数求稳态误差值：
K a lim s 2WK ( s ) —— 加速度误差系数。 K lim K k a s 0 N 2
s 0
s
由此得各型系统在抛物线输入时的稳态误差为
0型系统，N 0, K a 0, 型系统，N 1, K a 0, ea ( ) 1 Ka
1 ea ( ) Ka 1 1 Ka Kk
(1 K K )2 (1 K K )3 k0 1 K K , k1 , k2 K K Tm K K Tm [Td (1 K K ) Tm ]
⑴ 当给定量为阶跃函数时 xr (t ) 1(t ), 稳态误差为
1 X r ( s) s
1 1 1 1 1 2 1 ess lim sE (s) lim sWe s lim s s s 0 s 0 s s0 k0 k1 k2 k0 1 K K
误差的时间函数为
1 1 1 (t ) xr (t ) e(t ) xr (t ) xr k0 k1 k2
稳态误差值为
t 1 k0 k1
22
东北大学《自动控制原理》课程组
1 1 1 1 ess lim sE ( s) lim sWe s 2 lim s s 0 s 0 s 0 k s s k1 k2 0
这种误差定义物理意义清
楚，但在实际系统中有时无法
测量(主要指理想输出) 。
东北大学《自动控制原理》课程组
6
3.6 稳 态 误 差
从输入端定义：
E (s) X r (s) X f (s) X r (s) W f (s) X c (s) 1 X r (s) 1 WK s
这个误差是可量测的，容易获得。
对于单位反馈系统，两种误差 定义是相同的。
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3.6 稳 态 误 差
（2）给定误差的计算
误差计算公式：
1 E ( s) X r ( s) 1 WK s
用终值定理可求得稳态误差：
ess lim sE ( s )
s 0
结论：系统稳态误差由开环传函和输入决定 。
（4）动态误差系数
前面的计算方法只能根据终值定理求得稳态误差值。 本节方法：即可求出稳态值又可了解系统进入稳态后 误差随时间变化的规律 。 误差传递函数为
E ( s) 1 We ( s ) X r ( s ) 1 WK ( s )
n N j 1
s
N
(T s 1)
j 1 j m i 1
1 1 1 2 e t L E (s ) L X r (s ) sX r (s ) s X r (s ) k1 k2 k0 1 1 1 xr t xr t xr t k0 k1 k2
1 1
取极限求稳态误差值：
j 1 i 1 n N
m
e p ()
1 0 1 K p
11
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3.6 稳 态 误 差
1 xr t t X r ( s) 2 s 1 2 1 s ess ev () lim sE s lim s lim s 0 s 0 1 W ( s ) s 0 sW ( s) K K
N = 0， 0型系统； 注意：N 越高，系统的稳定性 N = 1， Ⅰ型系统； 愈差。一般采用的是0 N = 2 ，Ⅱ型系统。
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型、Ⅰ型和Ⅱ型系统。
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3.6 稳 态 误 差
（3）典型输入情况下系统的给定稳态误差分析
① 单位阶跃函数输入
xr t 1 t 1 X r ( s) s
3.6 稳 态 误 差
例3-12 一单位反馈系统的开环传递函数为
10(1 s) WK ( s ) 2 s (1 5s)
14
型系统，N 2, K a K k , ea ()
东北大学《自动控制原理》课程组
3.6 稳 态 误 差
④ 误差系数与稳态误差之间的关系 1(t)
Kp
KK
X r t
t
Kv
0
KK
1 2 t 2
系统 0型
ep
1 1 KK
ev
Ka
0
ea
1 KK
误差的时间函数为
1 1 1 (t ) xr (t ) e(t ) xr (t ) xr k0 k1 k2 东北大学《自动控制原理》课程组 1 1(t ) 1 Kk
21
3.6 稳 态 误 差
⑵ 给定量为单位斜坡函数时
1 xr (t ) t , X r s 2 s
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稳态误差
3.6 稳 态 误 差
什么是稳态误差？
在稳态条件下输出量的期望值与稳态值之间的差值。
稳态情况下， ess lim e(t ) lim xc期 (t ) xc (t )
t t
稳态误差分类： 给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)
1 ev ( ) Kv 1 1 ev () Kv K K 1 ev () 0 Kv
13
③ 单位抛物线函数输入
1 2 1 xr t t X r ( s ) 3 2 s
s 1 1 1 ess ea () lim 3 lim 2 s 0 1 W ( s) s s 0 s W ( s ) Ka K K
1 KK
15
型
型
东北大学《自动控制原理》课程组
0 0
0
KK
Hale Waihona Puke Baidu
0
3.6 稳 态 误 差
结论：
为使系统具有较小的稳态误差，必须根据不同
的输入选择不同类型的系统，且选取较大的 K K值。
但考虑稳定性问题，一般选择II型系统，且 K K也要
满足稳定性要求。
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K v lim sWK ( s )
s 0
② 单位斜坡函数输入
——速度误差系数。
K k (Ti s 1) s
N 1 m
1 ess Kv
K v lim sWk s lim
s 0 s 0
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(T s 1)
j 1 j
i 1 n N
扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差)
系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同！
（1）系统的控制目标：输出跟踪输入、对扰动具有抗干扰能力。 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化， 因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。系统的跟踪能力。 恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因 而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。系统的抗干扰能力。 （2）讨论系统稳态误差的前提：系统是稳定的。
扰动误差的传递函数：We (s)
3.6 稳 态 误 差
W2 (s) W2 (s)N (s) X c (s) We (s)N (s) N (s) 1 W1 (s)W2 (s)W f (s) 1 WK (s)
根据终值定理，扰动作用下的稳态误差为：
ess e lim xc (t )
3.6 稳 态 误 差
1. 扰动稳态误差 扰动误差即为扰动产生的输出！
输出的变化量 xc t 即为扰动误差。
扰动误差定义：给定不变xr t 0，但扰动变 N t 0 时，
扰动误差的拉氏变换：
X c (s) We (s)N (s)
X c (s) W2 (s) N (s) 1 W1 (s)W2 (s)W f (s)
10
0型系统，N = 0，则位置稳态误差系数
K p lim
s 0
K k (Ti s 1)
i 1
m
(T s 1)
j 1 j
n
Kk
0型系统的位置稳态误差为
1 1 e p ( ) 1 K p 1 Kk
０型以上系统，Ｎ≥１
K p lim
s 0
K K (Ti s 1) s N (T j s 1)
lim
s 0
Kk s N 1
12
3.6 稳 态 误 差
Kk K v lim N 1 s 0 s
1 ess Kv
各型系统在斜坡输入时的稳态误差为
0型系统，N 0, K v 0, 型系统，N 1, K v K K , 型系统，N 2, K v ,
东北大学《自动控制原理》课程组
稳态误差为
sX r ( s) 1 ess lim sE ( s) lim lim s 0 s 0 1 W ( s ) s 0 1 W ( s ) K K
K p lim WK ( s ) ———位置误差系数
s 0
东北大学《自动控制原理》课程组
1 ess () e p () 1 K p
3.6 稳 态 误 差
用长除法，可把上式写为如下的 s 的升幂级数
E ( s) 1 1 1 2 s s X r ( s) k 0 k1 k2
误差的拉氏变换为
1 1 1 2 E ( s) X r ( s) sX r ( s) s X r ( s) k0 k1 k2