第4章 量纲分析和相似原理

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第4章 相似原理与量纲分析

第4章 相似原理与量纲分析

(Fr)p = (Fr)m
这表明,原型与模型的弗汝德数相等,两流动的重力相似. 这表明,原型与模型的弗汝德数相等,两流动的重力相似. (3)欧拉准则 ) 考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系 FPp FIp FPp FPm = 或 = FPm FIm FIp FIm 根据两个力的特征量表示 FP pl 2 p = 2 2= 2 FI ρl v ρv p p 称为欧拉数( ). 无量纲数 Eu = 2 = 2 称为欧拉数(Euler Number). ρv ρv 于是原型与模型压力与惯性力之比可表示为
第 4 章 相似原理和量纲分析 ) ( Similitude and Dimensional Analysis) 4.1 相似原理 4.1.1 流动相似 工程实物(prototype) 工程实物(prototype)的流动规律通常借助于模型由 实验解决. 实验解决. 模型(model)指与原型有同样的流动规律, 模型(model)指与原型有同样的流动规律,各运动参 数存在固定比例关系的缩小物. 数存在固定比例关系的缩小物. 模型与原型具有同样流动规律的关键是流动相似. 模型与原型具有同样流动规律的关键是流动相似. 相似原理则是研究相似流动的理论基础, 相似原理则是研究相似流动的理论基础,即模型实验 的理论基础. 的理论基础. 流动相似除要求模型与原型的几何量(长度,面积等) 流动相似除要求模型与原型的几何量(长度,面积等) 相似以外,还要求相关的运动量(速度等) 相似以外,还要求相关的运动量(速度等)相似和作用力 相似. 相似.
导出量纲 — 由基本量纲以一定形式组成的量纲,如: 由基本量纲以一定形式组成的量纲, 面积量纲 dim A= L2 dim ML-3 dimρ= 密度量纲 dim v = LT-1 速度量纲 dim a = LT-2 加速度量纲 dim F= MLT-2 力量纲 dim p = ML-1T-2 应力量纲 dim ML-1T-1 dim= 动力黏度量纲 dim L2T-1 dimν= 运动黏度量纲 综合以上各量纲式, 的量纲dim 综合以上各量纲式,某一物理量 q 的量纲dim q 可用 三个基本量纲的指数乘积式来表示, 三个基本量纲的指数乘积式来表示,即 dim q = MαLβTγ

流体力学相似原理和量纲分析

流体力学相似原理和量纲分析

称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
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四、马赫数
当考虑流体压缩性时,弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入(4 —10)中的 F 时,则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体,音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等,将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等,将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中,常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力, 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例:对于管中的有压流动及潜体绕流等,只要流动的雷 诺数不是特别大,一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
(4—14)
式中
2
Fr
gnln gmlm
,称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义:
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时,
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式(4—10)中的F时,则
纲数之间的函数式(4—22),这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数,故又简称 定理。

相似原理与量纲分析

相似原理与量纲分析

CF 1(无量纲数) 可以写成: 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数: N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似,而且是动力相似的,则他们的牛顿数 必须相等;反之亦然,称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺: C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺: V L Vm L3 m
LP (原型) Lm (模型)
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 (运动状态相似,速度、加速度必须平
行且具有同一比例): 速度相似比尺: Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则:
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得: C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
(佛汝德数)
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体,应当同时满足Re和Fγ 准则,才能保证流动相似, 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有:
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验,同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C

第四章 相似原理与量纲分析

第四章 相似原理与量纲分析

Cu = CL
2 L 5/ 2 L
= Cu C A = C C L = C CL CL = = CL 时间比尺: C t = Cu CL
流量比尺: CQ
§4-3相似原理的应用
二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则
要求原、模型的雷诺数相等。
(Re ) p = (Re )m
Lpu p
一般原、模型中的流体性质相同 即
C值用公制和英制就具有不同的结果。
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
§4-6 量纲分析之一 ---- 雷立法
如果根据理论分析和实验得知反映某一物理现象的各 有关因素(变量)的数目
( y, x1 , x2 ⋯ xn )
α1 α2
并假定这一物理过程的方程可以用变量的幂乘积形式来表示 即:
y = Kx1 x 2 ⋯ x n
−1 −3 α1 −1 −1 α2
α3
α1+α2
−3α1−α2 +α3
[T]

−α2
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
由量纲和谐原则得:
[M ]
0 = α1 + α 2
1 = −3α1 − α 2 + α 3
[L ]
[T ]

− 1 = −α 2
Vc = Kρ µd
−1 −1
α1 = −1 ⇒ α2 = 1 α 3 = −1
νp
=
Lm um
νm
ν p =νm
Lm = um L p
up
1 Cu = CL
如:若模型比原型缩小20倍,则模型的流速要比原型大20 倍。不易做到。
1 = CL 流量比尺:CQ = Cu C A = C ⋅ CL

第四章 相似原理与量纲分析(新)

第四章 相似原理与量纲分析(新)

第四章 相似原理与量纲分析流体力学中许多工程实际问题由于边界条件复杂,影响因素众多,目前还不能用数学分析方法求出严谨的答案。

即使有少数问题可导出微分方程,但由于它是非线性的,也难以求得精确解。

有些由解析方法求解的,也要做相当的简化和假定,以致结论与实际情况不完全相符。

这就必须借助实验,而且实际中很多公式和系数就是实验的总结。

根据已有的科学知识,进行船舶、飞机和水力机械等的设计是否符合实际需要和流体力学原理,要由实践来证实,因为经济和技术上的原因,不可能直接作出实物实验。

但是,实验必须有理论指导,否则将带有很大的局限性和盲目性,而相似原理和量纲分析就是指导和分析实验的理论依据。

通过相似原理和量纲分析可以正确和合理地制订实验方案和设计模型,获得符合实际的结果。

§ 4-1 相似原理和相似判据一、 相似原理相似概念最早出现于几何学。

如果两个几何图形的对应夹角相等,对应边成比例,那么这两个几何图形是相似的。

这一概念可被推广于一般的物理过程。

所谓两个系统是相应的,就是假定一个系统的一个点和瞬时(xp ,yp ,zp ,tp)可以和另一系统的唯一的一个点和瞬时(X M,Y M,Z M,tM)相对应,并且假定连续性条件适用于这两个系统中的任何两个相邻点。

所谓同名物理量即两个系统中表示同一物理属性的量。

例如,一个系统中某点的速度和另一系统中相应点的速度是两个系统中的同名物理量。

当两个相应系统中进行着同一的物理过程(例如都是机械运动),而所有相应点的同名物理量的方向相同,其大小之间保持着同一比例关系,那么这两个系统就是物理相似的。

在流体力学中,两个流动系统中相应点的各种向量物理量彼此之间相互平行,并且向量或标量物理量互相成一定比例,则称两个流场是力学相似的。

要实现力学相似,两个流场必须具备以下几个条件:①几何相似;②运动相似;③动力相似;④边界条件和起始条件相似。

(一)几何相似如果两个流场几何形状相同,它们所有相应线段长度之比为同一常数,那么这两个流场是几何相似的。

工程流体力学-第4章-M

工程流体力学-第4章-M

运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如:kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似(受力相似)
定义:两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有:重力、阻力、表面张力,则模型流动中相应点上也应存在这三种力,并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解](1) 对流动起主要作用的力是黏滞力,应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道,管道长l=200m,油的运动粘滞系数 ,管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验,试求模型管道的长度和通过的流量。
M: 1= c+d L: 1= a+b-3c-d T: -2= -b -d 上述三个方程中有四个未知数,其中的三个未知数必须以第四个未知数表示: c=1-d; b=2-d; a=2-d 求得各指数值,带入假设式,得到无量纲关系式
(2)根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程,与具有四个未知数的原函数方程相比,仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时,独立变量数的减少是非常方便的,这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系,得到 称为斯特罗哈(Strouhal)数,要使两个流动的当地惯性力作用相似,则它们的斯特罗哈数必须相等,这称为惯性力相似准则,也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1)不是所有的相似准则数都能同时被满足的; 2)甚至,有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题,选择最重要的相似准则,确定模型尺寸及实验条件;得到无量纲准则数之间的关系。

第四章 相似原理与量纲分析

第四章 相似原理与量纲分析

图 4-2 几何相似、运动相似与动力相似
为了同时满足上述几类相似,原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动 为例,原型与模型之间必须首先满足
v p / vm Cv
l p / lm Cl p / m C
公式中的 Cv、Cl、Cτ 称为速度、位移和时间的相似常数。 根据匀速运动的特点,要保证原型与模型之间相似,上述相似常数必须满足
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲 Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable),即没有量纲的物理量。无量纲量有两种, 一种是自然无量纲量,例如常数;另一种是由一定物理量组合而成,例如各种相似准数。
无量纲物理量具有以下性质:客观性、不受运动规模的影响、清楚反映问题实质、可进行超越函是判断模型与原型是否相似的关键。因此,如何获得所研究问题相关的 相似准数是研究相似现象的必要步骤。常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括 相似转换法和积分类比法)和定律分析法。本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。 4.2.1 量纲与单位 任何物理量都包括大小和种类两方面。物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示;物理量所属的 种类则用量纲(dimension,又称为因次)来表示,例如长度就是一种量纲。量纲与单位有以下区别:量纲 是物理量的测量尺度,反映物理量的物理属性,不含有数值;单位是一种分配数值给量纲的方法。同一 量纲可以用多种单位表示,例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。 量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。基本量纲是 具有独立性的量纲,在动量传输领域中有三个基本量纲:长度量纲 L、时间量纲 T、质量量纲 M。导出 量纲由基本量纲组合而成,例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。

第四章 相似原理和量纲分析

第四章 相似原理和量纲分析

三、平面弯曲问题 对于高次超静定平面框架,可以用模型试验 解决, 如下图:
一般来说,模型形状应做成几何相似,各截面处的弯矩 M 正比于 Fl ,
Fl 3 挠度正比于 ,故弯矩和挠度的比例数各为: EI CM M Fl C F Cl M m Fm l m
W 3 Em I m CW C F Cl Wm EI C x Cl , CqC x C y C C l
CG
G Gm
Ce
e em
Cx G

C
(c) m m m Em (d) 1 m 1 2 m
1 1 2
E

由此比要求
m
称为泊松模型律(e)
C C E (f)
把(c)代入(a)
C m
CG Gm
∵ C C E
CF Cl2
∴ 如果模型材料被选定: C E 已被确定。 则荷载比例数 C F 和长度比例数只能任选其一。
• • • • • • •
例4-I 矩形(b×h)截面简支梁受线分布载荷q,梁长l,以梁 内正应力公式为例,导出模型与实梁的相似条件。 解:梁内任意位置处的正应力公式为 qx (a)
• 一般来说,如果描述某个物理现象的物理量有n个,并且在这n个量中 含有r个量是无量纲独立的,则独立的纯数有n-r个。 例4-3 研究弹性体内的应力σ与外力F,力矩M和尺寸L,材料常数E,μ 之间的π项。 取r=2, n=6. π的个数为6-2=4个
(1 , 2 ,......) 0
1
C e e m
CG Gm
2 m
2
C m 0
要求
C C e CG Ce CG C (g) Cx Cx C x2

流体力学第4章相似原理和量纲分析

流体力学第4章相似原理和量纲分析

对于非定常流的模型试验,必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF

Fit' Fit

V
'

v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr (斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数)
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动,为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似,即几何条件、边界条件、
时间条件(非定常流)、物性条件(密度、 粘性等)相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念:
单值条件中的各物理量称为定性量,如密度 ,特
征长度 l ,流速 v ,粘度 ,重力加速度 g ;
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数,如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态:如在有压粘性管流中,当雷诺数大 到一定数值时,继续提高雷诺数,管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化,沿程能量 损失系数也不再变化,雷诺准则失去判别相似 的作用,这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区,
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系(相似性),实验中的各物理参数应该 如何确定?模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值?
如何科学地设计实验,正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例:圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。

第四章 量纲分析和相似原理

第四章 量纲分析和相似原理

第四章 相似原理与量纲分析量纲分析法是用于寻求一定物理过程中,相关物理量之间规律性联系的一种方法。

它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。

两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。

本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论,对流体力学试验研究有重要的指导意义。

§6—1 量纲分析一、量纲、无量纲量量纲(因次):表征各种物理量性质和类别的标志。

是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式,表示物理量的类别,是物理量的质的特征。

● 在量度物理量数值大小的标准(单位)确定之后,一个具体的物理量就对应于一个数值,有了比较意义上的大小,这是物理量的量的特征。

● 量纲可分为基本量纲和诱导量纲基本量纲(dim ):互不依赖,互相独立的量纲。

基本量纲具有独立性,比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。

诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出,如][][γβαM T L x =,γβα,, 称为量纲指数。

1)1) 若0,0,0==≠γβα,则x 为几何学的量;2)若0,0,0=≠≠γβα,则x 为运动学的量,如运动粘性系数][][12-=T L ν;3)若0,0,0≠≠≠γβα,则x 为动力学的量,如动力粘性系数][][11M T L --=μ.● 纯数如果一个物理量的所有量纲指数为零,就称为无量纲(量纲为一)量。

无量纲量可以是相同量纲量的比值(如角度,三角函数),也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成(如压力系数221∞∞-=U p p C p ρ). 二、量纲和谐原理一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中,各项的量纲是一致的,这就是量纲一致性原理。

● 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式,其各项的量纲指数都分别相同。

● 任何表示客观物理规律的数学关系式,其数学形式不随单位制变换而改变形式。

● 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。

工程流体力学-第4章 量纲分析与相似理论

工程流体力学-第4章 量纲分析与相似理论
动力相似
原型和模型对应点所受的同名力方向相同,大小 成比例。
FGp FPp F p FI p FGm FPm F m FI m
几何相似是运动相似和动力相似的前提 动力相似是决定流动相似的主要因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现
§4-4 相似准则
流动相似的本质 :原型和模型被 同一物理方程所 描述。这个物理 方程即相似准则 。
因为声音在流体中传播速度(音速), a
入柯西数得
Ca v Ma a
Ev

§4-4 相似准则
其他相似准则
Ma 称为马赫数,在气流速度接近或超过音速时,要保证
流动相似,还需保证马赫数相等,即
vp vm ap am

(Ma) p (Ma) p
§4-5 相似原理应用
模型律的选择
模型律的选择
•从理论上讲, 流动相似应保 证所有作用力 都相似,但难 以实现。
FI
粘性力比尺:
FI
( A ( A
du dy
)
p
du dy
)
m
lv
lv
§4-4 相似准则
惯性力比尺: FI
(Va) p (Va)m
l3a
l 2v2
a v2 l
雷诺准则方程
vl 1
or
(vl
)
p
(vl
)
m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似,则要求两
者对应的雷诺数 Re 必vl须相等。
相似准则
准则推导依据
动力相似是
决定流动相 似的主要因 素
§4-4 相似准则
弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似, 则据动力相似要求有

第四章相似原理及量纲分析

第四章相似原理及量纲分析

牛顿出生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯普。在牛顿出
生之前三个月,他的父亲就去世了,两年之后他的母亲改
嫁他人,把牛顿留给了他的祖母。牛顿的天才很早就展现
来。
牛顿最开始在乡村学校读书,12岁的时候离家到格兰
瑟文法学校就读。在格兰瑟他寄宿在当地的一个药剂师家
中并最终和这名药剂师的继女订了婚。1661年,也就是19
即C'a Ca;反之亦然。这就是弹性力相似准则(柯西准则)。
柯西数
法国人:柯西1789年8月2l日 出生生于巴黎,他的父亲路 易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁 王朝的官员,在法国动荡的 政治漩涡中一直担任公职。 由于家庭的原因,柯西本人 属于拥护波旁王朝的正统派, 是一位虔诚的天主教徒。
一生建树颇多,在连续 介质力学的研究中给出了 柯西数。
面积比例尺: 体积比例尺:
CA
A' A
l'2 l2
Cl 2
CV
V ' l'3 V l3
Cl 3
满足上述条件,流 动才能几何相似
(4-2) (4-3)
图4-1 几何相似
二 运动相似(时间相似)
定义:满足几何相似的流场中,对应时刻、对应 点流速(加速度)的方向一致,大小的比 例相等,即它们的速度场(加速度场)相似。
工程流体力学
第四章 相似原理和量纲分析
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法
理论分析 实验研究
模型实验
数值模拟
以相似原理为基础
本章主要介绍流体力学中的相似原理,
模型实验方法以及量纲分析法。
第一节 流动的力学相似
表征
流动
按性 质分
过程
的物

第四章量纲分析和相似理论

第四章量纲分析和相似理论

pl 2
l2u2
p
u2
Eu
Eu称为欧拉准数。它体现了流体在运动过程中压力与惯性力
之间的比值关系。
当流体在流动过程中,重力起主导作用时,如液体在明渠
内的流动,将流体的惯性力与重力相比,得
惯性力 重力
l 2u2 gl3
u2 gl
Fr
第一节 有因次量和无因次量
Fr称为付鲁德准数。它体现了运动流体的惯性力与重力之间 的比值关系。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度,其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示,即
x LαTβMγ
(3)无量纲量 各量纲的指数为零,即α=β=γ=0时,物理
量 x L0T0M0 1,则称x为无量纲量。
p
g
f1
Re, d
l d
v2 2g

f1
Re,,则
d
hf
p
g
l
d
v2 2g
上式即为有压管流压强损失的计算公式,又称达西公式。
§4.2 相似理论
4.2.1 流动相似 为了保证模型流动(用下标m表示)与原型流动
(用下标p表示)具有相同的流动规律,并能通过模 型实验结果预测原型流动情况,模型与原型必须满足 流动相似,即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系,具体地说,流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
x x x x a n-3 bn-3 cn-3
n-3
1
2
3
n
(4)根据量纲和谐原理,确定各π项基本量的指数ai、 bi、ci,求出π1、π2、…πn-3。

第四章_相似原理和量纲分析

第四章_相似原理和量纲分析

比热容dimcp= dimcv = L2T-2-1 气体常数dimR = L2T-2-1。
§4.5
两个流场表面张力相似,它们的韦伯数必定相等,反之亦然。韦伯数反映表面张力对 流体的作用,与表面张力有关的现象由We决定,比如液体射流的分裂与雾化等。
§4.3
一、流动相似条件
流动相似条件
保证流动相似的必要和充分条件。 1.相似的流动都属于同一类的流动,应为相同的微分方程所描述。 2.单值条件相似 几何条件 边界条件(进口、出口的速度分布等) 物性条件(密度、黏度等) 初始条件(初瞬时速度分布等) 3.由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
重力相似准则
( ma ma ) mg mg
弹性力相似准则
( ma ma ) KA KA
黏性力相似准则
( ma ma ) dv dv A x A x dy dy
表面张力相似准则
( ma ma ) l l
压力相似准则
( ma ma ) pA pA
§4.2
1.重力相似准则
Fi ma
FP
Fg
FP
F
Fi ma
FP
Fg
F
a
Fg
Fi ——惯性力
F
Fg
§4.1
流动的力学相似
四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系
几何相似是流动力学相似的前提条件。
动力相似是决定运动相似的主导因素。
速度比例尺
v kv v
时间比例尺
t l / v kl kt t l /v kv
2 a v / t kv kv 加速度比例尺 ka a v/t kt kl

(4)量纲分析和相似原理

(4)量纲分析和相似原理

φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤: (1)确定关系式:根据对所研究现象的认识,确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
(2)确定基本量:从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表,一般取m=3。 在管流中,一般选d,v,ρ三个作基本变量,而在明 渠流中,则常选用H,v,ρ。 (3)确定π数的个数N(π)=(n-m),并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2

据π定理有:
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d

l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]:有压管流中的压强损失。 根据实验,压强损失与流速V,管长 l ,管径d,管壁 粗糙度k,流体运动粘滞系数υ ,密度ρ有关,即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解: 这7个量中,基本物理量有3个,令管径、平均 流速、密度为基本量,量纲依次为

流体力学 第四章 cn

流体力学 第四章 cn
Ip = = = = = Tm Gm Pm E m S m I m 即λT = λG = λ P = λ E = λ S = λ I Tp Gp Pp Ep Sp
动力相似是运动相似的保证
四、初始条件和边界条件相似
初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似 的充分条件,正如初始条件和边界条件是微分方 程的定解条件一样。 对于非恒定 流,初始条件是必需 的;对于恒定流, 初始条件则失去了实际意义。 边界条件相似是指两个流动相似,其边界性质相 同,如固体 边界上的法线流速 都为零;自由液体 上 压强 均等 于大气压 等等,对于原型和模型 都是 一样的。
为时间比尺(Time Scale)
二、运动相似
w速度相似 意味着各 相应点的 加 速度也是相似的,

λl λv λ2 λa = = 2 == = v a m λt λt λl ap
式中λa为加速度比尺(Acceleration Scale) 由此可见,只要速度相似,加速度也必然相似,反 之亦然。 由于速度场的研究是流体力学的重要问题,所以 运动相似通常是模型试验的目的。
四、韦伯准则(Weber Criterion)
当作用力主要为表面张力时
F = S = σl
λ F = λ S = λσ λ l λI = λF
式中λσ为表面张力系数比尺,将上式代入式 得
2 λ ρ λ2 l λ v = λσ λl
化简得
λ ρ λl λ2 v λσ
=1 ρplp v2 p σp ρ mlm v2 m = σm
运动相似是两个流场相应点的速度方向相同,大 up 小成比例,即
um 式中λu为速度比尺(Velocity Scale)
断面平均流速也具有同样比尺,即

第4章 量纲分析和相似原理

第4章 量纲分析和相似原理

4.3 相似准则数
粘性力: F (
du ) A ( )l dy l v
2
vl
压力: Fp (p) A (p)l 重力: Fg mg
2
l g
3
4.3 相似准则数
惯性力: i ma l F
3
l t
2
l t
4 2
v l
(
v l
)p (
v l
2
2 2
EV l
)m
Ma p Ma m
2
(
v EV /
)p (
2
v EV /
)m
2
马赫数
Ma v /
EV /
马作流的性马 赫用动比力赫 数并受值与数 相相弹,弹, 等似性即性是 。时力两力惯 ,
4.3.5 韦伯数
由惯性力和表面张力的关系,得
4.1 单位和量纲
量纲分类:
(1)几何学量纲:α≠0,β=0,γ=0; (2)运动学量纲:α≠0,β≠0,γ=0;
(3)动力学量纲:α≠0,β≠0,γ≠0。
4.1 单位和量纲
无量纲数(纯数,如相似准数):
α=0,β=0,γ=0,即[x]=[1]。 特点: (1)无量纲单位,它的大小与所选单位无关; (2)具有客观性; (3)在超越函数(对数、指数、三角函数) 运算中,均应用无量纲数。
速度、压强、各种作用力等)具有各自的固定比例 关系,则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似,应满足: 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
4.2.1 几何相似
几何相似:模型与原型具有相同形状但但大

4相似原理和量纲分析

4相似原理和量纲分析

§4.2 量纲分析与定理
影响某种流动现象的物理量可以有很多。当这些物理量间不能 用微分方程表示时,通过量纲分析确定出有关相似准则间的定性 关系。再通过实验进一步确定其定量关系。
定理
如果一个物理过程涉及到 n个物理量和r个基本量纲,则这个
物理过程可以由n个物理量组成的n-r个无量纲量(相似准则数i)
解:这是物体绕流,应该主要考虑粘性力相似和压力相似。
由雷诺数相等: lu lu (空气的粘度不变)
Kl
l l
u u
62.5 3600 5 45000
由欧拉数相等: p p

u 2 u2
p
u
2
p
u
R
pA
u
2 pA
u
2
R
A
u
2
l
2
R
R
500
u
u R u l
§4.2 量纲分析与定理
第四章 相似原理和量纲分析
§7.1 相似原理与模型实验 §7.2 量纲分析与π定理
§4.1 相似原理与模型实验
一、流动相似的概念
(1)如何把特定条件下的实验结果推广到其它流动中?
(2)如何将实物(或原型)缩小或放大制成模型,并通过 模型的实验结果推知原型中的流动?
(3)要使两流动现象相似,必须满足力学相似条件,即 几何相似、运动相似和动力相似。
3
v d 3 3 3
4
p
v d 4 4 4
其中,待定系数 , , 由量纲的一致性原则确定。
§4.2 量纲分析与定理
1
l d
2
d
3
vd
1 Re
无量纲准则方程为:
l 1 p F1( d , d , Re , v2 ) 0
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dim q1 M 1 L 1T
1
dim q 2 M 2 L 2 T 2
dim q 3 M 3 L 3 T 3
③ 基本量依次与其余物理量组成 项
a b c 1 q1 q2 q3 q4
1 1 1
2 q q q q5
a2 1 b2 2 c2 3
……
a n 3 q1
4.2量纲分析法

量纲分析法的依据:物理方程的量纲一致性。
① ② ③ ④
充分了解流体流动的物理过程; 找出这一过程当中的影响因素; 假定一个未知的函数关系; 运用物理方程量纲一致性原则确定这个函数关系。

包括两种:

瑞利法数n小于等于4~5个。 定理,普遍方法
【例4 – 1】研究自由落体在时间t内经过的距离S,实验观察后认为与下列 因素有关:落体重量W,重力加速度g及时间t。试用物理方程量纲一 致性原则分析自由落体下落距离公式。 解 首先将关系式写成幕乘积形式 s=KWagbtc 式中:K为量纲一的系数;各变量的量纲分别为dim s = L , dim W = MLT-2, dim g =LT-2 , dim t=T。 将上式写成量纲方程 L=(MLT-2)a(LT-2)b(T)c 根据物理方程量纲一致性原则得到 M:0=a L:1=a+b T:0=-2a-2b+c 解得a =0 , b=l , c=2 , 代入原式,得 s=KW0gt2 即 s=Kgt2
下面依据物理方程的量纲一致性原理推求这些变量间的关系。 现设FD与其他各物理量成幕乘积的关系,即 FD=KDaυbρcμd 这里的K 是量纲一的系数。 用基本量纲M 、L 、T 表达各物理量量纲,则有量纲方程 MLT-2=La(LT-1)b(ML-3)c(ML-1T-1)d
由量纲的一致性可知等号两边各量纲的指数应相等,即 M:1=c+d L:1=a+b-3c-d T:- 2= - b - d 这是4个未知数3个方程的方程组,以d 作为待定指数,分别 求出a 、b 、c 为 a=2-d , b=2-d , c=l-d 因此 FD = KD2 - d υ2-dρ1-dμd 将等号右边的变量组合起来成为
dim F MLT 2
dim M FL T
1
2
2. 无量纲量

基本量:物理过程中那些彼此互相独立的量; 导出量:由基本量导出的量; 无量纲量:基本量与导出量适当组合,量纲指数 均为零的物理量。 无量纲量的特点:
① ②

量纲表示式中的指数均为零; 无单位; 量值与所采用的单位制无关。
第四章 量纲分析和相似理论


由于流体流动的复杂性,不可能单纯由理 论分析求得严谨的答案,需要依靠试验才 能解决。 对于一个复杂的流动现象,可变因素很多, 条件限制不能在实物上进行。 通过量纲分析,组合成无量纲量,选择方 便操作和测量的变量进行实验。 根据相似理论,选择合适的模型进行实验, 选择方便的流体进行实验。
这样原来函数关系可写成
f( p

, 2
l , , )0 d d d

p
2
f1 (
l , , ) d d d
实验证明压强降落值与管长l成正比,故有
l f2 ( , ) 2 d d d p
D

为雷诺数Re,则压强降落值公式为
p l 2 f 3 (Re, ) g d d 2g p l 2 f 3 (Re, ) d d 2g
n 3
bn3 cn3 q2 q3 qn


满足 为无量纲项,定出各 项基本量的指数 a b c 整理方程式
选择基本量时的注意原则 ① 基本变量与基本量纲相对应。即若基本量 纲(M,L,T)为三个,那么基本变量也 选择三个;倘若基本量纲只出现两个,则 基本变量同样只须选择两个。 ② 选择基本变量时,应选择重要的变量。换 句话说,不要选择次要的变量作为基本变 量,否则次要的变量在大多数项中出现, 往往使问题复杂化,甚至要重新求解。
FD 2 D 2 2
【例4 – 4】 实验证明流体在水平等直径管道中作恒定流动的 压强降落值△p 与下列因素有关:流速υ、管径d、管长l、 液体的密度ρ、粘度μ和管壁粗糙高度△ 。试用π定理分析 压强降落△p 的表达式。 解 根据上述影响因素,将其写成函数关系 F( υ, d,l,ρ,μ,△,△p)=0 变量数目n =7 。选取3 个基本量:即流速v,管径d,液体密 度ρ,这三个量包含了L 、T 、M 三个基本量纲。根据π定 理,上述7 个物理量可组合成n – m=7-3=4 个量纲一的π数, 即π1、π2、π3 和π4,且有关系式: f(π1,π2,π3,π4) = 0 其中
【例4 – 3】用π定理方法重做例4-2 。 解 运用π定理再次分析例4 - 2 的流动问题,首先将函数关系 设为 f(FD,D,υ,ρ,μ) = 0 其中变量数n =5,选取基本变量ρ、D、υ,根据π定理,上式 可变为
(1, 2) 0
1 a Db c
1 1 1
基本变量是ρ、D 、υ , 那么FD和μ就为导出量
4.1量纲分析的概念和原理
1.
量纲 量纲是物理量的基本属性。 单位:量度各种物理量数值大小的标准量,称 单位。如长度单位为m或cm等。 一个物理量的量纲只描述它的性质而不包含它 的数量 L代表长度量纲,M代表质量量纲,T代表时间 量纲。 物理量的代表符号前面加“dim”表示量纲。如: dim v
所以 同理
1
p
2
dim 2 ( LT 1 ) a2 ( L)b2 ( ML3 )c2 (ML1T 1 )
比较两边的指数可得 a2 = - 1, b2 = -1 , c2 = - 1 所以
2 d
因为l 和△都是长度量纲,很容易判别得
3
l d
4
d
[例4 -2] 一个球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD,经实验 发现与球体的尺寸、球的运动速度(或流体速度) v 、反映流 体物理性质的密度ρ和粘度μ有关。试用量纲分析法推导阻 力FD 的公式。 解 根据对影响阻力FD 的因素进行的合理分析,于是可以将这 一问题假设为如下的函数关系 FD=f(D,υ,ρ,μ) 其中D 为球体的直径。
1
2


若α1= α2=1,可改写为: 如动能方程:
E 1 m 2 2
z1 z 2 p1 p2 2 2 2 1 /(2 g ) 1 / 2 1
E 1 可改写为: m 2 2

量纲一致性的重要性:
a.一个方程在量纲上应是一致的,所以可用来检验经验公 式的正确性和完整性。 b.可用来建立物理方程式的结构形式。


小 结




物理量的构成:量纲和单位 基本量纲—具有独立性的,不能由其他量纲推导 出来的量纲。一般取[L-M-T]。 导出量纲—由基本量纲导出的量纲。[X]=[Lα,Tβ, Mγ]。 无量纲量 量纲一致性—凡是正确反映客观物理方程,其各 项的量纲都必须是一致的,即只是方程两边量纲 相同,方程才能成立。 应用瑞利法和定理的计算



基本量纲:无任何联系且相互独立的量纲; 导出量纲:可由基本量纲导出的量纲; 流体力学中常用基本量纲:M、L、T. 常用导出量纲:
力: F ma 压强: p
dP dA
dl 1 dim LT 速度: dt
dim F MLT 2
dim p ML1T 2
d dim a LT 2 加速度: a dt
代入
(1 , 2 ) 0
2 1 ( 1 )
FD 1 ( ) 1 D 2 2 Re
FD 2 (Re) D 2 2
则有
1 D
1 / Re
FD 2 (Re) CD D 2 2
或者表达为 FD=CDρD2υ2
同理对π2 分析可得式
2 a D b c FD
2 2 2
π是量纲一的量,可以用M0L0T0 表示,对于π1有:
M 0 L0T 0 ( ML3 ) a1 ( L)b1 ( LT 1 )c1 ( ML1T 1 )
比较两边的量纲,于是有 M : 0=al+1 L : 0= - 3al+bl+cl-1 T: 0= - c1-1 求得a1=-1 , b1=-1 , c1=-1 因此
该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项所 表达的关系式来描述,即可合并n个物理量为(n-m)个 无量纲数(π) ,再列方程
( 1 ,......, nm ) 0
应用步骤 ① 确定关系式:根据对所研究的现象的认识,确定影响这个 现象的各个物理量及其关系式 ② 从n 个物理量中找出m个基本量(不可压缩运动取3)列量 纲公式为
c.量纲一致性原理可用来确定公式中物理量的指数。 比如牛顿流体内摩擦定律
du dy
其中切应力τ 、速度u 和空间坐标y 的量纲是已知的,根
据量纲一致性原理,由此可知流体动力粘性系数μ 的量纲为
dim ML-1T 1
根据量纲一致性原理,量纲不同的物理量之间只能进行乘
除,不能进行加减。 只有量纲相同的项才可以相加减。 对或错 对
f 3 (Re, ) d
称为沿程损失系数

量纲分析方法的讨论 ① 基础理论:量纲一致性原则

量纲一致性原则是判别经验公式是否完善的基 础。 应用量纲分析方法得到的物理方程式,是否符 合客观规律,和所选入的物理量是否正确有关。 由例可以看出,量纲分析为组织实施实验研究, 以及整理实验数据提供了科学的方法,可以说 量纲分析方法是沟通流体力学理论和实验之间 的桥梁。
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