2014年高考一轮复习数学教案：13.3 函数的极限
高考第一轮复习数学：132数列的极限-教案(含习题及答案).
13.2 数列的极限●知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a|无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.注：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C=C （C 为常数）;②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n=0（|q|＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当∞→n lim a n =a, ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b;∞→n lim （a n ·b n ）=a ·b; ∞→n limn n b a =ba（b ≠0）. 特别提示（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. ●点击双基1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n=0 ③∞→n lim n n nn 3232+-=－1 ④∞→n lim C=C （C 为常数） A.2 B.3C.4D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于 A.0 B.1C.2D.3解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］ =∞→n lim 22+n n=2. 答案:C 3.下列四个A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n解析:排除法，取a n ＝（－１）n，排除A ； 取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ． 答案:C4.（2005年春季上海,2） ∞→n limnn ++++ 212=__________.解析:原式=∞→n lim 2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0.答案:05.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n nn =____________.解析:原式=∞→n lim23221nn -+=21. 答案:21【例1】 求下列极限：（1）∞→n lim757222+++n n n ;（2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n+…+22n n ）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++=52. （2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21. （3）原式=∞→n lim 22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n+7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n lim n n +2－∞→n lim n=∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞→n lim22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误.【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lga n ＝lga n －1＋lgc ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n nn a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c c c c nn 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+---. ①当c=2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c cc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l:x －ny=0（n ∈N *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线ϕ:y=（x－1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim 22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim 22||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d,则d 2=1)1(22+-n n .又r=1,∴|AB|2=4（1－d 2）=218nn+. 设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2）， 由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n+1）x+n=0, ∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1. ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2）2=（n x 1－n x 2）2=414n n +, ∴|CD|2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=41n（4n+1）（n 2+1）.∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225)1)(14(8++n n n =∞→n lim 2)11)(14(8nn ++=2. 评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N*,a n 与a n+1恰为方程x 2－b n x+c n=0的两根,其中0＜|c|＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N*,a n ·a n+1=c n恒成立. ∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =n n a a 2+=n n cc 1+=c.又a 1·a 2=a 2=c.∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N*,a n +a n+1=b n 恒成立.∴n n b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c.又b 1=a 1+a 2=1+c,b 2=a 2+a 3=2c,∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=c c -+11+cc-12≤3. 解得c ≤31或c ＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c ≤31或－1＜c ＜0. 故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练 夯实基础1.已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是A.2B.3C.21D.6解析:由∞→n lim c bn can ++=2,得a=2b.由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b=3c,∴c=31b. ∴ca=6. ∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22nac n c a ++=ca =6. 答案:D2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n=1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.2411 B.2417 C.2419 D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn n n n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419 答案:C3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim 2)1(+n a n=__________________.解析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）. ∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3. ∴n a =3+（n －1）·3=3n. ∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n =∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q=－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n－1）=38,则a 1=_________________. 解析:∵q=－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51,a n +a n+1=156+n ,n ∈N*,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.52 B.72 C.41 D.254解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n56]+a n .∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）.∵a n +a n+1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n+1=0.∴∞→n lim a n =0.答案:C6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n+1=（n+1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N*）. （1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值.解:（1）n=1时，由（n －1）a n+1=（n+1）（a n －1）,得a 1=1.n=2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n.①当n=1时，a 1=2×12－1=1成立.②假设当n=k 时，a k =2k 2－k 成立.那么当n=k+1时，由（k －1）a k+1=（k+1）（a k －1）,得a k+1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k+1）（k －1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）. ∴当n=k+1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2.（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］ =41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 培养能力7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n lim n n b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+n n b a 1）的值. 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2.又∞→n lim n n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n+1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2.∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞→n lim41（1－121+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q,其中p ＞q 且p≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞→n lim1-n nS S . 解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a qq b p p a S S n n n n n n --+----+--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜pq ＜1,上式分子、分母同除以p n －1，得.1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111q p q pb p p a qpq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim 1-n n S S=p. 当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim 1-n n S S =qb p a qbp a -+--+-11111111=1.探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n .解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2.∴a n －32=－21（a n －1－32）.∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32的等比数列.∴a n －32=－32×（－21）n －1.∴a n =32－32×（－21）n －1.∴∞→n lim a n =32. ●思悟小结1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞→n lim C=C （C 为常数）;（2） ∞→n lim （n1）p=0（p ＞0）;（3） ∞→n lim d cn b an k k ++=ca（k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;（4） ∞→n lim q n=0（|q|＜1）.●教师下载中心 教学点睛1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.拓展题例【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,且有∞→n lim （q a +11－q n）=21,求首项a 1的取值范围.解: ∞→n lim （q a +11－q n）=21, ∴∞→n lim q n一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.当q=1时，21a －1=21,∴a 1=3.当0＜|q|＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q.∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠21.综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3.。
函数的极限教案
函数的极限教案教案标题：函数的极限教案教案目标：1. 了解函数的极限的概念和基本性质。
2. 掌握计算函数在某一点的极限的方法。
3. 理解函数的极限与函数的连续性之间的关系。
4. 能够应用函数的极限解决实际问题。
教学资源：1. 教科书：包含函数的极限概念、性质和计算方法的章节。
2. PowerPoint演示文稿：用于引入和解释函数的极限概念。
3. 白板/黑板和彩色粉笔/白板笔：用于演示计算函数的极限的步骤和解答学生问题。
4. 练习题集：包含不同难度级别的函数极限计算练习题。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 使用PowerPoint演示文稿引入函数的极限概念，解释函数在某一点趋近于某个值的行为。
2. 引导学生思考函数极限的意义和应用。
概念讲解（15分钟）：1. 解释函数极限的定义：当自变量趋近于某一点时，函数值的变化趋势。
2. 介绍函数极限的性质：唯一性、局部性、保号性等。
3. 讲解计算函数极限的方法：代入法、夹逼准则等。
示例演示（15分钟）：1. 在白板/黑板上选择一个简单的函数，如f(x) = x^2，演示如何计算函数在某一点的极限。
2. 解释每个步骤的原理和推理过程。
3. 通过更复杂的例子，如f(x) = sin(x)/x，演示夹逼准则的应用。
练习与讨论（20分钟）：1. 分发练习题集，让学生独立或小组完成一些函数极限的计算练习题。
2. 在学生完成后，逐一讲解练习题的解题思路和方法。
3. 鼓励学生提问和讨论，澄清疑惑。
应用拓展（10分钟）：1. 引导学生思考函数极限在实际问题中的应用，如物理学中的速度、加速度等概念。
2. 提供一些实际问题，让学生尝试应用函数极限解决。
总结与作业布置（5分钟）：1. 总结函数的极限的概念和计算方法。
2. 布置相关的作业，要求学生继续练习函数极限的计算和应用。
教学反思：1. 在引入部分，通过PowerPoint演示文稿引起学生的兴趣和好奇心，为后续的概念讲解打下基础。
高中数学教案函数的极限与连续性
高中数学教案函数的极限与连续性高中数学教案函数的极限与连续性I. 引言函数是数学中重要的概念之一，而对于函数的极限和连续性的理解对于解决数学问题和应用非常重要。
本教案将重点介绍函数的极限和连续性的相关概念和性质，并通过具体例子进行讲解和分析。
II. 函数的极限A. 函数极限的定义1. 定义：设函数f(x)在x趋近于a时，无论a的左右两侧，f(x)的值是否趋近于一个确定的常数L，如果是，则称函数f(x)在x=a时存在极限，记作lim(f(x)) = L。
2. 解读：函数的极限表示了函数在某一点的趋势和接近程度。
B. 函数极限的性质1. 唯一性：若lim(f(x))存在，则极限唯一。
2. 局部性：若lim(f(x))存在，则f(x)在x=a的局部邻域内存在。
C. 函数极限的计算方法1. 直接代入法：对于简单的函数表达式，可以直接将x的值代入函数中计算得到极限值。
2. 四则运算法则：对于复杂的函数表达式，可以利用四则运算的性质进行化简，然后再计算极限。
III. 函数的连续性A. 函数连续性的定义1. 定义：设函数f(x)在x=a处有定义，如果lim(f(x)) = f(a)，即函数在x=a的极限等于函数在x=a处的值，则称函数f(x)在x=a处连续。
2. 解读：函数的连续性表示了函数在某一点的连贯和平滑程度。
B. 函数连续性的性质1. 连续函数的运算：连续函数之间通过加、减、乘、除、复合等运算仍然保持连续。
2. 间断点与分段函数：函数在间断点处可能无定义，但函数在间断点两侧的极限值存在且相等。
C. 函数连续性的判定方法1. 函数在闭区间上连续：若函数在闭区间[a, b]上的每一点都连续，则函数在闭区间上连续。
2. 连续函数的性质：若函数f(x)在(a, b)上连续，且在[a, b]的两个端点处的单侧极限存在，则f(x)在[a, b]上连续。
IV. 应用举例A. 极限计算1. 例题1：计算lim(x→2) (3x^2 - 2x + 1)。
（完整版）高中数学《函数的极限》教案
（完整版）⾼中数学《函数的极限》教案课题：2.3函数的极限(⼆)教学⽬的：1.理解函数在⼀点处的极限，并会求函数在⼀点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在⼀点处的左右极限．3.理解函数在⼀点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就⽆限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的⼀个特殊的点.那么如果对于数轴上的⼀般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：⼀、复习引⼊： 1.数列极限的定义：⼀般地，如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列}{n a 的项n a ⽆限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -⽆限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于⽆穷⼤时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表⽰“n 趋向于⽆穷⼤”，即n ⽆限增⼤的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.⼏个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）⽆穷等⽐数列}{nq （1""→q q nn3.函数极限的定义:(1)当⾃变量x 取正值并且⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于正⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当⾃变量x 取负值并且绝对值⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于负⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表⽰+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，⼜有－∞的意义，⽽数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义⼆、讲解新课： 1.研究实例(1)探讨函数2x y =，当x ⽆限趋近于2时的变化趋势．当x 从左侧趋近于2时，记为：-→2x ．当x 从右侧趋近于2时, 记为：+→2x .发现（左极限）22lim 2x x -→=,（右极限）22lim 2x x +→=,因此有22lim 2x x →=． (2)我们再继续看112--=x x y ,当x ⽆限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:211,(1)1x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．当x 从右侧趋近于1时, 即1x +→时，2y →．即（左极限）2111(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-，（右极限）2111(1)21lim lim x x x x x ++→→-∴=+=- 2111(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>??==??-当x →0的变化趋势.①x 从0的左边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于－1.即0lim ()1x f x -→=- ②x 从0的右边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于1. 即0lim ()1x f x +→= 可以看出00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，就称当0x →时，()f x 的极限不存在．2. 趋向于定值的函数极限概念：当⾃变量x ⽆限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→3. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==其中0lim ()x x f x a -→=表⽰当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表⽰当x 从右侧趋近于0x 时的右极限三、讲解范例：例1求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim →（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+解：（1）220011lim lim 12121x x x x x x x →→-+==--+ （2）000lim 1,lim 1lim x x x x x xx x x-+→→→=-=?不存在．（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+20lim ()lim(1)1,lim ()lim 21xx x x x f x x f x --++→→→→?=+=== 0lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+→→→?==?=．四、课堂练习：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3.求如下极限：⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 22x x x x --→π⑷2321lim4--+→x x x ;⑸xa x a x -+→20lim（0>a ）; ⑹x x 1lim 0→答案：⑴2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323 00(1)(13)3lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-⑷443x x →→==⑸012x x a x a→→== ⑹x x 1lim 0→不存在．五、⼩结：六、课后作业：七、板书设计（略）⼋、课后记：。
《函数的极限》教学设计
《函数的极限》教学设计函数的极限教学设计
简介
这份教学设计旨在帮助学生掌握函数的极限概念，理解其应用以及解决其中的问题。
教学目标
- 学生能够定义函数的极限概念
- 学生能够计算数列的极限
- 学生能够用数列的极限证明函数的极限
- 学生能够运用函数的极限概念解决实际问题
教学内容和方法
1. 概念讲解：首先通过PPT和讲解介绍函数的极限概念及其特点，帮助学生了解极限的概念与性质。
2. 例题演练：通过多个例子演示，帮助学生加深对极限概念的理解，掌握极限的基本计算方法。
3. 理论总结：通过对前面所学知识的梳理和总结，帮助学生更清晰地认识到极限的应用范围并说明其中的问题。
4. 应用拓展：通过实际问题引入，让学生学会运用函数极限来解决实际问题。
教学评估
针对学生的掌握情况与适应程度，我会使用以下方法来进行评估和反馈：
- 课堂练：通过课堂练来检验学生对应用的掌握程度。
- 知识点检测：通过随堂测验来检验学生对知识点的掌握和理解，以方便我的后续教学。
- 个性化指导：对学生的研究情况进行个性化指导和调整，帮助学生更好地掌握知识。
结论
通过本教学设计，我相信学生将会获益甚多，对极限概念和应用有更深入的了解，并有能力运用它解决实际问题。
同时，我也将在教学过程中反思和完善自身的教学方法，为学生提供更优质的教学体验。
2014年高考一轮复习数学教案：13.4 函数的连续性及极限的应用
13.4 函数的连续性及极限的应用●知识梳理1.函数的连续性.一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3）0lim x x →f （x ）=f （x 0）.如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点x 0处连续.2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值.3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）²g （x ）,)()(x g x f （g （x ）≠0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续.特别提示（1）连续必有极限,有极限未必连续.（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f ”是可以交换顺序的.●点击双基1.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A2.f （x ）=xxπcosπcos的不连续点为 A.x =0 B.x =122+k （k =0,±1,±2,…）C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…）D.x =0和x =122+k （k =0,±1,±2,…）解析：由cos xπ=0,得xπ=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k .又x =0也不是连续点,故选D 答案：D3.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是①②④A.①B.②③C.①④D.③④答案：A4.四个函数:①f（x）=x1;②g（x）=sin x;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）答案：②③④●典例剖析【例1】（1）讨论函数f（x）=⎪⎩⎪⎨⎧<-==>)0(1;),(),(1xxxx处的连续性在点（2）讨论函数f（x）=3-xx在区间［0,3］上的连续性.剖析：（1）需判断-→0limxf（x）=+→0limxf（x）=f（0）.（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.解:（1）∵-→0limxf（x）=－1,+→0limxf（x）=1,-→0limxf（x）≠+→0limxf（x）,∴lim→xf（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续.（2）∵f（x）在x=3处无定义,∴f（x）在x=3处不连续.∴f（x）在区间［0,3］上不连续.【例2】设f（x）=⎩⎨⎧≥+<),(),(exxaxx当a为何值时,函数f（x）是连续的.解:+→0limxf（x）=+→0limx（a+x）=a,-→0limxf（x）=-→0limxe x=1,而f（0）=a,故当a=1时,lim→xf（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,f （x ）在（－∞,+∞）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【例3】 如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x 轴上向正方向前进a （a ＞0）个单位后,向左转90°,前进a r （0＜r ＜1＝个单位,再向左转90°,又前进a r 2个单位,…,如此连续下去.（1）若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?（2）若其中的r 为变量,且0＜r ＜1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置. （2）可先求最终目的地关于r 的参数形式的方程.解:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q （x ,y ）,则 x =a －ar 2+ar 4－…=)(12r a --=21ra +,y =ar －ar 3+ar 5－…=21r ar +,∴大本营应在点（21ra +,21rar +）附近去寻找小分队.（2）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,1,122r ar y r a x 消去r 得（x －2a ）2+y 2=42a（其中x ＞2a ,y ＞0）,即行动的最终目的地在以（2a ,0）为圆心,2a 为半径的圆上.●闯关训练夯实基础1.函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-+,222,211322x x x xx x x 则有 A.f （x ）在x =1处不连续 B.f （x ）在x =2处不连续C.f （x ）在x =1和x =2处不连续D.f （x ）处处连续解析：-→1lim x f （x ）=0, +→1lim x f （x ）=1,∴f （x ）在x =1处不连续. 答案：A2.若f （x ）在定义域［a ,b ］上有定义,则在该区间上 A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确解析：有定义不一定连续. 答案：C3.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧-,1,为无理数为有理数x xx x 函数f （x ）在哪点连续A.处处连续B.x =1C.x =0D.x =21解析：+→21lim x f （x ）= -→21lim x f （x ）=f （21）.答案：D4.有以下四个命题: ①f （x ）=x1在［0,1］上连续;②若f （x ）是（a ,b ）内的连续函数,则f （x ）在（a ,b ）内有最大值和最小值; ③2πlim→x xx cos 2sin 2=4;④若f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥).0(1),0(x x x x则0lim →x f （x ）=0.其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上）答案：③ 5.抛物线y =b （ax ）2、x 轴及直线AB :x =a 围成了如图（1）的阴影部分,AB 与x 轴交于点A ,把线段OA 分成n 等份,作以na 为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S 等于这些内接矩形面积之和当n →∞时的极限值,求S.解：S =∞→n lim ［b ²（n1）2+b ²（n2）2+b ²（n3）2+…+b ²（nn 1-）2］2²na=∞→n lim 3222)1(21nn -+++²ab=∞→n lim36)12()1(nn n n -⋅⋅-²ab =31ab .培养能力6.求y =f （x ）=xx x x111111--+-的不连续点. 解：易求f （x ）的定义域为{x |x ≠－1,0,1},所以f （x ）的不连续点为x =－1,x =0和x =1. 7.（2002年春季上海）某公司全年的纯利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工,奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金n b元，然后将余额除以n 发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.（1）设a k （1≤k ≤n ）为第k 位职工所得奖金额，试求a 2、a ３，并用k 、n 和b 表示a k（不必证明）;（2）证明：a k ＞a k ＋1（k ＝1，2，…，n －1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3）发展基金与n 和b 有关，记为P n （b ）．对常数b ，当n 变化时，求∞→n lim P n （b ）（可用公式∞→n lim （1－n1）n =e1）.（1）解：a 1＝nb ，a 2＝n1（1－n1）²b ，a 3＝n1（1－n1）2²b ，…，a k ＝n1（1－n1）k －1²b .（2）证明:a k －a k ＋1＝21n（1－n1）k －1²b ＞０，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则.（3）解:设f k （b ）表示发给第k 位职工后所剩余额，则f 1（b ）＝（1－n1）²b ，f 2（b ）＝（1－n1）2²b ，…，f k （b ）＝（1－n1）k ²b ，得Ｐn （b ）＝f n （b ）＝（1－n1）n ²b ,故∞→n lim Ｐn （b ）＝eb .探究创新8.（2003年北京）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切,…,圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去,记圆O n 的面积为a n （n ∈N *）.（1）证明{a n }是等比数列；（2）求∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）的值.（1）证明:记r n 为圆O n 的半径， 则r 1=2l tan30°=63l .ABC..O O 12nn n n r r r r +---11=sin30°=21,∴r n =31r n －1（n ≥2）.于是a 1=πr 12=1212π-⋅n n a a l ,1-n n a a =（1-n n r r ）2=91,∴{a n }成等比数列. （2）解：因为a n =（91）n －1²a 1（n ∈N *）,所以∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=9111-a =32π32l .●思悟小结1.函数f （x ）在点x 0处连续反映到函数f （x ）的图象上是在点x =x 0处是不间断的.一般地,函数f （x ）在点x 0处不连续（间断）大致有以下几种情况（如下图所示）.甲乙丙图甲表示的是f （x ）在点x 0处的左、右极限存在但不相等,即0lim x x →f （x ）不存在. 图乙表示的是f （x ）在点x 0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于0lim x x →f （x ）不存在的情况.图丙表示的是0lim x x →f （x ）存在,但函数f （x ）在点x 0处没有定义.图丁表示的是0lim x x →f （x ）存在,但它不等于函数在这一点处的函数值f （x 0）.●教师下载中心教学点睛1.函数f （x ）在点x 0处连续与f （x ）在点x 0处有极限的联系与区别:其联系是:f （x ）在点x 0处连续是依据f （x ）在点x 0处的极限来定义的,它要求0lim x x →f （x ）存在.其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,f （x ）在点x 0处有极限,对于点x 0而言,x 0可以属于f （x ）的定义域,也可以不属于f （x ）的定义域,即与f （x 0）是否有意义无关,而f （x ）在点x 0处连续,要求f （x ）在点x 0及其附近都有定义;其次,f （x ）在点x 0处的极限（值）与f （x ）在点x 0处的函数值f （x 0）可以无关,而f （x ）在点x 0处连续,要求f （x ）在点x 0处的极限（值）等于它在这一点的函数值f （x 0）.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.2.函数f （x ）在点x 0处连续必须具备以下三个条件: 函数f （x ）在点x =x 0处有定义; 函数f （x ）在点x =x 0处有极限;函数f （x ）在点x =x 0处的极限值等于在这一点x 0处的函数值,即0lim x x →f （x ）=f （x 0）.这三个条件缺一不可,是我们判断函数在一点处是否连续的重要工具.●拓展题例【例题】 一弹性小球自h 0=5 m 高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的97,不计每次碰撞时间,计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间.解：设小球第一次落地时速度为v 0,则有v 0=02gh =10（m/s ）,那么第二,第三,…,第n +1次落地速度分别为v 1=97v 0,v 2=（97）2v 0,…,v n =（97）n v 0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h 0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L 1=2³gv 221=10³（2)97.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L 2,则L 2=2³gv 222=10³（97）4.由数学归纳法可知,小球第n 次到第n +1次与地面碰撞经过路程为L n =10³（97）2n .故从第一次到第n +1次所经过的路程为 S n +1=h 0+L 1+L 2+…+L n ,则整个过程总路程为S =∞→n lim S n +1=5+∞→n lim 10³222)97(1])97(1[)97(--n =5+1022)97(1)97(-=20.3（m ）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t 0=02g h =1（s ）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t 1=2³gv 1=2³97,同理可得t n =2³（97）n ,t n +1=t 0+t 1+t 2+…+t n ,则t =∞→n lim t n +1=1+∞→n lim 2³)97(1])97(1)[97(--n=8（s ）.上例是借助数学工具来解决物理问题,这样有利于学生对数学知识的进一步理解,增强学生对数学的应用意识,培养学生的数学应用能力.。
高中数学函数极限的教案
高中数学函数极限的教案
一、教学目标：
1. 了解数学函数极限的概念及性质；
2. 掌握计算函数极限的方法；
3. 能够运用函数极限解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和分析能力。
二、教学重点与难点：
重点：函数极限的定义和性质，计算函数极限的方法；
难点：理解并运用函数极限解决实际问题。
三、教学内容：
1. 函数极限的定义与性质；
2. 常见函数的极限计算方法；
3. 函数极限在实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的例子引入函数极限的概念；
2. 讲解：介绍函数极限的定义和性质，讲解常见函数的极限计算方法；
3. 演练：组织学生做一些练习题巩固所学内容；
4. 应用：通过一些实际问题引导学生运用函数极限解决问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，并提醒学生需要多加练习。
五、教学资源：
1. 教科书；
2. 手册和笔记。
六、作业布置：
1. 完成教材上的相关习题；
2. 自主查找一些函数极限的应用题并做一些解答。
七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数极限的概念、性质和计算方法有了更加清晰的认识，提高了解决实际问题的能力。
同时，也发现学生在理解函数极限的过程中可能存在一些困难，需要更多的练习和巩固。
在后续教学过程中，需要继续帮助学生理解和掌握函数极限的知识。
函数极限 教案
函数极限教案教案标题：函数极限教案目标：1. 理解函数极限的概念和意义；2. 掌握计算函数极限的方法；3. 能够应用函数极限解决实际问题。
教案步骤：一、导入（5分钟）1. 引入函数极限的概念，例如：当自变量趋向于某个特定值时，函数的取值会趋向于一个确定的值。
2. 提问学生是否了解函数极限，并鼓励他们分享自己的理解和经验。
二、概念讲解（15分钟）1. 解释函数极限的数学定义：对于函数f(x)，当x趋近于某个特定值a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们称L是函数f(x)在x=a处的极限。
2. 引导学生理解ε-δ语言的含义，并通过图示和实例说明。
三、计算方法（20分钟）1. 介绍计算函数极限的方法，包括代入法、夹逼准则、无穷小量法等。
2. 通过例题演示不同方法的应用，让学生理解和掌握计算函数极限的步骤和技巧。
四、实例分析（15分钟）1. 提供一些实际问题，例如物理、经济等领域的应用问题。
2. 引导学生分析问题，建立函数模型，并利用函数极限解决问题。
五、练习与总结（15分钟）1. 给学生分发练习题，包括计算函数极限和应用题。
2. 鼓励学生独立解题，并及时给予指导和反馈。
3. 总结本节课的要点和难点，并鼓励学生提出问题和分享自己的思考。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在导入环节的回答和讨论，评估他们对函数极限概念的理解程度。
2. 计算能力：通过练习题的完成情况评估学生对计算函数极限的掌握程度。
3. 应用能力：观察学生在实例分析环节的表现，评估他们能否将函数极限应用于实际问题的解决。
教案扩展：1. 深入讨论函数极限的性质和定理，如函数极限的唯一性、函数极限与连续性的关系等。
2. 探究无穷大和无穷小的概念，引入无穷小量的定义和性质，拓展函数极限的应用范围。
函数极限教案
函数极限教案一、教学目标:1. 了解函数极限的概念和基本性质；2. 学会计算函数极限的方法；3. 掌握函数极限的一些基本定理；4. 能够应用函数极限解决实际问题。
二、教学重点:1. 函数极限的概念和性质；2. 函数极限的计算方法。
三、教学难点:1. 函数极限的应用；2. 函数极限的证明。
四、教学准备:1. 教材：高中数学课本；2. 教具：黑板、粉笔、教案。
五、教学过程:Step 1: 引入教师向学生介绍函数极限的概念和重要性，从实际生活中的例子引入函数极限的概念，如用车辆行驶速度来解释函数极限的概念。
Step 2: 基本概念和性质1. 定义函数极限的概念，即当自变量逼近某一特定值时，函数值的变化趋势；2. 解释函数极限的性质，如唯一性、局部性、保号性等。
Step 3: 函数极限的计算方法1. 讲解函数极限的计算方法，包括代入法、夹逼法、特殊函数极限的计算方法等；2. 给出一些常见函数极限的计算例题，带领学生进行计算和解答。
Step 4: 函数极限的一些基本定理1. 引入函数极限的一些基本定理，如函数极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数的左极限和右极限等；2. 结合例题进行讲解和解答，巩固学生对基本定理的理解和掌握。
Step 5: 函数极限的应用引导学生将函数极限的概念、计算方法和基本定理应用到实际问题中，如物理学中的运动问题、经济学中的生产函数问题等。
Step 6: 函数极限的证明介绍函数极限的证明方法，如用ε-δ语言证明函数极限等；以一些典型的函数极限为例，进行证明过程的演示。
六、教学延伸:1. 教师可以引导学生做一些拓展探究和实际运用的练习，进一步理解和巩固函数极限的概念和计算方法；2. 鼓励学生多阅读相关文献和材料，扩大对函数极限的了解和认识。
七、教学反思:通过本节课的教学，学生对函数极限的概念和性质有了初步的了解，掌握了一些函数极限的计算方法和基本定理。
但是，部分学生对函数极限的证明仍然存在障碍，需要在后续的学习中强化。
高中数学教案学习函数的极限
高中数学教案学习函数的极限高中数学教案：学习函数的极限一、引言函数的极限是数学中非常重要的概念之一，对于学习高中数学的学生来说，理解和应用函数极限是提高数学能力的关键。
本教案旨在帮助学生全面理解函数的极限概念，并能够熟练应用相关的计算方法。
二、教学目标1. 理解函数的极限定义，并能够用严谨的语言描述；2. 学会通过图像观察、数值逼近和基本性质判断函数的极限；3. 掌握利用极限的定义进行具体计算；4. 进一步培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学内容1. 函数的极限概念引入- 引导学生理解当自变量接近某个值时，函数的取值趋于无限接近于某个常数，即函数的极限；- 解释极限的正式定义和常用符号表示。
2. 极限的可视化理解- 利用图像观察的方式引导学生直观理解函数的极限；- 通过绘制函数图像，让学生观察函数在自变量趋于某个值时对应的函数值的变化趋势，并理解极限的概念。
3. 数值逼近法求极限- 介绍数值逼近法的思路，即通过给定的自变量逐渐靠近某个值，利用计算工具（如计算器）得到对应的函数值；- 引导学生通过该方法判断函数的极限，并进行简单的计算练习。
4. 极限的性质与运算规则- 介绍函数极限的一些重要性质，如极限存在的唯一性、四则运算法则等；- 引导学生进行相关练习，巩固对性质与规则的理解。
5. 用极限求解实际问题- 将极限理论应用于实际问题的解决中，例如速度与加速度问题、几何问题等；- 引导学生通过建立函数模型、利用极限进行求解。
四、教学方法1. 讲授与演示相结合的教学方法，既进行理论知识的讲解，又通过具体的例子和图像展示进行演示；2. 启发式教学方法，鼓励学生主动思考，在教师的引导下自己发现和解决问题；3. 分组合作学习，可以让学生通过合作探讨和交流，提高学习效果。
五、教学过程1. 导入与激发兴趣：通过提问或者介绍实际问题，引发学生对函数极限的好奇心；2. 概念引入与讲解：按照教学内容的顺序，依次引入和讲解相关概念和知识；3. 图像观察与讨论：提供一些基本函数的图像，让学生观察函数在不同自变量取值下的趋势，并进行相关讨论；4. 数值逼近与计算实践：给定一些函数，要求学生使用计算器等工具进行数值逼近法的计算，并与图像观察的结果进行验证和比较；5. 性质与规则总结与练习：总结函数极限的性质与运算规则，然后提供一些练习，让学生进行实践；6. 实际问题应用讨论：提供一些实际问题，让学生通过极限的求解方法进行讨论和求解；7. 总结与作业布置：总结本节课的重点内容，并布置相关的练习作业。
2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：133函数的极限与连续(共31张PPT)
失误防范 1．在数列极限lni→m∞an 中“n→∞”是指“n→＋∞且 n∈N*”， 这 一 点 与 函 数 极 限 中 “x→∞” 是 不 同 的 ， 函 数 极 限 中 “x→∞”包含“x→＋∞”和“x→－∞”两个方面． 2.xl→imx0f(x)＝a，xl→imx0g(x)＝b 是xl→imx0[f(x)±g(x)]＝a±b， xl→imx0[f(x)·g(x)]＝ab，xl→imx0 gfxx＝ab(b≠0)成立的充分不必 要条件．
目录
例2 求下列各极限的值．
(1)lim x→2
x2x＋2－x－1 2；
(2)
lim
x→π 2
cos x ； cosx2－sin2x
(3) lim x→－1
(xx22－－13－x＋1 1)；
x
(4)lim x→0
|x|.
【思路分析】
目录
【解】
(1)lim x→2
x2x＋2－x－1 2＝222＋2－2－1 2＝34.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：B
目录
3. lim x→－2
xx2＋－24的值为(
)
A．0
B．－1
C．－4
D．不存在
答案：C
目录
4．如果函数 f(x)＝xx2－＋1a
x<1
且limf(x)存在，则 a 的值为
x>1
x→1
________．
答案：－1
目录
5．如果函数 f(x)＝xx2＋－11
设 f(x)＝ x2＋1 0<x≤1，
问 a，b 为何值时，f(x)
b x
x>1，
在定义区间内连续？
函数的极限运算教案
函数的极限运算教案一、引言函数的极限是微积分中的重要概念，对于理解函数的性质和计算函数的变化趋势等问题有重要的作用。
本教案将从定义、性质和运算等方面系统地介绍函数的极限运算，帮助学生全面理解和掌握这一概念。
二、定义和记法1. 函数的极限定义：对于函数f(x)，当自变量x趋向于某一实数a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε（无论ε有多么小），总能找到一个正数δ（对应于ε），使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限是L。
记作：lim(x→a)f(x) = L2. 函数的单侧极限：当函数f(x)在a点的邻域内只有一个方向的极限存在时，称其为单侧极限。
分别表示为：lim(x→a+)f(x) 和lim(x→a-)f(x)3. 极限的无穷性：当x趋向于±∞时的极限称为无穷极限，分别表示为：lim(x→∞)f(x) 和lim(x→-∞)f(x)三、函数极限的性质1. 极限的唯一性：函数的极限如果存在，那么极限值唯一。
2. 极限的局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的某个邻域内极限存在，那么f(x)在该邻域内有界。
3. 四则运算法则：若lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)分别存在，则有以下运算法则：a) 两个函数的和的极限等于极限的和：lim(x→a)(f(x) + g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)b) 两个函数的差的极限等于极限的差：lim(x→a)(f(x) - g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)c) 两个函数的乘积的极限等于极限的乘积：lim(x→a)(f(x) * g(x)) = lim(x→a)f(x) * lim(x→a)g(x)d) 一个函数的极限与另一个函数的商的极限的商等于极限的商（假设分母的极限不为0）：lim(x→a)(f(x) / g(x)) = lim(x→a)f(x) /lim(x→a)g(x)4. 复合函数的极限：若lim(x→a)f(x) = L，lim(y→L)g(y) = M，则有以下复合函数的极限关系：lim(x→a)g(f(x)) = M四、极限运算的计算方法1. 直接代入法：当函数在极限点处有定义时，可以通过将极限点代入函数来计算极限值。
高中数学教案函数的极限
高中数学教案函数的极限高中数学教案：函数的极限一、引言在高中数学中，函数的极限是一个重要的概念。
本教案将介绍函数的极限的概念和性质，以及如何计算函数的极限。
二、函数的极限的定义函数的极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值会趋于某个确定的值或者无穷大。
我们用符号来表示函数的极限，如下所示：lim(x→a) f(x) = L其中，lim表示极限的运算符，x→a表示自变量x趋于a，f(x)表示函数f关于自变量x的取值，L表示极限的结果。
三、函数的极限的性质1. 唯一性：函数的极限在给定条件下是唯一的。
即同一个函数在同一个点的极限结果是唯一确定的。
2. 局部性：函数的极限是局部的，即只关注自变量在某个特定点附近的取值。
3. 有界性：如果函数在某个点的极限存在，则函数在该点附近是有界的。
4. 保号性：如果函数在某个点的极限存在且大于（或小于）0，则函数在该点附近保持正（或负）号不变。
四、计算函数的极限的方法1. 代入法：当函数在某个点的极限存在且可以直接代入计算时，可以通过代入法求出极限的结果。
例如，对于函数f(x) = 2x + 1，要求lim(x→2) f(x)的值，我们只需要将x的值代入函数中即可得到结果。
2. 分解因式法：当函数在某个点的极限存在但无法直接代入计算时，可以通过分解因式的方法进行计算。
例如，对于函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)，要求lim(x→1) f(x)的值，我们可以将函数分解为f(x) = (x + 1)(x - 1) / (x - 1) = x + 1，然后将x的值代入函数中即可得到结果。
3. 常用极限公式法：当函数满足一定条件时，可以通过常用的极限公式来进行计算。
例如，对于函数f(x) = sin(x) / x，要求lim(x→0) f(x)的值，我们可以使用常用极限公式lim(x→0) sin(x) / x = 1，直接得出结果。
五、实例分析1. 求lim(x→2) (2x + 1)的值，根据代入法，将x的值代入函数中，可得lim(x→2) (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5。
函数的极限教案范文
函数的极限教案范文一、教学目标1.理解函数极限的概念；2.掌握函数极限的计算方法；3.能够通过极限计算解决一些实际问题。
二、教学重点1.函数极限的概念；2.极限的计算方法。
三、教学难点1.通过极限计算解决实际问题。
四、教学准备1.教材《高中数学新课标(必修4)》；2.随堂练习题；3.讲解用的PPT。
五、教学过程Step 1 引入新课1.引导学生回顾一元函数的概念和相关知识；2.提出问题：当自变量趋近于一些值时，函数的取值会发生什么变化？请解释你的回答。
Step 2 理解函数极限的概念1.引导学生思考自变量趋近于一些值时，函数的取值趋近于什么值；2.引导学生理解极限的概念：当自变量无限接近一些值时，函数的取值无限接近一些值；3. 讲解函数极限的定义：设函数 f(x) 在 x=a 的一些去心邻域内有定义，如果存在常数 L ，对任意给定的正数ε，总能找到正数δ，使得当 0<，x-a，<δ 时，有，f(x)-L，<ε 成立，则称函数 f(x) 在x=a 时的极限为 L，记作 lim(x->a) f(x)=L；4.通过实例讲解函数极限的概念和定义。
Step 3 掌握函数极限的计算方法1.讲解函数极限的计算方法：a.代数运算法则：如果f(x)和g(x)在x=a时的极限都存在，则有以下运算法则：- lim(x->a) [f(x)+g(x)] = lim(x->a) f(x) + lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)-g(x)] = lim(x->a) f(x) - lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)g(x)] = lim(x->a) f(x) * lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)/g(x)] = lim(x->a) f(x) / lim(x->a) g(x)，g(x)≠0b.无穷小代换法则：若f(x)在x=a时的极限为0，g(x)在x=a时的极限存在，且不等于0，则有以下运算法则：- lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) * lim(x->a) [f(x)/g(x)]c.已知极限的基本公式：常用的已知极限公式有：- lim(x->0) sin(x)/x = 1- lim(x->0) (a^x-1)/x = ln(a)，a>0，a≠12.通过例题讲解函数极限的计算方法。
函数的极限 教案
函数的极限教案教案标题：函数的极限教案概述：本教案将帮助学生理解函数的极限概念，并掌握常见的函数极限计算方法。
通过引导学生进行实例分析和数学推理，培养学生的思维逻辑和问题解决能力。
同时，通过相关应用问题的讨论，帮助学生理解极限在实际中的意义和应用。
教学目标：1. 理解函数极限的定义和概念；2. 掌握函数极限的计算方法，包括直接代入法、夹逼准则等；3. 能够应用函数极限解决实际问题；4. 培养学生的问题分析与解决能力以及数学推理能力。
教学重点：1. 函数极限的定义和概念；2. 函数极限的计算方法；3. 实际问题的极限应用。
教学难点：1. 函数极限的计算方法的掌握；2. 实际问题的极限应用的理解和解决。
教学准备：1. 教材《高中数学教程》等相关教材；2. 针对性的示例和练习题；3. 多媒体教学工具。
教学过程：步骤一：导入与概念讲解（15分钟）1. 引入函数和极限的概念，解释函数极限的意义和重要性；2. 让学生观看一段相关的视频或示例，激发学生的兴趣与思考；3. 对函数极限的定义进行解读和讲解，引导学生形成初步印象。
步骤二：函数极限计算方法介绍（20分钟）1. 介绍常见的函数极限计算方法，如直接代入法、夹逼准则等；2. 通过示例演示不同计算方法的应用步骤和技巧；3. 强调每种方法的适用范围和注意事项，帮助学生理解方法的合理性。
步骤三：练习与提问（30分钟）1. 给学生提供一些基础练习题，让他们在教师指导下独立尝试解答；2. 鼓励学生多与同学合作、讨论，共同解决难题；3. 教师要随时引导学生思考和解决问题，及时纠正错误。
步骤四：实际问题应用（15分钟）1. 展示一些实际问题，引导学生分析问题中存在的极限概念；2. 引导学生运用所学的函数极限计算方法解决实际问题；3. 鼓励学生提出自己的问题，并引导他们进行探究和解决。
步骤五：总结与扩展（10分钟）1. 对本节课所学内容进行总结，强调函数极限的重要性和应用；2. 扩展函数极限概念，引导学生对其他相关内容进行进一步学习；3. 鼓励学生提出关于函数极限的问题和疑惑，及时解答。
大学函数的极限的教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数极限的定义；（2）理解函数极限的性质；（3）掌握求函数极限的方法。
2. 能力目标：（1）能够运用函数极限的概念解决实际问题；（2）提高分析问题和解决问题的能力。
3. 情感目标：（1）培养学生严谨的数学思维；（2）激发学生对数学的兴趣。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数极限的定义；（2）函数极限的性质；（3）求函数极限的方法。
2. 教学难点：（1）函数极限定义的理解；（2）函数极限性质的运用；（3）求函数极限的技巧。
三、教学方法1. 讲授法：系统讲解函数极限的定义、性质和求法；2. 讨论法：引导学生对函数极限的性质和求法进行讨论；3. 案例分析法：通过典型例题，帮助学生理解和掌握函数极限的求法。
四、教学过程（一）导入1. 回顾数列极限的概念，引出函数极限的定义；2. 强调函数极限在数学分析和实际问题中的应用。
（二）函数极限的定义1. 介绍函数极限的定义，强调“自变量趋向于某一点时，函数值趋向于某一值”；2. 通过举例说明函数极限的定义。
（三）函数极限的性质1. 介绍函数极限的几个重要性质，如极限存在的充分必要条件、极限与无穷大的关系等；2. 通过例题讲解函数极限性质的运用。
（四）求函数极限的方法1. 介绍求函数极限的几种常用方法，如直接代入法、极限四则运算法则、洛必达法则等；2. 通过例题讲解求函数极限的方法。
（五）案例分析1. 选择具有代表性的例题，讲解函数极限的求法；2. 引导学生总结解题思路和方法。
（六）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调函数极限的定义、性质和求法；2. 鼓励学生在课后复习和巩固所学知识。
（七）作业布置1. 完成课后习题，巩固所学知识；2. 思考函数极限在实际问题中的应用。
五、教学反思1. 本节课是否达到了教学目标，学生是否掌握了函数极限的定义、性质和求法；2. 教学过程中是否存在难点，如何改进教学方法；3. 学生在学习过程中是否积极思考，如何激发学生的学习兴趣。
北京四中2014年高考数学总复习知识梳理教案：13函数的极值和最值(理)(提高)
函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。
函数的极限写法教案
函数的极限写法教案教案名称: 函数的极限写法教案教育阶段: 高中数学学科: 数学学习目标:1. 理解函数极限的概念及其意义；2. 掌握函数极限的计算方法；3. 能够在各种场景下正确运用函数极限的写法。
教学资源:1. 教材: 包括相关函数极限的理论知识和例题；2. 板书: 函数极限的定义式、计算方法和典型例题；3. 案例题: 用于提高学生对函数极限的应用能力。
教学步骤:引入活动:1. 提问: 你认为函数的极限是什么意思？它在数学中有什么应用？2. 学生回答后，引导他们对函数极限的概念进行讨论和总结。
知识讲解:1. 讲解: 介绍函数极限的定义，包括极限的数学符号表示和极限的意义；2. 示例: 通过几个简单的函数极限计算示例，讲解常见的计算方法，如代入法、夹逼定理等。
练习与应用:1. 学生练习: 让学生自行计算几个函数的极限，以巩固所学的计算方法；2. 合作探究: 分组让学生解决一个或多个案例题，通过讨论和合作提高团队合作能力和问题解决能力；3. 案例讲解: 选择一个较难的案例题进行讲解，解释其中的关键步骤和思路。
知识回顾与总结:1. 思考题: 提出一个与函数极限相关的问题，让学生思考并回答；2. 知识总结: 整理学生在课堂上所学到的重点知识，进行知识总结。
作业布置:1. 完成课堂上未能完成的练习题；2. 准备下节课的相关素材，如刷题、例题、教材阅读等。
评价与反馈:1. 教师评价: 对学生的参与程度、理解程度和独立解题能力给予评价；2. 学生反馈: 学生对此次教学活动的评价和观点。
拓展延伸:1. 鼓励有兴趣的学生自愿扩展学习函数极限的内容，如更复杂的极限计算或应用于实际问题中。
注: 教案中的具体步骤和案例可根据实际教学情况进行调整和补充。
高中数学高三备课教案
高中数学高三备课教案
教学内容：函数的极限
一、教学目标：
1. 熟练掌握函数的极限概念及其性质；
2. 掌握用极限定义导数的方法及其应用；
3. 能够解决各种与函数极限相关的实际问题。
二、教学重点难点：
1. 函数极限的定义及运用；
2. 用极限定义导数的方法；
3. 实际问题的应用解决。
三、教学准备：
1. 教材《高中数学》教辅资料；
2. 多媒体教学设备；
3. 习题课件。
四、教学过程：
1. 引入：导数的概念和意义（10分钟）
通过举例引入导数的概念，让学生了解导数的定义和意义。
2. 讲解函数的极限及性质（20分钟）
讲解函数的极限的定义、性质及相关概念，包括左极限、右极限、极限存在的条件等。
3. 练习函数的极限计算（30分钟）
通过实例，让学生练习函数的极限计算，加深对函数极限的理解。
4. 讲解导数的定义及应用（20分钟）
讲解导数的定义及用极限定义导数的方法，并介绍导数的几何意义及应用。
5. 练习导数的计算（30分钟）
通过练习题目，让学生熟练掌握导数的计算方法，解决相关问题。
6. 实际问题应用（20分钟）
通过实际问题的应用训练，让学生能够将函数极限及导数的知识应用到实际生活中。
五、教学反思：
通过教学过程中学生的反馈和讨论，对教学方法和内容进行反思，为后续教学提供改进方法。
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13.3 函数的极限●知识梳理1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0limx x →)()(x g x f =ba（b ≠0）. 特别提示（1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0lim x x →[Cf （x ）]=C 0lim x x →f （x ）（C 为常数）;（3）0lim x x →[f （x ）]n =[0lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）.●点击双基1.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:C2.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ）B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在 C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在 D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ） 答案:D3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A4.（2005年西城区抽样测试） 1lim →x x x x x --+222=________________.解析: 1lim →x xx x x --+222=1lim →x )1()2)(1(-+-x x x x =1lim →x x x 2+=3. 答案:35.若1lim →x 3322+++x ax x =2,则a =__________.解析: 1lim →x 3322+++x ax x =2, ∴44+a =2.∴a =4. 答案:4●典例剖析【例1】求下列各极限：（1） 2lim →x （)21442---x x ； （2）∞→x lim （))((b x a x ++－x ）；（3） 0lim→x ||x x； （4） 2πlim→x .2sin2cos cos x x x-剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0lim x x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.解:（1）原式＝2lim →x 4)2(42-+-x x ＝2lim →x 21+-x =－41. （2）原式=∞→x limxab x b a x ab x b a ++++++)()(2=a +b .（3）因为+→0lim x ||x x =1,而=-→0lim x ||x x=－1，+→0lim x ||x x ≠-→0limx ||x x , 所以0lim →x ||x x不存在．（4）原式=2πlim→x 2sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x --＝2πlim →x （cos 2x +sin 2x ）＝2.思考讨论数列极限与函数极限的区别与联系是什么？【例2】 （1）设f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>+→,021;)(lim ,,00,020x x f b x x bx xx 存在使的值试确定;（2）f （x ）为多项式,且∞→x lim x x x f 34)(-=1,0lim →x xx f )(=5,求f （x ）的表达式.解:（1）+→0lim x f （x ）= +→0lim x （2x +b ）=b ,-→0lim x f （x ）= -→0lim x （1+2x）=2, 当且仅当b =2时, +→0lim x f （x ）= -→0lim x f （x ）, 故b =2时,原极限存在.（2）由于f （x ）是多项式,且∞→x lim xx x f 34)(-=1,∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）.又∵0lim →x xx f )(=5,即0lim →x （4x 2+x +a +xb）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】 讨论函数f （x ）= ∞→n limnn xx 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象.部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性.解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-nnx x 2211x =x ;当x ＞1时，f （x ）= ∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n n xx ·x =－x ; 当x =1时，f （x ）=0.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x x i ∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1,-→1lim x f （x ）= -→1lim x x =1, ∴1lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性. ●闯关训练 夯实基础1.已知函数f （x ）是偶函数,且-∞→x lim f （x ）=a ,则下列结论一定正确的是A. +∞→x lim f (x )=－a B. +∞→x lim f （x ）=aC. +∞→x lim f (x )=|a | D. -∞→x lim f （x ）=|a |解析：∵f （x ）是偶函数,∴f （－x ）=f （x ）. 又-∞→x lim f （x ）=a ,+∞→x lim f （－x ）=a ,f （x ）=f （－x ）,∴+∞→x lim f （－x ）= +∞→x lim f （x ）=a .答案：B2.（2004年全国Ⅱ，理2）1lim →x 54222-+-+x x x x 等于A.21 B.1 C.52 D.41 解析:∵122lim ,52)5)(1()2)(1(542→∴++=+-+-=-+-+x x x x x x x x x x x 54222-+-+x x x x =21. 答案:A3.已知函数y =f （x ）在点x =x 0处存在极限,且+→0lim x x f （x ）=a 2－2,-→0lim x x f （x ）=2a +1,则函数y =f （x ）在点x =x 0处的极限是____________.解析:∵y =f （x ）在x =x 0处存在极限,∴+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）,即a 2－2=2a +1.∴a =－1或a =3.∴0lim x x → f （x ）=2a +1=－1或7.答案:－1或7 4.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.解析:∵f （x ）在点x =0处连续， ∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x= 0lim→x 1111)1(332++++++x x x =23. 答案:235.已知函数f （x ）=∞→n limnn n n x x +-22，试求:（1）f （x ）的定义域，并画出图象； （2）求--→2lim x f （x ）、+-→2li m x f （x ）,并指出2lim -→x f （x ）是否存在.解:（1）当|x |＞2时，∞→n limn n nnx x +-22=∞→n lim 1)2(1)2(+-nnxx =－1; 当|x |＜2时，∞→n lim n n nnx x +-22=∞→n limnnx x )2(1)2(1+-=1;当x =2时，∞→n lim nn nn x x +-22=0;当x =－2时，∞→n lim nn nn x x +-22不存在.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-<>-).22(1),2(0),22(1x x x x 或∴f （x ）的定义域为{x |x ＜－2或x =2或x ＞2}. 如下图:（2）∵--→2lim x f （x ）=－1,+-→2lim x f （x ）=1.∴2lim -→x f （x ）不存在.6.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求出这一函数最大值.解:∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）, 即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1. 培养能力7.在一个以AB 为弦的弓形中,C 为的中点,自A 、B 分别作弧AB 的切线,交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角,求ABDABCx S S ∆∆→0lim.解：设所在圆圆心为O ,则C 、D 、O 都在AB 的中垂线上,∴∠AOD =∠BOD =2x.设OA =r . S △ABC =S 四边形AOBC －S △AOB =r 2sin 2x －21r 2sin x =r 2sin 2x （1－cos 2x ）,S △ABD =S 四边形AOBD －S △AOB =r 2tan 2x －21r 2sin x =r 22cos2sin 3x x .∴0lim→x ABDABC S S ∆∆=0lim→x 2cos2sin )2cos 1(2sin 322x xr xx r -=0lim →x 2cos 12cos x x +=21. 8.当a ＞0时,求0lim→x bb x a a x -+-+2222.解:原式=0lim→x ))()(())()((222222222222a a x b b x b b x b b x a a x a a x ++++-+++++-+=0lim→x ))(())((2222222222a a x b b x b b x a a x ++-+++-+=0lim→x aa xb b x ++++2222=aa bb ++|||| =⎪⎩⎪⎨⎧>≤).0(),0(0时当时当b a b b探究创新9.设f （x ）是x 的三次多项式，已知a x 2lim →=a x x f 2)(-=a x 4lim →ax x f 4)(-=1.试求a x 3lim →ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解:由于a x 2lim →ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ①同理f （4a ）=0. ② 由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.这里A 、C 均为待定的常数.由a x 2lim→ax x f 2)(-=1,即a x 2lim→ax C x a x a x A 2))(4)(2(---- =ax 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1,得A （2a －4a ）（2a －C ）=1, 即4a 2A －2aCA =－ 1.③同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1, 得A （4a －2a ）（4a －C ）=1, 即8a 2A －2aCA =1.④由③④得C =3a ,A =221a, 因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）. ∴a x 3lim →a x x f 3)(-=a x 3lim →221a （x －2a ）（x －4a ） =221a ·a ·（－a ）=－21. ●思悟小结1. ∞→x lim f （x ）=A ⇔+∞→x lim f （x ）= -∞→x lim f （x ）=A ,lim x x →f （x ）=A ⇔+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=A .2.函数f （x ）在x 0处连续当且仅当满足三个条件： （1）函数f （x ）在x =x 0处及其附近有定义； （2）0lim x x →f （x ）存在；（3） 0lim x x →f （x ）=f （x 0）.3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限. ●教师下载中心 教学点睛1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于+∞→x limx x 12+与-∞→x lim xx 12+的区别. 拓展题例【例1】 设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+),0(e),0(25x k x k x x 为常数问k 为何值时，有0lim →x f （x ）存在？ 解: -→0lim x f （x ）=2k , +→0lim x f （x ）=1,∴要使0lim →x f （x ）存在，应有2k =1.∴k =21. 【例2】 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,求a 的值.解:∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x limaxx x a x +---112222=+∞→x limaxx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.。