四年级奥数容斥原理教案
容斥原理教案
容斥原理教案教案标题：容斥原理教案教学目标：1. 了解容斥原理的概念和基本原理；2. 能够应用容斥原理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 容斥原理的概念和基本原理；2. 容斥原理的应用。
教学难点：1. 运用容斥原理解决实际问题；2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、习题、实例；2. 学生准备：课本、笔记本、笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入容斥原理的概念，通过提问激发学生的思考，例如：“你们是否遇到过需要计算多个集合交集或并集的问题？如何解决这样的问题？”2. 引导学生思考容斥原理的应用场景和意义。
二、概念讲解（15分钟）1. 通过教学课件或板书，简明扼要地介绍容斥原理的概念和基本原理，包括容斥原理的公式表达和推导过程。
2. 通过实例演示容斥原理的应用，引导学生理解容斥原理的具体运用方法。
三、练习与巩固（20分钟）1. 分发习题，让学生个别或小组进行解答，帮助学生熟悉容斥原理的应用步骤。
2. 针对学生解答中出现的错误或困惑，进行及时的指导和解答，并帮助学生理解和纠正错误。
四、拓展与应用（15分钟）1. 给予学生一些拓展题目，让他们运用容斥原理解决更复杂的问题，培养学生的问题解决能力。
2. 鼓励学生尝试不同的解题方法，提高他们的创新思维和灵活运用能力。
五、总结与反思（5分钟）1. 总结容斥原理的基本概念和应用方法；2. 让学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑。
教学延伸：1. 布置相关作业，巩固学生对容斥原理的理解和应用；2. 鼓励学生自主学习和探索更多容斥原理的应用领域。
教学资源：1. 教学课件：包括容斥原理的概念、公式和实例；2. 习题：涵盖容斥原理的基本应用题目。
评估与反馈：1. 教师通过课堂练习、问题解答和学生的表现来评估学生的掌握程度；2. 针对学生的错误和困惑，及时进行指导和解答，以及个别辅导。
数学教案 4年级-2 容斥原理
教案
教材版本：实验版. 学校： .
第一课时
第二课时
本讲教材答案：
呈现问题：
例1 137个
例2 16只
例3 53个
例4 30人
大胆闯关：
1. 13人
2. 最少是6人；最多是20人
3. 18幅
4. 65人
5. 120个
补充习题：
1.今年爸爸和小华年龄共56岁，妈妈和小华年龄共54岁。
爸爸、妈妈年龄共82岁，小华年龄多少岁？
2.一张长10厘米，宽5厘米的长方形纸片，一张面积是40平方厘米的圆形纸片，两张纸片覆盖在桌上的面积是60平方厘米，如图。
求两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米？
3.一次数学竞赛只有两道题，参赛的有46人，做对第1题的32人，做对第2题的24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有多少人？
补充习题答案：
1.（56＋54－82）÷2＝14（岁）
答：小华年龄14岁。
2.10×5＝50（平方厘米）
50＋40＝90（平方厘米）
90－60＝30（平方厘米）
答：两张纸片重合部分的面积是30平方厘米。
3.32＋24－20＝36（人）46－36＝10（人）
答：两道题都没有做对的有10人。
小学奥数容斥原理教案
小学奥数容斥原理教案【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理(1)】四年级数学讲义奥数：容斥原理(1)教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接二、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=na＋nb－nab。
（二）例题精讲 nanb例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
小学奥数容斥原理教案
小学奥数容斥原理教课设计【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理 (1)】四年级数学讲义奥数：容斥原理 (1)教课目的： 1、理解容斥原理，会绘图剖析此中关系，正确的找出答案。
2、培育学生的逻辑思想和数学思虑能力。
3、培育学生优异的书写习惯。
一、教课连接二、教课内容〔一〕知识介绍容斥问题波及到一个重要原理——包括与清除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数局部有重复包括时，为了不重复计数，应从它们的和中清除重复局部。
容斥原理：对 n 个事物，假如采纳不一样的分类标准，按性质 a 分类与性质 b 分类〔如图〕，那么拥有性质 a 或性质 b 的事物的个数=na ＋nb －nab 。
〔二〕例题精讲 nanb例 1、一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！〞有 37 人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！〞有 42 人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？〞没有人举手。
求这个班语文、数学作业都达成的人数。
【思路导航】达成语文作业的有 37 人，达成数学作业的有 42 人，一共有 37＋42=79 人，多于全班人数。
这是由于语文、数学作业都达成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都达成的有： 79－48=31 人。
例 2、某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。
问多少个同学两题都答得不对？【剖析与解答】答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，能够求出只答对第一题的有 25－15=10 人。
又答对第二题的有23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就获得起码有一题答对的人数： 10＋23=33 人。
所以，两题都答得不对的有 36－33=3 人。
例 3、某班有 56 人，参加语文比赛的有 28 人，参加数学比赛的有27 人，假如两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科比赛的有多少人？【剖析与解答】要求两科比赛同时参加的人数，应先求出起码参加一科比赛的人数： 56－25=31 人，再求两科比赛同时参加的人数：28＋27－31=24 人。
数学教案 4年级-2 容斥原理
教案
教材版本：实验版. 学校： .
第一课时
第二课时
本讲教材答案：
呈现问题：
例1 137个
例2 16只
例3 53个
例4 30人
大胆闯关：
1. 13人
2. 最少是6人；最多是20人
3. 18幅
4. 65人
5. 120个
补充习题：
1.今年爸爸和小华年龄共56岁，妈妈和小华年龄共54岁。
爸爸、妈妈年龄共82岁，小华年龄多少岁？
2.一张长10厘米，宽5厘米的长方形纸片，一张面积是40平方厘米的圆形纸片，两张纸片覆盖在桌上的面积是60平方厘米，如图。
求两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米？
3.一次数学竞赛只有两道题，参赛的有46人，做对第1题的32人，做对第2题的24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有多少人？
补充习题答案：
1.（56＋54－82）÷2＝14（岁）
答：小华年龄14岁。
2.10×5＝50（平方厘米）
50＋40＝90（平方厘米）
90－60＝30（平方厘米）
答：两张纸片重合部分的面积是30平方厘米。
3.32＋24－20＝36（人）46－36＝10（人）
答：两道题都没有做对的有10人。
小学容斥原理教案
小学容斥原理教案教案标题：小学容斥原理教案教学目标：1. 理解容斥原理的概念和基本原理。
2. 能够运用容斥原理解决简单的排列组合问题。
3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学重点：1. 容斥原理的概念和基本原理。
2. 运用容斥原理解决简单的排列组合问题。
教学难点：1. 运用容斥原理解决稍复杂的排列组合问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教具、黑板、彩色粉笔。
2. 学生准备：课本、笔、纸。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入容斥原理的概念：请学生回顾一下之前学过的排列组合知识，例如：从5个不同的字母中任选3个字母组成不重复的三位数，有多少种可能性？2. 引出问题：学生是否有其他方法解决这个问题？引导学生思考。
二、讲解容斥原理（10分钟）1. 讲解容斥原理的概念：容斥原理是指通过计算每个集合的元素个数，再减去同时属于两个或多个集合的元素个数，得到所有集合元素个数的总和。
2. 讲解容斥原理的基本原理：用公式表示为：A∪B = A + B - A∩B。
3. 通过具体例子解释容斥原理的应用。
三、运用容斥原理解决问题（15分钟）1. 给学生提供一些简单的排列组合问题，引导他们运用容斥原理解决。
2. 让学生分组讨论并解答问题，然后进行讲解和总结。
四、拓展练习（15分钟）1. 提供一些稍复杂的排列组合问题，要求学生运用容斥原理解决。
2. 让学生自主解答，并互相交流思路和答案。
五、归纳总结（5分钟）1. 让学生总结容斥原理的应用方法和注意事项。
2. 教师进行总结和点评。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关的练习题作为课后作业，要求学生运用容斥原理解决。
2. 强调学生要理解容斥原理的概念和基本原理，能够独立运用于实际问题。
教学反思：本节课通过引导学生回顾排列组合知识，引出容斥原理的概念，并通过具体例子进行讲解和练习，使学生理解容斥原理的基本原理和应用方法。
在拓展练习环节，提供稍复杂的问题，培养学生解决问题的能力。
【小学四年级奥数讲义】 容斥原理
【小学四年级奥数讲义】容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
容斥原理教案
教学过程一、课堂导入本节课，我们将要学习一个重要的计数公式——容斥原理。
容斥原理有叫做“包含和排除”原理，应用容斥原理我们可以通过间接计数来解决直接计数不容易解决的问题。
二、复习预习看下面一个问题：有一个长8厘米，宽6厘米的长方形和一个边长为5厘米的正方形，如图所示放置在桌面上，你能求出这两个图形盖住的桌面部分的面积吗？三、知识讲解考点/易错点1 容斥原理要计算一个总量，可以把总量分成两个分量来计算，先把每个分量加起来，在减去重复计算的部分，像这样的数学计算原理叫做容斥原理。
考点/易错点2 容斥原理公式1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
考点/易错点3 容斥原理公式2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
考点/易错点4 利用容斥原理解题的步骤第一步、确定元素总量可以分成几类；第二步、确定每一类元素的个数和重复部分元素的个数；第三步、选择合适的原理并利用公式计算。
四、例题精析【例题1】【题干】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【答案】15+12-4=23【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
【例题2】【题干】某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？【答案】25+22+24-12-9-8+X=45 ，解得X=3【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。
四年级奥数第29讲容斥问题(教师版)
四年级奥数第29讲容斥问题(wèntí)（教师版）教学目标λ了解容斥原理二量重叠(chóngdié)和三量重叠的内容λ掌握容斥原理(yuánlǐ)在组合计数等各个方面的应用知识梳理一、两量重叠(chóngdié)问题在一些(yīxiē)计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：,则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为：,即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B,即阴影面积．1．先包含——重叠部分A B计算了次,多加了次；包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B、的元素个数,然后加起来,即先求A B+(意思是把、的一切元素都“包含”进来,加在一起)；A B第二步：从上面(shàng miɑn)的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复(chóngfù)计算的元素个数)．二、三量重叠(chóngdié)问题A类、B类与C类元素(yuán sù)个数的总和类元素(yuán sù)的个数类元素个数类元素个数既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：重叠部分A B、、重叠了2次,多加了1次．2．再排除：在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．典例分析考点一：两量重叠问题、1实验小学四年级二班例参加语文兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有,人,人,人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组有?【解析(jiě xī)】如图所示,A圆表示(biǎoshì)参加语文兴趣小组的人,B圆表示参加(cānjiā)数学兴趣小组的人,A与B重合(chónghé)的部分C(阴影(yīnyǐng)部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人,有(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人,有(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人)．方法二：根据包含排除法,直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人,即：(人)．例2、对全班同学调查发现,会游泳的有人,会打篮球的有人．两项都会的有人,两项都不会的有人．这个班一共有多少人?【解析】如图,用长方形表示全班人数,A圆表示会游泳的人数,B圆表示会打篮球的人数,长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出,全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数,至少会一项的人数为：(人),全班人数为： (人)．例3、在人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有人,既采了樱桃又采了杏的有人,既没采樱桃又没采杏的有人,问：只采了杏的有多少人?【解析(jiě xī)】如图,用长方形表示全体(quántǐ)采摘人员46人,A圆表示采了樱桃(yīng táo)的人数,B圆表示(biǎoshì)采了杏的人数．长方形中阴影(yīnyǐng)部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出,全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和,则至少采了一种的人数为：(人),而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数,所以,只采了杏的人数为：(人)．例4、育才小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的,五、六年级共展出25幅画,其他年级的画共有多少幅?【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道,五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅,我们还知道五、六年级共展出25幅画, 进而可以求出五年级画作有13幅,六年级画作有12幅,那么就可以求出其他年级的画作共有3幅．考点二：三量重叠问题例1、全班有25个学生(xuésheng),其中(qízhōng)人会骑自行车,人会游泳(yóuyǒng),人会滑冰(huá bīng),这三个运动(yùndòng)项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格,那么, （1）数学成绩优秀的有几个学生?（2）有几个人既会游泳,又会滑冰?【解析】（1）有6个数学不及格,那么及格的有：(人),即最多不会超过人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动,那么,最少也会有：(人)至少会这三项运动之一．于是,至少会三项运动之一的只能是19人,而这19人又不是优秀,说明全班25人中除了19人外,剩下的6名不及格,所以没有数学成绩优秀的．（2）上面分析可知,及格的19人中,每人都会两项运动；会骑车的一定有一部分会游泳,一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰,而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳,但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以,全班有(人)既会游泳又会滑冰．考点三：图形中的重叠问题例1、把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长厘米,焊接后这根铁条有多长?【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长(厘米)．例2、两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【解析(jiě xī)】两个长方形如图摆放(bǎi fànɡ)时出现了重叠(见图中的阴影部分), 重叠部分(bù fen)恰好是边长为2厘米(lí mǐ)的正方形,如果(rúguǒ)利用两个的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以,被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是,被覆盖面积(平方厘米)．例3、三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少?【解析】将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法,三个纸片盖住桌面的总面积=(A圆面积B+圆面积A与B重合部分+圆面积C面积与C重合部分面积B+与C重合部分面积三个纸片共同重叠的面积, 得：与B重合部分面积A+与C重合部+与C重合部分面积B分面积,得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：平方厘米,而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和,即：阴影部分面积,则阴影(yīnyǐng)部分面积为：(平方厘米)．考点(kǎo diǎn)四：容斥原理在数论(shùlùn)问题中的应用例1、在的全部(quánbù)自然数中,不是(bùshi)3的倍数也不是的倍数的数有多少个?【解析】如图,用长方形表示1~100的全部自然数,圆表示1~100中3的倍数,B圆表示1~100中5的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由可知,1~100中3的倍数有个；由可知,1~100中5的倍数有20个；由可知,1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法,3或5的倍数有：(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问：和最大?是多少最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.实战演练➢课堂(kètáng)狙击1、一个班有48人,班主任在班会上(huìshànɡ)问：“谁做完语文(yǔwén)作业?请举手！”有37人举手。
四年级奥数(40讲)《举一反三》第35讲 容斥原理
第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
小学数学《容斥原理和抽屉原理》教案
容斥原理和抽屉原理第一课时教学内容：容斥原理和抽屉原理教学目标：本节课是在学生已学过两个基本原理和排列组合基础知识后，对学生提出的较高要求。
根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，本节课从知识、方法、能力和发展性等层面确定了相应的教学目标。
教学重点：容斥原理作为解决计数问题的重要方法成为本节课教学重点；教学难点：而容斥原理由一般到特殊的归纳和推广是本节课的教学难点。
教学方法的选择：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用探究、讨论的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
教学手段的利用：采用多媒体技术，目的在于通过大容量信息的呈现和生动形象的演示，提高学生学习兴趣、激活学生思维、加深理解。
学法指导：学法指导的目标：(1)指导学生对一系列问题进行化归，找到解决问题的方法。
(2)通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。
教学过程：|一、脑筋急转弯激趣，导入新课师：同学们，喜欢脑筋急转弯吗？老师出个脑筋急转弯考考你们？脑筋急转弯：一张照片上有两对父子，数数却只有三个人,为什么？学：因为多数了一个人，爷爷和爸爸，爸爸和儿子，爸爸多数了，所以，是2+2-1=3（人）二、讲授新课师：同学们，你们知道什么容斥原理。
学：不知道。
师：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
师：就像是我们看到的图片一样，把重复的数目排斥出去。
你们知道了吗？学：知道了师：下面让我们实际挑战吧三：出示例1例1:从1到20中2或3的倍数的个数共有（）个。
师：同学们，我们想知道从1到20中2或3的倍数的个数共有多少个？我们应该怎么来做这题？学：我们可以先把2的倍数数出来，在再把3 的倍数数出来师：那我们现在来数2的倍数？学：2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。
四年级下第6讲 容斥原理
第6讲容斥原理一、教学目标1.理解容斥原理的概念，能识别常见题型；2.能熟练应用“韦恩图”法解决容斥原理问题。
二、例题精选【例1】有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。
如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？【巩固1】一个班有48人。
班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完了数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【例2】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【巩固2】某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。
已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？【例3】巧巧班有25人参加了科学实验小组，有17人参加了英语小组，其中8人两个小组都参加，还有10人什么组都没参加。
巧巧班里总共有多少名学生呢？【巩固3】三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？【例4】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？【巩固4】在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？【例5】某外语学院共有25名教师。
已知有14名教师会教英语，有12名教师会教法语，有10名教师会教德语。
其中有4名教师既会教英语又会教法语而不会教德语，有2名教师既会教英语又会教德语而不会教法语，只有1名教师3种外语都会教。
有多少名教师既会教法语又会教德语而不会教英语？【巩固5】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？【例6】在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3的倍数，又不是5的倍数的数有多少个？三、回家作业【作业1】已知下图的重叠部分是一个边长为2米的正方形，求这个组合图形的面积.【作业2】一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
容斥原理_教师版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识点说明 一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．知识精讲教学目标7-7 容斥原理1．先包含——A B + 重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．板块一、两量重叠问题【例 1】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？ 【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++ 重叠部分AB 、BC 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---3853487+-=(厘米)．【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？ 【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【例 2】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 【解析】 如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245+-=(人)．【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ 【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．【例 3】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？ 【解析】 不妨用下图来表示：C BA CBA线段AB 表示全班人数，线段AC 表示做完语文作业的人数，线段DB 表示做完数学作业的人数，重叠部分DC 则表示语文、数学都做完的人数．根据题意，做完语文作业的有37人，即37AC =．做完数学作业的有42人，即42DB =．374279AC DB +=+=(人) ①48AB =(人)②①式减②式，就有794831DC =-=(人)所以，数学、语文作业都做完的有31人．【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？ 【解析】 因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．也可画图分析．【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721+-=(人)．【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【解析】 如图，A 圆表示参加象棋比赛的人，B 圆表示参加军棋比赛的人，A 与B 重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有321814-=(人)；图中B 圆两项比赛都参加的只参加军棋比赛的只参加象棋比赛的BA不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042++=(人)．或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．【例 4】 (第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【解析】 方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315-68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．【巩固】 名学生参47加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？ 【解析】 如图，用长方形表示这47名学生，A 圆表示语文得分95分以上的人数，B 圆表示数学得95分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上的人数为：472225-=(人)．根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14212510+-=(人)．【巩固】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016-=(人)．【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？两门都不在95分以上的数学95分以上的语文95分以上的两门95分以上的AB【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369-=(人)．【巩固】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？ 【解析】 如图，用长方形表示参加考试的人数，A 圆表示第一部分对的人数．B 圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213-=(人)．又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19136-=(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？ 【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A 圆表示会游泳的人数，B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20251035+-=(人)，全班人数为：35944+= (人)．【例 5】 在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ 【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A 圆表示采了樱桃的人数，B 圆表示采了杏的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640-=(人)，而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏AB既采樱桃又采杏的既没采樱桃又没采杏的两部分全对的两部分都有错的只做对第二部分的只做对第一部分的会打篮球的会游泳的两项都会的两项都不会的BA的人数为：4018715--=(人)．【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 【解析】 68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的．如图，用圆A 表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B 圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃．因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68526060+-=(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．60230÷=(块)．丙组擦了30块玻璃．乙组擦了：683038-=(块)玻璃，甲组擦了：523022-=(块)玻璃．【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？ 【解析】 通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅．【例 7】 一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的16。
容斥问题的课程设计
容斥问题的课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解容斥问题的基本概念，掌握容斥原理及其应用。
2. 能够运用容斥原理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 了解容斥问题在不同场景下的变化和拓展，培养灵活运用知识的能力。
技能目标：1. 学会运用列表、画图等方法分析容斥问题，提高逻辑思维和形象思维能力。
2. 能够独立解决简单的容斥问题，提高解题技巧和策略。
3. 学会与他人合作探讨问题，提高团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学问题的兴趣，激发学习热情。
2. 增强学生对容斥问题的认识，培养勇于挑战困难的勇气。
3. 培养学生严谨、细致的学习态度，提高解决问题的责任感。
课程性质：本课程为数学学科的教学内容，针对学生年级特点和知识深度，注重理论知识与实际应用的结合。
学生特点：学生具备一定的数学基础，具备初步的分析问题和解决问题的能力，但对容斥问题的理解尚浅。
教学要求：通过本课程的学习，使学生能够熟练掌握容斥原理，提高解决实际问题的能力，培养良好的学习态度和团队协作精神。
将课程目标分解为具体的学习成果，便于后续教学设计和评估。
二、教学内容1. 容斥问题基本概念：集合的概念、元素与集合的关系、集合的运算。
2. 容斥原理：容斥原理的推导及应用、特殊容斥问题的解法。
3. 实际问题中的应用：利用容斥原理解决生活中的实际问题，如门票问题、组合问题等。
4. 容斥问题的拓展：探讨容斥问题在不同领域、不同背景下的变化和拓展。
教学大纲安排：第一课时：集合的概念、元素与集合的关系，引出容斥问题。
第二课时：容斥原理的推导，举例说明容斥原理的应用。
第三课时：特殊容斥问题的解法，分析实际生活中的问题。
第四课时：利用容斥原理解决实际问题，提高学生的应用能力。
第五课时：容斥问题的拓展，培养学生的发散思维。
教材章节：本教学内容涉及教材中集合与容斥原理章节，具体包括以下内容：1. 集合的基本概念和运算。
2. 容斥原理的推导和应用。
数学教案 4年级-3 简单的容斥原理
统计语文满分时这 4 人又被统计了一次。那这四人就变成了“8 人“，我们该怎么办？ （2） 学生思考 （3） 反馈交流 生：应该减掉 4 人 师：怎样减？ 生：把数学满分的 25 人加上语文的 22 人，这样多算了 4 人，再减去 4 人。
师：是这样吗： 师：他的想法棒不棒？ 生：棒，我也是这样想的 师：能完成解答吗？ 生：能 （4） 学生完成算式和答话 [课件演示验证结果： 解析答案：25+22－4=43(人)
25 人，那么参加语文，数学两科竞赛的有多少人？] （1） 学生读题，寻找题中的信息 师：这个题目中 56 人包括哪几种情况？ 生：有只参加一科的，有两科都参加的，还有两科都没有参加的。 师：你能试着画出图示吗？ （2）学生尝试完成图示，老师巡视 师：从刚才同学画图的时候，我发现了一个问题，有的学生不知道两科都没有参加的 25 人该怎么
现在你能完成这个题目的解答吗？ 师：这两种理解你学会了吗？我要考考大家啦。 [巩固练习：大胆闯关第 3 题：
一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的有 52 人，这两种棋都 不会下的有 12 人。问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？] （1） 学生读题，分析题意，获取信息 （2） 学生尝试解答，老师巡视 （3） 和自己的同桌交流自己的想法 （4） 点两名学生在班上说出自己的思路和解答 师：虽然上面的问题越来越复杂，但是因为同学善于思考，不怕困难，学会了把复杂的问题简单化， 所以老师相信再复杂的问题也是难不到同学们。 师：为了让同学们能有更愉悦的心情面对艰巨的学习任务，皮皮学校决定开展多姿多彩的课余生活。 周末，皮皮学校举办了一场画展，看看有哪些学生的画被展示了出来。 [课件出示画展画面,附上例 4 题目：
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奥数：容斥原理
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学容
（一）知识介绍
容斥问题涉及到一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当
两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分容斥原理: 对n个事物，如果采用不同的分类标准, 按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数二N+ 2— Mb
（二）例题精讲
例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语
数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37 + 42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79 —48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有
23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？
【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25—15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10+ 23=33人所以，两题都答得不对的有36 —33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的
人数：56 —25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28+ 27 —31=24人。
例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100 的自然数中，5的倍数有100-5=20个，6的倍数有16个(100-6=16……4), 其中既是5的倍数又是6的倍数(即5和6的公倍数)的数有3个(100-30=3…… 10)。
因此，是6或5的倍数的个数是16+ 20—3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100—33=67个。
例5、光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作
品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总
数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。
24 + 22=46幅，这是个
五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数, 再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数。
(24 + 22- 10)- 2=18幅。
三、教学练习
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成
绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的
有多少人？
2、五(1)班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有
19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？
3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人?
4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个?
5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110
件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件？
四、教学小结
六、课后练习
1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？
2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。
已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
3、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？
4、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?
5、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中
有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画
共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？。